文档内容
第01讲 四边形及多边形
考点1：多边形的相关概念和性质
考点2：多边形的基本性质
考点3：多边形的内角和
考点4：多边形的外角和
考点5：多边形的对角线条数问题
考点6：正多边形
考点7：平面镶嵌问题
重点：
（1）掌握内角和、外角和、对角线条数公式，能解决边数、角度计算问题。
（2）学会在四边形中添加辅助线，将四边形转化为三角形或平行四边形求解
难点：
（1）多边形对角线的条数问题
（2）多边形内角与外角综合运算
知识点1：多边形的相关概念和性质
1.定义
（1）多边形概念：在平面内，由一些线段首位顺次相接组成的图形叫做多边形。
（2）正多边形概念：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形
2.性质:四边形具有不稳定性
【题型1 四边形的不稳定性】【典例1】下列图形具有稳定性的是（ ）
A．正方形 B．长方形 C．平行四边形 D．三角形
【答案】D
【分析】本题考查了三角形具有稳定性，掌握并理解三角形的特性是解题的关键．另外补充知识：四
边形如正方形、长方形、平行四边形不具有稳定性．根据三角形三边长度固定后，其形状和大小唯一
确定，可得答案．
【详解】∵三角形三边长度固定后，其形状和大小唯一确定，
∴三角形具有稳定性．
∵四边形四边长度固定时，其角度可改变，形状不固定，
∴四边形不具有稳定性．
因此，具有稳定性的是三角形．
故选：D．
【变式1】下列图形中，最具有稳定性质的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查的是三角形的性质，熟记三角形具有稳定性是解题的关键．根据三角形具有稳定性
判断．
【详解】解：A、图形具有稳定性，符合题意；
B、图形不具有稳定性，不符合题意；
C、图形不具有稳定性，不符合题意；
D、图形不具有稳定性，不符合题意；
故选：A．
【变式2】下列图形中不具有稳定性的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了三角形的稳定性，解题的关键是判断图形是否由三角形完全分割（三角形具有稳
定性，未被三角形分割的多边形不具有稳定性）．
【详解】解：A、该图形包含未被三角形完全分割的四边形结构，不具有稳定性，此选项符合题意；B、图形由多个三角形组成，三角形具有稳定性，此选项不符合题意；
C、四边形被对角线分隔为两个三角形，三角形具有稳定性，此选项不符合题意；
D、图形是三角形，三角形具有稳定性，此选项不符合题意．
故选：A．
【变式3】如图所示的是能伸缩的校门，它利用的四边形的性质是 ．
【答案】四边形的不稳定性
【分析】本题考查了四边形的性质，掌握四边形具有不稳定性，三角形具有稳定性是解题的关键．
观察伸缩校门的结构，它由多个四边形组成，能够伸缩变形，结合四边形的特性，判断其利用的性质．
【详解】解：伸缩校门可以通过改变形状实现伸缩，这是因为四边形具有不稳定性，容易发生变形，
因此它利用的四边形的性质是：四边形的不稳定性．
故答案为：四边形的不稳定性．
知识点2：多边形的对角线
n 边形一个顶点的对角线数： n-3；n 边形的对角线总数：
【题型2 多边形对角线的条数问题】
【典例2】如图，1角硬币是1992年6月1日中国人民银行发行的第四套金属流通币之一，该硬币呈圆形，
边缘是正九边形的形状，则从该九边形的一个顶点最多能引出对角线的条数是（ ）A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】A
【分析】本题考查了多边形的对角线，根据从n边形的一个顶点最多能引出(n−3)条对角线求解即可．
【详解】解：从该九边形的一个顶点最多能引出9−3=6条对角线，
故选：A．
【变式1】一个八边形从一个顶点出发，引出对角线的条数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】本题考查多边形的对角线．n（n>3)边形从一个顶点可以做(n−3)条对角线．
将n=8代入n−3计算即得．
【详解】解：从八边形的一个顶点可引出的对角线的条数有8−3=5条．
故选：D．
【变式2】学习了多边形后，我们知道过多边形的一个顶点可作若干条对角线（三角形除外）．如图，过
一个顶点，四边形有1条对角线，五边形有2条对角线，六边形有3条对角线……按照此规律，过十二
边形的一个顶点的对角线条数是（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】A
【分析】本题考查了多边形对角线的条数问题，根据从一个多边形一个顶点出发，可以连的对角的条
数是边数−3，即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：四边形从一个顶点出发，可以画4−3=1条对角线，
五边形从一个顶点出发，可以画5−3=1条对角线，
六边形从一个顶点出发，可以画6−3=1条对角线，
∴十二边形从一个顶点出发，可以画12−3=9条对角线，
故选：A ．
【变式3】七边形一共有（ ）条对角线
A．4 B．5 C．14 D．28
【答案】C
【分析】本题考查了多边形的对角线，解本题的关键在熟练掌握多边形的对角线条数的计算公式．n边n(n−3)
形(n≥3)的对角线条数的计算公式： ．
2
根据多边形对角线条数的计算公式，计算即可．
n(n−3) 7×(7−3)
【详解】解：七边形的对角线共有： = =14（条）．
2 2
故选：C
【题型3 对角线分成的三角形个数问题】
【典例3】从多边形的一个顶点出发向其余的顶点引对角线，将多边形分成8个三角形，则此多边形边数
为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】B
【分析】本题考查多边形的有关知识，n边形从一个顶点引出的对角线把n边形分成(n−2)个三角形，
由此即可得到答案．
【详解】解：设这个多边形的边数是n，
由题意得：n−2=8，
∴n=10，
故选：B．
【变式1】已知一个多边形从一个顶点出发，分别连接这个点和其余各个顶点，得到12个三角形，那么它
是（ ）
A．十边形 B．十一边形 C．十二边形 D．十四边形
【答案】D
【分析】本题主要考查了多边形的性质，解题的关键是熟悉从n边形的一个顶点出发，分别连接这个
点与其余各顶点，形成的三角形个数为(n−2)的规律．根据从一个n边形的某个顶点出发，可以引
(n−3)条对角线，把n边形分为(n−2)个三角形作答．
【详解】解：设多边形有n条边，
则n−2=12，
解得：n=14，
故多边形是十四边形．
故选：D．
【变式2】要使得一个多边形具有稳定性，从多边形一条边上的一点（不是顶点）出发，连接各个顶点转
化得到2023个三角形，则这个多边形的边数为（ ）
A．2021 B．2022 C．2023 D．2024【答案】D
【分析】本题考查多边形分成三角形个数问题．根据题意利用三角形个数与多边形边数的关系即可得
到本题答案．
【详解】解：∵从多边形一条边上的一点（不是顶点）出发，连接各个顶点转化得到2023个三角形，
∴连接各个顶点的三角形个数等于多边形边数减1这个性质，
∴多边形边数为：2023+1=2024，
故选：D．
【变式3】从一个多边形的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，可以把这个多边形分割成
若干个三角形．根据下面的图形反映出来的规律，八边形从一个顶点出发被分割成的三角形的个数为
．
【答案】6
【分析】本题主要考查多边形的性质，由所给图形得到分成的三角形的个数和多边形的边数的关系的
规律即可解答．
【详解】解：由图中可以看出：
四边形被分为4−2=2个三角形，
五边形被分为5−2=3个三角形，
六边形被分为6−2=4个三角形，
那么n边形被分为(n−2)个三角形．
当n=8时，即八边形从一个顶点出发被分割成的三角形的个数为8−2=6，
故答案为：6．
知识点3：多边形的内角和与外角和
（1）n 边形的内角和公式： （n-2）×180°；
（2）正多边形的每个内角
知识点4：多边形的外角和（1）n 边形的外角和： 360°
（2）正多边形每个外角的度数：
【题型4 多边形内角和问题】
【典例4】一个九边形的内角和等于（ ）
A．1800° B．1440° C．1260° D．1080°
【答案】C
【分析】本题考查了多边形的内角和公式，熟练掌握内角和公式是解决问题的关键．
根据多边形的内角和公式：(n−2)·180°(n≥3)且n为整数，进行计算即可．
【详解】解：多边形内角和公式为(n−2)×180°，
九边形的边数n=9，
代入公式得：(9−2)×180°
=7×180°
=1260°．
故选：C．
【变式1】一个正六边形的内角和为（ ）
A．720° B．540° C．360° D．180°
【答案】A
【分析】本题考查了多边形内角和，解题关键是掌握多边形的内角和公式(n−2)×180°，其中n为边
数．利用多边形的内角和公式计算即可．
【详解】解：一个正六边形的内角和为(6−2)×180°=4×180°=720°，
故选：A．
【变式2】一个多边形的内角和为1620°，则这个多边形为（ ）
A．九边形 B．十边形 C．十一边形 D．十二边形
【答案】C
【分析】本题考查了多边形的内角和，解题的关键是掌握多边形内角和公式．根据多边形内角和公式
“(n−2)×180°”进行计算，即可得．
【详解】解：设多边形的边数为n,由题意得，
(n−2)×180°=1620°，∴n−2=9，
解得：n=11，
故选C．
【变式3】一个多边形的内角和比四边形的内角和多540°，它的边数是（ ）
A．8 B．7 C．5 D．6
【答案】B
【分析】本题考查了多边形内角和公式，解决本题的关键是掌握多边形内角和定理．
先求出四边形的内角和，再根据多边形内角和公式即可求出n的值．
【详解】根据多边形内角和公式，建立方程求解．
解：四边形的内角和为(4−2)×180°=360°，
设所求多边形的边数为n，即：(n−2)×180°=360°+540°，
解得n=7，
故选：B．
【题型5 正多边形的内角问题】
【典例5】如图，正五边形的一条边AB在正六边形的一条边AC上，则∠DAE的度数为（ ）
A．12° B．14° C．16° D．18°
【答案】A
【分析】本题考查正多边形的内角问题，根据多边形的内角和公式，求出∠CAE,∠BAD的度数，再
利用角的和差关系进行计算即可．
(6−2)⋅180° (5−2)⋅180°
【详解】解：由题意，∠CAE= =120°，∠BAD= =108°，
6 5
∴∠DAE=∠CAE−∠BAD=12°；
故选A．
【变式1】如图，在正五边形ABCDE中，连接BE，则∠BED的度数为（ ）A．30° B．36° C．54° D．72°
【答案】D
【分析】本题主要考查多边形内角及等腰三角形的性质等知识点，解答本题的关键是求出正五边形的
内角．在等腰三角形ABE中，求出∠A的度数即可解决问题，再求解即可．
1
【详解】解：在正五边形ABCDE中，∠A=∠AED= ×(5−2)×180=108°
5
又知△ABE是等腰三角形，
∴AB=AE，
1
∴∠AEB= (180°−108°)=36°．
2
∴∠BED=∠AED−∠AEB=108°−36°=72°．
故选：D．
【变式2】开远凤凰山钟楼又名凤凰楼，原楼为三层八角塔形，是云南省开远市的地标性建筑物，这座钟
楼采用欧式建筑风格，融合了红酒文化和彝族支系阿细人的火文化，具有独特的设计元素，并有多种
几何图案呈现，正八边形图案就是其中之一，如图所示的正八边形每个内角的度数为（ ）
A．80° B．100° C．120° D．135°
【答案】D
【分析】本题考查了正多边形，熟练掌握正多边形的性质是解题的关键．
根据正八边形的外角和是360°且每个外角都相等，即可求出每个外角的度数，再根据正多边形的每个
内角都相等，每个内角与每个外角都是邻补角即可求出正八边形每个内角的度数．
【详解】解：正八边形的外角和是360°且每个外角、内角都相等，
所以每个外角是360°÷8=45°，所以每个内角是180°−45°=135°，
故选：D．
【变式3】运动会将至，小亮为班级打气助威，制作了如图所示的“助威牌”，其中五边形ABCDE为正
五边形，三角形ABF为正三角形，延长AF交CD于G，则∠CGF=（ ）
A．78° B．84° C．88° D．82°
【答案】B
【分析】本题考查了正多边形的内角问题，根据题意求出该正五边形的每个内角度数为：
(5−2)×180°
=108°，即可求解；
5
【详解】解：∵五边形ABCDE为正五边形，
(5−2)×180°
∴该正五边形的每个内角度数为： =108°；
5
∴∠ABC=∠C=108°；
∵三角形ABF为正三角形，
∴∠AFB=∠ABF=60°；
∴∠GFB=180°−∠AFB=120°,∠CBF=∠ABC−∠ABF=48°；
∴∠CGF=360°−∠GFB−∠C−∠CBF=84°；
故选：B
知识点4：截角问题
n 边形截去一个角后得到 n/n-1/n+1边形
【题型6 多边形截角后的问题】
【典例6】将一块长方形木板锯掉一个角，则锯掉后剩下的多边形木板的内角和为（ ）A．180°或360° B．180°或540°
C．360°或540° D．180°或360°或540°
【答案】D
【分析】本题主要考查了多边形的内角和，理解一个长方形锯掉一个角以后得到的多边形的形状是解
题的关键．
长方形木板锯掉一个角后可能是三角形或四边形或五边形，再根据多边形的内角和定理即可解决．
【详解】解：长方形木板锯掉一个角以后可能是：三角形或四边形或五边形，
则剩下的多边形木板的内角和是180°或360°或(5−2)×180°=540°．
故选：D．
【变式1】把一个多边形剪掉一个角，它的内角和变成了1260°，则这个多边形原来的边数为（ ）
A．9 B．8或9 C．9或10 D．8或9或10
【答案】D
【分析】设这个多边形原来的边数为n，然后根据多边形的内角和公式进行分类讨论即可①当剪掉一
个角后多一个角时，②当剪掉一个角后角的数量不变时，③当剪掉一个角后少一个角时．
【详解】解：设这个多边形原来的边数为n，
①当剪掉一个角后多一个角时，此时有n+1条边，
(n+1−2)×180°=1260°，
解得：n=8，
②当剪掉一个角后角的数量不变时，此时有n条边，
(n−2)×180°=1260°，
解得：n=9，
③当剪掉一个角后少一个角时，此时有n−1条边，
(n−1−2)×180°=1260°，
解得：n=10，
综上：这个多边形原来的边数为8或9或10．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了多边形的内角和，解题的关键是掌握多边形的内角和公式(n−2)×180°，以
及多边形截取一个角可能多一个角，少一个角，角的数量不变 ．
【变式2】一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为720°，那么原多边形的边数为（ ）
A．5 B．5或6 C．6或7 D．5或6或7
【答案】D
【分析】根据内角和为720°可得：多边形的边数为六边形，然后分情况求解即可．【详解】解：如图，
剪切的三种情况：①不经过顶点剪，则比原来边数多1，
②只过一个顶点剪，则和原来边数相等，
③按照顶点连线剪，则比原来的边数少1，
设内角和为720°的多边形的边数是n，
∴(n−2)⋅180°=720°，
解得：n=6．
则原多边形的边数为5或6或7．
故选：D．
【点睛】本题考查了多边形的内角和定理，分三种情况讨论是关键．
【变式3】如果把一个多边形剪去一个内角，剩余部分的内角和为1440°，那么原多边形有 条边．
【答案】11或10或9
【分析】本题考查了多边形的内角和度数，熟记相关结论是解题关键．
【详解】解：以五边形为例，如图所示：
剪去一个内角后，多边形的边数可能加1，可能不变，也可能减1
设新多边形的边数为n，
则(n−2)×180°=1440°，
解得：n=10
∴原多边形可能有11或10或9条边．
故答案为：11或10或9．
【题型7 复杂图形的内角和】
【典例7】如图，顺次连接图中六个点，得到以下图形，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为
（ ）A．180° B．270° C．360° D．720°
【答案】C
【分析】本题考查了复杂图形的内角和，熟练掌握三角形内角和为180°，四边形内角和为360°是解
题的关键．连接AD，记AF与DE交于点G，利用三角形内角和定理推出
∠E+∠F=∠DAG+∠ADG，再将∠GAB+∠B+∠C+∠CDG+∠E+∠F转化为四边形
ABCD的内角和，即可解答．
【详解】解：如图，连接AD，记AF与DE交于点G，
∵∠E+∠F+∠EGF=180° ∠DAG+∠ADG+∠AGD=180°
， ，
∴∠E+∠F+∠EGF=∠DAG+∠ADG+∠AGD，
又∵∠EGF=∠AGD，
∴∠E+∠F=∠DAG+∠ADG，
∴∠GAB+∠B+∠C+∠CDG+∠E+∠F，
=∠GAB+∠B+∠C+∠CDG+∠DAG+∠ADG，
=∠DAB+∠B+∠C+∠CDA，
=360°．
故选：C．
【变式1】如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为 ．【答案】360°/360度
【分析】本题考查了三角形外角的性质、四边形的内角和定理，熟练掌握三角形的一个外角等于与它
不相邻的两个内角的和是解题的关键．根据三角形外角的性质得到
∠C+∠D+∠E=∠C+∠CHG=∠BGF，再根据四边形的内角和定理即可求解．
【详解】解：如图，
∵∠CHG=∠D+∠E，
∴∠C+∠D+∠E=∠C+∠CHG=∠BGF，
∵四边形ABGF的内角和为360°，
∴∠A+∠B+∠BGF+∠F=360°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°．
故答案为：360°．
【变式2】如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝ ．
【答案】540°
【分析】连接ED，由三角形内角和可得∠A+∠B=∠BED+∠ADE，再由五边形的内角和定理得出结论．【详解】连接ED，
∵∠A+∠B=180°-∠AOB，∠BED+∠ADE=180°-∠DOE，∠AOB=∠DOE，
∴∠A+∠B=∠BED+∠ADE，
∵∠CDE+∠DEF+∠C+∠F+∠G=(5-2) ×180°=540°，
即∠CDO+∠ADE+BED+∠BEF+∠C+∠F+∠G=540°，
∴∠A+∠B+∠C+∠CDO+∠BEF+∠F+∠G=540°．
故答案为：540°．
【点睛】本题考查了三角形的内角和公式，以及多边形的内角和公式，熟记多边形的内角和公式为
(n-2)×180°是解答本题的关键．
【变式3】如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I+∠K的度数为 ．
【答案】1080°
【分析】连KF，GI，根据n边形的内角和定理得到7边形ABCDEFK的内角和＝（7－2）×180°＝
900°，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠1＋∠2）＝900°，由三角形内角和定理可得到
∠1＋∠2＝∠3＋∠4，∠5＋∠6＋∠H＝180°，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠3＋
∠4）＋∠5＋∠6＋∠H＝900°＋180°，即可得到∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I
＋∠K的度数．
【详解】解：连KF，GI，如图，∵7边形ABCDEFK的内角和＝（7－2）×180°＝900°，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＝900°－（∠1＋∠2），
即∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠1＋∠2）＝900°，
∵∠1＋∠2＝∠3＋∠4，∠5＋∠6＋∠H＝180°，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠3＋∠4）＝900°，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠3＋∠4）＋∠5＋∠6＋∠H＝900°＋180°，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I＋∠K＝1080°．
故∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I＋∠K的度数为1080°．
故答案为：1080°．
【点睛】本题考查了n边形的内角和定理：n边形的内角和为（n－2）×180°（n≥3的整数）．
【题型8 正多边形的外角问题】
【典例8】如图，硬币边缘镌刻的正九边形的一个外角的度数为 ．
【答案】40°
【分析】本题考查正多边形的外角，掌握正多边形的每个外角都相等，且外角和为360°是解题的关键．
将外角和360°除以角的个数9，即可解答．
【详解】解：360°÷9=40°，
即一个外角的度数为40°．
故答案为：40°．
【变式1】如果一个多边形的每个外角都等于60∘，那么这个多边形的边数是 ．
【答案】
6【分析】本题考查了多边形的外角和，掌握多边形的外角和定理是解题的关键．利用多边形的外角和
定理，外角和为360°，每个外角为60°，计算边数.
【详解】解：多边形的外角和恒为360°，每个外角为60°，
因此边数n=360°÷60°=6．
故答案为：6．
【变式2】一个正多边形的每个内角等于108°，则它的边数是 ．
【答案】5/五
【分析】本题考查正多边形的内角，掌握好正多边形内角和外角的计算公式是解题关键．
由内角为108°，推出其外角为72°，由多边形外角和为360°，计算出边数．
【详解】解：∵正多边形的每个内角等于108°，
∴该正多边形的一个外角为180°−108°=72°，
∵多边形外角和为360°，
360°
∴该正多边形的边数为 =5．
72°
故答案为：5．
【题型9 多边形外角和的实际应用】
【典例9】如图，桐桐从A点出发，前进3m到点B处后向右转20°，再前进3m到点C处后又向右转20°，
…，这样一直走下去，她第一次回到出发点A时，一共走了
【答案】54m
【分析】本题考查多边形的外角和，掌握多边形的外角和定理是解决问题的前提．根据多边形的外角
和及每一个外角的度数，可求出多边形的边数，再根据题意求出多边形的周长即可．
【详解】解：由题意可知，当她第一次回到出发点A时，所走过的图形是一个每条边都相等的多边形，
由于多边形的外角和是360°，且每一个外角为20°，
360°÷20°=18，
所以它是一个十八边形，且每条边都相等，
因此所走的路程为18×3=54(m)，
故答案为：54m．
【变式1】如图，图①是我国古代建筑中的一种窗格，称为“冰裂纹”．图②是从图①冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的五边形，∠1、∠2、∠3、∠4、∠5分别是这个五边形的外角，则
∠1+∠2+∠3+∠4+∠5的度数为 °．
【答案】360
【分析】本题考查的是多边形的外角，掌握多边形的外角和等于360°是解题的关键．根据多边形的外
角和等于360°解答即可．
【详解】解：由多边形的外角和等于360°可知，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°，
故答案为：360．
【变式2】“花影遮墙，峰峦叠窗”，苏州园林空透的窗棂中蕴含着许多的数学元素．图①中的窗棂是冰
裂纹窗棂，图②是这种窗棂中的部分图案．若∠1=110°,∠2=65°,∠3=85°，则∠4=
°
【答案】100
【分析】本题考查了多边形的外角，熟练掌握多边形的外角和是360°是解题的关键．根据多边形的外
角和是360°和已知条件即可求出∠4的度数．
【详解】解：根据多边形的外角和是360°得：
∠4=360°−∠1−∠2−∠3=360°−110°−65°−85°=100°，
故答案为：100°．
【变式3】有一程序，如果机器人在平地上按如图所示的步骤行走，那么机器人回到A点处行走的路程是
米．【答案】48
【分析】本题考查了多边形的内角与外角，判断出走过的路线是正多边形是解题的关键．先判断出机
器人所走过的路线是正多边形，然后用多边形的外角和除以每一个外角的度数求出多边形的边数，再
根据周长公式列式进行计算即可得解．
【详解】解：根据题意得，机器人所走过的路线是正多边形，每一次都是向右转15°，
∴多边形的边数=360°÷15°=24，周长=24×2=48（米）．
故答案为：48．
【题型10 多边形内角和与外角和综合】
【典例10】一个多边形的内角和比它的外角和的4倍少180°，这个多边形的边数是多少？
【答案】该多边形的边数为9
【分析】本题主要考查了多边形内角和定理和外角和的性质；设这个多边形的边数为n，然后根据多
边形内角和定理、外角和的性质以及题意列方程求解即可．
【详解】解：设这个多边形的边数为n，
根据题意得：(n−2)×180°=4×360°−180°
解得n=9．
答：该多边形的边数为9．
【变式1】已知某正多边形的一个内角比与它相邻外角的4倍还多30∘．
(1)求这个正多边形一个内角的度数；
(2)求这个正多边形的内角和．
【答案】(1)150°
(2)1800°
【分析】本题考查了正多边形的内角问题．
（1）设内角度数为x°，根据题意列出方程求解即可；
（2）先求外角，再求边数，最后利用内角和公式计算．【详解】（1）解：设这个正多边形的一个内角的度数为x°，
∵内角与相邻外角之和为180°，
∴相邻外角为(180−x)°，
根据题意，x=4(180−x)+30，
解得：x=150，
∴这个正多边形一个内角的度数为150°；
（2）解：每个外角为180−150=30°，
∵正多边形的外角和为360°，
∴边数n=360÷30=12，
内角和为(12−2)×180=10×180=1800°，
∴这个正多边形的内角和为1800°．
【变式2】已知一个多边形的边数为n．
(1)若n=8，求这个多边形共有多少条对角线．
(2)若这个多边形的内角和等于外角和的4倍，求n的值．
【答案】(1)20
(2)10
【分析】本题考查了多边形内角和与外角和，多边形的对角线，熟练掌握多边形内角和公式
(n−2)×180°以及多边形的外角和为360°是解本题的关键．
n(n−3)
（1）直接根据多边形对角线公式 求解即可；
2
（2）根据多边形的外角和为360°，然后根据多边形内角和列方程求解即可．
8(8−3)
【详解】（1）解：n=8，多边形对角线为 =20
2
（2）解：(n−2)×180°=360°×4
解得n=10．
【变式3】计算：
(1)如图，求出图中x的值．
(2)一个多边形的内角和是它的外角和的3倍，求这个多边形的边数．
【答案】(1)x=100(2)这个多边形的边数是8
【分析】此题主要考查了四边形的内角和定理，多边形的内角和与外角和，理解四边形内角和等于
360°，熟练掌握n多边形的内角和为公式，外角和为360°是解决问题的关键．
（1）根据四边形内角和等于360°列方程并解出即可；
（2）设这个多边形的边数为n，依题意得(n−2)×180°=360°×3，解此方程即可得出答案．
【详解】（1）解：(4−2)×180°=360°，x°+x°+10°+60°+90°=360°，解得x=100．
（2）解：设这个多边形是n边形，
由题意得：(n−2)×180°=360°×3，解得：n=8．
答：这个多边形的边数是8．
知识点6：平面镶嵌
1.定义
用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这种
铺法叫做平面镶嵌（也叫平面密铺）。
2.平面镶嵌的核心条件
拼接在同一个顶点处的几个图形的内角和等于 360∘，且相邻图形的边长相等
3.常见镶嵌类型
(1)单一正多边形的平面镶嵌
只有正三角形、正方形、正六边形三种正多边形可以单独完成镶嵌结论：其他正多边形（如正五边形、正
八边形）无法单独镶嵌。（例：正五边形内角 108∘，360÷108 不是整数，无法凑成 360∘）
(2)多种正多边形的平面镶嵌
两种或两种以上正多边形组合，满足顶点处内角和为 360∘ 且边长相等，即可镶嵌。
【题型11 平面镶嵌】
【典例11】用两种正多边形拼地板，其中的一种是正八边形，则另一种正多边形的边数是（ ）
A．正五边形 B．正六边形 C．正三角形 D．正四边形
【答案】D
【分析】本题考查平面镶嵌条件，解题的关键是用“简化内角公式”速算已知正多边形内角，结合
“顶点总内角360°”和“个数为正整数”，快速锁定另一种正多边形．用简化公式算已知正多边形内角，确定其顶点处可能个数（因内角大，个数仅1或2）；
按“360°减已知内角和”算剩余内角，匹配正多边形内角（需为正多边形内角且个数为正整数）．
(n−2)⋅180° 360° 360°
【详解】解：由简化公式“正n边形内角= =180°− ”，得180°− =135°；
n n 8
因135°×3>360°，故正八边形顶点处仅能放1个或2个．
若放1个：剩余内角和=360°−135°=225°，无正多边形内角能整除225°（排除）；
若放2个：剩余内角和=360°−135°×2=90°，90°是正四边形内角（正四边形内角
360°
=180°− =90°），符合条件．
4
故另一种正多边形是正四边形，选D．
故选：D．
【变式1】如图是用正方形和六边形两种材料铺成的地面的一部分，那么这种六边形材料最大的内角度数
是（ ）
A．90° B．120° C．135° D．150°
【答案】C
【分析】本题考查了密铺，周角，正方形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键，根据题意，六
边形最大的角为∠ABC，其中∠ABC=∠ABD，利用∠ABC+∠ABD+∠DBC=360°，即可得出
答案．
【详解】解：由题意可知，六边形最大的角为∠ABC，其中∠ABC=∠ABD，
∠ABC+∠ABD+∠DBC=360°，∠DBC=90°，如图所示：
那么∠ABC=(360°−90°)÷2=135°．
故选：C．【变式2】下列正多边形的组合中，不能铺满地面的是（ ）
A．正三角形和正六边形 B．正方形和正六边形
C．正三角形和正十二边形 D．正三角形、正方形和正六边形
【答案】B
【分析】本题主要考查了平面镶嵌，几何图形镶嵌成平面的关键是围绕一点拼在一起的多边形的内角
加在一起恰好组成一个周角．
看位于同一顶点处的几个角之和能否为360°．若能，则说明能铺满；反之，则说明不能铺满，据此即
可解答．
【详解】解：A．正三角形和正六边形内角分别为60°,120°，因为2×60°+2×120°=360°，所以能
构成360°的周角，故能铺满，不符合题意；
B．正方形和正六边形内角分别为90°,120°，不能构成360°的周角，故不能铺满，符合题意；
C．正三角形和正十二边形内角分别为60°,150°，因为1×60°+2×150°=360°，所以能构成360°的
周角，故能铺满，不符合题意；
D．正三角形、正方形和正六边形内角分别为60°，90°,120°，因为
1×60°+2×90°+1×120°=360°，所以能构成360°的周角，故能铺满，不符合题意．
故选：B．
【变式3】只用一种正多边形密铺时，如果每个顶点处有6个这种正多边形相拼接，那么这个正多边形是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了平面密铺的知识，解答本题的关键是掌握一种正多边形的镶嵌应符合一个内角度
数能整除360°．几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成
一个周角，由此结合各正多边形的度数可得出答案．
【详解】解：∵这种正多边形的内角是360°÷6=60°，
∴与之对应的外角为：180°−60°=120°，
∴正多边形的边数为：360°÷120°=3，即这种正多边形是正三角形．
故选：A．1．九边形的外角和为（ ）
A．180° B．360° C．540° D．720°
【答案】B
【分析】本题考查多边形的外角和性质，牢记任意多边形的外角和都是360°是解题的关键.
多边形的外角和恒为360°，与边数无关，由此可解.
【详解】解：∵ 任意多边形的外角和都等于360°,
∴ 九边形的外角和为360°.
故选：B．
2．若一个多边形的外角和与内角和相等，则这个多边形的边数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【分析】本题考查了多边形的内角和与外角和问题，由题意可得这个多边形的内角和为360°，
设这个多边形的边数是n，再根据多边形的内角和公式计算即可得解，熟练掌握相关知识点并灵活运
用是解此题的关键．
【详解】解：∵一个多边形的外角和与内角和相等，
∴这个多边形的内角和为360°，
设这个多边形的边数是n，则(n−2)⋅180°=360°，
解得：n=4，
故选：A．
3．若一个多边形为正十边形，则它每个内角的度数为（ ）
A．108° B．144° C．140° D．135°
【答案】B
【分析】本题考查了多边形的内角与外角，主要涉及正多边形的内角与外角的求解，熟记公式是解题
的关键．先求出每一个外角的度数，然后根据每一个外角与内角互为邻补角列式求解．
【详解】解：每一个外角度数为360°÷10=36°，
每个内角度数为180°−36°=144°．
故选：B．
4．如果一个多边形的内角和等于一个三角形的外角和的两倍，那么这个多边形是（ ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形【答案】D
【分析】本题主要考查了多边形的内角和以及外角和，已知多边形的内角和求边数，可以转化为方程
的问题来解决，难度适中．任何多边形的外角和是360°，内角和等于外角和的2倍则内角和是720°．
n边形的内角和是(n−2)·180，如果已知多边形的内角和，就可以得到一个关于边数的方程，解方程
就可以求出多边形的边数．
【详解】解：根据题意得，
(n−2)·180=360×2，
解得n=6，
故选：D．
5．小聪利用最近学习的数学知识，给同伴出了这样一道题：假如从点A出发，沿直线走6米后向左转θ，
接着沿直线前进6米后，再向左转θ……如此下去，当他第一次回到A点时，发现自己走了60米，θ的
度数为（ ）
A．30° B．36° C．60° D．72°
【答案】B
【分析】本题考查了多边形的外角和，解决本题的关键是明确第一次回到出发点A时，所经过的路线
正好构成一个正多边形．
第一次回到出发点A时，所经过的路成一个正多边形，用60÷6=10，求得边数，再根据多边形的外
角和为360°，即可求解．
【详解】解：∵第一次回到出发点A时，所经过的路线正好构成一个正多边形，
∴正多边形的边数为：60÷6=10，
根据多边形的外角和为360°，
∴他每次转动θ的角度为：360°÷10=36°，
故选：B．
6．如图，五边形ABCDE中，AB∥CD，∠1、∠2、∠3分别是∠BAE、 ∠AED、 ∠EDC的外角，
则∠1+∠2+∠3= ．【答案】180°
【分析】本题考查了平行线的性质，多边形的外角和定理，根据两直线平行，同旁内角互补得到以点
B、点C为顶点的五边形的两个外角的度数之和等于180°，再根据多边形的外角和定理列式计算即可
得解．
【详解】解：延长AB，DC，如图：
，
∵AB∥CD，
∴∠4+∠5=180°，
根据多边形的外角和定理可得∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°，
∴∠1+∠2+∠3=360°−180°=180°．
故答案为：180°．
7．如图，直线l 、l 分别经过正六边形ABCDEF的顶点A、B，且l ∥l ，若∠1=95°，则∠2= ．
1 2 1 2
【答案】35°/35度
【分析】本题考查正多边形内角和问题，平行线的性质，先根据正六边形内角和公式求出单个内角的
度数，再根据平行线的性质求解．
【详解】解：如下图，正六边形的内角和为：180°×(6−2)=720° ，
720°
∴正六边形的每个内角= =120°，即∠BAF=∠ABC=120°，
6
∵∠1=95°，
∴∠ABM=120°−95°=25°，
∵l ∥l ，
1 2
∴∠BAN=180°−∠ABM=180°−25°=155°，
∴∠2=∠BAN−∠BAF=155°−120°=35°，
故答案为：35°．
8．苯(分子式为C H )的环状结构是由德国化学家凯库勒提出的．随着研究的不断深入，发现如图1的一
6 6
个苯分子中的6个碳原子形成了正六边形的结构，其示意图如图2，点O为正六边形ABCDEF对角线
AD的中点，连接OC．若OC=1，则CD的长是 ．
【答案】1
【分析】此题重点考查正多边形的性质、等边三角形的判定与性质等知识，推导出OD=OC，且
∠ODC=60°是解题的关键．
由点O为正六边形ABCDEF的对角线AD的中点，可得OD=OC， ∠CDE=120°，且AD平分
∠CDE，从而得到△DOC是等边三角形，即可得到问题的答案．
【详解】解：∵多边形ABCDEF是正六边形，
6−2
∴∠CDE= ×180°=120°，
6
∵点O为正六边形ABCDEF对角线AD的中点，1
∴OD=OC= AD，且AD平分∠CDE，
2
1
∴∠ODC= ∠CDE=60°，
2
∴△DOC是等边三角形，
∴CD=OC=1，
故答案为：1．
9．如图，ABCDE是正五边形，延长AB、DC交于点F，则∠F= °．
【答案】36
【分析】本题考查了多边形的外角和定理、三角形的内角和定理，掌握多边形的外角和为360°，三角
形的内角和为180°是解题的关键．由题意得，∠FBC、∠FCB为正五边形ABCDE的外角，利用多
边形的外角和定理得到∠FBC=∠FCB=72°，再利用三角形内角和定理即可解．
【详解】解：由题意得，∠FBC、∠FCB为正五边形ABCDE的外角，
∵正五边形的外角和为360°，
∴∠FBC=∠FCB=360°÷5=72°，
∴∠F=180°−∠FBC−∠FCB=36°．
故答案为：36．
10．某加工零件标出部分数据（如图），∠A、∠B、∠BCD所标数据正确，若∠D改为正确的，则需将
图中∠D所标数据 （填“增大”或“减小”） °．【答案】 增大 5
【分析】本题考查了多边形的内角和定理，掌握多边形内角和定理的计算即可求解．
根据∠A、∠B、∠BCD所标数据正确，结合多边形内角和定理可得∠D=25°，由此即可求解．
【详解】解：如图所示零件是四边形，
∴内角和为180°×(4−2)=360°，
∴∠D=360°−90°−40°−(360°−155°)=25°，
∴图中∠D所标数据增大5°，
故答案为：增大，5 ．
11．如图所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G= °．
【答案】540
【分析】本题考查了多边形内角和公式，三角形外角的定义与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关
键．如图（见解析），根据三角形外角的性质可得知，∠1=∠2+∠A，∠2=∠D+∠G，然后根据
五边形的内角和公式可得∠B+∠C+∠E+∠F+∠1=540°，代入即可得到答案．
【详解】解：如图，
∵∠1=∠2+∠A，∠2=∠D+∠G，
∴∠1=∠A+∠D+∠G，
又∵∠B+∠C+∠E+∠F+∠1=(5−2)×180°=540°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=540°，
故答案为：540．
12．已知某正多边形一个内角比相邻的外角大120∘
(1)求这个正多边形每个外角的度数．(2)求这个正多边形的边数．
【答案】(1)这个正多边形的外角是30°
(2)12
【分析】本题考查了正多边形，掌握正多边形的性质和一元一次方程应用题的解法是解决本题的关键．
（1）根据多边形外角与内角是平角，列出方程，求解即可；
（2）利用正多边形的性质和外角和求解即可．
【详解】（1）解：设这个正多边形的内角为x°，
由题意，得x−(180−x)=120，
解得x=150．
∴180°−150°=30°．
答：这个正多边形的外角是30°．
（2）解：因为多边形的外角和是360°，
所以360°÷30°=12．
答：这个正多边形是十二边形．
13．探究与归纳：
(1)如图①，经过点A可以作1条对角线；经过点B可以作 条对角线；经过点C可以作 条
对角线；经过点D可以作 条对角线．通过以上分析和总结，图①共有 条对角线．
(2)运用（1）的分析方法，可得图②共有 条对角线，图③共有 条对角线．
(3)对于n边形（n>3），共有 （用含n的式子表示）条对角线．
(4)对于n边形，从同一顶点出发的对角线把该多边形共分割成 （用含n的式子表示）个三角形．
【答案】(1) 1 1 1 2
(2) 5 9
n(n−3)
(3)
2
(4)n−2
n(n−3)
【分析】本题考查了多边形的对角线，发现多边形对角线公式 是解题关键．
2（1）（2）根据对角线的定义，可得答案；
（3）根据探索，可发现规律；
（4）根据探索，可发现规律从而得到答案．
n(n−3) 4×1
【详解】（1）解：根据公式 当 n=4 时为 =2
2 2
通过以上分析和总结，图①共有2条对角线．
（2）解：运用（1）的分析方法，通过画图，可得图②共有5条对角线，图③共有9条对角线．
（3）解：对于n边形（n>3），从n边形的一个顶点出发，可以作(n−3)条对角线，因为有n个顶点，
n(n−3)
且每条对角线重复计算了一次，所以共有 条对角线．
2
（4）解：如图，四边形经过一个顶点可以作1条对角线，它把四边形分为2个三角形；
五边形过一个顶点作2条对角线，把这个多边形分为3个三角形；
六边形过一个顶点作3条对角线，把这个多边形分为4个三角形；
所以对于n边形，从同一顶点出发的对角线把该多边形共分割成(n−2)个三角形．
