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第 6 章 实数（基础篇）
一、（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．若 有意义，则 能取的最小整数是( )
A． B． C． D．
2．16的平方根是（ ）
A．4 B．±4 C．±2 D．±8
3．下列各式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
4． 的算术平方根是（ ）
A．2 B． C． D．
5．下列各式一定有意义的共有（ ）个．
① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ．A．0 B．2
C．4 D．6
6．下列各式中，正确的是（ ）
A． ＝±2 B． ＝5 C． ＝±2 D．
7．已知 的值介于连续整数a与b之间，则a，b的值分别是（ ）
A．1，2 B．2，3 C．3，4 D．5，6
8．在下列各数中，无理数的是（ ）
A． B．0 C． D．3.14
9．在如图所示的数轴上，点B和点C关于点A对称，A，B两点对应的实数分别是 和－
1，则点C所对应的实数是（ ）A．1＋ B．2＋ C． ＋1 D．2 ＋1
10．三个实数- ，-2，- 之间的大小关系是( )
A． B．
C． D．
11．下列各组数互为相反数的是（ ）
A． 和 B． 和 C． 和 D． 与
12．有个数值转换器，程序原理如图．当输入x＝8时，输出y的值是（ ）
A．2 B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
13．一个正方形的面积为5，则它的边长为_____．
14．若 ，则x+y+z=________．
15．如图，面积为5的正方形 的顶点 在数轴上，且表示的数为1，若点 在数轴
上，（点 在点 的右侧）且 ，则 点所表示的数为________．
16． ， ，则 ＝__________17．实数 、 在数轴上的位置，化简 ______．
18．我们用[m]表示不大于m的最大整数，如：[2]＝2，[4.1]＝4，[3.99]＝3．（1）
＝_____；（2）若[3+ ，则x的取值范围是_____．
三、解答题（本大题共6小题，共60分）
19．（8分）把下列各数分别填入相应的集合里．
， ，0， ， ， ， ， ，0.1010010001…（每两个1之间依次多
一个0）
（1）整数集合：{ …}
（2）正数集合：{ …}
（3）无理数集合：{ …}
20．（10分）求下列各式中的x：
(1) ； (2) ．
21．（10分）计算：
（1） ； （2） ．
22．（10分）a，b均为正整数，且a＞ ，b＜ ，求a+b的最小值．23．（10分）教材中的探究：如图1，把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，所得的4
个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形．由此，得到了一种能在数轴上画出无理数对
应点的方法．
（1）图2中A、B两点表示的数分别为 ， ；
（2）请你参照上面的方法，把长为5，宽为1的长方形进行裁剪，拼成一个正方形．
①在图3中画出裁剪线，并在图4位置画出所拼正方形的示意图．
②在数轴上分别标出表示数 以及 ﹣3的点，（图中标出必要线段长）
24．（12分）阅读与探究:
在第六章《实数》中，我们学习平方根和立方根.下表是平方根和立方根的部分内容.
平方根 立方根
一般地，如果一个数的平方等于 一般地，如果一个数的立方等于
定义 ，那么这个数叫做 的平方根或二次方根. ，那么这个数叫做 的立方根或三次方根.
这就是说，如果 ，那么 叫做 的平 这就是说，如果 ，那么 叫做 的方根. 立方根.
求一个数 的平方根的运算，叫做 求一个数 的平立方根的运算，
运算
开平方.开平方与平方互为逆运算. 叫做开立方.开立方与立方互为逆运算.
正数有两个平方根，它们互为相反 正数的立方根是正数；0的立方
特征
数；0的平方根是0；负数没有平方根. 根是0；负数的立方根是负数.
表示与 正数 的平方根可以用“ ”表 一个数 的立方根可以用“ ”
读法 示，读作“正负根号 ”. 表示，读作“三次根号 ”.
今天我们类比平方根和立方根的学习方法学习四次方根.
（1）填表与定义
①填表
1 16
②结合上述①中表格情况，类比平方根和立方根的定义，给四次方根下定义：
_______________________________________________________________________________
_____________
_______________________________________________________________________________
_____________
（2）思考与归纳
求一个数 的四次方根的运算叫做开四次方.开四次方和四次方运算互为逆运算.
①探究：
81的四次方根是_______________； 的四次方根是________________________；
0的四次方根是________________； _____________（填“有”或“没有”）四次方根.
②归纳：
根据上述①中情况，类比平方根和立方根的特征，归纳四次方根的特征：
_______________________________________________________________________________
_____________
_______________________________________________________________________________
_____________
③总结：我们归纳四次方根的特征时，分了正数、0、负数三类进行研究，这种思想叫
_____________；（填正确选项的代码）
四次方根的特征是由81， ，0等这几个特殊数的四次方根的特征归纳出来的，这种思想
叫__________.（填正确选项的代码）
A．类比思想 B．分类讨论思想
C．由一般到特殊的思想 D．由特殊到一般的思想
（3）巩固与应用
类似于平方根和立方根，一个数 的四次方根，用符号“ ”表示，读作“正、负四次
根号 ”，其中 是被开方数，4是根指数.例如 表示16的四次方根， .
① ______________（将结果直接填到横线上）.
②比较大小： _________________ （填等号或不等号）.参考答案
1．B
【分析】要使根式有意义，则被开方数为非负数，由此即可确定x的取值范围，然后取整
即可．
【详解】
解：要使根式有意义，
则5x+1≥0，
解得： ，
故x能取的最小整数是0，
故选：B．
【点拨】本题主要考查二次根式的定义，其中被开方数为非负数，比较简单．
2．B
【分析】如果 则 是 的平方根，根据定义求解即可.
【详解】
解：16的平方根是
故选B
【点拨】本题考查是的平方根的含义，求解一个正数的平方根，掌握“求解一个正数的平
方根的方法”是解本题的关键.
3．D
【分析】根据乘方，算术平方根及绝对值的意义进行计算即可．
【详解】
解：A、 ，原计算错误，不符合题意；
B、 ，没有意义，不符合题意；
C、 ，原计算错误，不符合题意；
D、 ，正确，符合题意；故选：D．
【点拨】本题考查了乘方，算术平方根及绝对值，掌握算术平方根的意义是解决本题的关
键．
4．A
【分析】根据算术平方根的定义即可求出结果．
【详解】
解： =4，4的算术平方根是2．
故选：A．
【点拨】此题主要考查了算术平方根的定义．一个正数的算术平方根就是其正的平方根．
5．C
【分析】根据二次根式有意义，被开方数非负数对各选项分析判断利用排除法求解．
【详解】
解：①3＞0，故 一定有意义；
②-3＜0，故 无意义；
③ ＞0，故 一定有意义；
④ ＞0，故 一定有意义；
⑤ 不一定大于等于0，故 不一定有意义；
⑥ ＞0，故 一定有意义．
故选：C．
【点拨】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
6．B
略
7．A
【分析】由 可得 从而可求解 的值，从而可得答案.
【详解】解：
故选A
【点拨】本题考查的是无理数的估算，掌握“无理数的估算方法”是解本题的关键.
8．C
【分析】根据无理数的定义：无理数是无限不循环小数进行分析，即可得到答案．
【详解】
、0、3.14是有理数， 是无理数
故选：C．
【点拨】本题考查了无理数和有理数的知识；解题的关键是熟练掌握无理数的性质，从而
完成求解．
9．D
略
10．C
【分析】根据两个负数绝对值大的反而小来比较即可解决问题．
【详解】
解：∵−2= ，
又∵ < <
∴−2> >
故选C
11．D
【分析】利用二次根式的和立方根的定义计算出 =2， =2，- =-2， =-2，
然后对各选项进行判断．
【详解】
解：A、 ， ，则 ，所以该选项不符合题意；B、 ， ，则 ，所以该选项不符合题意；
C、 ， ，则 ，所以该选项不符合题意；
D、 ， ，则 与 互为相反数，所以该选项符合题意．
故选：D．
【点拨】本题考查了二次根式的性质与化简：熟练掌握二次根式的性质是解决此类问题的
关键．也考查了立方根和相反数．
12．B
【分析】按照数值转换器的程序进行即可完成．
【详解】
将x＝8代入得： ＝2，
将x＝2代入得： ，
则输出y的值为： ．
故选：B．
【点拨】本题考查了立方根的计算、实数的认识，掌握立方根的意义并正确区分有理数和
无理数是解题的关键．
13．
【分析】根据正方形面积根式求出边长，即可得出答案．
【详解】
解：边长为：
故答案为
【点拨】本题考查了算术平方根，关键是会求一个数的算术平方根．
14．6
【分析】根据非负数的性质列出方程求出x、y、z的值，代入所求代数式计算即可．
【详解】解：∵
∴x-1=0，y-2=0，z-3=0，
∴x=1，y=2，z=3．
∴x+y+z=1+2+3=6．
【点拨】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
15.【答案】
【分析】根据正方形的边长是面积的算术平方根得AB＝AE＝ ，结合A点所表示的数及
AE间距离可得点E所表示的数．
解：∵正方形ABCD的面积为5，且AB＝AE，
∴AB＝AE＝ ，
∵点A表示的数是1，且点E在点A右侧，
∴点E表示的数为： ．
【点拨】本题主要考查实数与数轴及两点间距离，根据两点间距离及点的位置判断出点所
表示的数是关键．
16．503.6
【分析】根据已知等式，利用算术平方根定义判断即可得到结果．
【详解】
解：∵ ，
∴ ，
故答案为：503.6．
【点拨】本题考查了算术平方根．解题的关键是掌握算术平方根的定义以及算术平方根的
被开方数小数点移动的规律．
17．
【分析】由数轴得： ， ， ，根据二次根式的性质化简即可.
【详解】
解：由数轴得： ， ，故答案为： .
【点拨】本小题主要考查利用数轴判断实数取值范围、二次根式的化简、代数式的恒等变
形等基础知识，考查基本的代数运算能力．观察数轴确定a、b及a-b的符号是解答本题的
关键，本题巧用数轴给出了每个数的符号，渗透了数形结合的思想，这也是中考时常考的
知识点．
18． 1
【分析】(1)由 ≈1.414，及题中所给信息，可得答案；
(2)先解出 的取值范围后得出x的取值范围.
【详解】
解：（1） ≈1.414，由题中所给信息，
可得 =1；
（2）由题意得:6≤ ＜7，
可得：3≤ ＜4，
可得：9≤x＜16.
【点拨】本题主要考查新定义及不等式的性质，找出规律是解题的关键
19．（1）整数集合： ；（2）正数集合：
；（3）无理数集合：
．
【分析】根据实数分类解题，实数分为有理数与无理数，无限不循环小数和开方不能开尽
的数是无理数，整数和分数统称为有理数，整数包含正整数、0、负整数，
（1）根据整数的分类即可得；（2）根据正数的分类即可得；
（3）根据无理数的分类即可得．
【详解】
解：+5是正整数， 是无理数， 0是整数，-3.14是正分数， 是正分数，-12是负整数，
是负无理数， 是正整数， （每两个1之间依次多一个0）是
无理数；
故（1）整数集合： ；
（2）正数集合： ；
（3）无理数集合： ．
【点拨】本题考查实数的分类、有理数的分类等知识，掌握相关数的分类是解题关键．
20．(1)
(2)
【分析】(1)等式两边同时除以4，然后再根据平方根的定义开平方即可；
(2)移项，再根据立方根的定义开立方即可求出答案；
(1)
解：
(2)
解：
【点拨】本题主要考查了利用平方根及立方根的定义解方程，熟练掌握平方根及立方根的定义是关键．
21．（1） ；（2） ．
【分析】(1)先化简原式中的立方根,平方根和绝对值再计算即可;
(2)利用二次根式的运算法则计算即可
【详解】
解：（1）原式=2＋2－3 ＋
=4－2
（2）原式= －
=
【点拨】此题主要考查了实数的运算，关键是掌握计算顺序，注意结果符号的判断．
22．4
【分析】先估算出 与 的大小，然后确定出a、b的值，最后求得a+b的最小值即可．
【详解】
解：解：∵4＜ ＜9，
∴2＜ ＜3．
∵1＜2＜8，
∴1＜ ＜2．
∵a、b均为正整数，
∴a的最小值为3，b只能是1，
所以当a=3，b=1时，a+b有最小值，最小值=3+1=4．
【点拨】本题主要考查的是估算无理数的大小，利用夹逼法估算出 与 的大小是解题
的关键．
23．（1） ， ；（2）①详见解析；②详见解析【分析】（1）依据点A到原点的距离为： ，点A在原点左侧，即可得到点A表示的
实数为 ，依据点B到原点的距离为： ，点B在原点右侧，即可得到点A表示的
实数为 ；
（2）依据所拼正方形的面积为5，即可得到其边长为 ，进而得到分割线的长度；
（3）依据（2）中分割线的长度即可得到表示数 以及 ﹣3的点．
【详解】
解：（1）由图可得，点A到原点的距离为： ，点A在原点左侧，
∴点A表示的实数为 ，
由图可得，点B到原点的距离为： ，点B在原点右侧，
∴点B表示的实数为 ，
故答案为： ， ；
（2）如图所示：
（3）表示数 以及 ﹣3的点如图所示：
【点拨】本题主要考查了实数与数轴，任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数．
24．（1）① ；②一般地，如果一个数的四次方等于 ，那么这个数叫做 的四次方根.
这就是说，如果 ，那么 叫做 的四次方根；（2）① ， ， 0，没有；②正数
有两个四次方根，它们互为相反数；0的四次方根是0；负数没有四次方根；③B ，D；
（3） ，
【分析】（1）填表与定义：先计算填表，再类比平方根和立方根的定义，即可给四次方根
下定义；
（2）思考与归纳：利用题中四次方根的定义求解；根据解的情况归纳四次方根的特征；归
纳四次方根的特征时，运用了分类讨论思想和由特殊到一般的思想；
（3）巩固与应用：①利用题中四次方根的定义求解；②先计算并比较两个数的四次方，进
而得出答案．
【详解】
解：（1）填表与定义
①填表
1 16
②结合上述①中表格情况，类比平方根和立方根的定义，给四次方根下定义：一般地，如
果一个数的四次方等于 ，那么这个数叫做 的四次方根.这就是说，如果 ，那么 叫
做 的四次方根；
（2）思考与归纳
①探究：
81的四次方根是 ； 的四次方根是 ；
0的四次方根是0； 没有（填“有”或“没有”）四次方根.
②归纳：
根据上述①中情况，类比平方根和立方根的特征，归纳四次方根的特征：
正数有两个四次方根，它们互为相反数；0的四次方根是0；负数没有四次方根；
③总结：我们归纳四次方根的特征时，分了正数、0、负数三类进行研究，这种思想叫分类讨论思想
；（填正确选项的代码）
四次方根的特征是由81， ，0等这几个特殊数的四次方根的特征归纳出来的，这种思想
叫由特殊到一般的思想.
（3）巩固与应用
①∵
∴ = ，
②∵ ， ，9>4，
∴ ．
故答案为（1）① ；②一般地，如果一个数的四次方等于 ，那么这个数叫做 的四次方
根.这就是说，如果 ，那么 叫做 的四次方根；（2）① ， ， 0，没有；②正
数有两个四次方根，它们互为相反数；0的四次方根是0；负数没有四次方根；③B ，D；
（3） ，
【点拨】本题考查方根的定义，类比平方根和立方根的学习方法学习四次方根．关键是求
四次方根时，注意正数的四次方根有2个．
