第18章 分式章末题型过关卷
【人教版】
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
4m-a
1．（3分）（2024·河北·一模）只把分式 中的m，n同时扩大为原来的3倍后，分式的值也不会变，
5n
则此时a的值可以是下列中的（ ）
m
A．2 B．mn C． D．m2
3
【答案】C
【分析】根据分式的性质，分子分母的m，n同时扩大为原来的3倍后，分式的值也不会变，则a为含m或
n的一次单项式，据此判断即可．
4m-a
【详解】解：∵ 中的m，n同时扩大为原来的3倍后，分式的值也不会变，
5n
∴a为含m或n的一次单项式，故只有C符合题意．
故选C．
【点睛】本题考查了分式的性质，掌握分式的性质是解题的关键．
x2 y y
2．（3分）（2024·全国·八年级单元测试）计算 ÷(－ )·( )2的结果是（ ）
y x x
x2 x x2
A．－x B．－ C． D．
y y y
【答案】A
【分析】分式的运算首先要分清运算顺序，在这个题目中，首先进行乘方运算，然后统一成乘法运算，最
后进行约分运算．
x2 x y2
【详解】原式=− • • ＝-x．
y y x2
故选A．
【点睛】在计算过程中需要注意的是运算顺序．分式的乘除运算实际就是分式的约分．
1 kx-1
3．（3分）（2024·全国·八年级专题练习）若分式方程 +2= 有增根， 则k的值是（ ）
x-2 x-2
A．1 B．-1 C．2 D．-2【答案】A
【分析】使分母等于0的未知数的值是分式方程的增根，即x=2，将x=2代入化简后的整式方程中即可求出
k的值.
1 kx-1
【详解】 +2= ，
x-2 x-2
去分母得：1+2（x-2）=kx-1，
整理得：2x-2=kx，
∵分式方程有增根，
∴x=2，
将x=2代入2x-2=kx，
2k=2，
k=1，
故选：A.
【点睛】此题考查分式方程的增根，正确理解增根的意义得到未知数的值是解题的关键.
a b 1 1
4．（3分）（2024·山东威海·期中）设p= - ，q= - ，则p，q的关系是( )
a+1 b+1 a+1 b+1
A．p=q B．p>q
C．p=-q D．p<q
【答案】C
【分析】判断p，q的关系，可以计算(p+q)的结果，由此即可求解．
【详解】解：根据题意得，
a b 1 1 a+1 b+1
p+q= - + - = - =1-1=0，
a+1 a+1 a+1 b+1 a+1 b+1
∴p，q的关系是互为相反数，
故选：C．
【点睛】本题主要考查分式的加减混合运算，掌握分式加减法法则是解题的关键．
5．（3分）（2024·浙江·杭州市文澜中学七年级期中）一件工程，甲单独做需要a小时完成，乙单独做需
要b小时完成．若甲、乙二人合作完成此项工作，需要的时间是（ ）
a+b (1 1) 1 ab
A． 小时 B． + 小时 C． 小时 D． 小时
2 a b a+b a+b
【答案】D1 1
【分析】由题意可得甲单独做每小时完成工程的 ，乙单独做每小时完成工程的 ，然后根据工作时间=工
a b
作总量÷工作效率列式计算即可．
1 1
【详解】解：∵甲单独做每小时完成工程的 ，乙单独做每小时完成工程的 ，
a b
1 ab
=
∴甲、乙二人合作完成此项工作需要的小时数是1 1 a+b（小时）；
+
a b
故选：D．
【点睛】本题考查了列代数式，读懂题意，找到题目中隐含的数量关系是解本题的关键．
1 1 5x+xy-5 y
6．（3分）（2024·广西贵港·八年级期中）已知 - =3，则分式 的值为（ ）
x y x-xy- y
7 2
A．8 B． C． D．4
2 7
【答案】B
【分析】把已知整理成x- y=-3xy，再整体代入求解即可．
1 1 y-x
【详解】解：∵ - =3，即 =3，
x y xy
∴y-x=3xy，即x- y=-3xy，
5x+xy-5 y 5(x- y)+xy 5×(-3xy)+xy -14xy 7
∴ = = = = ，
x-xy- y (x- y)-xy (-3xy)-xy -4xy 2
故选：B．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，在本题中能理解整体思想并且将x- y=-3xy整体代入是解题关键．
7．（3分）（2024·甘肃·临泽县第三中学九年级期中）《九章算术》中记载：“今有兔先走一百步，犬追
之二百五十步，不及三十步而止．问犬不止，复行几何步及之？”大意是说：兔子先出发100步，然后狗
出发，狗跑了250步后，距离兔子还有30步，问：如果狗不停的话，再跑多少步可以追到兔子？若设如果
狗不停的话，再跑x步可以追到兔子，则可列方程为（ ）
250 x 250 x-30 250 x+30 250 x
A． ＝ B． ＝ C． ＝ D． ＝
180 x+30 180 x 180 x 180 x-30
【答案】D
【分析】根据题意可得狗与兔子的速度比为250：180，设狗再跑x步，可追上兔子，此时兔子跑的步数为：
（x-30）步，根据题意列出方程，即可求解．
【详解】解：兔子先出发100步，狗跑了250步后距兔子30步，
∴兔子跑了250-100+30=180（步），即狗与兔子的速度比为250：180，
设狗再跑x步，可追上兔子，此时兔子跑的步数为：（x-30）步，根据题意得：
250 x
＝ ．
180 x-30
故选：D
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，根据题意得到狗与兔子的速度比为250：180是解题的关键．
8．（3分）（2024·重庆巴蜀中学九年级阶段练习）若关于y的不等式组¿的解集为y≤－4，且关于x的分式
1-x a
方程 +4= 的解是非负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
x-3 3-x
A．12 B．14 C．19 D．21
【答案】C
1+a 11-a 11-a
【分析】先解分式方程得x=4- ，再由题意可得 ≤0，且 ≠3，可求得a≤11且a≠2而且
3 3 3
1+a为3的倍数，；再解不等式组，结合题意可得a>-7，则可得所有满足条件的整数a有-4， -1， 5，
8， 11，求和即可．
1-x a
【详解】解： +4= ，
x-3 3-x
(1-x)+4(x-3)=-a，
3x=11-a，
11-a 1+a
x= =4- ，
3 3
∵方程的解为非负整数，
1+a
∴11-a≥0， 为整数，
3
∴a≤11，而且1+a为3的倍数，
又∵x≠3，
11-a
∴ ≠3，
3
∴a≠2，
∴a≤11且a≠2，而且1+a为3的倍数，
¿，
由①得y≤-4，
由②得y<a+3，∵不等式组的解集为y≤－4，
∴a+3>-4，
∴a>-7
∴符合条件a的整数有-4， -1， 5， 8， 11，
∴符合条件的所有整数a的和为=(-4)+(-1)+5+8+11=19，
故选：C．
【点睛】本题考查分式方程的整数解，一元一次不等式组的解集，熟练掌握一元一次不等式组的解集取法，
分式方程的解法，注意分式方程增根的情况是解题的关键．
1 1 1
9．（3分）（2024·山东·济南外国语学校九年级）设x≤0，y≤0，z≤0，则三数x+ ，y+ ，z+ 中
y z x
（ ）
A．都不大于－2 B．都不小于－2
C．至少有一个不大于－2 D．至少有一个不小于－2
【答案】C
( 1) ( 1) ( 1) 1 1
【分析】首先把三个数相加，得到 x+ + y+ + z+ ，由已知可知x+ ≤-2，y+ ≤-2，
x y z x y
1 1 1 1
z+ ≤-2，可得x+ + y+ +z+ ≤-6，据此即可判定．
z y z x
1 1 1 ( 1) ( 1) ( 1)
【详解】解：x+ + y+ +z+ = x+ + y+ + z+ ，
y z x x y z
∵x≤0，y≤0，z≤0，
1 1 1
∴x+ ≤-2，y+ ≤-2，z+ ≤-2，当且仅当x= y=z=-1时，取等号
x y z
1 1 1
∴x+ + y+ +z+ ≤-6，
y z x
1 1 1
当这三个数都大于-2时，这三个数的和一定大于-6，这与x+ + y+ +z+ ≤-6矛盾，
y z x
∴这三个数中至少有一个不大于-2，
故选：C．
【点睛】本题考查了利用不等式的取值及反证法，判定命题的真假，难度比较大．
2
10．（3分）（2024·湖南·衡阳市成章实验中学八年级阶段练习）已知函数f(x)= ，其中f(a)表示
1+x2 2 1 1 1
x=a时对应的函数值，如f(1)= ，f(2)= ，则f( )+f( )+…f( )+f(1)+f(2)+…+
1+1 1+2 2022 2021 2
f(2021)+f(2022)的值为（ ）
A．2022 B．2021 C．4043 D．4042
【答案】C
【分析】首先根据已知条件把所求的式子进行化简，再代入相关数值，计算即可．
(1) 2 2a
f = =
【详解】解：∵ a 1 a+1，
1+
a
则有：
( 1 ) ( 1 ) (1)
f +f +…+f
2022 2021 2
4044 4042 4040 4
= + + +…+ ，
2023 2022 2021 3
f (1)+f (2)+…+f (2020)+f (2021)+f (2022)
2 2 2 2
=1+ + +…+ + ，
3 4 2022 2023
4044 4042 4040 4 2 2 2 2
则原式= + + +…+ +1+ + +…+ +
2023 2022 2021 3 3 4 2022 2023
(4 2) (6 2) (4044 2 )
=1+ + + + +…+ +
3 3 4 4 2023 2023
=1+(2023-2)×2
=4043，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了函数值的计算，计算的关键是理解已知条件中的关系式，对每个式子进行化简．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
x y z xy-x2
11．（3分）（2024·辽宁大连·八年级期末）已知 = = ，则 =_____．
2 3 4 yz
1
【答案】
6
x y z
【分析】设 = = =k，则有x=2k，y=3k，z=4k，代入即可求解．
2 3 4
x y z
【详解】设 = = =k，根据题意有，k≠0，
2 3 4
则有x=2k，y=3k，z=4k，即xy-x2 (2k)(3k)-(2k) 2 6k2-4k2 1，
= = =
yz (3k)(4k) 12k2 6
1
故答案为： ．
6
x y z
【点睛】本题考查为了分式的求值，设 = = =k是解答本题的关键．
2 3 4
2x+1
12．（3分）（2024·浙江舟山·七年级期末）在分式 中，当_________时，分式有意义；当x=
3x-5
___________，分式的值为零．
5 1
【答案】 x≠ x=-
3 2
【分析】要使分式有意义，则需要满足分式的分母不为零，即3x-5≠0；要使分式的值为零，则需要满足
分式的分子为零，分母不为零，即2x+1=0，3x-5≠0．
5
【详解】解：分式有意义，则3x-5≠0，即x≠ ，
3
1
分式的值为零，则¿，解得x=-
2
5 1
故答案为x≠ ，x=-
3 2
【点睛】本题考查分式有意义的条件以及分式值为零的条件，解题的关键是掌握分式的分母不为0时分式
有意义，分式的分子为0分母不为0时，分式的值为0．
2 3
13．（3分）（2024·辽宁·本溪满族自治县教师进修学校八年级期末）若关于x的分式方程 + =0的
x x-a
解为x=4，则常数a的值________________．
【答案】10
【分析】根据分式方程的解的定义把x=4代入原分式方程得到关于a的方程，然后求解即可．
2 3
【详解】解：把x=4代入分式方程 + =0，得
x x-a
2 3
+ =0，
4 4-a
解得：a=10，
经检验a=10是方程的解，
故答案为：10．【点睛】此题考查了分式方程的解和解分式方程，解题的关键是注意分式方程分母不能为0．
x-a 1
14．（3分）（2024·湖南·邵阳市第六中学八年级阶段练习）若关于x的分式方程 = 无解，则a=
2x-4 3
________．
【答案】2
【分析】先去分母，将原方程化为整式方程，根据一元一次方程无解的条件看能否得出一类a值，再根据
分式方程无解的条件看能否得出另外一类a值即可．
x-a 1
【详解】解： = ，
2x-4 3
去分母得：3(x-a)＝2x-4，
整理得：x=3a-4，
由于此方程未知数的系数是1不为0，故无论a取何值时，3(x-a)＝2x-4都有解，故此情形下无符合题
意的a值；
由分式方程无解即有增根，可得2x﹣4＝0，得x=2
把x＝2代入x=3a-4，
解得：a＝2，故此情形下符合题意的a值为2；
x-a 1
综上，若要关于x的分式方程 = 无解，a的值为2．
2x-4 3
故答案为： 2．
【点睛】本题考查了分式方程的解，熟练掌握分式方程及整式方程无解的条件是解题的关键．
15．（3分）（2024·湖南长沙·七年级阶段练习）已知6x3+10x Ax+B Cx+D ，其中 ， ， ，
= + A B C
x4+x2+1 x2+x+1 x2-x+1
D为常数，则A+B+C+D=______．
【答案】6
【分析】由于 ，利用这个等式首先把已知等式右边通分化
x4+x2+1=(x2+1) 2-x2=(x2+1+x)(x2+1-x)
简，然后利用分母相同，分式的值相等即可得到分子相等，由此即可得到关于A、B、C、D的方程组，
解方程组即可求解．
【详解】解： 6x3+10x Ax+B Cx+D ，且 ，
∵ = + x4+x2+1=(x2+1) 2-x2=(x2+1+x)(x2+1-x)
x4+x2+1 x2+x+1 x2-x+16x3+10x (Ax+B)(x2+1-x)+(Cx+D)(x2+1+x)
∴ =
x4+x2+1 x4+x2+1
∴6x3+10x=(Ax+B)(x2+1-x)+(Cx+D)(x2+1+x)
∴当x=0时，B+D=0①
当x=1时，A+B+3(C+D)=16②
当x=-1时，3(B-A)+D-C=-16③
∵ ,
6x3+10x=(Ax3+Bx2)+(Ax+B)(1-x)+(Cx3+Dx2)+(Cx+D)(1+x)
即6x3+10x=(A+C)x3+Bx2+(Ax+B)(1-x)+Dx2+(Cx+D)(1+x)
∴A+C=6④
联立①②③④解之得
A=C=3、B=-2、D=2，
∴A+B+C+D=6．
故答案为：6．
【点睛】此题主要考查了部分分式的计算，题目比较复杂，解题时首先正确理解题意，然后根据题意列出
关于A、B、C、D的方程组即可解决问题．
a b
16．（3分）（2024·吉林·九年级专题练习）设a，b，c，d都是正数，且S＝ + +
a+b+d a+b+c
c d
+ ，那么S的取值范围是__．
b+c+d a+c+d
【答案】1＜S＜2
【分析】根据分式的性质，分别将分母扩大、缩小，通过分式加减，计算即可得到结论．
【详解】∵a，b，c，d都是正数
a b c d a b c d
∴S＝ + + + ＞ + + + ＝
a+b+d a+b+c b+c+d a+c+d a+b+c+d a+b+c+d a+b+c+d a+b+c+d
a+b+c+d
＝1
a+b+c+d
a b c d a b c d a+b c+d
S＝ + + + ＜ + + + ＝ + ＝2
a+b+d a+b+c b+c+d a+c+d a+b a+b c+d c+d a+b c+d
∴1＜S＜2
故答案为：1＜S＜2．【点睛】本题考查了分式的知识；解题的关键是熟练掌握分式加减运算的性质，从而完成求解．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）（2024·山东·龙口市教学研究室八年级期中）（1）化简：x2+2x+1 x ；
-
x2-1 x-1
3x2-9x 5
（2）先化简，再求值： ÷（x+2- )，其中x=-1．
x-2 x-2
1
【答案】（1）
x-1
3x 3
（2） ，-
x+3 2
【分析】（1）根据分式的减法法则计算即可；
（2）根据分式的混合运算法则计算，将分式化简，再把x=-1代入化简式计算即可．
【详解】解：（1）原式 (x+1) 2 x
= -
(x-1)(x+1) x-1
x+1 x
= -
x-1 x-1
1
= ．
x-1
3x(x-3) x2-4-5
（2）原式＝ ÷
x-2 x-2
3x(x-3) x-2
＝ ⋅
x-2 (x+3)(x-3)
3x
= ，
x+3
3×(-1) 3
当x=-1时，原式＝ =- ．
-1+3 2
【点睛】本题考查分式化简求值，熟练掌握分式运算法则是解题的关键．
18．（6分）（2024·天津东丽·八年级期末）解分式方程
1 1-x
（1） = -3
x-2 2-x
1 1 6-x
（2） = -
2-x x-2 3x2-12
6
【答案】（1）无解；（2）x＝﹣
7【分析】（1）两边同时乘以x-2化为整式方程，解得x=2后检验即可；
6
（2）先去分母化为一元一次方程，解方程得到x=- ，再检验即可.
7
【详解】（1）去分母得：1＝x﹣1﹣3x+6，
解得：x＝2，
经检验x＝2是增根，分式方程无解；
（2）去分母得：﹣3（x+2）＝3（x+2）﹣6+x，
去括号得：﹣3x﹣6＝3x+6﹣6+x，
移项合并得：7x＝﹣6，
6
解得：x＝﹣ ，
7
6
经检验x＝﹣ 是分式方程的解．
7
【点睛】此题考查解分式方程，按照去分母化为整式方程，再去括号、移项、合并同类项、系数化为1的
步骤解方程，得到解后必须代入最简公分母中检验，当未知数的值使分母为0，则该解不是分式方程的解，
如果不等于0，则该解是原分式方程的解.
2 mx 3
19．（8分）（2024·山东·招远市教学研究室八年级期中）关于x的分式方程 + =
x-2 (x+1)(x-2) x+1
(1)若方程的增根为x=2，求m的值；
(2)若方程有增根，求m的值；
(3)若方程无解，求m的值.
【答案】(1)-3
(2)9或-3
(3)1或9或-3
【分析】（1）根据分式方程的性质先去分母，再移项并合并同类项，结合题意，通过求解一元一次方程，
即可得到答案；
（2）根据分式方程增根的性质，首先得方程的增根为x=-1或x=2，再通过计算即可得到答案；
（3）结合（1）的结论，根据分式方程和一元一次方程的性质计算，即可得到答案.
2 mx 3
【详解】（1）∵ + = ，
x-2 (x+1)(x-2) x+1
去分母得：2(x+1)+mx=3(x-2)，移项并合并同类项，得：(m-1)x+8=0，
当方程的增根为x=2时，(m-1)×2+8=0，
∴m=-3；
（2）当方程有增根时，方程的增根为x=-1或x=2，
当x=2时，m=-3，
当x=-1时，(m-1)×(-1)+8=0，
解得：m=9，
∴m=9或m=-3；
（3）∵(m-1)x+8=0
当方程无增根，且m-1=0时，方程无解，
∴得m=1，
当方程有增根，且x=-1时，m=9，方程无解，
当方程有增根，且x=2时，m=-3，方程无解，
∴当m=1或m=9或m=-3时，方程无解．
【点睛】本题考查了分式方程的知识；解题的关键是熟练掌握分式方程的性质，从而完成求解.
20．（8分）（2024·湖南·永州市冷水滩区京华中学八年级阶段练习）永州市万达广场筹建之初的一项挖土
工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，每施工一天，需付甲工程队工程款2.4万元，付乙工程队
工程款1.8万元，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，可有三种施工方案：
(方案一)甲队单独完成这项工程，刚好按规定工期完成；
(方案二)乙队单独完成这项工程要比规定工期多用6天；
(方案三)若由甲、乙两队合作做5天，剩下的工程由乙队单独做，也正好按规定工期完工．
(1)请你求出完成这项工程的规定时间；
(2)如果你是工程领导小组的组长，为了节省工程款，同时又能如期完工，你将选择哪一种方案?说明理由．
【答案】(1)30天；
(2)选择方案三,理由为既节省了工程款且又能如期完工．
【分析】（1）设完成这项工程的规定时间为 x 天,则甲队单独完成这项工程为x天,乙队单独完成这项工程
为(x+6)天，然后根据“甲、乙两队合作做5天，剩下的工程由乙队单独做，也正好按规定工期完工”列
分式方程求解即可；
（2）根据题意可知有方案一和方案三符合条件，然后分别求出方案一和方案三的工程款，然后比较即可
解答．（1）
解：设完成这项工程的规定时间为 x 天,则甲队单独完成这项工程为x天,乙队单独完成这项工程为(x+6)
天
1 1 1
由题意得：( + )×5+ ×(x-5)=1，解得: x=30
x x+6 x+6
经检验: x=30是原分式方程的解.
答:完成这项工程的规定时间为30天.
（2）
解：如期完工时，只有方案一和方案三符合条件
方案一工程款:30×2.4=72 (万元)
方案三工程款：5×(2.4+1.8)+(30-5)×1.8=66 (万元)
∵72＞66
∴选择方案三．
答:选择方案三,理由为既节省了工程款且又能如期完工．
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用、列代数式计算等知识点，灵活运用分式方程解决实际问题是解
答本题的关键．
21．（8分）（2024·福建·福州日升中学八年级期末）阅读：
(x-a)(x-b)
对于两个不等的非零实数a，b，若分式 的值为零，则x=a或x=b．又因为
x
(x-a)(x-b) x2-(a+b)x+ab ab ab
= =x+ -(a+b)，所以关于x的方程x+ =a+b有两个解，分别为
x x x x
x =a,x =b．
1 2
应用上面的结论解答下列问题：
8
(1)方程x+ =6有两个解，分别为x =2，x =________．
x 1 2
m-n m+4mn-n
(2)关于x的方程x+ = 的两个解分别为x =2，x =_________．
mnx 2mn 1 2
(3)关于x的方程 n2-n 的两个解分别为 ，求2x -1的值．
2x+ =2n x ,x (x <x ) 1
2x-1 1 2 1 2 2x
2
【答案】(1)4．
m-n
(2) ．
2mnn-1
(3) ．
n+1
【分析】（1）方程变形后，利用题中的结论确定出方程的解即可；
（2）方程变形后，根据利用题中的结论，确定出x 与x 的值即可；
1 2
（3）方程变形后，根据利用题中的结论表示出为x、x，代入原式计算即可得到结果．
1 2
(1)
解：∵2×4=8，2+4=6，
8
∴方程x+ =6的两个解分别为x=2，x=4．
1 2
x
故答案为：4．
(2)
m-n
×2
解：方程变形得： 2mn m-n ，
x+ = +2
x 2mn
m-n
由题中的结论得：方程有一根为2，另一个根为 ；
2mn
m-n
则x=2，x= ；
1 2
2mn
m-n
故答案为： ．
2mn
(3)
n(n-1)
解：方程整理得： 2x-1+ =n+n-1，
2x-1
得2x-1=n-1或2x-1=n，
n n+1
可得x= ，x= ，
1 2
2 2
n-1
则原式= ．
n+1
【点睛】此题考查了分式方程的解，弄清题中的规律是解本题的关键．
22．（8分）（2024·全国·八年级专题练习）我们定义：如果两个分式A与B的差为常数，且这个常数为正
数，则称A是B的“雅中式”，这个常数称为A关于B的“雅中值”．
2x -2 2x -2 2x+2 2(x+1)
如分式A= ，B= ，A-B= - = = =2，则A是B的“雅中式”，A关于
x+1 x+1 x+1 x+1 x+1 x+1B的“雅中值”为2．
（1）已知分式 1 ， x2+5x+6，判断 是否为 的“雅中式”，若不是，请说明理由；若是，
C= D= C D
x+2 x2+4x+4
请证明并求出C关于D的“雅中值”；
E 2x
（2）已知分式P= ，Q= ，P是Q的“雅中式”，且P关于Q的“雅中值”是2，x为整数，且
9-x2 3-x
“雅中式”P的值也为整数，求E所代表的代数式及所有符合条件的x的值之和；
(x-b)(x-c) (x-a)(x-5)
（3）已知分式M= ，N= ，（a、b、c为整数），M是N的“雅中式”，且
x x
M关于N的“雅中值”是1，求a-b+c的值．
【答案】（1）不是，利用见解析；（2）E=18+6x,27；（3）16或8或-4或4.
【分析】（1）先化简D，再计算C-D，再根据“雅中值”的定义可得答案；
E 2x
（2）由定义可得： - =2,整理可得：E的表达式，再化简P， 根据x为整数，且“雅中式”P
9-x2 3-x
的值也为整数，得到：3-x是6的因数，从而可得答案；
(x-b)(x-c) (x-a)(x-5)
（3）由定义可得： - =1，整理可得：(-b-c+a+4)x+bc-5a=0,从而
x x
-b-c+a+4=0
可得：{ ，再消去a，结合因式分解可得b(c-5)-5(c-5)=5,结合a、b、c为整数，分类
bc-5a=0
讨论后可得答案．
【详解】解：（1） x2+5x+6 (x+2)(x+3) x+3 1
∵ D= = = , C=
x2+4x+4 (x+2) 2 x+2 x+2
1 x+3 x+2
∴C-D= - =- =-1,
x+2 x+2 x+2
∴ C不是D的“雅中式”．
（2）∵ P关于Q的“雅中值”是2，
∴P-Q=2，
E 2x
∴
- =2,
9-x2 3-x
∴E-2x(3+x)=2(9-x2 ),
∴E=18+6x,18+6x 6(3+x) 6
∴P= = = ,
9-x2 (3+x)(3-x) 3-x
∵ x为整数，且“雅中式”P的值也为整数，
∴3-x是6的因数，
∴3-x可能是：±1，±2，±3，±6，
∴x的值为：-3，0，1，2，4，5，6，9.
∵x≠±3,
∴x的值为：0，1，2，4，5，6，9.
∴0+1+2+4+5+6+9=27.
（3）∵ M是N的“雅中式”，且M关于N的“雅中值”是1，
∴M-N=1，
(x-b)(x-c) (x-a)(x-5)
∴ - =1，
x x
整理得：(-b-c+a+4)x+bc-5a=0,
由上式恒成立：
-b-c+a+4=0
∴{
bc-5a=0
消去a可得：bc-5b-5c+20=0,
∴bc-5b-5c+25=5,
∴b(c-5)-5(c-5)=5,
∴(b-5)(c-5)=5,
∵ a、b、c为整数
∴b-5,c-5为整数，
当b-5=1,c-5=5时，∴b=6,c=10,
此时：a=12,
∴ a-b+c=12-6+10=16,
当b-5=5,c-5=1时，∴b=10,c=6,
此时：a=12,
∴ a-b+c=12-10+6=8,
当b-5=-1,c-5=-5时，∴b=4,c=0,
此时：a=0,
∴ a-b+c=0-4+0=-4,
当b-5=-5,c-5=-1时，∴b=0,c=4,此时：a=0,
∴ a-b+c=0-0+4=4,
综上：a-b+c的值为：16或8或-4或4.
【点睛】本题考查的是新定义情境下的分式的运算，分式的化简，分式的值，解分式方程，因式分解的应
用，方程的整数解问题，代数式的值，掌握以上知识是解题的关键．
23．（8分）（2024·江苏省新海高级中学七年级期中）有一列按一定顺序和规律排列的数：
1 1 1
第一个数是 ；第二个数是 ；第三个数是 ；
1×2 2×3 3×4
2
对任何正整数n，第n个数与第(n+1)个数的和等于
n×(n+2)
1 1 1 1 1 1 1 1 1
（1）经过探究，我们发现： = - ， = - ， = -
1×2 1 2 2×3 2 3 3×4 3 4
1 1 1 1 1 1
设这列数的第5个数为a，那么①a> - ；②a= - ，③a< - ，则 正确（填序
5 6 5 6 5 6
号）．
（2）请你观察第1个数、第2个数、第3个数，猜想这列数的第n个数可表示 （用含n的式子表
2
示），并且证明：第n个数与第(n+1)个数的和等于 ；
n×(n+2)
1 1 1 1
（3）利用上述规律计算： + + +⋅⋅⋅+ 的值．
2020×2018 2018×2016 2016×2014 4×2
1 1009
【答案】（1）②；（2） ，证明见解析；（3）
n(n+1) 4040
1 1 1
【分析】（1）根据题干知道a= = - 即可得到结果；
5×6 5 6
1
（2）根据题干中的规律总结出第 个数表示为 ，再分别表示出第n个和第n+1个数求和即可；
n(n+1)
1
（3）根据题意发现每一项两分母之差为2，即通分后分子为2，故每一项乘以 即可，再提取公因数合并
2
各项计算即可．
1 1 1
【详解】解：（1）∵a= = - ，
5×6 5 6
1 1
∴a= - ；
5 6
故填： ②1
（2）第n个数表示为： ，
n(n+1)
1 1
证明：∵第n个数表示为： ， 第n+1个数表示为：
n(n+1) (n+1)(n+2)
1 1
∴ +
n(n+1) (n+1)(n+2)
1 (1 1 )
= +
n+1 n n+2
1 n+2+n
= ⋅
n+1 n(n+2)
1 2(n+1)
= ⋅
n+1 n(n+2)
2
=
n(n+2)
1 (1 1 ) 1 ( 1 1 ) 1 ( 1 1 ) 1 (1 1)
（3）原式= × - + × - + × - +⋯+ × -
2 2018 2020 2 2016 2018 2 2014 2016 2 2 4
1 (1 1 1 1 1 1 1 1)
= × - + - + - +⋯+ -
2 2018 2020 2016 2018 2014 2016 2 4
1 (1 1 )
= × -
2 2 2020
1 1009
= ×
2 2020
1009
=
4040
【点睛】此题考查了有理数运算的规律观察能力，从已知题干中提取规律解题运算是关键．
