文档内容
第 7 章 平面直角坐标系（培优篇）
一、单选题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．已知点 位于第二象限，并且 ，a，b均为整数，则满足条件的点A个数
有（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
2．对平面上任意一点(a，b)，定义f，g两种变换：f(a，b)＝(﹣a，b)，如f(1，2)＝(﹣1，
2)；g(a，b)＝(b，a)，如g(1，2)＝(2，1)，据此得g[f(5，﹣9)]＝（ ）
A．(5，﹣9) B．(﹣5，﹣9) C．(﹣9，﹣5) D．(﹣9，5)
3．若点 到两坐标轴的距离相等，则点 的坐标（ ）
A． B． C． 或 D． 或
4．已知点P（x，y）到x轴的距离为2，到y轴的距离为3，且x+y＞0，xy＜0，则点P的
坐标为（ ）
A．（﹣2，3） B．（2，3） C．（3，﹣2） D．（3，2）
5．已知点A(－1，－2)，B(3，4)，将线段AB平移得到线段CD．若点A的对应点C在x
轴上，点B的对应点D在y轴上，则点C的坐标是( )
A．(－4，0) B．(1，－5) C．(2，－4) D．(－3，1)
6．已知点A(1，2a1)，B(a，a3)，若线段AB//x轴，则三角形AOB的面积为( )
A．21 B．28 C．14 D．10.5
7．已知点A(3a，2b)在x轴上方，在y轴左侧，则点A到x轴、y的距离分别为( )
A．3a，2b B．3a，2b C．2b，3a D．2b，3a
8．已知点E(x，y)，F(x，y)，点M(x，y)是线段EF的中点，则 ，
0 0 2 2 1 1
.在平面直角坐标系中有三个点A(1，－1)，B(－1，－1)，C(0，1)，点P(0，2)
关于A的对称点为P(即P，A，P 三点共线，且PA＝PA)，P 关于B的对称点为P，P 关
1 1 1 1 2 2
于C的对称点为P，按此规律继续以A，B，C为对称点重复前面的操作，依次得到P，
3 4
P，P，…，则点P 的坐标是( )
5 6 2015A．(0，0) B．(0，2)
C．(2，－4) D．(－4，2)
9．如图，在平面直角坐标系中，点 在 轴上，点 的坐标为 .将
先绕点 顺时针旋转90°，再向右平移3个单位长度，则变换后点 的对应点坐标
是( )
A． B． C．(3,2) D．(2,2)
10．如图，直线m⊥n．在平面直角坐标系xOy中，x轴∥m，y轴∥n．如果以O 为原点，
1
点A 的坐标为（1，1）．将点O 平移2 个单位长度到点O，点A的位置不变，如果以
1 2
O 为原点，那么点A的坐标可能是（ ）
2
A．（3，﹣1） B．（1，﹣3） C．（﹣2，﹣1） D．（2 +1，2
+1）
11．如图，已知正方形ABCD，定点A（1，3），B（1，1），C（3，1），规定“把正方
形ABCD先沿x轴翻折，再向左平移1个单位长度”为一次变换，如此这样，连续经过2
017次变换后，正方形ABCD的对角线交点M的坐标变为（ ）A．（－2015，2） B．（－2015，－2） C．（－2016，－2） D．（－2016，2）
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
12．已知坐标平面内长方形ABCD的三个顶点的坐标为A(2，12)，B(－7，12)，C(－7，
－3)，则顶点D的坐标为__________．
13．在平面直角坐标系中，点P（x，y）经过某种变换后得到点P′（﹣y＋1，x＋2），我
们把点P′（﹣y＋1，x＋2）叫做点P（x，y）的终结点．已知点P 的终结点为P，点P 的
1 2 2
终结点为P，点P 的终结点为P，这样依次得到P、P、P、P、…Pn、…，若点P 的坐
3 3 4 1 2 3 4 1
标为（2，0），则点P 的坐标为_____．
2018
14．如图，已知 ， ，第四象限的点 到 轴的距离为 ，若 ， 满足
，则 点坐标为______； 与 轴的交点坐标为
_______．
15．如图，在平面直角坐标系中，△AA1C1是边长为1的等边三角形，点C1在y轴的正半
轴上，以AA1=2为边长画等边△AA2C2；以AA2=4为边长画等边△AA2C3，…，按此规律
继续画等边三角形，则点 的坐标为__________.16．在平面直角坐标系xOy中，A（4，0），B（0，3），C（m，7），三角形ABC的面积
为14，则m的值为_____．
17．某校数学课外小组，在坐标纸上为学校的一块空地设计植树方案如下：第k棵树种植
在点P（x，y）处，其中x＝1，y＝1，当k≥2时，x＝x +1﹣5（[ ]﹣[ ]），
k k k 1 1 k k﹣1
y＝y +[ ]﹣[ ]，[a]表示非负实数a的整数部分，例如[2.8]＝2，[0.3]＝0．按此
k k﹣1
方案，则第2019棵树种植点的坐标为_____．
三、解答题（本大题共6小题，共60分）
18．（8分）在平面直角坐标系中，P(1，4)，点A在坐标轴上，且S ＝4，求点A的
三角形PAO
坐标．
19．（10分）如图所示，在平面直角坐标系中，在 ABC中，OA＝2，OB＝4，点C的坐
标为(0，3)．
（1）求A，B两点坐标及 ；
（2）若点M在x轴上，且 ，试求点M的坐标．
（3）若点D是第一象限的点，且满足 CBD是以BC为直角边的等腰直角三角形，请直接
写出满足条件的点D的坐标．20．（10分）在平面直角坐标系 中，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，连接
．
（1）若 ，求线段 的长度；
（2）若 且 ．
①当点 在直线 上时，求 的值；
②当点 不在直线 上时，连接 ， ，记 的面积为 ．若 ，求 的值．
21．（10分）如图，平面直角坐标系中，点 的坐标是 ，点 在 轴的正半轴上，
的面积等于18．
（1）求点 的坐标；
（2）如图，点 从点 出发，沿 轴正方向运动，点 运动至点 停止，同时点 从 点
出发，沿 轴正方向运动，点 运动至点 停止，点 、点 的速度都为每秒1个单位，设运动时间为 秒， 的面积为 ，求用含 的式子表示 ，并直接写出 的取值范围；
（3）在（2）的条件下，过 点作 ，连接 并延长 交 于 ，连接 交
于点 ，若 ，求 值及点 的坐标．
22．（10分）如图，以直角三角形AOC的直角顶点O为原点，以OC、OA所在直线为x
轴和y轴建立平面直角坐标系，点A（0，a），C（b，0）满足 +|b﹣2|＝0，D为线
段AC的中点．在平面直角坐标系中，以任意两点P（x，y）、Q（x，y）为端点的线段
1 1 2 2
中点坐标为（ ， ）．
（1）则A点的坐标为 ；点C的坐标为 ，D点的坐标为 ．
（2）已知坐标轴上有两动点P、Q同时出发，P点从C点出发沿x轴负方向以1个单位长
度每秒的速度匀速移动，Q点从O点出发以2个单位长度每秒的速度沿y轴正方向移动，
点Q到达A点整个运动随之结束．设运动时间为t（t＞0）秒．问：是否存在这样的t，使
S ODP＝S ODQ，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
△ △
（3）点F是线段AC上一点，满足∠FOC＝∠FCO，点G是第二象限中一点，连OG，使
得∠AOG＝∠AOF．点E是线段OA上一动点，连CE交OF于点H，当点E在线段OA上
运动的过程中，请确定∠OHC，∠ACE和∠OEC的数量关系，并说明理由．23．（12分）如图，在长方形 中， 为平面直角坐标系的原点，点 的坐标为
，点 的坐标为 且 、 满足 ，点 在第一象限内，点 从原
点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着 的线路移动．
（1）点 的坐标为___________；当点 移动5秒时，点 的坐标为___________；
（2）在移动过程中，当点 到 轴的距离为4个单位长度时，求点 移动的时间；
（3）在 的线路移动过程中，是否存在点 使 的面积是20，若存在直接写
出点 移动的时间；若不存在，请说明理由．24．（12分）如图，已知点 ， ， ．
（1）求 的面积；
（2）点 是在坐标轴上异于点 的一点，且 的面积等于 的面积，求满足条件
的点 的坐标；
（3）若点 的坐标为 ，且 ，连接 交 于点 ，在 轴上有一点 ，使
的面积等于 的面积，请直接写出点 的坐标__________（用含 的式子表
示）．参考答案
1．B
【分析】根据第二象限的点的特点可知 ，即可得 ， ，计算可
得 ；a，b均为整数，所以 或 ；据此分别可求出A点的坐标，即可
得本题答案．
解：∵点 位于第二象限，
∴ ，∴ ， ，
∴
∴ ，
∵a，b均为整数，
∴ 或 ，
当 时， ， ；
当 时， ， 或 或 或 ；
综上所述，满足条件的点A个数有5个．
故选：B．
【点拨】本题主要考查第二象限点的坐标特点及解不等式的知识；熟练掌握个象限点坐标
的符号特点，是解决本题的关键．
2．C
【分析】根据f，g两种变换的定义自内而外进行解答即可．
解：由题意得，f（5，﹣9）]＝（﹣5，﹣9），
∴g[f（5，﹣9）]＝g（﹣5，﹣9）＝（﹣9，﹣5），
故选：C．
【点拨】本题考查了新定义坐标变换，根据题意、弄懂两种变换的方法是解答本题的关键．
3．D
【分析】根据点到两坐标轴的距离相等列出绝对值方程，然后求解即可．
解： 点 到两坐标轴的距离相等，
，
或 ，
解得 或 ，
点 的坐标为 或 ；
故选： ．
【点拨】本题考查了点的坐标的表示，依据题意列出绝对值方程是解题的关键，难点在于
绝对值方程的求解．
4．C
【分析】由点P（x，y）到X轴距离为2，到Y轴距离为3，可得x，y的可能的值，由x+y＞0，xy＜0，可得两数异号，且正数的绝对值较大；根据前面得到的结论即可判断点P的
坐标．
解：∵点P（x，y）到x轴距离为2，到y轴距离为3，
∴|x|＝3，|y|＝2，
∴x＝±3，y＝±2；
∵x+y＞0，xy＜0，
∴x＝3，y＝﹣2，
∴P的坐标为（3，﹣2），
故选：C．
【点拨】此题考查直角坐标系中点到坐标轴的距离与坐标的关系，有理数加法乘法法则，
正确掌握有理数的加法乘法法则是解题的关键.
5．A
【分析】根据点A、B平移后的对应点的位置得到平移的规律，由此得到答案
解：∵点A(－1，－2)平移后的对应点C在x轴上，
∴点A向上平移2个单位，
∵点B(3，4)的对应点D在y轴上，
∴点B向左平移3个单位，
∴线段AB向左平移3个单位，再向上平移2个单位后得到对应点C、D，
∴点C的坐标是(－4，0)，
故选：A
【点拨】此题考查直角坐标系中点的平移规律：左减右加，上加下减，熟记规律并运用解
题是关键
6．D
【分析】根据线段AB∥x轴求得a的值后即可确定点A和点B的坐标，从而求得线段AB
的长，利用三角形的面积公式求得三角形的面积即可．
解：∵AB∥x轴，∴2a+1=a-3．解得a=-4．
∴A（1，-7），B（4，-7）．
∴AB=3．
过点O作OC⊥AB交BA的延长线于点C，则OC=7．
∴△ABC的面积为： ．
故答案为：D.
【点拨】本题目考查了点与坐标的对应关系，根据 AB∥x轴求得a的值是解题的关键.
7．C
【分析】应先判断出点A的横纵坐标的符号，进而判断点A到x轴、y轴的距离．
解：∵点A（3a，2b）在x轴上方，
∴点A的纵坐标大于0，得到2b＞0，
∴点A到x轴的距离是2b；
∵点A（3a，2b）在y轴的左边，
∴点A的横坐标小于0，即3a＜0，
∴点A到y轴的距离是-3a；
故答案为C．
【点拨】本题主要考查点的坐标的几何意义，到x轴的距离就是纵坐标的绝对值，到y轴
的距离就是横坐标的绝对值．
8．A
解：试题解析：设P（x，y），
1
∵点A（1，-1）、B（-1，-1）、C（0，1），点P（0，2）关于A的对称点为P，P 关于
1 1
B的对称点P，
2
∴ =1， =-1，解得x=2，y=-4，
∴P（2，-4）．
1同理可得，P（2，-4），P（-4，2），P（4，0），P（-2，-2），P（0，0），P（0，
1 2 3 4 5 6
2），P（2，-4），…，…，
7
∴每6个数循环一次．
∵ =335…5，
∴点P 的坐标是（0，0）．
2015
故选A．
9．D
【分析】先求出A点绕点 顺时针旋转90°后所得到的的坐标 ，再求出 向右平移3个
单位长度后得到的坐标 ， 即为变换后点 的对应点坐标.
解：将 先绕点 顺时针旋转90°，得到点坐标为 (-1,2),再向右平移3个单位长度，
则 点的纵坐标不变，横坐标加上3个单位长度，故变换后点 的对应点坐标是 (2,2).
【点拨】本题考察点的坐标的变换及平移.
10．A
【分析】根据题意画出图形，利用平移的特征结合图形即可求解．
解：如图，由题意，可得OM=ON=1．
1 1
∵将点O 平移2 个单位长度到点O，
1 2
∴OO=2 ，OP=OP=2，
1 2 1 2
∴PM=3，
∴点A的坐标是（3，﹣1），
故选A．
【点拨】本题考查了坐标与图形变化-平移．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移
减；纵坐标上移加，下移减．利用数形结合是解题的关键．
11．B
解：由正方形ABCD，顶点A（1，3）、B（1，1）、C（3，1），然后根据题意求得第1次、2次、3次变换后的对角线交点M的对应点的坐标，即可得规律：第n次变换后的点
M的对应点的为：当n为奇数时为（2-n，-2），当n为偶数时为（2-n，2），继而求得把
正方形ABCD连续经过2017次这样的变换得到正方形ABCD的对角线交点M的坐标．
解答：
∵正方形ABCD,顶点A(1,3)、B(1,1)、C(3,1).
∴对角线交点M的坐标为(2,2)，
根据题意得：第1次变换后的点M的对应点的坐标为(2−1,−2),即(1,−2)，
第2次变换后的点M的对应点的坐标为：(2−2,2),即(0,2)，
第3次变换后的点M的对应点的坐标为(2−3,−2),即(−1,−2)，
第n次变换后的点M的对应点的为：当n为奇数时为(2−n,−2),当n为偶数时为(2−n,2)，
∴连续经过2017次变换后,正方形ABCD的对角线交点M的坐标变为(−2015,−2).
故选B.
点睛：本题是一道找规律问题.解题本题的关键在于要通过操作、观察得出操作次数与点的
坐标之间的内在联系，并归纳得出符合规律的字母公式.
12．(2，－3)
解：因为长方形的对边互相平行且相等，所以D点的横坐标为-7+[2-（-7）]=2，纵坐标
为-3，所以D（2，-3），故答案为(2，－3).
13．（1，4）
【分析】先依次求出后面的点的坐标，找出规律后即可求解．
解：由题可得：由以上情况可知，点的坐标特征为每四个点循环一次，坐标依次为
因为2018除以4的余数为2，
所以 ．
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查的是平面直角坐标系内点的坐标变化规律，学生应先理解题意，找
出其中的规律，再进行求解，该题对学生的计算能力也有一定的考查．
14．
【分析】根据 和二次根式有意义的条件，得到c的值，
再根据第四象限的点 到 轴的距离为 得到C点的坐标；再把BC直线方程求解出
来，即可得到答案．
解：∵ ，
根据二次根式的定义得到： ，
∴c=2,
∴ 并且 ，
即 ，
∴ ，又∵第四象限的点 到 轴的距离为 ，
∴ ，
故 点坐标为 ，
又∵ ，
∴B点坐标为 ， 点坐标为 ，
设BC直线方程为：y=kx+b，
把B、C代入直线方程得到 ，
当x=0时，
故 与 轴的交点坐标为 ．
故答案为：(1). (2). ．
【点拨】本题主要考查了二次根式有意义的条件、直角坐标系的应用，正确求解c的值和
m的值是解题的关键，解题时应灵活运用所学知识．
15．
解：∵点A1的横坐标为0.5=1-0.5，
点A2的横坐标为0.5+1=1.5=2-0.5，
点A3的横坐标为0.5+1+2=3.5=4-0.5，
点A4的横坐标为0.5+1+2+4=7.5=8-0.5，
…
∴点An的横坐标为2n-1-0.5，纵坐标都为0，
∴点An的坐标为（2n-1-0.5，0）．
故答案是：（2n-1-0.5，0）．
【点睛】此题考查点的坐标规律，等边三角形的性质，找出点的横坐标变化的规律是解决
问题的关键．16．m=4或 .
【分析】点C在直线y=7上，根据点C的不同位置，结合图形，用含m的代数式表示出三
角形ABC的面积，得到关于m的方程，解方程求解即可.
解：如图1，
当点C在y轴右侧时，
∴ ，
∴ ，
解得：m=4；
当点C在y轴左侧，线段ED上（不含E点）时，此时m<0,
,
∴ ,
∴ ，
解得：m=4；∵m<0,
∴不合题意.
当点C在E点左侧时，m<0
∴
∴ ，
解得：m= ；
综上：m=4或 .
故答案为：m=4或 .
【点拨】本题主要考查平面直角坐标系下的面积问题，做这类题时，一定要把图画出来，
利用数形结合的思想解决，对于多种情况的问题，还要注意分类讨论.
17．（4，404）
【分析】分别根据所给的x 和y 的关系式找到种植点的横坐标与纵坐标的规律性的式子，
k k
然后把2019代入计算即可．
解：根据题意，x＝1
1
x﹣x＝1﹣5[ ]+5[ ]
2 1
x﹣x＝1﹣5[ ]+5[ ]
3 2
x﹣x＝1﹣5[ ]+5[ ]
4 3…
x﹣x ＝1﹣5[ ]+[ ]
k k﹣1
∴x+（x﹣x）+（x﹣x）+（x﹣x）+…+（x﹣x ）
1 2 1 3 2 4 3 k k﹣1
＝1+1﹣5[ ]+5[ ]+1﹣5[ ]+5[ ]+1﹣5[ ]+5[ ]+…+1﹣5[ ]+[ ]
∴x＝k﹣5[ ]
k
当k＝2019时，x ＝2019﹣5[ ]
2019
＝2019﹣5×403
＝4
y＝1
1
y﹣y＝[ ]﹣[ ]
2 1
y﹣y＝[ ]﹣[ ]
3 2
y﹣y＝[ ]﹣[ ]
4 3
…
y﹣y ＝[ ]﹣[ ]
k k﹣1
∴y＝1+[ ]
k
当k＝2019时，y ＝1+[ ]＝1+403＝404
2019
∴第2019棵树种植点的坐标为（4，404）．
故答案为：（4，404）．
【点拨】本题考查了如何根据坐标确定位置，根据题意发现点的横纵坐标的规律是解题的
关键．
18．A(2，0)或(－2，0)或(0，8)或(0，－8)
解：试题分析：由于点A的坐标不能确定，故应分点A在x轴上和点在y轴上两种情况进
行讨论．
试题解析：当点A在x轴上时，设A（x，0），∵S =4，A（1，4）
PAO
△
∴ |x|×4=4，解得x=±2，
∴A（-2，0）或（2，0）；
当点A在y轴上时，设A（0，y），
∵S =4，A（1，4）
PAO
△
∴ |y|×1=4，解得x=±8，
∴A（-8，0）或（8，0）．
综上所述，A点坐标为（-2，0）或（2，0）或（-8，0）或（8，0）．
点睛：本题考查的是平面直角坐标系中的三角形的面积，在解答此题时要注意进行分类讨
论，不要漏解．
19．（1）A（-2，0），B（4，0）， （2）M（2，0）或（-6，0）（3）D（3，
7）或（7，4）
【分析】（1）根据题中的条件，得出点A和点B的坐标，ABC的底和高，进而求出面积；
（2）根据题中两个三角形的面积关系，求出ACM的面积，求出底，进而求出M的坐标；
（3）分情况讨论，根据题中的条件得出线段的关系，求出点D的坐标．
解：（1）∵OA=2，OB=4，且A在原点左侧，B在原点右侧，
∴A（-2，0），B（4，0），
∵C（0，3），
∴OC=3，
∴ ；
（2）设M的坐标为（m，0），
则AM= ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得m=2或m=-6，∴M点的坐标是（2，0）或（-6，0）；
（3）如图，符合条件的D点有两个，
①△ ≌△CBO，
∴ ，
OE=OB+BE=7，
∴
②△ ≌△BCO，
∴CF=BO=4，
∴OF=4+3=7，
∴ ，
∴ ，
综上所述，D点坐标是（3，7）或（7，4）．
【点拨】本题考查了函数的基本概念，根据点的坐标得出线段的长度，最后一问需要分情
况讨论，虽然难度不大，但是比较繁琐，依据图形，数形结合有利于解决问题．
20．（1）4；（2）①1；② ，
【分析】（1）由题意可得 ， ，由此可知点 是由点 沿 轴正方向平移4个
单位得到，即可求 的长；
（2）先根据题意初步判断出点A、B的相对位置关系，再由此画出相应图形，延长 交轴于点 ，设 ，则 ，分别过点 ， 作 轴的垂线，垂足为 ， ，根据
，列出方程可得 ，
①当点 在直线 上时，即 ， ， 三点共线，则点 即为点 ，由此可得a的值；
②当点 不在直线 上时，不论点 在 的上方或下方，均有 的面积
，由此可得 ，进而可求得 的值．
解：（1）∵ ，
∴ ， ，
∴点 是由点 沿 轴正方向平移4个单位得到，
∴线段 的长是 ．
（2）∵ ，
∴ ．
由 得点 在点 下方．
延长 交 轴于点 ，
由于 ， 都在 轴右侧，
∴点 在点 下方．
设 ，则 ．
分别过点 ， 作 轴的垂线，垂足为 ， ，
∴ ， ，
∴ ， ， ， ， ．由 ，
得 ，
，
即 ．
①当点 在直线 上时，即 ， ， 三点共线，
∴点 即为点 ，
∴ ，
∴ ．
②当点 不在直线 上时，
不论点 在 的上方或下方，均有 的面积 ，
∴
．
∵ ，
∴ ，
即 ，
∴当 时，点 的坐标为 或 ，
∴当 时， ；
当 时， ；
综上所述， 的值是 ， ．
【点拨】本题考查了坐标与图形，利用割补法求 ABO的面积是解题的关键．21．（1） ；（2） （ ）；（3） 的值为4，点 的坐标是 ．
【分析】（1）根据△AOB的面积可求得OA的长，即可求得点A的坐标；
（2）由题意可分别得 ，由三角形面积公式即可得结果，由点Q只在线段OB
上运动，从而可得t的取值范围；
（3）利用割补方法，由 则可求得t的值；连接OE，由
可求得OF的长，从而求得点F的坐标．
解：（1）∵B(-6，0)，
∴OB=6，
∵ ，
∴ ，
∴OA=6 ，
∴ ．
（2）∵ ， ，
∴ ，
∴ （ ）
（3）∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
解得 ，则 ，
∴ ，
连接 ，如图∵ ，
∴
∴
∴ 点坐标为
综上所述： 的值为4，点 的坐标是 ．
【点拨】本题考查了代数式，三角形面积，用到了割补方法，也是本题的关键和难点．
22．（1） ， ， ；（2）存在， ；（3）
【分析】（1）根据绝对值和算术平方根的非负性，求得a，b的值，得出点A，C的坐标，
再运用中点公式求出点D的坐标；
（2）根据题意可得CP=t，OP=2-t，OQ=2t，AQ=4-2t，再根据S ODP=S ODQ，列方程
求解即可； △ △
（3）过点H作HP∥AC交x轴于点P，先证明OG∥AC，再根据角的和差关系以及平行线性
质，得出∠PHO=∠GOF=∠1+∠2，∠OHC=∠OHP+∠PHC=∠GOF+∠4=∠1+∠2+∠4，最后
代入可得 ．
解：（1） ，
， ，
， ，
， ，
设 ，为线段 的中点．
， ，
，
故答案为： ， ， ；
（2）存在， ．
由条件可知：点 从点 运动到点 需要时间为2秒，点 从点 运动到点 需要时间2
秒，
，点 在线段 上，
， ， ， ，
，
，
，
，
．
（3）如图2， ， ， ，，
，
，
，
如图，过点 作 交 轴于点 ，
则 ， ，
，
，
∴ ．
【点拨】本题考查了平行线的性质，三角形面积，非负数的性质，中点坐标公式等，是一
道三角形综合题，解题关键是学会添加辅助线，运用转化的思想思考问题．
23．（1）（8，12），（0，10）；（2）2秒或14秒；（3）存在，t=2.5s或
【分析】（1）由非负数的性质可得a、b的值，据此可得点B的坐标；由点P运动速度和
时间可得其运动5秒的路程，得到OP=10，从而得出其坐标；
（2）先根据点P运动11秒判断出点P的位置，再根据三角形的面积公式求解可得；
（3）分为点P在OC、BC上分类计算即可．
解：（1） ∵a，b满足 ，
∴a=8，b=12，
∴点B（8，12）；
当点P移动5秒时，其运动路程为5×2=10，
∴OP=10，
则点P坐标为（0,10），
故答案为：（8，12）、（0,10）；（2）由题意可得，第一种情况，当点P在OC上时，
点P移动的时间是：4÷2＝2秒，
第二种情况，当点P在BA上时．
点P移动的时间是：（12+8+8）÷2＝14秒，
所以在移动过程中，当点P到x轴的距离为4个单位长度时，点P移动的时间是2秒或14
秒．
（3）如图1所示：
∵△OBP的面积=20，
∴ OP•BC=20，即 ×8×OP=20．
解得：OP=5．
∴此时t=2.5s
如图2所示；
∵△OBP的面积=20，
∴ PB•OC=20，即 ×12×PB=20．
解得：BP= ．∴CP= ．
∴此时t= ，
综上所述，满足条件的时间t=2.5s或
【点拨】本题考查矩形的性质，三角形的面积，坐标与图形的性质，解题的关键是明确题
意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．
24．（1）2；（2） ；（3） 或
【分析】（1）直接利用以 为底，进行求面积；
（2） 的面积等于 的面积，需要分三种情况进行分类讨论；
（3）根据 推导出 ，然后分两种情况进行讨论，即当 位于 轴
负半轴上时与 位于 轴正半轴上时．
解：（1） ．
（２）作如下图形，进行分类讨论：
①当点 在 轴正半轴上时，
，
；
②当点 在 轴负半轴上时，
，
；
③当点 在 轴负半轴上时，，
；
因此符合条件的 点坐标有3个，分别是 ．
（3） ，
，
，
即 与 点到 的距离相等，
，
，
，
由 可推出 ，
① 位于 轴负半轴上时，
，
，
，
；
② 位于 轴正半轴上时，，
，
综上：点 的坐标为 或 ．
【点拨】本题考查了坐标与图形、三角形的面积、动点问题，解题的关键是要作适当辅助
线，进行分类讨论求解．
