文档内容
第03讲 矩形的性质和判定
考点1：矩形的定义
考点2：矩形的性质
考点3：矩形的判定
考点4：直角三角形斜边上的中线
重点：
（1）矩形性质的应用
（2）矩形的判定
（3）斜边的中线等于斜边的一半的运用
难点：
（1）矩形性质与判定的综合证明
（2）动态几何中的平行四边形存在性问题
（3）想不到 “延长中线构造矩形” 的辅助线，不理解直角三角形→矩形的转化思想
知识点1：矩形的性质
※矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形。矩形是特殊的平行四边形。
※矩形的性质：（1）具有平行四边形的性质
（2）对角线相等
（3）四个角都是直角。
注意：（矩形是轴对称图形，有两条对称轴）
【题型1 利用矩形的性质求角度】【典例1】如图，在矩形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，如果∠ADB=28°，那么∠AOB的度
数为（ ）
A．52° B．54° C．56° D．58°
【答案】C
【分析】本题考查矩形的性质．熟记相关结论即可．根据矩形的性质可得出∠DAB=90°，
AO=OC=OD=OB，再根据直角三角形两锐角互余可得出∠OBA，再根据等边对等角得出
∠OAB=∠OBA=62°，最后由三角形内角和定理即可得出答案．
【详解】解： 四边形ABCD是矩形，
∠DAB=90∵°，AO=OC=OD=OB，
∴∠ADB=28°，
∵∠OBA=90°−28°=62°，
∴OA=OB，
∵∠OAB=∠OBA=62°，
∴∠AOB=180°−62°−62°=56°，
∴故选：C.
【变式1】如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若∠ACB=18°，则∠AOB的度数是
（ ）
A．72° B．54° C．36° D．32°
【答案】C
【分析】本题考查矩形的性质，等边对等角，三角形外角的性质．
由矩形的性质，结合等边对等角，可得∠OCB=∠OBC，由三角形外角的性质，可得
∠AOB=2∠OCB，即可得∠AOB的度数．
【详解】解：∵在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，1 1
∴AC=BD，OA=OC= AC，BO=DO= BD，
2 2
∴OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC，
∴∠AOB=2∠OCB，
∵∠ACB=18°，
∴∠AOB=18°×2=36°．
故选：C．
【变式2】如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E．若
∠ODA=30°，则∠EAO的度数为（ ）
A．45° B．30° C．20° D．15°
【答案】D
【分析】本题主要考查矩形的性质、角平分线的定义及等腰三角形的性质，熟练掌握矩形的性质、角
平分线的定义及等腰三角形的性质是解题的关键；由题意易得∠BAD=90°,OA=OD，则有
1
∠BAE= ∠BAD=45°,∠OAD=∠ODA=30°，然后根据角的和差关系可进行求解．
2
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°,OA=OD，
∵∠ODA=30°，AE平分∠BAD，
1
∴∠BAE= ∠BAD=45°,∠OAD=∠ODA=30°，
2
∴∠BAO=∠BAD−∠OAD=60°，
∴∠EAO=∠BAO−∠BAE=15°；
故选D．
【变式3】如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作BD的垂线，垂足为E，已知
∠EAD=2∠BAE，则∠EAO=（ ）A．30° B．45° C．60° D．35°
【答案】A
【分析】本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质．先求解
1 1
∠BAE= ∠BAD= ×90°=30°，证明△ABO是等边三角形，进一步求解即可．
3 3
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，
∵∠EAD=2∠BAE，∠BAE+∠DAE=90°，
1 1
∴∠BAE= ∠BAD= ×90°=30°，
3 3
∵AE⊥BD，
∴∠AEB=90°，
∴∠ABO=90°−∠BAE=60°，
∵四边形ABCD是矩形，
1 1
∴OA= AC，OB= BD，BD=AC，
2 2
∴OA=OB，
∴△ABO是等边三角形，
∴∠BAO=∠AOB=60°，
∴∠EAO=∠BAO−∠BAE=60°−30°=30°．
故选：A．
【题型2 根据矩形的性质求线段长】
【典例2】如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若∠AOB=60°，BD=8，则DC长为
（ ）A．4❑√3 B．4 C．3 D．5
【答案】B
【分析】本题考查矩形的性质，等边三角形的性质和判定；矩形的对角线相等且互相平分，可得
AO=BO=4，∠AOB=60°，所以△AOB为等边三角形，得到AB=BO=4，最后由矩形的对边相等
可得DC的长.
【详解】解：∵矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，BD=8，
1
∴AO=BO= BD=4，
2
∵∠AOB=60°，
∴△AOB为等边三角形，
∴AB=BO=4，
∵AB=CD，
∴CD=4.
故选：B.
【变式1】在平面直角坐标系中，矩形OBAC的位置如图，点A的坐标是(−2,4)，则矩形对角线BC的长是
（ ）
A．3 B．2❑√2 C．4 D．2❑√5
【答案】D
【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键；先计算公式求出OA
的长，然后根据矩形的性质对角线相等，即可求解．
【详解】解：连接OA，BC，如图：
，∵顶点A的坐标为(−2,4)，
∴OA=❑√(−2−0) 2+(4−0) 2=2❑√5，
∵四边形OBAC是矩形，
∴BC=OA=2❑√5．
故选：D
【变式2】如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，，对角线AC与BD交于点O，则△AOB的周长为
（ ）．
A．14 B．15 C．16 D．17
【答案】C
【分析】本题考查了矩形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的性质是关键．
根据勾股定理求出AC=BD=10，即可得到OA=OB=5，即可得出结果．
【详解】解：∵矩形ABCD中，AB=6，BC=8，
∴AC=BD=❑√AB2+BC2=❑√62+82=10
∴OA=OB=5，
∴△AOB的周长=6+5+5=16，
故答案为：16．
【变式3】如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，CE⊥BD，垂足为点E，CE=4，
AC=10，则ED的长为（ ）
A．❑√5 B．3 C．2 D．4
【答案】C
【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理，由矩形的性质可1 1
得BD=AC=10，AO=CO= AC=5，DO= BD=5，由勾股定理可求解．
2 2
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
1 1
∴BD=AC=10，AO=CO= AC=5，DO= BD=5，
2 2
∴OE=❑√CO2−CE2=❑√52−42=3，
∴ED=OD−OE=5−3=2．
故选：C．
【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，灵活运用矩形的性质是本题的关键．
【题型3 根据矩形的性质求面积】
【典例3】如图，长方形ABCD的面积为60cm2，那么三角形ABE的面积是（ ）cm2．
A．18 B．20 C．30 D．36
【答案】A
【分析】本题考查矩形的性质及三角形面积，熟练掌握矩形的性质是解题关键．连接AC，根据矩形
1 BE 3
的性质得出S = S =30cm2 ，由图可知 = ，利用三角形面积公式即可得答案．
△ABC 2 长方形ABCD BC 5
【详解】解：如图，连接AC，
∵长方形ABCD的面积为60cm2，
1
∴S = S =30cm2 ，
△ABC 2 长方形ABCD
BE 3
由图可知 = ，
BC 51
BE·AB
S 2 BE 3 S 3
∴ △ABE = = = ，即 △ABE= ，
S 1 BC 5 30 5
△ABC BC·AB
2
解得：S =18．
△ABE
故选：A．
【变式1】如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线EF分别交AB，CD于点
E，F，若矩形面积为12，则阴影部分的面积为（ ）
A．3 B．6 C．4 D．8
【答案】A
【分析】本题考查全等三角形的性质与判定、矩形的性质，熟练掌握全等三角形的判定、矩形对角线
的性质是解题的关键．
1
根据AC，BD是矩形ABCD的对角线，则将矩形分成四个面积相等的三角形，则S = S =3，
△CDO 4 ABCD
根据矩形对角线互相平分的性质证得△DFO≌△BEO，进而求得阴影部分的面积等于S 即可．
△CDO
【详解】解：在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，
∴DF∥AB、OD=OB，
∴∠FDO=∠EBO，
在△DFO和△BEO中，
{∠FDO=∠EBO
)
DO=BO ，
∠DOF=∠BOE
∴△DFO≌△BEO(ASA)，
∵AC，BD是矩形ABCD的对角线，
∴S =S =S =S ，
△ABO △BCO △CDO △DAO
1
∴阴影部分面积为：S +S =S +S =S = S =3．
△CFO △BEO △CFO △DFO △CDO 4 ABCD
故选：A．
【变式2】如图内，P点是长方形内任意的一点．阴影部分的总面积与空白部分的总面积比较（ ）A．阴影部分的面积大 B．空白部分的面积
C．一样大 D．无法确定
【答案】C
【分析】本题考查了矩形，三角形面积．熟练掌握矩形性质，三角形面积公式，是解题的关键．
为了便于表示添加了两条线段和四个点（如图），要比较阴影部分的总面积与空白部分总面积，需要
利用三角形的面积公式空白部分总面积＝三角形APD的面积+三角形BCP的面积，阴影部分的总面积
＝三角形APB的面积+三角形DCP的面积，然后进行比较．
【详解】解：根据题意和三角形的面积公式得：
空白部分的总面积＝三角形APD的面积+三角形BCP的面积
=AD×PE÷2+BC×PF÷2
=AD×（PE+PF）÷2
=AD×EF÷2；
阴影部分的总面积＝三角形APB的面积+三角形DCP的面积
=AB×PG÷2+CD×PH÷2
=AB×（PG+PH）÷2
=AB×GH÷2；
由题意和图可知：AB=EF，AD=GH，
所以阴影部分的总面积＝空白部分的总面积；
故选：C．
【变式3】如图所示，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，AD=8，AB=6，将△ABO向右平移得到
△DCE，则△ABO向右平移过程中扫过的面积是 ．【答案】48
【分析】首先根据平移的性质得出S =S ，进而可知△ABO平移过程扫过的面积是矩形
△ABO △DEC
ABCD的面积，即可得出答案．
【详解】∵ △ABO向右平移得到△DCE，
∴ S =S
△ABO △DEC
∴ △ABO平移过程扫过的面积是矩形ABCD的面积，
∵AD=8，AB=6
∴矩形ABCD的面积为48
∴ △ABO向右平移过程中扫过的面积是48
故答案为：48．
【点睛】本题考查了矩形的性质及平移的性质，解题的关键是知道△ABO平移过程扫过的面积是矩形
ABCD的面积．
【题型4 矩形与折叠问题】
【典例4】如图，在矩形ABCD中，AB=5cm，在DC上存在一点E，将△AED沿直线AE折叠，使点D
落在BC边上的点F处，若CF=1cm，则AD的长为 cm．
【答案】13
【分析】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题关键．
根据折叠的性质得到AF=AD，在Rt△ABF中根据勾股定理建立关系，求出AD的长．
【详解】解：由于△AED沿直线AE折叠，
∴△ADE≌△AFE，
∴AF=AD，
∵ ABCD是矩形，
∴BF=BC−CF=AD−1，
在Rt△ABF中，根据勾股定理有AB2+BF2=AF2，
即52+(AD−1) 2=AD2，
25+AD2−2AD+1=AD2，
解得AD=13．故答案为：13．
【变式1】如图，将长方形ABCD沿DE折叠，使点A落在BC上的点F处，若∠EFB=60°，则∠AED=
．
【答案】75°/75度
【分析】本题考查了轴对称、矩形的性质，解题的关键是熟练掌握轴对称、矩形的性质．
根据轴对称和矩形性质，得∠EFD=∠A=90°，结合∠EFB=60°，经计算即可得到答案．
【详解】由题意可知△ADE和△FDE关于直线DE对称，
∴∠AED=∠FED．
∵∠EFB=60°，∠B=90°，
∴∠BEF=90°−60°=30°，
180°−30°
∴∠AED=∠FED= =75°．
2
故答案为：75°．
【变式2】如图，矩形纸片ABCD，AD∥BC，将长方形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点C′
处，折痕为EF， 若AB=6，AD=8， AE的长是 ．
7
【答案】
4
【分析】此题考查了折叠的性质，勾股定理，矩形的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．根据折
叠的性质得到DE=BE，则DE=BE=AD−AE=8−AE，在Rt△AEB中，利用勾股定理列方程求
解即可．
【详解】解：根据折叠的性质得到，DE=BE，
∵AD=8，∴DE=BE=AD−AE=8−AE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，
∴AB2+AE2=BE2，
∵AB=6，
∴62+AE2=(8−AE) 2，
7
∴AE= ．
4
7
故答案为： ．
4
【变式3】如图，在矩形ABCD中，AB=10，AD=6，点E是线段BC上一点，将矩形ABCD沿AE翻折，
点B恰好落在DC边上的点F处，则线段FC的长为 ．
【答案】2
【分析】本题主要考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，勾股定理，由轴对称的性质可得：
△FEA≌△BEA，则AF=AB=10，在Rt△ADF中，由勾股定理可得DF=8，则CF=2，由翻折得
出对应对应的线段相等是解题的关键．
【详解】解：由翻折，△FEA≌△BEA，
则AF=AB=10．
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC=AD=6，CD=AB=10，∠C=∠B=90°．
在Rt△ADF中，
DF=❑√AF2−AD2=❑√102−62=8，
∴CF=CD−DF=10−8=2．
故答案为：2．知识点2：直角三角形斜边上的中线
直角三角形斜边上的中线 等于斜边的一半
如图：在Rt△ABC中，D为AB中点，CD= .
【题型5 斜边的中线等于斜边的一半】
【典例5】如图，公路AC、BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AC的长为1km，
BC的长为2.4km，则点M，C之间的距离是 km．
【答案】1.3
【分析】本题考查的是直角三角形斜边上的中线及勾股定理，先根据勾股定理求出AB的长，再由直
角三角形的性质即可得出结论．
【详解】解：∵公路AC与BC互相垂直，AC的长为1km，BC的长为2.4km，
∴AB=❑√AC2+BC2=❑√12+2.42=2.6(km)，
∵点M是线段AB的中点，
1
∴CM= AB=1.3(km)．
2
故答案为：1.3．
【变式1】小红将一个直角三角板ABC放在一个直尺上，如图所示，点A、B所对应的数字分别为1和9，
D为AB上一点，它对应的数字为5，则CD的长为 ．
【答案】4
【分析】本题考查斜边上的中线，根据点在数轴上的位置，得到点D为AB的中点，再根据斜边上的中线，求出CD的长即可．
【详解】解：由题意，AD=5−1=4,BD=9−5=4,AB=9−1=8，∠ACB=90°，
∴AD=BD，
∴点D为AB的中点，
1
∴CD= AB=4；
2
故答案为：4．
【变式2】如图，在等腰△ABC中，∠BAD=∠CAD，E是AC的中点．若AB=5，则DE的长为
．
5
【答案】
2
【分析】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线性质，等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的
性质，是解题的关键．先根据等腰三角形的性质，求出AD⊥BC，然后根据直角三角形斜边上的中
线等于斜边的一半，求解即可．
【详解】解：∵在等腰△ABC中，∠BAD=∠CAD，
∴AD⊥BC，AC=AB=5，
∴∠ADC=90°，
∵E是AC的中点，
1 5
∴DE= AC= ．
2 2
5
故答案为： ．
2
【变式3】如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，BE是AC边上的中线，DF⊥BE于F，BF=FE
，若BD=5，CD=8，则AD= ．【答案】6
【分析】本题考查直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理．连接DE，先根据线段垂
直平分线的性质得到DE的长，再判定DE是Rt△ACD斜边AC边上的中线，得到AC的长，最后根据
勾股定理即可求出AD．
【详解】解：如图，连接DE，
∵DF⊥BE，BF=FE，
∴ED=BD=5．
∵AD是BC边上的高线，
∴△ACD是直角三角形，且∠ADC=90°．
∵BE是AC边上的中线，
∴DE是Rt△ACD斜边AC边上的中线，
1
∴DE= AC=5，
2
∴AC=10．
∴AD=❑√AC2−CD2=6．
故答案为：6．
知识点3：矩形的判定
※矩形的判定：（1）有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义)。
（2）对角线相等的平行四边形是矩形。
（3）四个角都相等的四边形是矩形。
【题型6 添一条件使四边形是矩形】【典例6】如图，要使平行四边形ABCD成为矩形，需添加的条件是（ ）
A．AB=BC B．AC⊥BD C．OA=OB D．∠1=∠2
【答案】C
【分析】本题考查矩形的判定定理，需根据所给选项逐一分析是否能使平行四边形成为矩形．
【详解】解：选项A：当AB=BC时，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，可知平行四边形
ABCD是菱形，不是矩形，所以该选项错误．
选项B：当AC⊥BD时，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可知平行四边形ABCD是菱形，
不是矩形，所以该选项错误．
选项C：根据矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形，由OA=OB可得AC=BD，平行四
边形ABCD是矩形，所以该选项正确．
选项D：因为四边形ABCD是平行四边形，所以BC∥AD，根据平行线的性质可得∠ADB=∠2，又
因为∠1=∠2，所以∠1=∠ADB，再根据等角对等边可知AB=AD，根据菱形的判定定理，一组邻
边相等的平行四边形是菱形，所以平行四边形ABCD是菱形，所以该选项错误．
故选：C．
【变式1】如图，已知四边形ABCD是平行四边形，添加下列条件，能判定平行四边形ABCD是矩形的是
（ ）
A．∠A+∠B=180° B．∠B+∠C=180°
C．∠A=∠B D．∠B=∠D
【答案】C
【分析】本题考查了平行四边形的性质和矩形的判定知识点，解题关键是熟练掌握矩形的判定定理，
并结合平行四边形的基本性质对每个选项进行逻辑推导．
需要结合平行四边形的性质，对每个选项进行分析，判断能否推出平行四边形ABCD是矩形．
【详解】解：A、在平行四边形ABCD中，AD∥BC，根据平行线性质，∠A+∠B=180°是恒成立
的，这只是平行四边形的基本性质，不能判定它是矩形，不符合题意；B、在平行四边形ABCD中，AB∥DC，根据平行线性质，∠B+∠C=180°也是恒成立的，不能判
定它是矩形，不符合题意；
C、在平行四边形ABCD中，AD∥BC，∴∠A+∠B=180°．若∠A=∠B，则可推出
∠A=∠B=90°．根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”，可判定平行四边形ABCD是矩形，
符合题意；
D、在平行四边形ABCD中，本身就有对角相等的性质，即∠B=∠D，这不能判定它是矩形，不符
合题意．
故选：C．
【变式2】如图，建筑公司验收门框时要求是矩形.在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，下列验证方法
不正确的是（ ）
A．AC=BD B．AB⊥BC C．OB=OD D．OA=OD
【答案】C
【分析】本题考查了矩形的判定以及平行四边形的性质，由矩形的判定方法分别对各个选项进行判断
即可，熟练掌握矩形的判定方法是解题的关键．
【详解】A、∵AC=BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，故选项A不符合题意；
B、∵AB⊥BC，
∴∠ABC=90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，故选项B不符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，不能判定平行四边形ABCD是矩形，故选项C符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，
1 1
∴OA=OC= AC，OB=OD= BD
2 2
∵OA=OD，
∴AC=BD∴平行四边形ABCD是矩形，故选项D不符合题意；
故选：C．
【变式3】如图，已知在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，且OA=OC，OB=OD，要使四
边形ABCD是矩形，可添加一个条件是 ．
【答案】AC=BD不唯一
【分析】根据对角线互相平分且相等的四边形是矩形，添加条件即可．本题考查了矩形的判定，熟练
掌握判定定理是解题的关键．
【详解】∵OA=OC，OB=OD，AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形，
故答案为：AC=BD．
【题型7 矩形的判定】
【典例7】点O是菱形ABCD的对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连接OE．求证：四边形OCED
是矩形．
【答案】见解析
【分析】本题考查了菱形的性质与矩形的判定，解题的关键是先证四边形OCED是平行四边形，再利
用菱形对角线垂直的性质证其为矩形．
由DE∥AC、CE∥BD证四边形OCED是平行四边形；结合菱形对角线互相垂直得∠DOC=90°，
进而证平行四边形OCED是矩形．
【详解】证明：∵ DE∥AC，CE∥BD，
∴ 四边形OCED是平行四边形．
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AC⊥BD，即∠DOC=90°∴平行四边形OCED是矩形．
【变式1】如图，在平行四边形ABCD中，点E是AD的中点，且BE=CE，求证：四边形ABCD是矩形．
【答案】见解析
【分析】本题考查了矩形的判定，平行四边形性质，全等三角形性质和判定，解题的关键在于熟练掌
握相关知识．
根据平行四边形性质，证明△ABE≌△DCE，结合全等三角形性质推出∠A=∠D=90°，即可证明
四边形ABCD是矩形．
【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB=CD,AB∥CD，
∴∠A+∠D=180°，
∵点E是AD的中点，
∴AE=DE，
∵ BE=CE，
∴△ABE≌△DCE(SSS)，
∴∠A=∠D，
∴∠A=∠D=90°，
∴四边形ABCD是矩形．
【变式2】如图，△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，点O是AC中点，延长DO到E，使
OE=OD，连接AE，CE．求证：四边形ADCE是矩形．
【答案】证明见解析
【分析】本题考查了平行四边形的判定，等腰三角形的性质，矩形的判定，先证明四边形ADCE为平
行四边形，再根据等腰三角形的性质证明∠ADC=90°，进而即可得到答案，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】证明：∵点O是AC中点，
∴AO=CO，
又∵OE=OD，
∴四边形ADCE为平行四边形，
∵AB=AC，AD为中线，
∴AD⊥DC，
∴∠ADC=90°，
∴四边形ADCE为矩形．
【变式3】如图，在△ABC中，AC=BC，点D、E分别是边AB、AC的中点，延长DE到F，使得
EF=DE．求证：四边形ADCF是矩形．
【答案】见解析
【分析】此题考查了矩形的判定、平行四边形的判定、等腰三角形的性质等知识．先利用对角线互相
平分的四边形是平行四边形证明四边形ADCF是平行四边形，再利用三线合一证明CD⊥AB，即可
证明四边形ADCF是矩形．
【详解】证明：∵E是AC中点，
∴AE=EC，
又∵DE=EF，
∴四边形ADCF是平行四边形；
∵AC=BC，D是AB中点，
∴CD⊥AB，
∴∠ADC=90°，
∴四边形ADCF是矩形．
【题型8 矩形的性质与判定综合】
【典例8】如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△COD是等边三角形．(1)试判断四边形ABCD的形状，并说明理由；
(2)如果AB=2，求平行四边形ABCD的面积．
【答案】(1)四边形ABCD是矩形，理由见解析
(2)4❑√3
【分析】本题主要考查了矩形的判定、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关知
识是解题关键．
（1）根据平行四边形的性质以及等边三角形的性质，证明AC=BD，然后根据“对角线相等的平行
四边形是矩形”，即可证明结论；
（2）根据勾股定理解得AD的长度，然后根据矩形的面积公式求解即可．
【详解】（1）解：四边形ABCD是矩形，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD,AO=CO,BO=DO，
∵△COD是等边三角形，
∴CO=DO=CD，
∴AO=CO=CD=BO=DO=AB，
∵AC=AO+CO,BD=BO+DO，
∴AC=BD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形．
（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，
∵BD=BO+DO=2AB=2×2=4，
在Rt△ABD中，AB2+AD2=BD2，
∴AD2=BD2−AB2 =42−22=16−4=12，
∴AD=❑√12=2❑√3，
∴S =AB×AD=2×2❑√3=4❑√3，
平行四边形ABCD
答：平行四边形ABCD的面积是4❑√3．【变式1】如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ABC=90°．
(1)求证：AC=BD；
(2)点E在BC边上，满足∠CEO=∠COE．若AB=6，BC=8，求BE的长．
【答案】(1)见解析
(2)BE=3
【分析】（1）证明四边形ABCD是矩形，则AC=BD；
1
（2）根据勾股定理求得AC=10，得到OC=OA= AC=5，根据等腰三角形的判定定理即可得到
2
CE=OC=5，进而可得BE的长．
本题重点考查平行四边形的性质，矩形的判定和性质、勾股定理和等腰三角形的性质与判定，熟知矩
形的性质与判定定理是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD．
（2）解：∵∠ABC=90°，AB=6，BC=8，
∴AC=❑√AB2+BC2=❑√62+82=10，
1
∴OC=OA= AC=5，
2
∵∠CEO=∠COE，
∴CE=OC=5，
∴BE=BC−CE=3．
【变式2】如图所示，在△ABC中，AB=AC，AD是中线，AN是△ABC的外角∠CAM的平分线，
CE⊥AN，垂足为E．(1)求证：四边形ADCE是矩形；
(2)连接BE，若AC=10，BC=12，求BE的长．
【答案】(1)见解析
(2)BE=4❑√13
【分析】本题考查了三线合一，矩形的判定和性质，勾股定理.
1 1
（1）根据等腰三角形三线合一得到∠ADC=90°，∠BAD=∠CAD= ∠BAC，CD= BC，根
2 2
1
据角平分线的定义得到∠NAC= ∠MAC，可知∠DAN=90°，根据垂线的定义得到∠AEC=90°，
2
可证四边形ADCE是矩形；
（2）根据勾股定理得到AD=8，根据矩形的性质得到∠BCE=90°，CE=AD=8，根据勾股定理计
算即可.
【详解】（1）证明：∵AB=AC，AD是中线，
1 1
∴∠ADC=90°，∠BAD=∠CAD= ∠BAC，CD= BC，
2 2
又∵AN平分∠CAM，
1
∴∠NAC= ∠MAC，
2
1
∴∠DAN=∠CAD+∠NAC= (∠BAC+∠MAC)=90°，
2
又∵CE⊥AN，
∴∠AEC=90°，
∴四边形ADCE是矩形；
（2）解：∵BC=12，AD为中线．
∴CD=6，
∴AD=❑√AC2−CD2=8，
∵四边形ADCE是矩形，∴∠BCE=90°，CE=AD=8，
∴BE=❑√CE2+BC2=❑√122+82=4❑√13．
【变式3】如图，四边形CDBE为平行四边形，且CD⊥AB，AC=BC．
(1)求证：四边形CDBE是矩形；
(2)若AC=5，CD=3，F是BC上一点，且DF⊥BC，求DF的长．
【答案】(1)见解析
12
(2)
5
【分析】本题考查了矩形的判定，勾股定理．
（1）由CD⊥AB于点D，得∠CDB＝90°，即可由四边形CDBE为平行四边形，证明四边形
CDBE是矩形．
（2）利用勾股定理可以求出BD=5，利用等面积法可知DF·BC=CD·BD，从而可求DF的长度．
【详解】（1）证明：∵CD⊥AB于点D，
∴∠CDB＝90°，
∵四边形CDBE为平行四边形，
∴四边形CDBE是矩形；
（2）解：在Rt△CDB中，∠CDB=90°，CB=AC=5，CD=3，
∴BD=❑√BC2−CD2=❑√52−32=4，
∵DF⊥BC于F，
1 1
∵S = BD·CD= BC·DF，
△BCD 2 2
∴DF·BC=CD·BD，
∴5DF=3×4，
12
解得：DF= ．
51．如图，在矩形ABCD中，若AC=4，则BD的长为（ ）
A．4 B．2❑√3 C．2 D．1
【答案】A
【分析】本题考查了矩形的性质，能熟记矩形的对角线相等是解此题的关键．
根据矩形的对角线相等，即可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，AC=4，
∴BD=AC=4．
故选：A
2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线．若CD=6，则AB的长为（ ）
A．3 B．2 C．12 D．6
【答案】C
【分析】本题主要考查直角三角形的性质：直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半．根据直角三
角形的性质解决此题即可．
【详解】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，
1
∴CD= AB．
2
∴AB=2CD=2×6=12．
故选：C．
3．矩形具有而平行四边形不具有的性质是（ ）
A．对角相等 B．对角互补
C．对边相等 D．对角线互相平分
【答案】B
【分析】本题考查矩形和平行四边形的性质：矩形是特殊的平行四边形，除具备平行四边形的性质外，
还具有对角线相等、四个角均为直角等特有性质．根据矩形和平行四边形的性质，逐一分析选项．
【详解】解：选项A：对角相等平行四边形的对角相等，矩形作为平行四边形的一种，同样满足此性质．因此A是两者共有的性质，
排除．
选项B：对角互补
矩形对角互补，但平行四边形对角不一定互补，故B符合题意．
选项C：对边相等
平行四边形和矩形的对边均相等，因此C是两者共有的性质，排除．
选项D：对角线互相平分
平行四边形的对角线互相平分，矩形作为平行四边形，同样满足此性质．因此D是两者共有的性质，
排除．
故选：B．
4．如图，小红想将一张矩形纸片沿AD,BC剪下后得到一个▱ABCD，若∠1=70°，则∠2的度数是
（ ）
A．20° B．70° C．80° D．110°
【答案】B
【分析】本题考查平行四边形的性质，根据平行四边形的对边平行，结合平行线的性质，即可得出结
果．
【详解】解：∵▱ABCD，
∴AD∥BC，
∴∠2=∠1=70°；
故选B．
5．如图，一个书架的两条侧边、上下底边的长度分别相等，为了检查该书架的四个角是否都是直角，小
亮先用绳子连接一组对角的顶点，在绳子上记录一条对角线的长度，再连接另一组对角的顶点，检验
两条对角线长度是否一致.这种检查方法用到的数学依据是（ ）
A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形B．三个角都是直角的四边形是矩形
C．对角线相等的平行四边形是矩形
D．对角线互相平分的四边形是矩形
【答案】C
【分析】本题考查矩形的判定和矩形的性质．判断平行四边形为矩形是解题的关键．根据矩形的判定
方法和性质即可得出答案．
【详解】解： 书架的两条侧边、上下底边的长度分别相等，
书架是平行四∵边形，
∴书架的对角线相等，
∵书架是矩形，
∴书架是四个角都是直角，
∴这种检查方法用到的数学依据是：对角线相等的平行四边形是矩形，
故选：C．
6．如图，在矩形ABCD中，BC=2AB=4，将△ABC沿AC翻折，得到△AEC，其中，AD与CE相交于
点F，则DF为（ ）
3 3 ❑√5
A． B．1 C． D．
4 2 5
【答案】C
【分析】本题考查了图形翻折的性质，矩形的性质，等腰三角形的判定与性质，以及勾股定理解三角
形，解决本题的关键是由图形翻折得到边和角度不变．
设DF=x，则AF=4−x，由矩形的性质可得∠DAC=∠BCA，再根据图形翻折可得
∠ECA=∠BCA，则可得△AFC为等腰三角形，再由勾股定理即可求解．
【详解】解：设DF=x，则AF=4−x，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，
则∠DAC=∠BCA，∵将△ABC沿AC翻折得到△AEC，
∴∠ECA=∠BCA，
∴∠DAC=∠ECA，
∴△AFC为等腰三角形，
∴CF=AE=4−x，
在Rt△CDF中，CD2+DF2=CF2，
即22+x2=(4−x) 2，即8x=12，
3
解得x= ，
2
3
则DF为 ．
2
故选：C ．
7．如图，把一张长方形纸条ABCD沿EF折叠，若∠1=55∘，则∠EGF的度数为 ．
【答案】70°/70度
【分析】本题主要考查平行线的性质、矩形的翻折和几何中角度的计算；根据矩形对边平行，而两直
线平行，内错角相等，可以得到∠≝=∠1和∠EGF=∠AEG，又∠AEG=180°−∠≝−∠FEG，
由翻折性质知∠≝=∠FEG=∠1，代入∠1的值即可；
熟练掌握“两直线平行，内错角相等”和翻折前后的对应角相等是解题的关键．
【详解】在矩形ABCD中，AD∥BC，
∴ ∠EGF=∠AEG,∠≝=∠1，
由翻折得：∠≝=∠FEG=∠1=55°，
∴ ∠AEG=180°−∠≝−∠FEG =180°−55°−55°=70°，
则∠EGF=∠AEG=70°；
故答案为：70°．
8．如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=6．若以BC的中点为坐标原点，BC边所在的直线为y轴建立
平面直角坐标系，则点D的坐标为 ．【答案】(8,−3)
【分析】本题考查了平面直角坐标系的建立与矩形的性质，掌握利用矩形对边平行且相等的性质，结
合坐标系的方向确定点的坐标是解题的关键．
先根据坐标系的建立规则，确定BC上点B、C的坐标；再结合矩形对边平行且相等的性质，利用
AB=8、BC=6的边长，推导点D的坐标．
【详解】解：以BC的中点为坐标原点O，BC边所在直线为y轴：
∵BC=6，O为BC中点，
∴BO=OC=3，
∴点B坐标为(0,3)，点C坐标为(0,−3)，
∵矩形ABCD中，AB∥CD，AB=8，且AB平行于x轴，
∴点D由点C向右平移8个单位得到，坐标为(8,−3)．
故答案为：(8,−3)．
9.如图，AC、BD是矩形ABCD的两条对角线，E是AB的延长线上一点，连接DE，若BE=AC，
∠E=29°，则∠BDC的度数是 °．
【答案】58°/58度
【分析】本题主要考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的顶角和底角的关系是解
题的关键．
根据矩形的性质得AC=BD，AB∥CD，由平行线性质得出∠CDE=∠E=29°，再结合已知条件得
BE=BD，进而得出∠DBE=∠E=29°，由此即可解题．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，AB∥CD，
∴∠CDE=∠E=29°，又∵BE=AC，
∴BE=BD，
∴∠DBE=∠E=29°．
∴∠BDC=∠BDE+∠CDE=29°+29°=58°．
故答案为：58°．
10．如图，矩形的两条边AB、BC的长分别为3和4，则矩形的对角线AC= ，点P是边AD上的一个
动点，点P到矩形两条对角线的距离PE与PF之和为 ．
12
【答案】 5
5
【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理．根据勾股定理可得AC的长，连接OP，根据
S =S +S ，即可求出点P到矩形两条对角线的距离PE与PF之和．
△AOD △AOP △DOP
【详解】解：∵矩形ABCD的两条边AB、BC的长分别为3和4，
1 1 1
∴AB=3,BC=4,∠ABC=90°，AO=OD= AC，S = S = ×3×4=3，
2 △AOD 4 矩形ABCD 4
∴AC=❑√AB2+BC2=❑√32+42=5，
1 5
∴AO=OD= AC= ，
2 2
如图，连接OP，
∵S =S +S ，PE⊥AC,PF⊥BD，
△AOD △AOP △DOP
1 1
∴ OA×PE+ OD×PF=3，
2 2
1 5 1 5
即 × ×PE+ × ×PF=3，
2 2 2 212
∴PE+PF= ，
5
12
即点P到矩形两条对角线的距离PE与PF之和为 ．
5
12
故答案为：5；
5
11．如图，在四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC．对角线AC、BD相交于点O，OA=OB．
(1)求证：四边形ABCD是矩形；
(2)若∠CAD=30°，AB=❑√3，求四边形ABCD的面积．
【答案】(1)见解析
(2)3❑√3
【分析】（1）先证明四边形ABCD是平行四边形，再证明它的对角线相等即可得出平行四边形
ABCD是矩形．
（2）先利用矩形的性质得出∠ABC=90°，AD∥BC，从而可得∠ACB=∠CAD=30°，再利用含
30度角的直角三角形的性质求得AC，从而可求得四边形ABCD的面积．
【详解】（1）证明：∵AB=CD，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
1 1
∴OA= AC，OB= BD，
2 2
∵OA=OB，
∴AC=BD，
∴平行四边形ABCD是矩形．
（2）解：在矩形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，
则∠ACB=∠CAD=30°，
∵AB=❑√3，
∴ AC=2AB=2❑√3，
∴BC=❑√AC2−AB2=3，
∴S =AB×BC=3❑√3．
▱ABCD【点睛】本题考查了是矩形的判定和性质，含30度角的直角三角形，勾股定理，解题关键是掌握上述
知识点并能熟练运用求解．
12．如图，在平行四边形ABCD中，∠BDC=90∘,E是AD边上一点，延长BE与CD的延长线交于点F，
连接AF．
(1)请从下列条件中选择一个能证明四边形ABDF是矩形的条件，并写出证明过程．
①AE=DE；②BF=BC．
(2)在（1）的条件下，若AB=3,AD=5，求四边形ABCF的面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)18
【分析】此题考查了矩形的判定，平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定，三线合一性质等知
识，解题的关键是掌握以上知识点．
（1）选择①：首先证明出△ABE≅△DFE（AAS），得到AB=DF，证明出四边形ABDF是平行四
边形，然后结合∠BDC=90∘即可证明出ABDF是矩形；
选择②：首先由三线合一得到DF=CD，然后证明出四边形ABDF是平行四边形，然后结合
∠BDC=90∘即可证明出ABDF是矩形．
（2）四边形ABCF是直角梯形，根据梯形面积公式即可求解．
【详解】（1）选①：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ABE=∠DFE．
{∠ABE=∠DFE,
)
在△ABE和△DFE中， ∠AEB=∠≝,
AE=DE,
∴△ABE≅△DFE（AAS），
∴AB=DF．
又∵AB∥DF，
∴四边形ABDF是平行四边形．
∵∠BDC=90∘,∴∠BDF=90∘，
∴四边形ABDF是矩形．
选②：
∵BF=BC,∠BDC=90∘，
∴CD=DF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD,AB∥CF，
∴AB=DF，AB∥DF，
∴四边形ABDF是平行四边形，
又∵∠BDC=90∘,
∴∠BDF=90∘，
∴平行四边形ABDF是矩形．
（2）∵四边形ABDF是矩形，
∴AB=DF．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD,
∴AB=DF=CD=3，
∴CF=DF+CD=3+3=6．
在Rt△BDC中，BC=AD=5,CD=3，
∴BD=❑√BC2−CD2=❑√52−32=4．
∵AB∥CF，
1 1
∴直角梯形ABCF的面积= BD(AB+CF)= ×4×(3+6)=18．
2 2
