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期中押题预测卷01
（考试范围：第十六-十八章）
一、单选题(共30分)
1．(本题3分)下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】直接根据最简二次根式的定义：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得
尽方的因数或因式进行判断即可．
【详解】解：A、原式 ，故A不是最简二次根式．
B、 是最简二次根式，故B是最简二次根式．
C、原式 ，故C不是最简二次根式．
D、原式 ，故D不是最简二次根式．
故选：B．
【点睛】本题侧重考查最简二次根式，掌握其概念是解决此题的关键．
2．(本题3分)下列线段不能组成直角三角形的是（ ）
A．3，4，5 B．4，6，8 C．5，12，13 D．2，3，
【答案】B
【分析】先求两小边的平方和，最长边的平方，再看看是否相等，即可作出判断．
【详解】解：A．∵ ，
∴以3，4，5为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
B．∵ ，
∴以4，6，8为边不能组成直角三角形，故本选项符合题意；
C．∵ ，∴以5，12，13为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
D．∵ ，
∴以2，3， 为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理是解此题的关键，注意：
如果一个三角形的两边a、b的平方和等于第三边c的平方，那么这个三角形是直角三角形．
3．(本题3分)下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据二次根式的除法法则，分母有理化计算法则，加减法计算法则及性质化简，再依次
判断即可．
【详解】解： ，故选项A正确；
，故选项B错误；
，故选项C错误；
，故选项D错误；
故选：A．
【点睛】此题考查了二次根式的计算法则，熟练掌握二次根式的各计算法则是解题的关键．
4．(本题3分)在 中， 可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据平行四边形的对角相等，即可求解．
【详解】解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ 可能是 ；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
5．(本题3分)如图，数轴上点A表示的数为a，则a的值是（ ）A． +1 B．﹣ C． ﹣1 D．
【答案】C
【分析】先根据勾股定理求出三角形的斜边长，再根据两点间的距离公式即可求出A点的坐标．
【详解】解：图中的直角三角形的两直角边为1和2，
∴斜边长为： ，
∴−1到A的距离是 ，那么点A所表示的数为： −1．
故选：C．
【点睛】本题考查的是勾股定理及两点间的距离公式，解答此题时要注意，确定点A的符号后，
点A所表示的数是距离原点的距离．
6．(本题3分)已知四边形 是平行四边形，下列结论中错误的有（ ）
①当 时，它是菱形；
②当 时，它是菱形；
③当 时，它是矩形；
④当 时，它是正方形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据矩形、菱形、正方形的判定逐一判断各项即可得出答案．
【详解】解：∵四边形 是平行四边形，
∴当 时，不能判断它是菱形（对边相等是平行四边形的性质），故①错误，
当 时，它是菱形，故②正确，
当 时，它是矩形，故③正确，
当 时，它是矩形，故④错误，
故选：B．
【点睛】本题考查了矩形、菱形、正方形的判定，熟练掌握性质定理是解题的关键．
7．(本题3分)如图，小正方形的边长为1，连接小正方形的三个顶点可得△ABC，则AB边上的高
是（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】求出三角形ABC的面积,再根据三角形的面积公式即可求得AB边上的高
【详解】S =S -S -S -S =4-1- -1=
在Rt ABF中,AB=
△
S =
可得 ，即AB边上的高是
故选C
【点睛】此题考查勾股定理，三角形的面积，解题关键在于利用勾股定理计算
8．(本题3分)在菱形ABCD中，AC是对角线， ，连接DE． ， ，则DE
的长为（ ）A． B． C． 或 D．
【答案】A
【分析】连接BD交AC于K．在Rt△AKD中，利用勾股定理求出DK，再求出EK，在Rt△DKE中，
利用勾股定理即可解决问题．
【详解】解：连接BD交AC于K．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AK=CK=8，
在Rt△AKD中，DK= ，
∵CD=CE，
∴EK=CE-CK=10-8=2，
在Rt△DKE中，DE= ．
故选：A．
【点睛】本题考查菱形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的性质，属于中考
常考题型．
9．(本题3分)如图，已知正方形ABCD的边长为4,P是对角线BD上一点，PE⊥BC于点E,PF⊥CD
于点F,连接AP,EF.给出下列结论:①PD= EC:②四边形PECF的周长为8;③△APD一定是等腰三角形:④AP=EF；⑤EF的最小值为 ；⑥AP⊥EF.其中正确结论的序号为（）
A．①②④⑤⑥ B．①②④⑤
C．②④⑤ D．②④⑤⑥
【答案】A
【分析】根据正方形的性质即可判断.
【详解】∵PE⊥BC于点E,PF⊥CD，
∴四边形ECFP是矩形，故PF=EC，
∵∠PDF=45°，故①PD= EC正确；
四边形PECF的周长为PE+EC+PF+FC=BE+EC+DF+FC=BC+CD=8，
故②正确；
③△APD当AD=DP或AP=DP时，是等腰三角形，故③错误；
连接PC，可知EF=PC，易证 ADP≌△CDP，
故EF=AP，④正确； △
由AP=EF可知，EF最小值为AP⊥BD时，
即AP= ，
故EF最小值为 ，⑤正确，
故选A.
【点睛】此题主要考查正方形的性质，解题的关键是熟知正方形的性质及矩形的性质及全等三角
形的性质.
10．(本题3分)如图1，在 中， ， ，点 为 边的中点， ，将 绕点 旋转，它的两边分别交 、 所在直线于点 、 ，有以下4个结论：①
；② ；③ ；④如图2，当点 、 落在 、 的延
长线上时， ，在旋转的过程中上述结论一定成立的是（ ）
A．①② B．②③ C．①②③ D．①③④
【答案】D
【分析】连结CD，由“ASA”可证△CDE≌△BDF，利用全等三角形的性质和等腰直角三角形的性质
依次判断可求解．
【详解】解：如图，连接DC，
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，D为AB中点，
∴∠B＝45°，∠DCE＝ ∠ACB＝45°，CD⊥AB，CD＝ AB＝BD，
∴∠DCE＝∠B，∠CDB＝90°，
∵∠EDF＝90°，
∴∠CDE＝∠BDF，
在△CDE和△BDF中，
，∴△CDE≌△BDF（ASA），
∴CE＝BF，∠BFD＝∠CED，DE＝DF，
∴∠BFD+∠DFC＝180°＝∠CED+∠DFC，
如图，当点E、F落在AC、CB的延长线上时，连接CD，
同理可证△DEC≌△DFB，
∴DE=DF，∠DEC＝∠DFC，故①正确；②错误，
当 分别落在 上时，
∵∠BDC＝90°，
∴∠BDF+∠CDF＝∠CDE+∠CDF＝90°，
∴∠EDF＝90°，
∴EF2＝DE2+DF2＝2DE2，
当 分别落在 的延长线上时，同理可得EF2＝DE2+DF2＝2DE2，故③正确；
如图，连接CD，
同理可证：△DEC≌△DFB，∠DCE＝∠DBF＝135°，
∴S DEF＝S CFE+S DBC＝S CFE+ S ABC，
△ △ △ △ △
∴S DEF﹣S CFE＝ S ABC．故④正确，
△ △ △
故选：D．【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的应用，直角三角形斜边
上的中线性质,等腰直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
第II卷（非选择题）
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二、填空题(共18分)
11．(本题3分)如果 是二次根式，则 的取值范围是____________．
【答案】
【分析】根据分式及二次根式的定义得出 ，解不等式即可
【详解】解：∵ 是二次根式，
∴ ，
∴
∴
故答案为：
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键．
12．(本题3分)若 ，且 为整数，则 的值为_____．
【答案】
【分析】根据二次根式的性质，被开方数越大，值越大，由此即可求解．
【详解】解：∵ ，且 为整数，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查二次根式的知识，掌握二次根式的性质，化简是解题的关键．
13．(本题3分)已知实数x，y满足 ，则 ＝_______．
【答案】2
【分析】先根据算术平方根和绝对值的非负性求得x、y的值，然后代入计算即可．【详解】解：∵ ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了算术平方根和绝对值的非负性、负整数次幂等知识点，根据非负性正确
求得x、y的值是解答本题的关键．
14．(本题3分)我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”．
观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3
起就没有间断过．
（1）请你根据上述的规律写出下一组勾股数：________；
（2）若第一个数用字母n（n为奇数，且n≥3）表示，那么后两个数用含n的代数式分别表示为
________．
【答案】 11，60，61 和
【分析】（1）分析所给四组的勾股数∶3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41，可得下一
组勾股数：11、60、61；
（2）根据所提供的例子发现股是勾的平方减去1的二分之一，弦是勾的平方加1的二分之一．
【详解】解：（1）∵ ，
∴下一组勾股数为：11、60、61；
故答案为：11，60，61．
（2）后两个数表示为 和 ，
∵ ，
，∴ ，
又∵ ，且 为奇数，
∴由n， ， 三个数组成的数是勾股数．
故答案为： 和 ．
【点睛】此题考查了勾股数之间的关系，解题的关键是根据题目中所给的勾股数及关系式进行猜
想、证明即可．
15．(本题3分)如图，在菱形 中， ， 、 分别是 、 的中点， 于
点 ，则 _______．
【答案】55°
【分析】延长PF交AB的延长线于点G．根据已知可得∠ABC、∠BEF、∠BFE的度数，再根据
余角的性质可得到∠EPF的度数，进而求得∠FPC的度数．
【详解】解：延长PF交AB的延长线于点G．如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，
∴∠GBF=∠PCF，
∵F是边BC的中点，
∴BF=CF，在△BGF与△CPF中，
，
∴△BGF≌△CPF（ASA），
∴GF=PF，
∴F为PG中点．
又∵EP⊥CD，
∴∠BEP=90°，
∴EF= PG，
∵PF= PG，
∴EF=PF，
∴∠FEP=∠EPF，
∵∠BEP=∠EPC=90°，
∴∠BEP-∠FEP=∠EPC-∠EPF，即∠BEF=∠FPC，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=BC，∠ABC=180°-∠A=70°，
∵E，F分别为AB，BC的中点，
∴BE=BF，∠BEF=∠BFE= （180°-70°）=55°，
∴∠FPC=55°；
故答案为：55°．
【点睛】此题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、直角三角形斜
边上的中线性质等知识．注意准确作出辅助线是解此题的关键．
16．(本题3分)如图，在 中， ，点 分别在 上，且
，点 分别为 的中点，则 的长为___________．【答案】
【分析】取AB的中点D，连接 ，利用三角形中位线定理证得 为等腰直角三角形，
即可求得答案．
【详解】如图，取 的中点 ，连接 ， ．
∵点 分别为 的中点，
∴ 为 的中位线， 为 的中位线，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理和等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握并灵活运用三
角形中位线定理是解答本题的关键．
三、解答题(共72分)
17．(本题6分)计算： ．
【答案】
【分析】把 变成 ，再进行除法和乘法运算即可．
【详解】解：，
【点睛】此题考查了二次根式的乘除混合运算，灵活变形是解题的关键．
18．(本题8分)请结合以下命题和图形，写出已知，求证，并进行证明
命题：如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．
已知：如图，_______________________________________________________．
求证：___________________________________________________________．
证明：
【答案】见详解
【分析】按命题构造已知条件和需要证明的结论；延长 至E，使得 ，连接 、 ，
证明四边形 是矩形，即可作答．
【详解】已知：如图，在 中， 是 边上的中线，且 ．
求证： 是直角三角形．
证明：延长 至E，使得 ，连接 、 ，如图，
∵ 是 边上的中线，且∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，且 ， 互相平分，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
∴ 是直角三角形．
【点睛】本题主要考查了矩形的判定与性质，掌握矩形的判定与性质是解答本题的关键．
19．(本题6分)先化简后再求值： ，其中
【答案】 ，
【分析】先算出括号里面的式子，再根据分式的除法法则算出最简分式，最后将 的值代入最简
分式计算即可．
【详解】解：
将 代入 中可得
原式
【点睛】本题考查了分式的混合运算，对分式的分母分子因式分解是解题的关键．
20．(本题8分)如图，一根垂直于地面的旗杆高 ，因刮大风旗杆从点 处折断，顶部 着地且
离旗杆底部的距离 ．(1)求旗杆折断处 点距离地面的高度 ；
(2)工人在修复的过程中，发现在折断点 的下方 的点 处，有一明显裂痕，若下次大风将
修复好的旗杆从点 处吹断，旗杆的顶点落在水平地面上的 处，形成一个直角 ，请求出
的长．
【答案】(1) 米
(2) 米
【分析】（1）由题意可知 米，根据勾股定理可得： ，又因为
米，所以可求得 的长，
（3）先求出D点距地 米， 米，再根据勾股定理可以求得
米．
【详解】（1）解：由题意可知： 米，
∵ ，
∴ ，
又∵ 米，
∴ ，
∴ 米；
（2）解：∵D点距地面 米，
∴ 米，
∴ 米．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是
解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图
21．(本题8分)（1）在如图的数轴上作出表示 的点．（不写作法，保留作图痕迹）（2）正方形网格中的每个小正方边长都是1，在图中以 为一边，画一个边长均为无理数的直
角三角形．（说明：直角三角形的顶点均为小正方形的顶点）
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）过4对应的点B作数轴的垂线l，在l上截取 ，则以原点为圆心， 为半径
画弧交数轴的正半轴于点A，则点A为所作．
（2）根据直角三角形的定义画出图形即可（答案不唯一）．
【详解】解：（1）如图：点A表示的数为 ；
（2）如图， 即为所求作（答案不唯一）．
【点睛】本题考查作图 应用与设计作图，实数与数轴，勾股定理，复杂作图是在五种基本作图
的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉
基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
22．(本题8分)如图，四边形ABCD的对角线AC⊥BD于点E．点F为四边形ABCD外一点，且∠FCA＝90°，BC平分∠DBF，∠CBF＝∠DCB．
（1）求证：四边形DBFC是菱形；
（2）若AB＝BC，∠F＝45°，BD＝2，则AC＝ ．
【答案】（1）见解析；（2）2 ．
【分析】（1）证BD//CF，CD//BF，得四边形 是平行四边形，再证出 ，即可得出
结论；
（2）由平行四边形的性质得出 ，再由等腰三角形的性质得出 ，过 作
于 ，则 ，然后证出 是等腰直角三角形，得出 ，则
，即可求解．
【详解】（1）证明： ， ， ．
∴BD//CF，CD//BF，
四边形 是平行四边形；
平分 ，
，
，
，
，
平行四边形 是菱形；
（2）解： 四边形 是平行四边形，
，
， ，
，
过 作 于 ，如图所示：
平分 ，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质、等腰直
角三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质，证明四边形
为菱形是解题的关键．
23．(本题8分)小明在解决问题：已知 ，求 的值．他是这样分析与解的：
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
(1)化简
(2)若 ，
①求 的值；
②直接写出代数式的值 ___________．【答案】(1)5
(2)①5，②0
【分析】（1）原式各项分母有理化，计算即可求出值；
（2）①先把a分母有理化可得到 ，从而得到 ，再把式子进行整理，将
代入计算即可求出值；②将式子整理成 ，再代入 ，即可
求解．
【详解】（1）解：
；
（2）解：①∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
②∵ ，
∴．
故答案为：0
【点睛】本题考查了分母有理化，二次根式的化简求值，正确读懂例题，对二次根式进行化简是
关键．
24．(本题10分)如图1，四边形ABCD是矩形，点O位于对角线BD上，将△ADE，△CBF分别沿
DE、BF翻折，点A，点C都恰好落在点O处．
(1)求证：∠EDO= ∠FBO；
(2)求证：四边形DEBF是菱形；
(3)如图2，若AD=2，点P是线段ED上的动点，求2AP + DP的最小值．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）先证明△DOF≌△BOE得到OE=OF，再证明△EOD≌△FOB即可得到∠EDO=∠FBO；
（2）先证明∠DOF=∠BOE=90°，从而推出E、O、F三点共线，再由OE=OF，OB=OD，EF⊥BD，
即可证明四边形DEBF是菱形；
（3）如图所示，连接OA，先证明△AOB是等边三角形，得到∠ADO=60°，则由折叠的性质可得
，过点P作PH⊥BD于H，得到 ，则 ，要
使2AP+DP最小，即要使AP+PH最小，则当A、P、H三点共线且与BD垂直时AP+PH有最小值，
据此求解即可．
（1）解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠C=90°，AD=BC， ，∴∠ODF=∠OBE，
∠OFD=∠OEB，由折叠的性质可知AD=OD，OB=BC，∠EOD=∠A=90°，∠BOF=∠C=90°，
∴OD=OB，∴△DOF≌△BOE（AAS），∴OE=OF，又∵∠EOD=∠FOB=90°，OD=OB，
∴△EOD≌△FOB（SAS），∴∠EDO=∠FBO；
（2）解：由（1）得△DOF≌△BOE，∴∠DOF=∠BOE，∵∠EOD=∠FOB=90°，∠DOF+∠BOE+∠EOD+∠FOB=360°，∴∠DOF=∠BOE=90°，∴∠DOE+∠DOF=180°，∴E、O、F
三点共线，又∵OE=OF，OB=OD，EF⊥BD，∴四边形DEBF是菱形；
（3）解：如图所示，连接OA，由（1）得OD=AD，OB=BC，BC=AD，∴BD=2AD，∵四边形
ABCD是矩形，O是BD的中点，∴OA=OD， ∴OA=OD=AD，∴△AOB是等边三角形，
∴∠ADO=60°，∴由折叠的性质可得 ，过点P作PH⊥BD于H，∴
，∴ ，要使2AP+DP最小，即要使AP+PH最小，∴当A、P、
H三点共线且与BD垂直时AP+PH有最小值，过点A作AG⊥BD，在Rt△ABD中，BD=2AD=4，
AD=2，∴ ，∴由等面积法可知 ，∴
，∴ ，∴2AP+DP的最小值为 ．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，全等三角形的性质与判定，菱形的判定，等边三角形的性
质与判定，折叠的性质，含30度角的直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等等，正确作
出辅助线是解题的关键．
25．(本题10分)已知如图，边长为2的正方形 中， 是对角线 上的一个动点（与点 、
不重合），过点 作 ， 交射线 于点 ，过点 作 ，垂足为点 .
（1）求证： ：
（2）在点 的运动过程中， 的长度是否发生变化？若不变，试求出这个不变的值，写出解答过程：若变化，试说明理由：
（3）在点 的运动过程中， 能否为等腰三角形？如果能，直接写出此时 的长；如果不能，
试说明理由.
【答案】（1）见解析；（2） 的长度不变，值为 ，见解析；（3）能， 的长为2．
【分析】（1）过点 作 于 ，过点 作 于 ，根据正方形的性质证明
，即可求解；
（2）连接 ，证明 ，得到 ；
（3）根据题意分①若点 在线段 上②若点 在线段 的延长线上，分别求解即可.
【详解】解：（1）证明：过点 作 于 ，过点 作 于 ，如图1．
∵四边形 是正方形， ， ，
∴ ．
∴ ， ．
∵ 即 ，
∴ ．
在 和 中，
．
∴ ，
∴ ．
（2）连接 ，如图2．∵四边形 是正方形，∴ ．
∵ 即 ，
∴ ．
∵ 即 ，
∴ ．
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ．
∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
∴ ．
∵ ，∴ ，
∴ ．
∴点 在运动过程中， 的长度不变，值为 ．
（3） 的长为2．
①若点 在线段 上，如图1．∵ ，∴ ．
∵ ，∴ ．
若 为等腰三角形，则 ．
∴ ，
∴ ，与 矛盾，
∴当点 在线段 上时， 不可能是等腰三角形．
②若点 在线段 的延长线上，如图4．
若 是等腰三角形，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∴ ．
∴ 的长为2．
【点睛】此题主要考查正方形的性质，解题的关键是熟知正方形的性质与全等三角形的判定与性质.
