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第24章 圆（基础卷）
一．选择题（每小题3分，共24分）
1.已知AB＝12 cm，过A，B两点画半径为8 cm的圆，则能画的圆的个数为( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个
【答案】C
【解析】分别以A、B为圆心，以8cm为半径画弧，两弧交于 C、D，如下图，
得以C为圆心，以8cm为半径的圆经过点A和点B，
以D为圆心，以8cm为半径的圆经过点A和点B，
即能画的圆的个数是2个．
故选：C．
2.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若BE=5，AE=1，则弦CD的长是（
）
A．5 B． C． D．6
【答案】C
【解析】解：连接OC，
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，BE=5，AE=1，
∴CD=2CE，∠OEC=90°，AB=AE+BE=6，∴OC=OA=3，∴OE=OA-AE=3-1=2，在Rt△COE中，由勾股定理得： ，∴CD=2CE= ，
故选：C．
3.下列语句不正确的有（ ）个．
①直径是弦；②优弧一定大于劣弧；③长度相等的弧是等弧；④半圆是弧．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】解：①直径是弦，①正确；
②在同圆或等圆中，优弧大于劣弧，②错误；
③在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，③错误；
④半圆是弧，④正确；
故不正确的有 个．
故选：B．
4.如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，
若PA＝8，则△PCD的周长为( )
A．8 B．12 C．16 D．20
【答案】C
【解析】解：∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，
∴PA=PB=6，AC=EC，BD=ED，
∴PC+CD+PD=PC+CE+DE+PD=PA+AC+PD+BD=PA+PB=8+8=16，
即△PCD的周长为16．
故选：C．
5.如图，边长为2的菱形ABCD绕点A旋转，当B、C两点恰好落在扇形AEF的EF上时，弧BC的长度等
于（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：连接AC，
∵菱形ABCD中，AB=BC，又AC=AB，
∴AB=BC=AC，即△ABC是等边三角形．∴∠BAC=60°，
又∵AB=2，∴
故选B．
6.如图，AB是⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，∠ABC＝25°，OC的延长线交PA于点P，则∠P的度数
是( )
A．25° B．35° C．40° D．50°
【答案】C
【解析】 ，∠ABC＝25°， ，
AB是⊙O的直径， ， ．
故选C．
7.如图， 是 的直径，将弦 绕点 顺时针旋转 得到 ，此时点 的对应点 落在 上，延
长 ，交 于点 ，若 ，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【解析】解：如图，连接OE，OC，过点O作OF⊥CE于点F，
则 ，
由旋转得， ∴∠ ，
∵∠ ∴∠ ∴∠ ，∴∠
又∠ ∴∠
∴∠ ∴ ∴
∵ ∴∠ ∴∠
∴
故选：C．
8.如图，矩形ABCD是由边长为1的五个小正方形拼成，O是第2个小正方形的中心，将矩形ABCD绕O
点逆时针旋转90°得矩形 ，现用一个最小的圆覆盖这个图形，则这个圆的半径是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】作线段BC、 的垂直平分线MH、NH，两线的交点为H点，连接BH，如图，∵MH、NH为线段BC、 的垂直平分线，
∴BM= BC= ， = = ，
∴HM= -1= ，
∴ ，
故选：C．
二．填空题（每小题2分，共16分）
9.如图所示，O为△ABC的外心，若∠BAC＝70°，则∠OBC＝____．
【答案】20°
【解析】连接OC
∵∠BAC=70°，∴∠BOC=140°
∵OB=OC，∴∠OBC=(180°-∠BOC)÷2，∴∠OBC=20°
10.如图，从一个腰长为60cm，顶角为120°的等腰三角形铁皮OAB中剪出一个最大的扇形OCD，则此扇形
的弧长为______cm.【答案】
【解析】解：过O作OE⊥AB于E，
∵OA=OB=60cm，∠AOB=120°，∴∠A=∠B=30°，
∴OE= OA=30cm，∴弧CD的长= (cm)，
故答案为： ．
11.如图，AB是⊙O的直径，CD为⊙O的弦，CD⊥AB于点E，已知AB＝10，CD＝8，则OE=______．
【答案】3
【解析】解：连接OC，如图所示：
∴ ，
∵CD⊥AB，∴ ，
在Rt△OCE中，∠CEO=90°，OC=5，CE=4，
∴ ，
故答案为：3．
12.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，∠ADC=130°，连接AC，则∠BAC的度数为
___________．【答案】40°
【解析】解：∵四边形ABCD内接与⊙O，∠ADC=130°，∴∠B=180°-∠ADC=180°-130°=50°，
∵AB为直径，∴∠ACB=90°，∴∠CAB=90°-∠B=90°-50°=40°，
故答案为：40°．
13.如图，AC、AD为正六边形ABCDEF的两条对角线，若该正六边形的边长为2，则△ACD的周长为
_____．
【答案】
【解析】解：∵正六边形ABCDEF，∴∠B＝∠BCD 120°，AB＝BC，
∴∠ACB＝∠BCA＝30°，∴∠ACD＝120°﹣30°＝90°，
由对称性可得，AD是正六边形的对称轴，
∴∠ADC＝∠ADE ∠CDE＝60°，
在Rt△ACD中，CD＝2，∠ADC＝60°，∴AD＝2CD＝4，AC CD＝2 ，
∴△ACD的周长为AC+CD+AD＝2 2+4＝2 6，
故答案为：2 6．
14.如图所示，O为△ABC的外心，若∠BAC＝70°，则∠OBC＝____．【答案】20°
【解析】连接OC
∵∠BAC=70°，∴∠BOC=140°
∵OB=OC，∴∠OBC=(180°-∠BOC)÷2，∴∠OBC=20°
15.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，⊙O为Rt△ABC的内切圆，则图中阴影部分的面积为
（结果保留π）________．
【答案】 -
【解析】解：设切点分别为D、E、F，连接OD、OE、OF，
∵⊙O为Rt△ABC的内切圆，
∴AE=AF、BD=BF、CD=CE，OD⊥BC，OE⊥AC，
∵∠C=90°，∴四边形CDOE为正方形，
∴∠EOF+∠FOD=360°-90°=270°，
设⊙O的半径为x，则CD=CE=x，AE=AF=4-x，BD=BF=3-x，
∴4-x+3-x=5，解得x=1，
∴S =S△ABC-( S EOF+ S DOF)- S CDOE= ×3×4- ×1×1= - ．
阴影 扇形 扇形 正方形故答案为： - ．
16.如图，在四边形 中， 是四边形 的内切圆， 分别切 于F，
E两点，若 ，则 的长是
【答案】
【解析】连接OC，与EF相交于点M，作DG⊥BC于点G，连接OE，设AD与圆的切点为H，如图，
∵ ， ∴四边形ABGD是矩形，∴BG=AD=3，CG=BC-BG=6-3=3，
∵点E、F、H是切点，∴DF=DH，CF=CE，OC平分∠ECF，
∴△ECF是等腰三角形，OC是EF的垂直平分线，∴EM=FM，
设圆O半径为R，则BE=R，DG=2R，∴CE=CF=6-R，DF=DH=3-R，
∵ ，∴ 解得：R=2，∴CE=6-2=4，
∴ ，
∵ ， ∴ ，∴ ，
故答案为：
三．解答题（共60分）
17.（6分）如图，在⊙O中，D，E分别为半径OA，OB上的点，且AD＝BE.点C为 上一点，连接
CD，CE，CO，∠AOC＝∠BOC，求证：CD＝CE．【答案】见解析
【解析】证明：∵ ，
∴ ，即 ，
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ．
18.（8分）已知：如图， 为 的直径， ， 交 于 ， 于 ．
(1)请判断 与 的位置关系，并证明．
(2)连接 ，若 的半径为2.5， ，求 的长．
【答案】(1)见解析；(2)
【解析】（1）DE与 相切，
证明：连接AD、OD，
∵AB为O的直径，∴∠BDA= 90°，∴AD⊥BC，
又∵AB=AC，∴BD = DC，
又∵OB= OA，∴OD是△ABC的中位线，∴OD AC，
又∵DE⊥AC，∴DE⊥OD，∴DE是 的切线．（2）解：∵ 的半径为2.5，则AB=AC=5，
在 中，AD=3，AC=5，∴ ，
又∵ ，∴ ．
19.（8分）如图，AB为⊙O的直径，点C是AB右侧半圆上的一个动点，点D是AB左侧半圆的中点，DE
是⊙O的切线，切点为D，连接CD交AB于点P，点Q为射线DE上一动点，连接AD，AC，BQ，PQ．
(1)当PQ∥AD时，求证：△DPQ≌△PDA．
(2)若⊙O的半径为2，请填空：
①当四边形BPDQ为正方形时，DQ＝ ；
②当∠BAC＝ 时，四边形ADQP为菱形．
【答案】(1)见解析；(2)①2；②22.5°
【解析】（1）证明：连接OD，
∵点D为的中点，AB为⊙O的直径，∴OD⊥AB，
∵DE是⊙O的切线，∴OD⊥DE，∴DE∥AB，
又∵PQ∥AD，∴四边形ADQP是平行四边形，∴PQ＝DA，AP＝QD，
在△DPQ与△PDA中，，
∴△DPQ≌△PDA（SSS）；
（2）解：①如图，
∵四边形BPDQ是正方形，∴DQ＝DP，DQ⊥DP，
∵DE是⊙O的切线，∴DQ⊥OD，∴点P与点O重合，∴DQ＝OD＝2，
②∵四边形ADQP是菱形，∴DQ＝AD＝AP，∴∠ADP＝∠APD，
在Rt△AOD中，OA＝OD，∴∠DAO＝45°，
∴∠ADP＝∠APD＝（180°﹣45°）÷2＝67.5°，
又∵∠C ，∴∠BAC＝∠DPA﹣∠C＝67.5°﹣45°＝22.5°，
故答案为：2；22.5°．
20.（8分）如图， 中， ， ，过点 ， ， 的弧的半径为 ，点 在 上．
，切线 交 的延长线于点 ．
(1)求 的长；(2)求 的度数．
【答案】(1) ；(2)
【解析】（1）解：如图，连接 ，∵ ，∴ ，∵过点 ， ， 的弧的
半径为 ，∴ ，∴ 的长为 ，∴ 的长为 ．（2）如图，连接 ，∵ ， ，∴ ，∵ ，
，∴ ，∴ ，∵
，∴ ，∴ ，∵ ，∴
是等边三角形，∴ ，∵ 是 的切线，∴ ，∴ ，∴
．∴ 的度数为 ．
21.（10分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，过点D作AD的垂线交AB于
点E．
(1)请画出△ADE的外接圆⊙O（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)求证：BC是⊙O的切线；
(3)过点D作DF⊥AE于点F，延长DF交⊙O于点G，若DG＝8，EF＝2．求⊙O的半径．
【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)5
【解析】（1）解：如图1所示，⊙O即为所求；（3）证明：如图2，连接OD，∵AD平分∠CAB，∴∠CAD＝∠OAD，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，
∴∠CAD＝∠ODA，∴OD∥AC，∵∠C＝90°，∴OD⊥BC，∵OD为⊙O的半径，∴BC是⊙O的切线；
（3）解：设⊙O的半径为r，∵DF⊥AE，∴DF＝GF DG＝4，在Rt△ODF中，∠OFD＝90°，OD＝r，
OF＝r﹣2，DF＝4，∴r2＝（r﹣2）2+42，r＝5，∴⊙O的半径为5．
22.（10分）如图，C是圆O被直径AB分成的半圆上一点，过点C的圆O的切线交AB的延长线于点P，
连接CA，CO，CB．
(1)求证：∠ACO＝∠BCP；
(2)若∠ABC＝2∠BCP，求∠P的度数；
(3)在（2）的条件下，若AB＝4，求图中阴影部分的面积（结果保留π和根号）．
【答案】(1)见解析；(2)30°；(3)2π﹣2
【解析】（1）∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB＝90°，∵CP是半圆O的切线，∴∠OCP＝90°，∴∠ACB
＝∠OCP，∴∠ACO＝∠BCP；
（2）由（1）知∠ACO＝∠BCP，∵∠ABC＝2∠BCP，∴∠ABC＝2∠ACO，∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠A，
∴∠ABC＝2∠A，∵∠ABC+∠A＝90°，∴∠A＝30°，∠ABC＝60°，∴∠ACO＝∠BCP＝30°，∴∠P＝
∠ABC﹣∠BCP＝60°﹣30°＝30°，答：∠P的度数是30°；
（3）由（2）知∠A＝30°，∵∠ACB＝90°，∴BC＝ AB＝2，AC＝ BC＝2 ，∴S ABC＝ BC•AC＝
△×2×2 ＝2 ，∴阴影部分的面积是 ﹣2 ＝2π﹣2 ，答：阴影部分的面积是2π﹣2 ．
23.（10分）如图，AB为⊙O的直径，C为圆上的一点，D为劣弧 的中点，过点D作⊙O的切线与AC
的延长线交于点P，与AB的延长线交于点F，AD与BC交于点E．
(1)求证： ；
(2)若⊙O的半径为 ，DE＝1，求AE的长度；
(3)在（2）的条件下，求 的面积．
【答案】(1)见解析；(2)3；(3)
【解析】（1）解：证明：如图，连接 ， 为劣弧 的中点， ， ，又
为⊙O的切线， ， ；
（2）解：如图，连接 ， ，设 ，则 ， 为劣弧 的中点， ，
，又 ， ， ，
， ， 为⊙O的直径， ，又 ⊙O的半径为
， ， 由 得 ，解得 或 （舍）， ；（3）解：如图，设 与 交于点 ，由（2）知 ， ， ，在
中， ， ， ， ，又 ，
， ， ， ，
为⊙O的直径， ，由（1）可知 ， ， 四边形 为矩形，
， ， ．
