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第二十二章 二次函数 重难点检测卷
注意事项：
本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共26题。答卷前，考生务必用 0.5毫米黑
色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置
一、选择题（10小题，每小题2分，共20分）
1．（23-24九年级上·江西南昌·阶段练习）下列函数解析式中， 一定是 的二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24九年级上·河南许昌·阶段练习）抛物线 经过原点，那么a的值等于
（ ）
A．0 B．1 C． D．35
3．（2024·广东揭阳·一模）抛物线 是由抛物线 经过某种平移得到，则这个平移可以
表述为（ ）
A．向左平移1个单位 B．向左平移2个单位
C．向右平移1个单位 D．向右平移2个单位
4．（23-24九年级下·全国·课后作业）已知二次函数 的图象如图所示，则不等式
的解集是（ ）
A． 或 B．
C． D． 或
5．（24-25九年级上·全国·假期作业）函数 与 在同一直角坐标系中的大致图象可能是
（ ）A． B． C． D．
6．（2024·山西阳泉·三模）数学来源于生活，伞是生活中常见的一种工具，撑开后如图1所示，由此发现
数学知识——抛物线．如图2，以伞柄所在的直线为 轴，以伞骨 ， 的交点 为坐标原点建立平面
直角坐标系．点 为抛物线的顶点，点 ， 在抛物线上， ， 关于 轴对称．抛物线的表达式为
，若点A到 轴的距离是 ，则 ， 两点之间的距离是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·福建莆田·一模）坐标平面上有两个二次函数的图像，其顶点 、 皆在 轴上，且有一水平
线与两图像相交于 、 、 、 四点，各点位置如图所示，若 ， ， ，则 的长
度是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
8．（2024·四川乐山·中考真题）已知二次函数 ，当 时，函数取得最大值；
当 时，函数取得最小值，则t的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．（2024·湖北十堰·模拟预测）已知，二次函数 （a，b，c为常数， ）的图像经过点 ，其中 ，下列结论：① ；② ；③ 时，y随x的增大而减小；④关于x的方
程 一定有一个小于1的正数根．其中结论正确的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④
10．（2024·四川南充·三模）在平面直角坐标系中有两点 、 ，若二次函数
的图象与线段 只有一个交点，则（ ）
A．a的值可以是 B．a的值可以是
C．a的值不可能是 D．a的值不可能是1
二、填空题（8小题，每小题2分，共16分）
11．（2024·广东东莞·模拟预测）已知抛物线 经过点 和 ，则 （填“>”
“<”或“=”）．
12．（2024·宁夏银川·二模）若二次函数 的图象都在x轴下方，则m的取值范围是
．
13．（23-24九年级下·广东深圳·阶段练习）如图，抛物线 的顶点为 ，与 轴交于点 ，则
直线 的表达式为 ．
14．（2024·江苏扬州·二模）要修一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水
头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为 处达到最高，高度为 ，水柱落地处离池中心
，水管高度应为 ．15．（2024·上海·模拟预测）已知抛物线 的对称轴在y轴右侧，当 时，y随x
增大而增大，若抛物线上的点纵坐标 ，则m的取值范围为
16．（2024·河北秦皇岛·模拟预测）小王和小李先后从 地出发沿同一直道去 地 设小李出发第 时，
小李、小王离 地的距离分别为 、 ， 与 之间的函数表达式是 ， 与 之
间的函数表达式是 ．
（1）小李出发时，小王离 地的距离为 ．
（2）小李出发至小王到达 地这段时间内，当小李出发 时两人相距最近 这个最近距离是
．
17．（2024·上海·模拟预测）若直线 与抛物线 与抛物线 有三
个不同交点，则 的取值范围为 ．
18．（2024·山东德州·二模）二次函数 的图象如图所示，其对称轴 ，且与x轴交于
，点 ，点P为x轴上一动点，则 的最小值为 ．
三、解答题（8小题，共64分）
19．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）已知抛物线 的图象顶点为 ，且过 ，试求a、b．c的值．
20．（24-25九年级上·全国·假期作业）下列函数在同一平面直角坐标系中，画出下列函数的图象：①
；② ；③ ；④ ．根据图象回答下列问题：
(1)这些函数的图象都是轴对称图形吗？如果是，对称轴是什么？
(2)图象有最高点或最低点吗？如果有，最高点或最低点的坐标是什么？
21．（24-25九年级上·全国·假期作业）如图所示，有一抛物线形状的桥洞．桥洞离水面最大距离 为
，跨度 ．
(1)请你建立适当的直角坐标系，并求出在此坐标系下的抛物线的关系式；
(2)一艘小船上平放着一些长 ，宽 且厚度均匀的矩形木板，要使小船能通过此桥洞，则这些木板最高
可堆放多少米？22．（2024·北京延庆·模拟预测）在平面直角坐标系 中，点 ，点 在抛物线
上．设抛物线的对称轴为直线 ．
(1)若 ，求t的值；
(2)点 在该抛物线上，若对于 都有 ，求t的取值范围．
23．（2024·湖南长沙·三模）如图，已知抛物线 经过点 ．
(1)求出此抛物线的解析式；
(2)当 时，直接写出 的取值范围．24．（2024·河南信阳·三模）亮亮同学喜欢课外时间做数学探究活动．他使用内置传感器的“智能小球”
进行掷小球活动，“智能小球”的运动轨迹可看作抛物线的一部分，如图，建立平面直角坐标系，“智能
小球”从出手到着陆的过程中，竖直高度 与水平距离 可以用二次函数 刻画，将
“智能小球”从斜坡 点处抛出，斜坡可以用一次函数 刻画．某次活动时，小球能达到的最高点的
坐标为 ．
(1)请求出 和 的值；
(2)“智能小球”在斜坡上的落点是 ，求点 的坐标；
(3)若“智能小球”在自变量 的值满足 的情况时，与其对应的函数值 的最大值为 ，直接写
出 的值为________．
25．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知抛物线 与 轴相交于点 ，与 轴相交于点
和点 ，直线 ： 经过定点 ．(1)求 和 的值及点 的坐标；
(2)如图 ，当 时，位于直线 上方的抛物线上有一点 ，过点 作 轴交直线 于点 ，求
的最大值；
(3)如图 ，连接并延长 ，将射线 绕点 顺时针旋转 后，与抛物线相交于点 ，求点 的坐标．
26．（2024·四川乐山·中考真题）在平面直角坐标系 中，我们称横坐标、纵坐标都为整数的点为“完
美点”．抛物线 （a为常数且 ）与y轴交于点A．
(1)若 ，求抛物线的顶点坐标；
(2)若线段 （含端点）上的“完美点”个数大于3个且小于6个，求a的取值范围；
(3)若抛物线与直线交于M、N两点，线段与抛物线围成的区域（含边界）内恰有4个“完美点”，求a的
取值范围．
