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第 6 章 实数（提高篇）
一、单选题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．下列各式中，计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，下列各数中，数轴上点A表示的可能是（ ）
A．4的算术平方根 B．4的立方根 C．8的算术平方根 D．8的立方根
3．下列算式中正确的是（ ）
A． B． 的平方根是
C． D．
4．在 ， ， ，… 中，有理数的个数是（ ）
A．42 B．43 C．44 D．45
5．在算式 的□中填上运算符号，使结果最大，这个运算符号是（ ）
A．加号 B．减号 C．乘号 D．除号
6．已知 是整数，当 取最小值时， 的值是( )
A．5 B．6 C．7 D．8
7．定义运算：若am＝b，则logab＝m（a＞0），例如23＝8，则log 8＝3．运用以上定义，
2
计算：log 125﹣log 81＝（ ）
5 3
A．﹣1 B．2 C．1 D．44
8．黄金分割数 是一个很奇妙的数，大量应用于艺术、建筑和统计决策等方面，请你估算 ﹣1的值（ ）
A．在1.1和1.2之间 B．在1.2和1.3之间
C．在1.3和1.4之间 D．在1.4和1.5之间
9．如图，用边长为3的两个小正方形拼成一个大正方形，则大正方形的边长最接近的整数
是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
10．已知a= ，b= ，c= ，则下列大小关系正确的是（ ）
A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．a＞c＞b
11．如图，将1、 、 三个数按图中方式排列，若规定（a，b）表示第a排第b列的数，
则（8，2）与（2014，2014）表示的两个数的积是（ ）
A． B． C． D．1
12．实数a、b在数轴上的位置如图所示，且|a|＞|b|，则化简 的结果为（ ）
A．2a+b B．-2a+b C．b D．2a-b
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）13．若x、y为实数，且满足 ，则 的算术平方根是________．
14．已知 ，则 __________．
15．若 与 是同类项，则 的立方根是_____．
16．与 最接近的自然数是 ________．
17．如图，实数 ， ，m在数轴上所对应的点分别为A，B，C，点B关于原点O的
对称点为D．若m为整数，则m的值为________．
18．对于任意不相等的两个实数a、b，定义运算※如下：a※b= ，如3※2=
．那么8※12=____．
三、解答题（本大题共6小题，共60分）
19．（8分）把下列各数表示在数轴上，并把这些数按从大到小的顺序用“＞”连接起来．
0， ， ， ， ，
20．（10分）计算下列各题
（1） ； （2）21．（8分）已知 与 互为相反数．
（1）求2a－3b的平方根；
（2）解关于x的方程 ．
21．（10分）已知 是 的整数部分， 是 的小数部分，求代数式 的平
方根．
23．（12分）阅读材料：
学习了无理数、二次根式及完全平方公式后，某数学兴趣小组开展了一次探究活动：
估算 的近似值．
小明的方法：
∵ ，
设 （0＜k＜1），
∴ ．
∴ ，
∴ ，
解得 ，
∴ ．
（1）请你用小明的方法估算 的近似值（结果保留两位小数）；（2）请你结合上述实例，概括出估算 的公式：已知非负整数a，b，m，若
，且 ，则 =_____________（用含a，b的代数式表示）
24．（12分）阅读下列解题过程：
；
；
；…
（1） ________．
（2）按照你所发现的规律，请你写出第 个等式：________．
（3）利用这一规律计算：参考答案
1．A
【分析】根据算术平方根的定义逐一判断即可得答案．
【详解】
A. ，故该选项计算正确，符合题意，
B. ，故该选项计算错误，不符合题意，
C. ，故该选项计算错误，不符合题意，
D. ，故该选项计算错误，不符合题意．
故选：A．
【点拨】本题考查算术平方根，一个正数的平方根有两个，其中正的平方根叫做算术平方
根；熟练掌握定义是解题关键．
2．C
【详解】解：由题意可知4的算术平方根是2，4的立方根是 <2, 8的算术平方根是 ，
2< <3，8的立方根是2，
故根据数轴可知,
故选C
3．B
【分析】根据平方根，算术平方根和立方根的概念进行分析判断．
【详解】
A、﹣ ＝﹣0.8，故此选项不符合题意；
B、 ＝2的平方根是 ，正确，故此选项符合题意；
C、 ，故此选项不符合题意；
D、 ，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点拨】本题考查算术平方根，平方根，立方根的化简计算，理解平方根与算术平方根的
区别以及立方根的概念是解题关键．
4．C
【分析】将算术平方根转化为平方进行判断即可．
【详解】
∵12＝1，22＝4，32＝9，…，442＝1936，452＝2025，
∴ ， ， ，… 中，有理数为1，2，…，44，
故选：C．
【点拨】本题考查了算术平方根及有理数的平方的知识，熟知算术平方根的定义是解决问
题的关键．
5．D
【分析】分别填上运算符号计算后比较大小．
【详解】当填入加号时： ，当填入减号时： ；
当填入乘号时： ；当填入除号时： ．
∵ ，∴这个运算符号是除号．
故选D．
6．A
【分析】根据绝对值的意义，找到与 最接近的整数，可得结论．
【详解】
解：∵ ，∴ ，
且与 最接近的整数是5，∴当 取最小值时， 的值是5，
故选A．
【点拨】本题考查了算术平方根的估算和绝对值的意义，熟练掌握平方数是关键．
7．A
【分析】先根据乘方确定53=125，34=81，根据新定义求出log 125=3，log 81=4，再计算出
5 3
所求式子的值即可．
【详解】
解：∵53=125，34=81，
∴log 125=3，log 81=4，
5 3
∴log 125﹣log 81，
5 3
＝3﹣4，
＝﹣1，
故选：A．
【点拨】本题考查新定义对数函数运算，仔细阅读题目中的定义，找出新定义运算的实质，
掌握新定义对数函数运算，仔细阅读题目中的定义，找出新定义运算的实质，解题关键理
解新定义就是乘方的逆运算．
8．B
【分析】根据4.84<5<5.29，可得答案．
【详解】∵4.84<5<5.29，
∴2.2< <2.3，
∴1.2< -1<1.3，
故选B．
【点拨】本题考查了估算无理数的大小，利用 ≈2.236是解题关键．
9．B
【分析】先利用正方形的面积公式求出大正方形的边长，再利用无理数的估算、实数的大
小比较法则即可得．
解：大正方形的边长为 ，
，
，即 ，
又 ，
，
，
，
，
与 最接近的整数是4，
即大正方形的边长最接近的整数是4，
故选：B．
【点拨】本题考查了无理数的估算、实数的大小比较法则，熟练掌握实数的大小比较法则
是解题关键．
10．A
【详解】试题分析：∵a= = ，b= = ，c= = ，且 ，∴
，即a＞b＞c，故选A．
考点：实数大小比较．
11．B
【详解】
试题分析：根据观察数列，可得，每三个数一循环，根据有序数对的表示方法，可得有序
数对表示的数，根据数的运算，可得答案．由题意得，每三个数一循环，1、 ，则
前7排共有1+2+3+4+5+6+7=28个数，因此（8，2）在排列中是第28+2=30个，30÷3=10，
（8，2）表示的数正好是第10轮的最后一个，即（8，2）表示的数是 ，前2013排共有
1+2+3…+2013=（1+2013）×2013÷2+2014=2029105个数，2029105÷3=676368…1，表示的
数正好是第676369轮的一个数，即表示的数是1， ×1= ，故选B．
考点：1.规律型：数字的变化类；2.算术平方根．
12．C
【详解】
试题分析：利用数轴得出a+b的符号，进而利用绝对值和二次根式的性质得出即可：
∵由数轴可知，b＞0＞a，且 |a|＞|b|，
∴ .
故选C．
考点：1.绝对值；2.二次根式的性质与化简；3.实数与数轴．
13．3
【分析】根据平方、算术平方根的非负性，求出x、y的值，再代入计算，进而求得9的算
术平方根即可．
【详解】解：∵
∴x﹣3＝0，y+3＝0，
即x＝3，y＝﹣3，
∴ ＝ ，
的算术平方根为
故答案为：3．
【点拨】本题考查了平方、算术平方根的非负性，求一个数的算术平方根．掌握求一个数
的算术平方根、算术平方根的非负性是解题的关键．
14．4
【分析】由 变形得 ，由 变形得 ，再将
整体代入利用算术平方根的意义计算即可求得答案．
解：∵ ，
∴ ，
∴
，
故答案为：4．
【点拨】本题考查了算术平方根的意义、完全平方公式以及整体思想的应用，熟练掌握算
术平方根的意义以及能够灵活运用整体思想是解决本题的关键．
15．2．
【详解】
试题分析：若 与 是同类项，则： ，解方程得： ．∴
=2﹣3×（﹣2）=8.8的立方根是2．故答案为2．考点：1．立方根；2．合并同类项；3．解二元一次方程组；4．综合题．
16．2
【分析】先根据 得到 ，进而得到 ，因为14更接近
16，所以 最接近的自然数是2．
解： ，可得 ，
∴ ，
∵14接近16，
∴ 更靠近4，
故 最接近的自然数是2．
故答案为：2．
【点拨】本题考查无理数的估算，找到无理数相邻的两个整数是解题的关键．
17．-3
【分析】先求出D点表示的数，再得到m的取值范围，最后在范围内找整数解即可．
解：∵点B关于原点O的对称点为D，点B表示的数为 ，
∴点D表示的数为 ，
∵A点表示 ，C点位于A、D两点之间，
∴ ，
∵m为整数，
∴ ；
故答案为： ．
【点拨】本题考查了数轴上点的特征，涉及到相反数的性质、对无理数进行估值、确定不
等式组的整数解等问题，解决本题的关键是牢记相关概念和性质，本题蕴含了数形结合的
思想方法．18．－
【分析】
解：8※12= ；
故答案为：－
19．画图见解析，
【分析】先把各数化简，在数轴上表示出各数，再根据“在数轴上，右边的数总比左边的
数大”把这些数按从大到小的顺序用“＞”连接起来．
解： ， ， ， ， ，
在数轴上表示为：
按从大到小的顺序用>连接为： ．
【点拨】本题主要考查了实数的大小比较，解题的关键是准确在数轴上表示实数，并利用
数轴对实数的大小进行比较．
20．（1） ；（2）
【分析】（1）根据有理数的乘方，绝对值，算术平方根，立方根的计算法则进行求解即可；
（2）根据绝对值，算术平方根，立方根的计算法则进行求解即可．
解：
；
（2）原式=
．【点拨】本题主要考查实数的混合运算，掌握算式平方根，立方根以及绝对值的概念，是
解题的关键．
21．（1） 的平方根为 ；（2） ．
【分析】（1）先由相反数的定义列出等式，再根据绝对值的非负性、算术平方根的非负性
求出a、b的值，然后代入，根据平方根的定义求解即可；
（2）先将a、b的值代入，再利用平方根的性质求解即可．
【详解】
（1）由相反数的定义得：
由绝对值的非负性、算术平方根的非负性得：
解得
则
故 的平方根为 ；
（2）方程 可化为
整理得
解得 ．
【点拨】本题考查了相反数的定义、绝对值的非负性、算术平方根的非负性、平方根的定
义等知识点，利用绝对值的非负性、算术平方根的非负性求解是常考知识点，需重点掌握．
22． ．
【分析】根据 可得 ，即可得到 的整数部分是3，小数部分是
，即可求解．
解：∵ ，
∴ ，
∴ 的整数部分是3，则 ， 的小数部分是 ，则 ，∴ ，
∴9的平方根为 ．
【点拨】本题考查实数的估算、实数的运算、平方根的定义，掌握实数估算的方法是解题
的关键．
23．（1）6.08；（2）
【分析】（1）根据题目信息，找出 前后的两个平方数，从而确定出 ＝6＋k（0＜
k＜1），再根据题目信息近似求解即可；
（2）根据题目提供的求法，先求出k值，然后再加上a即可．
（1）解：∵
设
∴ ．
∴ ．
∴ ．
解得 ．
∴ ．
（2）设 ＝a＋k（0＜k＜1），
∴m＝a2＋2ak＋k2≈a2＋2ak，
∵m＝a2＋b，
∴a2＋2ak＝a2＋b，
解得k＝ ，
∴ ≈a＋ ．
故答案为： ．【点拨】本题考查了无理数的估算，读懂题目提供信息，然后根据信息中的方法改变数据
即可，难度不大，很有趣味性．
24．（1） ；（2） ；（3）
【分析】（1）仿照已知等式确定出所求即可；
（2）归纳总结得到一般性规律，写出即可；
（3）原式变形后，仿照上式得出结果即可．
【详解】
解：（1） ；
故答案为： ；
（2）观察上面的解题过程，发现的规律为：
，
故答案为： ；
（3）
．
【点拨】本题考查了实数的运算，规律型：数字的变化类，弄清题中的规律是解本题的关
键．
