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第11讲 第13章 轴对称核心考点及2022中考真题链接（解析版）
第一部分 典例剖析+针对训练
考点一 轴对称及轴对称图形
1．（2021•梧州）下列“禁止行人通行，注意危险，禁止非机动车通行，限速60”四个交通标志图中，为
轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
思路引领：根据轴对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解．
解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，故本选项正确；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项错误．
故选：B．
解题秘籍：本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
针对训练1
1．（2021秋•武汉校级月考）在等腰三角形、圆、长方形、正方形、直角三角形中，一定是轴对称图形的
有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
思路引领：根据轴对称的定义，结合所给图形进行判断即可．
解：等腰三角形、圆、长方形、正方形是轴对称图形，故一定是轴对称图形的有4个．
故选：D．
解题秘籍：本题考查了轴对称图形，需正确把握轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，
图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
2．（2021秋•邹城市期末）如图，∠3＝30°，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，
必须保证∠1的度数为 ．思路引领：要使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，则∠2＝60°，根据∠1、∠2对称，则能求出∠1的
度数．
解：要使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，
∠2+∠3＝90°，
∵∠3＝30°，
∴∠2＝60°，
∴∠1＝60°．
故答案为：60°．
解题秘籍：本题是考查图形的对称、旋转、分割以及分类的数学思想．
考点二 关于坐标轴对称的点的坐标
典例2（2021秋•七台河期中）按要求完成作图：
①作△ABC关于y轴对称的△A B C ；
1 1 1
②在x轴上找出点P，使PA+PC最小，并直接写出P点的坐标： ．
思路引领：①根据网格结构找出点A、B、C关于y轴对称的对称点A 、B 、C 的位置，然后顺次连接
1 1 1
即可；
②找出点A关于x轴的对称点A′，然后连接A′C与x轴相交于点P，根据轴对称确定最短路线问题，
点P即为所求的点，再根据平面直角坐标系写出点P的坐标即可．
解：①△A B C 如图所示；
1 1 1
②x轴上使PA+PC最小的点P如图，点P的坐标为（﹣3，0）．
故答案为：（﹣3，0）．解题秘籍：本题考查了轴对称确定最短路线问题，利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构准确找出对
应点的位置是解题的关键．
针对训练2
3．（2020•荔湾区一模）若点M（a，2）与点N（3，b）关于x轴对称，则a，b的值分别是（ ）
A．3，﹣2 B．﹣3，2 C．﹣3，﹣2 D．3，2
思路引领：本题比较容易，考查平面直角坐标系中两个关于坐标轴成轴对称的点的坐标特点：关于 x轴
对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数．依此先求出a、b的值．
解：∵M（a，2）与点N（3，b）关于x轴对称，
∴b＝3，a＝﹣2，
故选：A．
解题秘籍：解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐
标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，
横坐标与纵坐标都互为相反数．
考点三 线段垂直平分线的性质和判定
典例3（2021春•鄄城县期中）如图，在△ABC中，AD是高，在线段DC上取一点E，使DE＝BD，已知
AB+BD＝DC．
求证：E点在线段AC的垂直平分线上．
思路引领：根据线段的垂直平分线性质求出BD＝DE，推出DE+EC＝AE+DE，得出EC＝AE，根据线段
垂直平分线性质推出即可．证明：∵AD是高，∴AD⊥BC，
又∵BD＝DE，
∴AD所在的直线是线段BE的垂直平分线，
∴AB＝AE，
∴AB+BD＝AE+DE，
又∵AB+BD＝DC，
∴DC＝AE+DE，
∴DE+EC＝AE+DE
∴EC＝AE，
∴点E在线段AC的垂直平分线上．
解题秘籍：本题考查了线段的垂直平分线的应用，掌握线段垂直平分线的性质和判定定理是解题的关键．
针对训练3
4．（2010春•慈溪市月考）如图，三角形ABC中，MN是AC的垂直平分线，若CM＝3cm，△ABC的周长
是22cm，则三角形ABN的周长是 cm．
思路引领：由“MN是AC的垂直平分线”知AN＝NC，再根据已知边长及△ABC周长即可求得三角形
ABN的周长．
解：∵MN是AC的垂直平分线，
∴AN＝NC，AM＝MC，
∴BC＝AN+BN，AC＝6cm，
又△ABC的周长是22cm，
∴AB+BC＝16cm，
∴L△ABN ＝AB+BN+AN＝AB+BC＝16cm．
解题秘籍：本题考查线段垂直平分线的性质，是基础题型．
方法总结
线段的垂直平分线一般会与中点、90°角、等腰三角形一同出现，在求角度、三角形的周长，或证明
线段之间的等量关系时，要注意角或线段之间的转化.
考点四 等腰三角形的性质和判定
典例4（2021秋•宁津县期末）如图：已知等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足为M．
求证：（1）DE＝2DM；
（2）M是BE的中点．
思路引领：（1）由等边△ABC的性质可得：∠ACB＝∠ABC＝60°，然后根据等边对等角可得：∠E＝
∠CDE，最后根据外角的性质可求∠E＝30°，根据含30°角的直角三角形的性质即可求证；
1 1
（2）连接BD，由等边三角形的三线合一的性质可得：∠DBC= ∠ABC= ×60°＝30°，由（1）可得：
2 2
∠DBC＝∠E＝30°，然后根据等角对等边，可得：DB＝DE，最后根据等腰三角形的三线合一的性质可
得M是BE的中点．
证明：（1）∵三角形ABC是等边△ABC，
∴∠ACB＝∠ABC＝60°，
又∵CE＝CD，
∴∠E＝∠CDE，
又∵∠ACB＝∠E+∠CDE，
1
∴∠E= ∠ACB＝30°，
2
∵DM⊥BC，
∴DE＝2DM；
（2）连接BD，
∵等边△ABC中，D是AC的中点，
1 1
∴∠DBC= ∠ABC= ×60°＝30°
2 2
由（1）知∠E＝30°∴∠DBC＝∠E＝30°
∴DB＝DE
又∵DM⊥BC
∴M是BE的中点．
解题秘籍：此题考查了等边三角形的有关性质，重点考查了等边三角形的三线合一的性质．
典例5 如果三角形的一个内角是另一个内角的 2倍，那么称这个三角形为“倍角三角形”．例如，在
△ABC中，如果∠A＝50°，∠B＝100°，那么△ABC就是一个“倍角三角形”．
（1）已知倍角三角形的一个内角为150°，求这个三角形的另两个角的度数；
（2）已知倍角三角形是一个等腰三角形，求它的顶角的度数；
（3）如果第（2）小题中等腰三角形的底边长为4cm，求它的腰长．
思路引领：（1）根据“倍角三角形”的定义和三角形内角和定理可知另两个内角的和是180°﹣150＝
30°，则
另两个角的度数是20°和10°；
1
（2）设三角形两个相等角的度数是x，则顶角为2x或 x，根据三角形内角和定理构建方程即可；
2
（3）根据勾股定理求得即可．
解：（1）∵倍角三角形的一个内角为150°，
∴另两个内角的和是180°﹣150＝30°，
∴另两个角的度数是20°和10°；
1
（2）设三角形两个相等角的度数是x，则顶角为2x或 x，
2
1
∵x+x+2x＝180°或2x+ x＝180°
2
解得x＝45°或72
1
∴2x＝90°， x＝36°，
2
故它的顶角的度数是90°或36°．
（3）∵第（2）小题中等腰三角形是等腰直角三角形，设腰长为y，
∴2y2＝42，
解得y＝2√2cm，
故它的腰长为2√2cm．
解题秘籍：本题考查了三角形内角和定理和等腰三角形的性质，掌握三角形的内角和180°是解决问题的关键．
针对训练4
5．（2022•肃州区模拟）定义：如果三角形的一个内角是另一个内角的2倍，那么称这个三角形为“倍角
三角形”，若一个等腰三角形恰好是“倍角三角形”，则它的顶角度数为 ．
1
思路引领：设这个等腰三角形顶角的度数是x，根据题意可知底角为2x或 x，根据三角形内角和定理
2
构建方程即可．
1
解：设这个等腰三角形顶角的度数是x，则底角为2x或 x，
2
1 1
∵x+2x+2x＝180°或x+ x+ x＝180°，
2 2
解得x＝36°或90°，
∴它的顶角的度数是36°或90°，
故答案为：36°或90°．
解题秘籍：本题考查了三角形内角和定理和等腰三角形的性质以及新定义，根据三角形内角和定理建立
方程是解决问题的关键，注意分情况讨论．
6．（2021秋•如东县期末）如图，△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD平分∠ABC，DE∥BC，则图中等
腰三角形有 个．
思路引领：由已知条件，根据三角形内角和等于180、角的平分线的性质求得各个角的度数，然后利用
等腰三角形的判定进行找寻，注意做到由易到难，不重不漏．
解：∵AB＝AC，∠A＝36°，
180°−36°
∴△ABC是等腰三角形，∠ABC＝∠ACB= =72°，BD平分∠ABC，
2
∴∠EBD＝∠DBC＝36°，
∵ED∥BC，
∴∠AED＝∠ADE＝72°，∠EDB＝∠CBC＝36°，
∴在△ADE中，∠AED＝∠ADE＝72°，AD＝AE，△ADE为等腰三角形，在△ABD中，∠A＝∠ABD＝36°，AD＝BD，△ABD是等腰三角形，
在△BED中，∠EBD＝∠EDB＝36°，ED＝BE，△BED是等腰三角形，
在△BDC中，∠C＝∠BDC＝72°，BD＝BC，△BDC是等腰三角形，
故图中共有5个等腰三角形．
故填5．
解题秘籍：本题考查了等腰三角形的性质和判定、角的平分线的性质及三角形内角和定理；由已知条件
利用相关的性质求得各个角的度数是正确解答本题的关键．
7．（2021秋•蚌埠期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，∠BAC＝120°，AD是△ABC的中线，AE是
∠BAD的角平分线，DF∥AB交AE的延长线于点F，则DF的长为 ．
思路引领：根据等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，求出∠DAE＝∠EAB＝
30°，根据平行线的性质求出∠F＝∠BAE＝30°，从而得到∠DAE＝∠F，根据等角对等边求出AD＝
DF，求出∠B＝30°，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半解答．
解：∵AB＝AC，AD是△ABC的中线，
1 1
∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD= ∠BAC= ×120°＝60°，
2 2
∵AE是∠BAD的角平分线，
1 1
∴∠DAE＝∠EAB= ∠BAD= ×60°＝30°，
2 2
∵DF∥AB，
∴∠F＝∠BAE＝30°，
∴∠DAE＝∠F＝30°，
∴AD＝DF，
∵∠B＝90°﹣60°＝30°，
1 1
∴AD= AB= ×10＝5，
2 2
∴DF＝5，
故答案为：5．解题秘籍：本题考查的是直角三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，掌握直角三角形 30°
角所对的直角边等于斜边的一半的性质是解题的关键．
8．如图，在△ABC中，AD是角平分线，AC＝AB+BD，求证：∠B＝2∠C．
思路引领：AD是△ABC的角平分线，在AC上取点E，使得AE＝AB，易证△ABD≌△AED，可得EC＝
BD＝DE，所以△EDC是等腰三角形，则可得∠B＝2∠C．
解：在AC上取点E，使得AE＝AB，连接DE，
∵AD平分∠CAB，
∴∠BAD＝∠EAD，
∵AD＝AD，AB＝AE，
∴△ABD≌△AED（SAS），
∴BD＝DE，∠B＝∠AED，
又∵AC＝AB+BD，
∴EC＝BD＝DE，
∴△EDC是等腰三角形，
∴∠C＝∠EDC，
∴∠AED＝∠C+∠EDC＝2∠C，
∴∠B＝2∠C．
解题秘籍：本题考查全等三角形判定和等腰三角形判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助
线，构造全等三角形解决问题．
9．（2019春•沂源县期末）已知，如图，点D在等边三角形ABC的边AB上，点F在边AC上，连接DF
并延长交BC的延长线于点E，EF＝FD．
求证：AD＝CE．思路引领：作DG∥BC交AC于G，先证明△DFG≌△EFC，得出GD＝CE，再证明△ADG是等边三角
形，得出AD＝GD，即可得出结论．
证明：作DG∥BC交AC于G，如图所示：
则∠DGF＝∠ECF，
在△DFG和△EFC中，¿，
∴△DFG≌△EFC（AAS），
∴GD＝CE，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠ACB＝60°，
∵DG∥BC，
∴∠ADG＝∠B，∠AGD＝∠ACB，
∴∠A＝∠ADG＝∠AGD，
∴△ADG是等边三角形，
∴AD＝GD，
∴AD＝CE．
解题秘籍：本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质；熟练掌握等边三角形的判
定与性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．
10．（2019春•普宁市期末）在△ABC中，AB＝AC，D是直线BC上一点，以AD为一边在AD的右侧作
△ADE，使AE＝AD，
∠DAE＝∠BAC，连接CE，设∠BAC＝ ，∠DCE＝ ．
α β（1）如图1，点D在线段BC上移动时，试说明△ABD≌△ACE
（2）如图2，点D在线段BC的延长线上移动时，探索角 与 之间的数量关系并证明；
（3）当点D在线段BC的反向延长线上移动时，请在备用α图上β根据题意画出图形，并猜想角 与 之
间的数量关系是 ，线段BC、DC、CE之间的数量关系是 ． α β
思路引领：（1）证明∠CAE＝∠BAD，利用SAS定理证明△ABD≌△ACE；
（2）根据△ABD≌△ACE得到∠ABD＝∠ACE，根据三角形内角和定理得到角 与 之间的数量关系；
（3）证明△ABD≌△ACE，根据全等三角形的性质得到∠ADB＝∠AEC，BD＝CαE，β结合图形解答即可．
解：（1）∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠DAE﹣∠DAC＝∠BAC﹣∠DAC，即∠CAE＝∠BAD，
在△ABD和△ACE中，
{
AB=AC
∠BAD=∠CAE，
AD=AE
∴△ABD≌△ACE（SAS）；
（2） ＝ ；
理由如α下∵β ∠DAE＝∠BAC，
∴∠DAE+∠CAD＝∠BAC+∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
{
AB=AC
∠BAD=∠CAE，
AD=AE
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE，
∵∠ACD＝180°﹣∠ACB＝∠ABD+∠BAC＝∠ACE+∠DCE，
∴∠BAC＝∠DCE，即 ＝ ；
（3）根据题意画出图形α如图β 3所示：
＝ ，BC+CE＝DC；
α β∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
{
AB=AC
∠BAD=∠CAE，
AD=AE
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ADB＝∠AEC，BD＝CE，
由三角形内角和定理得：∠ADB+ ＝∠AEC+ ，
∴ ＝ ， α β
∵αBC+βBD＝DC，
∴BC+CE＝DC，
故答案为： ＝ ；BC+CE＝DC．
α β
解题秘籍：本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的判定定理和
性质定理是解题的关键．第二部分 2022 中考真题链接
1．（2022•鄂州）孙权于公元221年4月自公安“都鄂”，在西山东麓营建吴王城，并取“以武而昌”之
意，改鄂县为武昌．下面四个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
思路引领：根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图
形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
解：选项A、B、C不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合
所以不是轴对称图形，
选项D能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称
图形，
故选：D．
解题秘籍：本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．（2022•北京）图中的图形为轴对称图形，该图形的对称轴的条数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．5
思路引领：一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就是轴对称图形，这条
直线就是这个图形的一条对称轴，由此即可解决问题．
解：根据轴对称图形的定义可知：该图形有5条对称轴，
故选：D．
解题秘籍：此题考查了利用轴对称图形的定义判断轴对称图形的对称轴条数和位置的灵活应用．
3．（2022•邵阳）下列四种图形中，对称轴条数最多的是（ ）
A．等边三角形 B．圆 C．长方形 D．正方形
思路引领：根据轴对称图形的意义：一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，那么这
个图形就是轴对称图形，这条直线就是这个图形的一条对称轴，由此分析各图形的对称轴条数即可求解．
解：A．等边三角形是轴对称图形，它有3条对称轴；B．圆是轴对称图形，有无数条对称轴；
C．长方形是轴对称图形，有2条对称轴；
D．正方形是轴对称图形，有4条对称轴；
故对称轴条数最多的图形是圆．
故选：B．
解题秘籍：此题考查轴对称图形的知识，关键是掌握轴对称图形的意义及对称轴的描述．
4．（2022•赤峰）下列图案中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
思路引领：根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图
形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
解：选项B、C、D能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，
所以是轴对称图形，
选项A不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴
对称图形，
故选：A．
解题秘籍：本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
5．（2022•连云港）下列图案中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
思路引领：根据轴对称图形的定义，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这
个图形叫做轴对称图形，进行判定即可得出答案．解：A．是轴对称图形，故此选项符合题意；
B．不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C．不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D．不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
故选：A．
解题秘籍：本题主要考查了轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的定义进行求解是解决本题的关键．
6．（2022•达州）如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点M，N，将一个含有45°角的直角三角尺
按如图所示的方式摆放，若∠EMB＝80°，则∠PNM等于（ ）
A．15° B．25° C．35° D．45°
思路引领：根据平行线的性质得到∠DNM＝∠BME＝80°，由等腰直角三角形的性质得到∠PND＝45°，
即可得到结论．
解：∵AB∥CD，
∴∠DNM＝∠BME＝80°，
∵∠PND＝45°，
∴∠PNM＝∠DNM﹣∠DNP＝80°﹣45°＝35°，
故选：C．
解题秘籍：本题考查了平行线的性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
7．（2022•荆州）如图，直线l ∥l ，AB＝AC，∠BAC＝40°，则∠1+∠2的度数是（ ）
1 2
A．60° B．70° C．80° D．90°
思路引领：过点C作CD∥l ，利用平行线的性质可得∠1+∠2＝∠ACB，再由等腰三角形的性质可得
1
∠ACB＝∠ABC，从而可求解．解：过点C作CD∥l ，如图，
1
∵l ∥l ，
1 2
∴l ∥l ∥CD，
1 2
∴∠1＝∠BCD，∠2＝∠ACD，
∴∠1+∠2＝∠BCD+∠ACD＝∠ACB，
∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC，
∵∠BAC＝40°，
1
∴∠ACB= （180°﹣∠BAC）＝70°，
2
∴∠1+∠2＝70°．
故选：B．
解题秘籍：本题主要考查等腰三角形的性质，平行线的性质，解答的关键是由平行线的性质得∠1+∠2
＝∠ACB．
8．（2022•黑龙江）如图，△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC与BC相交于点D，点E是AB的中点，点
F是DC的中点，连接EF交AD于点P．若△ABC的面积是24，PD＝1.5，则PE的长是（ ）
A．2.5 B．2 C．3.5 D．3
思路引领：如图，过点E作EG⊥AD于G，证明△EGP≌△FDP，得PG＝PD＝1.5，由三角形中位线定
理可得AD的长，由三角形ABC的面积是24，得BC的长，最后由勾股定理可得结论．
解：如图，过点E作EG⊥AD于G，∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，BD＝CD，
∴∠PDF＝∠EGP＝90°，EG∥BC，
∵点E是AB的中点，
∴G是AD的中点，
1
∴EG= BD，
2
∵F是CD的中点，
1
∴DF= CD，
2
∴EG＝DF，
∵∠EPG＝∠DPF，
∴△EGP≌△FDP（AAS），
∴PG＝PD＝1.5，
∴AD＝2DG＝6，
∵△ABC的面积是24，
1
∴ •BC•AD＝24，
2
∴BC＝48÷6＝8，
1
∴DF= BC＝2，
4
∴EG＝DF＝2，
由勾股定理得：PE 2.5．
=√22+1．52=
故选：A．
解题秘籍：本题考查了等腰三角形的性质，三角形的中位线定理，全等三角形的性质和判定，三角形的面积等知识，作辅助线构建全等三角形是解本题的关键．
9．（2022•湖州）如图，已知在锐角△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，E是AD上一点，连
结EB，EC．若∠EBC＝45°，BC＝6，则△EBC的面积是（ ）
A．12 B．9 C．6 D．3√2
思路引领：根据等腰三角形的性质得到BD＝CD＝3，AD⊥BC，根据等腰直角三角形的性质求出ED，
根据三角形的面积公式计算，得到答案．
解：∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，
1
∴BD＝CD= BC＝3，AD⊥BC，
2
在Rt△EBD中，∠EBC＝45°，
∴ED＝BD＝3，
1 1
∴S△EBC = BC•ED= ×6×3＝9，
2 2
故选：B．
解题秘籍：本题考查的是等腰三角形的性质、直角三角形的性质，掌握等腰三角形的三线合一是解题的关
键
10．（2022•泰安）如图，l ∥l ，点A在直线l 上，点B在直线l 上，AB＝BC，∠C＝25°，∠1＝60°．则
1 2 1 2
∠2的度数是（ ）
A．70° B．65° C．60° D．55°思路引领：利用等腰三角形的性质得到∠C＝∠BAC＝25°，利用平行线的性质得到∠BEA＝95°，再根
据三角形外角的性质即可求解．
解：如图，
∵AB＝BC，∠C＝25°，
∴∠C＝∠BAC＝25°，
∵l ∥l ，∠1＝60°，
1 2
∴∠BEA＝180°﹣60°﹣25°＝95°，
∵∠BEA＝∠C+∠2，
∴∠2＝95°﹣25°＝70°．
故选：A．
解题秘籍：本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质以及三角形外角的性质，解决问题的关键是注
意运用两直线平行，同旁内角互补．
11．（2022•广安）若（a﹣3）2+√b−5=0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为 ．
思路引领：先求a，b．再求第三边c即可．
解：∵（a﹣3）2+√b−5=0，（a﹣3）2≥0，√b−5≥0，
∴a﹣3＝0，b﹣5＝0，
∴a＝3，b＝5，
设三角形的第三边为c，
当a＝c＝3时，三角形的周长＝a+b+c＝3+5+3＝11，
当b＝c＝5时，三角形的周长＝3+5+5＝13，
故答案为：11或13．
解题秘籍：本题考查等腰三角形周长计算，求出a，b后确定腰和底是求解本题的关键．
12．（2022•云南）已知△ABC是等腰三角形．若∠A＝40°，则△ABC的顶角度数是 ．
思路引领：分∠A是顶角和底角两种情况讨论，即可解答．解：当∠A是顶角时，△ABC的顶角度数是40°；
当∠A是底角时，则△ABC的顶角度数为180°﹣2×40°＝100°；
综上，△ABC的顶角度数是40°或100°．
故答案为：40°或100°．
解题秘籍：本题考查了等腰三角形的性质，此类题目，难点在于要分情况讨论．
13．（2022•苏州）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若
等腰△ABC是“倍长三角形”，底边BC的长为3，则腰AB的长为 ．
思路引领：由等腰△ABC是“倍长三角形”，可知AB＝2BC或BC＝2AB，若AB＝2BC＝6，可得AB的
长为6；若BC＝3＝2AB，因1.5+1.5＝3，故此时不能构成三角形，这种情况不存在；即可得答案．
解：∵等腰△ABC是“倍长三角形”，
∴AB＝2BC或BC＝2AB，
若AB＝2BC＝6，则△ABC三边分别是6，6，3，符合题意，
∴腰AB的长为6；
若BC＝3＝2AB，则AB＝1.5，△ABC三边分别是1.5，1.5，3，
∵1.5+1.5＝3，
∴此时不能构成三角形，这种情况不存在；
综上所述，腰AB的长是6，
故答案为：6．
解题秘籍：本题考查三角形三边关系，涉及新定义，解题的关键是分类思想的应用及掌握三角形任意两边
的和大于第三边
14．（2022•嘉兴）小曹同学复习时将几种三角形的关系整理如图，请帮他在括号内填上一个适当的条件
．
思路引领：根据等边三角形的判定定理填空即可．
解：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，故答案为：∠B＝60°（答案不唯一）．
解题秘籍：本题考查等边三角形的判定，解题的关键是掌握等边三角形的定义及等边三角形与等腰三角
形的关系．
15．（2022•温州）如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E．
（1）求证：∠EBD＝∠EDB．
（2）当AB＝AC时，请判断CD与ED的大小关系，并说明理由．
思路引领：（1）利用角平分线的定义和平行线的性质可得结论；
（2）利用平行线的性质可得∠ADE＝∠AED，则AD＝AE，从而有CD＝BE，由（1）得，∠EBD＝
∠EDB，可知BE＝DE，等量代换即可．
（1）证明：∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠CBD＝∠EBD，
∵DE∥BC，
∴∠CBD＝∠EDB，
∴∠EBD＝∠EDB．
（2）解：CD＝ED，理由如下：
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠C，∠AED＝∠ABC，
∴∠ADE＝∠AED，
∴AD＝AE，
∴CD＝BE，
由（1）得，∠EBD＝∠EDB，
又∵AB＝AC，
∴BE＝DE，
∴CD＝ED．
解题秘籍：本题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义等知识，熟练掌握平行与角平分线可推出等腰三角形是解题的关键．
