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第二十一章 一元二次方程（单元重点综合测试）
一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
1．（2022秋·河南商丘·九年级商丘市第六中学校考阶段练习）用配方法解方程 ，配方后的方
程是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023春·甘肃定西·九年级校考阶段练习）若 是关于x的一元二次方程 的解，则
（ ）
A． B． C． D．
3．（2023春·山东烟台·八年级统考期中）若一元二次方程 的两个根分别为 ， ，则
的值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022秋·甘肃白银·九年级校考期中）若实数x，y满足 ，则 的值为
（ ）
A．1 B． C．1或 D． 或2
5．（2022秋·上海徐汇·八年级上海市徐汇中学校考期中）已知 为等腰三角形，已知它的两条边的长
度分别是方程 的两个根，那么该三角形的周长是（ ）
A． 或6 B． C．5 D．6
6．（2023·重庆·九年级专题练习）某班级前年“五一”将勤工俭学挣得的班费中2000元按一年定期存入
银行，去年“五一”到期后取出1000元捐给“希望工程”，将剩下的1000元与利息继续按一年定期存入
该银行（年利率不变），今年“五一”全部捐给了母校，且今年“五一”到期后取得本息和1107.45元．
若该银行一年定期存款的年利率是x（本金×利率×期数＝利息，本息和＝本金+利息），则下列方程正确的
是（ ）A． B．
C． D．
7．（2023春·山东威海·八年级统考期末）定义一种新运算“∞”： ．则方程
的实数根是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2023·全国·九年级假期作业）某商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．经调查
发现，商品销售单价每降1元，平均每天可多售出2件．在每件盈利不少于25元的前提下，要获利1200
元利润，每件商品应降价（ ）
A．10元B．20元C．10元或20元 D．13元
9．（2023春·江苏镇江·八年级统考期末）小明在桌上摆放小棒，他发现：两根小棒最多有1个交点，三根
小棒最多有3个交点……，若n根小棒最多有300个交点，则n的值为（ ）
A．24个B．25个C．26个D．27个
10．（2023·安徽·九年级专题练习）关于x的一元二次方程新定义：若关于x的一元二次方程：
与 ，称为“同族二次方程”．如 与 就是“同族二次
方程”．现有关于x的一元二次方程： 与 是“同族二次方程”．那么代数
式 取的最大值是（ ）
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上
11．（2023·江苏·九年级假期作业）关于x的方程 的一次项系数是 ，则a的值为
_________．12．（2020秋·广东广州·九年级广州六中校考阶段练习）若 ，则代数式 的值为
_________．
13．（2022秋·江西景德镇·九年级统考期中）将 配方成 形式，则 _________．
14．（2023春·安徽安庆·八年级安庆市石化第一中学校考期末）关于 的一元二次方程 有两
个相等的实数根，则 的值为_________．
15．（2023秋·湖南湘西·九年级统考期末）自从“双减”政策实施以来，各中小学开展了丰富多彩的活动．
某校拟举办一次书法作品展览，要在每张长和宽分别为 和 的矩形相片周围镶上一圈等宽的彩纸．
根据美学观点，彩纸面积为相片面积的 时较美观．若所镶彩纸的宽为 ，根据题意，列方程为 ．
16．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，甲、乙两点分别从直径的两端点 ， 出发以顺时针、逆时
针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程 与时间 满足关系： ，乙以 的
速度匀速运动，半圆的长度为 .则甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动的时间是_________．
三、解答题（本大题共7小题，共62分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2023春·内蒙古通辽·八年级校考期末）(1) (配方法)
(2) (公式法)
18．（2023·江苏·九年级假期作业）乌克兰危机发生之后，外交战线按照党中央的部署紧急行动，在战火粉飞中已将5200多名同胞安全从乌克兰撤离，电影《万里归途》正是“外交为民”的真实写照，如表是该
影片票房的部分数据，（注：票房是指截止发布日期的所有售票累计收入）
影片《万里归途》的部分统计数据
发布日
10月8日 10月11日 10月12日
期
发布次
第1次 第2次 第3次
数
票房 10亿元 12.1亿元
(1)平均每次累计票房增长的百分率是多少？
(2)在（1）的条件下，若票价每张40元，求10月11日卖出多少张电影票
19．（2023春·全国·八年级专题练习）如图是2022年5月份的日历，在日历表上可以用一个方框圈出的四
个数．
(1)若圈出的四个数中，最小的数为 ，则最大的数为______（用含 的代数式表示）；
(2)若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为153，求这个最小数．
20．（2023春·江苏淮安·八年级校考阶段练习）已知关于x的方程 ．
(1)求证：无论k取何值，此方程总有实数根；
(2)若此方程有两个根，请用含有k的式子表示出方程的解；
(3)在（2）的情况下，若这两个方程的根为整数根，试求出正整数k的值；
21．（2023春·安徽六安·八年级统考期末）利用完全平方公式，可以将多项式 变形为
的形式，我们把这样的变形方法叫做配方法．我们已学习了用配方法解一元二次方程，除此
之外，利用配方法还能解决二次三项式的最值问题．阅读如下材料，完成下列问题：
材料：对于二次三项式求最值问题，有如下示例：．因为 ，所以 ，所以，当 时，原
式的最小值为2．
完成问题：
(1)求 的最小值；
(2)若实数 满足 ．求 的最大值．
22．（2023春·重庆九龙坡·八年级重庆实验外国语学校校考期末）为庆祝我校建校60周年，学校计划用
25000元为从世界各地归来参加校庆的校友在某商场订购A、B两种纪念品．已知A纪念品的订购单价是
B纪念品订购单价的 ，用于购买A纪念品的资金与购买B纪念品的资金之比为 ，且订购的A纪念品
比B纪念品多50件．
(1)求A、B两种纪念品的订购单价各是多少？
(2)商场按订购单价计算，A纪念品的利润率为 ，B纪念品的利润率 ．但在实际购买时，由于学校
需求量增加，且无法追加资金，商场考虑到A、B两种纪念品的库存足够多，为尽快减少库存，于是同意
将A、B两种纪念品在原订购单价的基础上，分别每件都降价a元出售，学校也在原计划订购量的基础上
各追加购买 件．这样，商场按降价后的价格和数量售出这两种纪念品获得的总利润比按原订购单价和订
购数量售出所获得的总利润少 元，求a的值．
23．（2022春·八年级单元测试）如图，正方形 的边长为 ，动点 从点 出发，以 的速度
沿 方向向点 运动，动点 从点 出发，以 的速度沿 方向向点 运动，若 ，
两点同时出发，运动时间为 ．
(1)连接 ， ， ，当 为何值时， 面积为 ？
(2)当点 在 上运动时，是否存在这样的 的值，使得 是以 为腰的等腰三角形？若存在，请求
出符合条件的 的值；若不存在，请说明理由．
