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第25章 概率初步（培优卷）
一．选择题（每小题3分，共24分）
1.不透明袋子中有除颜色外完全相同的4个黑球和2个白球，从袋子中随机摸出3个球，下列事件是必然
事件的是（ ）．
A．3个都是黑球 B．2个黑球1个白球
C．2个白球1个黑球 D．至少有1个黑球
【答案】D
【解析】解：A袋子中装有4个黑球和2个白球，摸出的三个球中可能为两个白球一个黑球，所以A不是
必然事件；
B．C．袋子中有4个黑球，有可能摸到的全部是黑球，B、C有可能不发生，所以B、C不是必然事件；
D．白球只有两个，如果摸到三个球不可能都是白梂，因此至少有一个是黑球，D正确．
故选D．
2.一个小球在如图所示的地板上自由的滚动，最终停在阴影区域的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：∵由图可知，整个地板块数为25块，每两个三角形构成2块地板，黑色地板共有5块，
∴黑色地板在整个地板中所占的比值＝ ，
∴一个小球在地板上自由地滚动，最终停在阴影区域的概率是 ，
故选：B．
3.如图，在 的正方形网格中，黑色部分的图形构成了一个轴对称图形，现在任意取一个白色小正方形
涂黑，使黑色部分仍然是一个轴对称图形的概率是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意可知共有16-3=13种等可能的情况，其中能构成轴对称图形的情况有5种，如图，1、2、
3、4、5所示位置，
∴使黑色部分仍然是一个轴对称图形的概率是 ．
故选B．
4.如图，随机闭合开关 ， ， 中的两个，则能让两盏灯泡同时发光的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据题意画出树状图如下：
共有6种等可能的结果，能让两盏灯泡同时发光的有2种情况，
∴ ，故选C.
5.甲、乙、丙三人进行乒乓球比赛，规则是：两人比赛，另一人当裁判，输者将在下一局中担任裁判，每
一局比赛没有平局．已知甲、乙各比赛了4局，丙当了3次裁判．问第2局的输者是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．不能确定
【答案】C【解析】解：由题意，知：三场比赛的对阵情况为：
第一场：甲VS乙，丙当裁判；
第二场：乙VS丙，甲当裁判；
第三场：甲VS乙，丙当裁判；
第四场：甲VS丙，乙当裁判；
第五场：乙VS甲，丙当裁判；
由于输球的人下局当裁判，因此第二场输的人是丙．
故选：C．
6.一个不透明的口袋里装有除颜色都相同的5个白球和若干个红球，在不允许将球倒出来数的前提下，小
亮为了估计其中的红球数，采用如下方法，先将口袋中的球摇匀，再从口袋里随机摸出一球，记下颜色，
然后把它放回口袋中，不断重复上述过程，小亮共摸了100次，其中有10次摸到白球，因此小亮估计口袋
中的红球大约有个（ ）
A．45 B．48 C．50 D．55
【答案】A
【解析】∵小亮共摸了100次，其中10次摸到白球，则有90次摸到红球，
∴白球与红球的数量之比为1：9，
∵白球有5个，
∴红球有9×5=45（个），
故选A．
7.一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都随机选择一条路径，并且选择每条路
径的可能性相等，则它获得食物的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解：∵一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机的选择一条路径，
∴它有6种路径，
∵获得食物的有2种路径，∴获得食物的概率是：
故选A．
8.“同时掷两枚质地均匀的骰子，至少有一枚骰子的点数是3”的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：画树状图：
共有36种等可能的结果数，其中至少有一枚骰子的点数是3的结果数为11，
所以至少有一枚骰子的点数是3的概率为 ．
故选B
二．填空题（每小题2分，共16分）
9.初一（5）班有学生37人，其中4个或4个以上学生在同一个月出生的可能性用百分数表示为________%．
【答案】100
【解析】解：∵一年中有12个月，把37人平均分到12个月中，
，
∴剩下的那名学生无论是哪个月份出生，都会使那个月份里的人数为4个或4个以上.
∴可能性为100%.
故答案为：100．
10.七巧板是一种古老的中国传统智力玩具．如图，在正方形纸板ABCD中，BD为对角线，E，F分别为
BC，CD的中点，AP⊥EF分别交BD，EF于O，P两点，M，N分别为BO，DO的中点，连接MP，NF，
沿图中实线剪开即可得到一副七巧板．在剪开之前，随机向正方形ABCD内投一粒米，则米粒落在四边形
BMPE内的概率为___．【答案】 .
【解析】设BE＝a，
∵E，F分别为BC，CD的中点，
∴EF∥BD，EF＝ BD，BC＝2a，∴BD＝2 a，
∵AP⊥EF，∴AP⊥BD，∴BO＝OD，∴点P在AC上，∴PE＝ EF，∴PE＝BM，
∴四边形BMPE是平行四边形，∴BO＝ BD，
∵M为BO的中点，∴BM＝ BD，
∵E为BC的中点，∴BC＝2a， ， ，
过M作MH⊥BC于H，∴ ，
∴S正方形ABCD＝4a2，S四边形BMPE＝ a2，
∴米粒落在四边形BMPE内的概率为 ，
故答案为 ．
11.已知关于x的一元二次方程x2+bx+c=0，从-1，2，3三个数中任取一个数，作为方程中b的值，再从剩下的两个数中任取一个数作为方程中c的值，能使该一元二次方程有实数根的概率是 _____．
【答案】
【解析】解：画树状图为：
，
共有6种等可能的结果数，
因为b2-4c≥0，
所以能使该一元二次方程有实数根占3种，
b=2，c=-1；
b=3，c=-1；
b=3，c=2，
所以能使该一元二次方程有实数根的概率= ，
故答案为： ．
12.甲、乙两人用两个骰子做游戏，两个骰子同时抛出，如果出现两个5点，那么甲赢；如果出现一个4点
和一个6点，那么乙赢；如果出现其它情况，那么重新抛掷．你对这个游戏公平性的评价是________（填
“公平”、“对甲有利”或“对乙利”）．
【答案】对乙利
【解析】解：两个骰子同时抛出，出现的情况如下，共有36种等可能的结果，
出现两个5点的情况有1种，出现一个4点和一个6点的情况有2种，
甲赢的概率为 ，乙赢的概率为 ，
所以对乙有利．
骰
1 2 3 4 5 6
子
（1， （1，
1 （1，1） （1，2） （1，4） （1，6）
3） 5）
（2， （2，
2 （2，1） （2，2） （2，4） （2，6）
3） 5）
（3， （3，
3 （3，1） （3，2） （3，4） （3，6）
3） 5）
4 （4，1） （4，2） （4， （4，4） （4， （4，6）3） 5）
（5， （5，
5 （5，1） （5，2） （5，4） （5，6）
3） 5）
（6， （6，
6 （6，1） （6，2） （6，4） （6，6）
3） 5）
13.某十字路口汽车能够行驶的方向有左转、右转还有直行．假设所有的汽车经过这个十字路口时，所行驶
的这三种方向可能性大小相同，则两辆汽车经过这个十字路口时，在这三种方向中，它们行驶的方向相同
的概率为________．
【答案】
【解析】用树状图列举两辆汽车行驶的方向所有可能的结果，如图所示．
由树状图可知，这两辆汽车行驶的方向共有9种等可能出现的结果，其中它们行驶的方向相同的有3种结
果，所以它们行驶的方向相同的概率为 ．
故答案为： ．
14.某鱼塘里养了 条鲤鱼、若干条草鱼和 条罗非鱼，该鱼塘主通过多次捕捞试验后发现，捕捞到草
鱼的频率稳定在 左右，若该鱼塘主随机在鱼塘捕捞一条鱼，则捞到鲤鱼的概率约为_________．
【答案】
【解析】解：∵捕捞到草鱼的频率稳定在0.5左右，
设草鱼的条数为x，可得：
；
解得：x=2400，
经检验：x=2400是原方程的解且符合实际意义
∴由题意可得，捞到鲤鱼的概率为
，故答案为： .
15.我市初中毕业男生体育测试项目有四项，其中“立定跳远”“1000米跑”“肺活量测试”为必测项目，
另一项“引体向上”或“推铅球”中选一项测试．小亮、小明和大刚从“引体向上”或“推铅球”中选择
同一个测试项目的概率是____．
【答案】 ．
【解析】分别用A，B代表“引体向上”与“推铅球”，画树状图得：
∵共有8种等可能的结果，小亮、小明和大刚从“引体向上”或“推铅球”中选择同一个测试项目的有2
种情况，
∴小亮、小明和大刚从“引体向上”或“推铅球”中选择同一个测试项目的概率是 ．
16.用 万元资金投资一项技术改造项目，如果成功，则可盈利 万元；如果失败，将亏损全部投资．
已知成功的概率是 ，这次投资项目期望大致可盈利________万元．
【答案】200
【解析】 ．
故这次投资项目期望大致可以盈利200万元．
三．解答题（共60分）
17.（6分）如图所示是一块三角形纸板，其中 ， ， ，一只蚂蚁在这张纸上爬行，
求蚂蚁踩到阴影部分的概率．
【答案】 ．【解析】解:连接AE，BF，CD．
， ， ，
利用三角形中线的性质可得 ，
被分为7个面积相同的三角形，中间阴影部分的三角形的面积是 的 ，
所以蚂蚁踩到阴影部分的概率是 ．
18.（8分）甲、乙两同学玩转盘游戏时，把质地相同的两个盘A、B分别平均分成2份和3份，并在每一份
内标有数字如图．游戏规则：甲、乙两同学分别同时转动两个转盘各1次，当转盘停止后，指针所在区域
的数字之积为偶数时甲胜；数字之积为奇数时乙胜．若指针恰好在分割线上，则需要重新转动转盘．
（1）用树状图或列表的方法，求甲获胜的概率；
（2）这个游戏规则对甲、乙双方公平吗？请判断并说明理由
【答案】（1） ；（2）这个游戏规则对甲、乙双方不公平．
【解析】解：（1）画树状图为：
共有6种等可能的结果数，其中指针所在区域的数字之积为偶数的结果数为4，
所以甲胜的概率＝ ＝ ；
（2）这个游戏规则对甲、乙双方不公平．
理由如下：
∵甲胜的概率＝ ，∴乙胜的概率＝ ，∵ ≠ ，∴这个游戏规则对甲、乙双方不公平．
19.（8分）班里有18名男生,15名女生，从中任意抽取a人打扫卫生．
(1)若女生被抽到是必然事件，求a的取值范围；
(2)若女生小丽被抽到是随机事件，求a的取值范围．
【答案】(1) 18
