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第 02 讲 三角形的边
课程标准 学习目标
掌握三角形的三边关系，能够熟练判断是否能组成三角形以及进行相
三角形的三边关系
关求值。
知识点 三角形的三边关系
1．三角形的三边关系：
由两点之间线段最短可知，三角形的任意两边之和 大于 第三边。任意两边之差 小于 第三
边。这是三角形的限定条件。解题时常用两边之差小于第三边小于两边之和建立不等式。
【即学即练1】
2．以下列长度的各组线段为边，不能组成三角形的是（ ）
A．3，5，8 B．3，4，6 C．10，8，7 D．1，2，2
【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行解答即
可．
【解答】解：A．3+5＝8，不能组成三角形，符合题意；
B．3+4＞6，能组成三角形，不符合题意；
C．8+7＞10，能组成三角形，不符合题意；
D．1+2＞2，能组成三角形，不符合题意，故选：A．
【即学即练2】
3．一个三角形的两边长分别为3cm和5cm，则第三边的长可能是（ ）
A．1cm B．2cm C．7cm D．8cm
【分析】根据三角形的三边关系，第三边的长应大于已知的两边的差，而小于两边的和．
【解答】解：设第三边的长为x cm，
由三角形的三边关系可得5﹣3＜x＜5+3，
即2＜x＜8，
所以它的第三边的长可能是7cm．
故选：C．
【即学即练3】
4．等腰三角形的一边等于3，一边等于6，则它的周长等于 1 5 ．
【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为3和6，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，
还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【解答】解：当3为腰，6为底时，3+3＝6，不能构成等腰三角形；
当6为腰，3为底时，3+6＞6，能构成等腰三角形，周长为3+6+6＝15．
故答案为：15．
【即学即练4】
5．已知a、b、c分别是△ABC的三边的长，化简|a﹣b+c|﹣|a﹣c﹣b|的结果为 2 a ﹣ 2 c ．
【分析】根据三角形的三边关系判断出a﹣b+c及a﹣c﹣b的符号，再去绝对值符号，合并同类项即可．
【解答】解：∵a、b、c是△ABC的三边的长，
∴a﹣b+c＞0，a﹣c﹣b＜0，
∴原式＝a+b﹣c﹣（﹣a+b+c）
＝a+b﹣c+a﹣b﹣c
＝2a﹣2c．
故答案为：2a﹣2c．
题型01 求三角形第三边的取值范围
【典例1】若三角形的三边长分别为3，4，x，则x的取值范围是（ ）
A．1＜x＜7 B．2＜x＜7 C．1＜x＜6 D．0＜x＜7
【分析】据三角形三边关系，4﹣3＜x＜4+3，即1＜x＜7，问题可求．
【解答】解：由题意，4﹣3＜x＜4+3，即1＜x＜7．
故选：A．【变式1】一木工有两根长分别为30厘米和50厘米的木条，要另找一根木条，钉成一个三角木架，则第
三根木条的长度x厘米应在的范围是（ ）
A．30＜x＜50 B．50＜x＜80 C．20＜x＜50 D．20＜x＜80
【分析】三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边，由此即可得到20＜x＜80．
【解答】解：由三角形三边关系定理得：50﹣30＜x＜50+30，
∴20＜x＜＜80．
故选：D．
【变式2】若实数a，b，c分别表示△ABC的三条边，且a，b满足 ，则△ABC的第三条
边c的取值范围是（ ）
A．c＞4 B．c＜12 C．4＜c＜12 D．4≤c≤12
【分析】先由非负性求出a，b的值，再结合“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”，进行列
式计算，即可作答．
【解答】解：∵a，b满足 ，
∴a﹣4＝0，b﹣8＝0，
即a＝4，b＝8，
∵实数a，b，c分别表示△ABC的三条边，
∴8﹣4＜c＜8+4，
即4＜c＜12，
故选：C．
【变式3】设△ABC的三边长分别为a，b，c，其中a，b满足|a+b﹣6|+（a﹣b+4）2＝0，则第三边c的长
度取值范围是（ ）
A．3＜c＜5 B．2＜c＜4 C．4＜c＜6 D．5＜c＜6
【分析】根据非负数的性质，易得a+b，a﹣b的值，再根据三角形三边关系即可求出第三边的长 c的取
值范围．
【解答】解：∵|a+b﹣6|+（a﹣b+4）2＝0，
∴a+b＝6，b﹣a＝4，
∴第三边的长c的取值范围是4＜c＜6．
故选：C．
【变式4】AD是△ABC中BC边上的中线，若AB＝5，AC＝7，则BD的取值范围是（ ）
A．BD＞1 B．BD＜5 C．1＜BD＜5 D．1＜BD＜6
【分析】由三角形的三边关系可求解．
【解答】解：∵AD为中线，
∴BD＝CD，
在△ABC中，7﹣5＜BC＜5+7，
即2＜2BD＜12，
∴1＜BD＜6，故选：D．
题型02 根据三角形的三边关系求值
【典例1】已知三条线段的长分别是6，m，8，若它们能构成三角形，则整数m的最小值是（ ）
A．2 B．3 C．6 D．8
【分析】根据三角形的三边关系确定第三边的取值范围，进而解答即可．
【解答】解：∵三条线段的长分别是6，m，8，它们能构成三角形，
∴8﹣6＜m＜8+6，
∴2＜m＜14，
∴整数m的最小值是3．
故选：B．
【变式1】若三角形的两边长是2cm和5cm，第三边长的数值是奇数，则这个三角形的周长是（ ）
A．9cm B．12cm C．10cm D．14cm
【分析】首先设三角形的第三边长为x cm，再根据三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边
三角形的两边差小于第三边可得5﹣2＜x＜5+2，然后根据第三边的数值为奇数，确定第三边长的值，
再求出周长即可．
【解答】解：设三角形的第三边长为x cm，由题意得：
5﹣2＜x＜5+2，
解得：3＜x＜7，
∵第三边的数值为奇数，
∴x＝5，
∴这个三角形的周长为：2+5+5＝12（cm），
故选：B．
【变式2】已知三角形的三边长分别是3，4，x+1，则x的取值范围是 0 ＜ x ＜ 6 ．
【分析】根据三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边可得答案．
【解答】解：根据三角形的三边关系可得：4﹣3＜x+1＜4+3，
即0＜x＜6．
故答案为：0＜x＜6．
【变式3】在△ABC中，AB＝5，BC＝2a﹣1，AC＝8，则a的取值范围是（ ）
A．1＜a＜6 B．2＜a＜7 C．3＜a＜8 D．4＜a＜14
【分析】根据三角形的三边关系定理，可得不等式8﹣5＜2a﹣1＜8+5，解此不等式即可．
【解答】解：∵△ABC中，AB＝5，BC＝2a﹣1，AC＝8，
根据三角形的三边关系定理可得，
AC﹣AB＜BC＜AC+AB，
∴8﹣5＜2a﹣1＜8+5，
解得，2＜a＜7．
故选：B．【变式4】五条线段的长度分别为3，4，m，n，14（m，n均为整数，且4＜m＜n＜14），已知任意相邻
的三条线段为边长均能构成三角形，则n的值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．11
【分析】根据三角形三边关系求解即可．
【解答】解：由题意，4＜m＜7，则m的值为5或6．
若m＝5，5＜n＜9，n最大取8，而5，8，14不能构成三角形；
若m＝6，6＜n＜10，n的值为7或8或9，只有6，9，14能构成三角形，
所以n＝9．
故选：C．
题型04 三角形的三边关系与等腰三角形
【典例1】若等腰三角形两边的长分别为3cm和7cm，则第三边的长是 7 cm．
【分析】根据三角形的三边关系和等腰三角形的性质解答．
【解答】解：当3cm为腰时，3+3＜7，不合题意，舍去．
所以只有7cm为腰，
故答案为：7．
【变式1】已知等腰三角形的周长为16，且一边长为3，则腰长为（ ）
A．3 B．10 C．6.5 D．3或6.5
【分析】因为腰长没有明确，所以分边长3是腰长和底边两种情况讨论．
【解答】解：（1）当3是腰长时，底边为16﹣3×2＝10，
此时3+3＝6＜10，不能组成三角形；
（2）当3是底边时，腰长为 ×（16﹣3）＝6.5，
此时3，6.5，6.5三边能够组成三角形．
所以腰长为6.5．
故选：C．
【变式2】小明有两根3cm、7cm的木棒，他想以这两根木棒为边做一个等腰三角形，还需再选用一根 7
cm长的木棒．
【分析】题目给出长为3cm和7cm的木棒，做一个等腰三角形，而没有明确腰、底分别是多少，所以要
进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【解答】解：（1）当3cm为腰长时，因为+3＝6＜7，不符合三角形三边关系，所以舍去；
（2）当7cm为腰长时，符合三角形三边关系，符合题意．
∴再选用一要把的长度为7cm．
故答案为7．
【变式3】已知实数x，y满足|x﹣4|+ ＝0，则分别以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（
）A．8 B．20 C．16 D．16或20
【分析】根据绝对值与二次根式的非负性即可求出 x与y的值．由于没有说明x与y是腰长还是底边长，
故需要分类讨论．
【解答】解：由题意可知：x﹣4＝0，y﹣8＝0，
解得x＝4，y＝8，
当腰长为4，底边长为8时，
∵4+4＝8，
∴不能围成三角形，
当腰长为8，底边长为4时，
∵4+8＞8，
∴能围成三角形，
∴周长为：8+8+4＝20．
故选：B．
题型04 三角形的三边关系与绝对值的化简
【典例1】已知三角形的三边长分别为2，a﹣1，4，则化简|a﹣3|+|a﹣7|的结果为（ ）
A．2a﹣10 B．10﹣2a C．4 D．﹣4
【分析】据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；即可求a的取值范围，进
而得到化简结果．
【解答】解：由三角形三边关系定理得4﹣2＜a﹣1＜4+2，
即3＜a＜7．
∴|a﹣3|+|a﹣7|＝a﹣3+7﹣a＝4．
故选：C．
【变式1】已知a，b，c是一个三角形的三条边长，则化简|a﹣c﹣b|﹣|c﹣a+b|＝ 0 ．
【分析】根据三角形三边关系得到a﹣c﹣b＜0，c﹣a+b＞0，再去绝对值，合并同类项即可求解．
【解答】解：∵a，b，c是一个三角形的三条边长，
∴a﹣c﹣b＜0，c﹣a+b＞0，
∴|a﹣c﹣b|﹣|c﹣a+b|
＝﹣（a﹣c﹣b）﹣（c﹣a+b）
＝﹣a+c+b﹣c+a﹣b
＝0．
故答案为：0．
【变式2】已知a，b，c是三角形的三边长，化简：|a﹣b﹣c|+|b﹣c+a|+|c﹣a﹣b|＝ a + 3 b ﹣ c ．
【分析】此题的关键是根据三角形三边之间的关系得出a、b、c之间的大小关系，再根据绝对值的性质
求值．
【解答】解：∵a、b、c是三角形的三边长，∴a+b＞c，b+c＞a，a+b＞c，
∴a﹣b﹣c＜0，b﹣c+a＞0，c﹣a﹣b＜0，
∴|a﹣b﹣c|+|b﹣c+a|+|c﹣a﹣b|＝﹣a+b+c+b﹣c+a﹣（c﹣a﹣b）＝a+3b﹣c．
故答案为：a+3b﹣c．
【变式3】已知三角形的三边长分别为a，b，c，化简：|a+b﹣c|﹣2|a﹣b﹣c|+|a+b+c|．
【分析】三角形三边满足的条件是：两边和大于第三边，两边的差小于第三边，根据此条件来确定绝对
值内的式子的正负，从而化简计算即可．
【解答】解：∵△ABC的三边长分别是a、b、c，
∴必须满足两边之和大于第三边，两边的差小于第三边，则a+b﹣c＞0，a﹣b﹣c＜0，a+b+c＞0，
∴|a+b﹣c|﹣2|a﹣b﹣c|+|a+b+c|＝a+b﹣c+2a﹣2b﹣2c+a+b+c＝4a﹣2c．
1．在学习“认识三角形”一节时，小颖用四根长度分别为 2cm，3cm，4cm，5cm的小棒摆三角形，那么
所摆成的三角形的周长不可能是（ ）
A．9cm B．10cm C．11cm D．12cm
【分析】根据三角形的三边关系定理：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，判断即可
得．
【解答】解：当三角形三边长分别为：2cm，3cm，5cm时，
∵2+3＝5，不能构成三角形，
∴所摆成的三角形的周长不可能是10cm，
故选：B．
2．如图所示，为估计池塘两岸A，B间的距离，小华在池塘一侧选取一点P，测得PA＝8m，PB＝6m，那
么A，B之间的距离不可能是（ ）
A．8m B．10m C．12m D．14m
【分析】三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边，由此得到2
＜AB＜14，即可得到答案．
【解答】解：由三角形三边关系定理得：8﹣6＜AB＜8+6，
∴2＜AB＜14，
∴A、B之间的距离不可能是14m．
故选：D．3．在△ABC中，AB＝8，BC＝2，AC的长为奇数，△ABC的周长为（ ）
A．17 B．19 C．17或21 D．17或19
【分析】首先根据三角形的三边关系定理可得2﹣2＜AC＜2+2，再根据AC为奇数确定AC的值．
【解答】解：由题意得：8﹣2＜AC＜8+2，
即：6＜AC＜10，
∵AC为奇数，
∴AC＝7或9，
∴△ABC的周长为17或19．
故选：D．
4．已知三角形的三边长分别为3，5，x，则x不可能是（ ）
A．3 B．5 C．7 D．8
【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，先求出 x的取值范围，再根
据取值范围选择．
【解答】解：∵3+5＝8，5﹣3＝2，
∴2＜x＜8．
故选：D．
5．已知数轴上点A，B，C，D对应的数字分别为﹣1，1，x，7，点C在线段BD上且不与端点重合，若线
段AB，BC，CD能围成三角形，则x的取值范围是（ ）
A．1＜x＜7 B．2＜x＜6 C．3＜x＜5 D．3＜x＜4
【分析】由三角形三边关系定理得： ，得到不等式组的解集是3＜x＜5，即可得到答
案．
【解答】解：由点在数轴上的位置得：AB＝1﹣（﹣1）＝2，BC＝x﹣1，CD＝7﹣x，
由三角形三边关系定理得： ，
不等式①恒成立，
由不等式②得：x＞3，
由不等式③得：x＜5，
∴不等式组的解集是3＜x＜5，
故选：C．
6．若△ABC的三边长分别为5，3，k，且关于y的一元一次方程3（y﹣1）﹣2（y﹣k）＝7的解为非正数，
则符合条件的所有整数k的和为（ ）
A．13 B．18 C．21 D．26【分析】直接解一元一次方程，进而表示出y的值，再利用三角形三边关系得出k的值，即可得出答案．
【解答】解：3（y﹣1）﹣2（y﹣k）＝7，
则3y﹣3﹣2y+2k＝7，
解得：y＝10﹣2k，
∵关于y的一元一次方程3（y﹣1）﹣2（y﹣k）＝7的解为非正数，
∴10﹣2k≤0，
解得：k≥5，
∵△ABC的三边长分别为5，3，k，
∴2＜k＜8，
故符合题意的k的值为：5，6，7，
则符合条件的所有整数k的和为：5+6+7＝18．
故选：B．
7．已知三角形两边长分别为6和3，第三边的长是整数，这个三角形周长的最小值是 1 3 ．
【分析】根据三角形三边关系即可求解．
【解答】解：设第三边长为a，
∴3＜a＜9，
∵第三边为整数，
∴最小整数为4，
∴周长最小为6+4+3＝13，
故答案为：13．
8．如果不等边三角形的三边长分别是2、7、x+1，那么整数x的取值是 5 或 7 ．
【分析】先根据三角形的三边关系求出x的取值范围，再求出符合条件的x的值即可．
【解答】解：依题意有7﹣2＜x+1＜7+2，即4＜x＜8，
所以符合条件的整数x的取值为：5或7．
故答案为：5或7．
9．在一节数学活动课上，小敏同学用火柴棍拼成一排由三角形组成的图形，如图所示．按照这种方式继
续拼下去，若图形中用了41根火柴棍，则图形中含有 2 0 个三角形．
【分析】根据图形的变化，通过归纳总结得到规律．
【解答】解：1个三角形需要火柴棍3根，
2个三角形需要火柴棍5根，
3个三角形需要火柴棍7根，
…，
发现规律：n个三角形需要火柴棍2n+1根，
∴2n+1＝41，
解得：n＝20．故答案为：20．
10．若a，b，c是三角形的三边，则|b﹣c﹣a|+|a﹣b+c|﹣|a﹣b﹣c|＝ 3 a ﹣ 3 b + c ．
【分析】利用三角形的三边关系得到b﹣c﹣a＜0，a﹣b+c＞0，a﹣b﹣c＜0，然后去绝对值符号后化简
即可．
【解答】解：∵a，b，c是△ABC的三边长，
∴b﹣c﹣a＜0，a﹣b+c＞0，a﹣b﹣c＜0，
∴原式＝﹣b+c+a+a﹣b+c+a﹣b﹣c＝3a﹣3b+c．
故答案为：3a﹣3b+c．
11．已知a，b，c为△ABC的三边长，b，c满足|b﹣2|+（c﹣3）2＝0，且a为方程|a﹣5|＝1的解，则
△ABC的周长为 9 ．
【分析】利用绝对值的性质以及偶次方的性质得出b＝2、c＝3的值，再解绝对值方程可得a＝6或a＝
4，进而利用三角形三边关系得出a的值，进而求出△ABC的周长．
【解答】解：∵|b﹣2|+（c﹣3）2＝0，
∴b﹣2＝0且c﹣3＝0，
∴b＝2、c＝3，
∵a为方程|a﹣5|＝1的解，
∴a＝6或a＝4，
又2+3＜6，不能构成三角形，
∴a＝4，
则△ABC的周长为2+3+4＝9，
故答案为：9．
12．已知△ABC的周长为45cm，
（1）若AB＝AC＝2BC，求BC的长；
（2）若AB：BC：AC＝2：3：4，求△ABC三条边的长．
【分析】（1）根据三角形的周长公式列出关于BC的方程并解答即可求得答案；
（2）设AB＝2x，则BC＝3x，AC＝4x，根据三角形的周长公式列出方程并解答．
【解答】解：（1）由题意，得AB+AC+BC＝2BC+2BC+BC＝45cm，
解得BC＝9cm．
即BC的长是9cm．
（2）设AB＝2x cm，则BC＝3x cm，AC＝4x cm，
由题意，得2x+3x+4x＝45，
解得x＝5．
故2x＝10，3x＝15，4x＝20．
所以AB＝10cm，则BC＝15cm，AC＝20cm．
13．已知△ABC的三边长为a，b，c，且a，b，c都是整数．
（1）若a＝2，b＝5，且c为偶数．求△ABC的周长．（2）化简：|a﹣b+c|﹣|b﹣c﹣a|+|a+b+c|．
【分析】（1）先根据三角形的三边关系得出c的取值范围，再由c为偶数即可得出c的值，进而可得出
结论；
（2）根据三角形的三边关系得出a+c＞b，再去绝对值符号，合并同类项即可．
【解答】解：（1）∵a＝2，b＝5，
∴5﹣2＜c＜5+2，
∴3＜c＜7，
∵c为偶数，
∴c＝4或6，
当c＝4时，△ABC的周长＝a+b+c＝2+5+4＝11；
当c＝6时，△ABC的周长＝a+b+c＝2+5+6＝13，
综上所述，△ABC的周长为11或13；
（2）∵△ABC的边长为a，b，c，
∴a+c＞b，
∴|a﹣b+c|﹣|b﹣c﹣a|+|a+b+c|
＝a+c﹣b﹣（a+c﹣b）+a+b+c
＝a+c﹣b﹣a﹣c+b+a+b+c
＝a+b+c．
14．一个三角形的两边b＝2，c＝7．
（1）当各边均为整数时，有几个三角形？
（2）若此三角形是等腰三角形，则其周长是多少？
【分析】（1）根据三角形三边关系得出第三边长的范围，进而解答即可；
（2）根据等腰三角形的性质解答即可．
【解答】解：（1）设第三边长为a，则5＜a＜9，
由于三角形的各边均为整数，则a＝6或7或8，因此有三个三角形；
（2）当a＝7时，有a＝7＝c，所以周长为7+7+2＝16．
15．小刚准备用一段长32米的篱笆围成一个三角形形状的场地，用于饲养鸡，已知第一条边长为m米，
由于条件限制，第二条边长只能比第一条边长的2倍少3米．
（1）请用含m的式子表示第三条边长；
（2）第一条边长能否为10米？为什么？
【分析】（1）本题需先表示出第二条边长，即可得出第三条边长；
（2）当m＝10时，三边长分别为10，17，5，根据三角形三边关系即可作出判断．
【解答】解：（1）∵第一条边长为m米，第二条边长只能比第一条边长的2倍少3米
∴第二条边长为（2m﹣3）米，
∴32﹣m﹣（2m﹣3）＝（35﹣3m）米；
∴第三条边长为（35﹣3m）米；（2）不能，
因为当m＝10时，三边长分别为10，17，5，
由于10+5＜17，所以不能构成三角形，即第一条边长不能为10米．
16．如图，在△ABC中，点D、E分别为边AB、AC上的动点．
（1）若AD＝5，DE＝3时，AE的长恰好是偶数，则AE的长为 4 或 6 ；
（2）若BC∥DE时，∠B＝60°，∠CED＝105°，求∠A的度数．
【分析】（1）由三角形三边关系定理得2＜AE＜8，由AE的长恰好是偶数，即可得到答案．
（2）由平行线的性质推出∠ADE＝∠B＝60°，由三角形外角的性质得到∠A＝∠CED﹣∠ADE＝45°．
【解答】解：（1）由三角形三边关系定理得：5﹣3＜AE＜5+3，
∴2＜AE＜8，
∵AE的长恰好是偶数，
∴AE的长为4或6．
故答案为：4或6．
（2）∵BC∥DE，
∴∠ADE＝∠B＝60°，
∵∠CED＝105°，
∴∠A＝∠CED﹣∠ADE＝105°﹣60°＝45°．
