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第一次月考难点特训（二）
与平面直角坐标系中的三角形全等有关的压轴题
1．如图，在直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在坐标轴上，A，B两点关于y轴对称，点C是y
轴正半轴上一个动点，AD是角平分线．
（1）如图1，若∠ACB＝90°，直接写出线段AB，CD，AC之间数量关系；
（2）如图2，若AB＝AC+BD，求∠ACB的度数；
（3）如图2，若∠ACB＝100°，求证：AB＝AD+CD．
2．如图，A（﹣t，0）、B（0，t），其中t＞0，点C在OA上一点，OD⊥BC于点D，且∠BCO
＝45°+∠COD．
（1）求证：BC平分∠ABO；
（2）求 的值；
（3）若点P为第三象限内一动点，且∠APO＝135°，试问AP和BP是否存在某种确定的位置
关系？说明你的理由．
3．如图1，在平面直角坐标系中，直线AB分别交x轴、y轴于A（a，0）、B（0，b）两点，且a，b满足（a﹣b）2+|a﹣4t|＝0，且t＞0，t是常数．直线BD平分∠OBA，交x轴于D点．
（1）若AB的中点为M，连接OM交BD于N，求证：ON＝OD；
（2）如图2，过点A作AE⊥BD，垂足为E，猜想AE与BD间的数量关系，并证明你的猜想；
（3）如图3，在x轴上有一个动点P（在A点的右侧），连接PB，并作等腰Rt△BPF，其中
∠BPF＝90°，连接FA并延长交y轴于G点，当P点在运动时，OG的长是否发生改变？若改变，
请求出它的变化范围；若不变，求出它的长度．
4．已知，平面直角坐标系中，A在x轴正半轴，B（0，1），∠OAB＝30°．
（1）如图1，已知AB＝2．点C在y轴的正半轴上，当△ABC为等腰三角形时，直接写出点C
的坐标为 ；
（2）如图2，以AB为边作等边△ABE，AD⊥AB交OA的垂直平分线于D，求证：BD＝OE；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接DE交AB于F，求 的值．
5．如图1，已知A（a，0），B（0，b）分别为两坐标轴上的点，且a、b满足（a﹣b）2+ ＝
0，OC：OA＝1：3．
（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）若D（1，0），过点D的直线分别交AB、BC于E、F两点，设E、F两点的横坐标分别
为x 、x ．当BD平分△BEF的面积时，求x +x 的值；
E F E F
（3）如图2，若M（2，4），点P是x轴上A点右侧一动点，AH⊥PM于点H，在HM上取点
G，使HG＝HA，连接CG，当点P在点A右侧运动时，∠CGM的度数是否改变？若不变，请求其值；若改变，请说明理由．
6．如图1，已知A（a，0），B（0，b）分别为两坐标轴上的点，且a，b满足a2﹣24a+|b﹣12|＝
﹣144，且3OC＝OA．
（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）若D（2，0），过点D的直线分别交AB、BC于E、F两点，且DF＝DE，设E、F两点
的横坐标分别为x 、x ，求x +x 的值；
E F E F
（3）如图2，若M（4，8），点P是x轴上A点右侧一动点，AH⊥PM于点H，在HM上取点
G，使HG＝HA，连接CG，当点P在点A右侧运动时，∠CGM的度数是否改变？若不变，请
求其值；若改变，请说明理由．
7．如图，平面直角坐标系xOy中，B（﹣6，0）、C（6，0），点A在y轴上，（AB＞8），已点
D为AB上一点，且BD＝8，点P在线段BC上以2个单位/秒的速度由B点向C点运动，设运动
时间为t，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．
（1）用含t的式子表示点P的坐标为 ；
（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝2时，△BPD与△CQP是否全等，请说
明理由；
（3）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，请求出点Q的运动速度是多少时，能够使
△BPD与△CQP全等？8．在平面直角坐标系中，已知A（0，a）、B（b，0），且a、b满足：a2+b2﹣4a+4b+8＝0．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）如图，若点D为x轴正半轴上一动点，∠ADO的平分线交y轴于点C，点F为线段OD上
一动点，过点F作CD的平行线交y轴于点H，且∠AFH＝45°，判断线段AH、FD、AD三者的
数量关系，并予以证明；
（3）以AO为腰，A为顶角顶点作等腰△ADO，若∠DBA＝30°，直接写出∠DAO的度数
9．如图所示，直线 AB 交 x 轴于点 A（a，0）交 y 轴于点 B （0，b），且 a、b 满足
＝0，P为线段AB上的一点．
（1）如图1，若AB＝6 ，当△OAP为AP＝AO的等腰三角形时，求BP的长．
（2）如图2，若P为AB的中点，点M、N分别是OA、OB边上的动点，点M从顶点A、点N
从顶点O同时出发，且它们的速度都为1cm/s，则在M、N运动的过程中，S四边形PNOM 的值是否
会发生改变？如发生改变，求出其面积的变化范围；若不改变，求该面积的值．
（3）如图3，若P为线段AB上异于A、B的任意一点，过B点作BD⊥OP，交OP、OA分别于
F、D两点，E为OA上一点，且∠PEA＝∠BDO，试判断线段OD与AE的数量关系，并说明理
由．
10．如图，点A、B分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，点C（2，﹣2），CA、CB分别交坐
标轴于D、E，CA⊥AB，且CA＝AB．（1）求点B的坐标；
（2）如图2，连接DE，求证：BD﹣AE＝DE；
（3）如图3，若点F为（4，0），点P在第一象限内，连接PF，过P作PM⊥PF交y轴于点
M，在PM上截取PN＝PF，连接PO、BN，过P作∠OPG＝45°交BN于点G，求证：点G是
BN的中点．
11．已知在平面直角坐标系中，点A的坐标是（0，2），点P是第一象限内一动点．
（1）①：如图①．若动点P（a，b）满足|3a﹣9|+（3﹣b）2＝0，且PA⊥PB，求点B的坐标．
②：如图②，在第（1）问的条件下，将∠APB逆时针旋转至如图∠CPD所示位置，求OD﹣
OC的值．
（2）如图③，若点 A 与点 A'关于 x 轴对称，且 BM⊥PA′，若动点 P 满足∠APA′＝
2∠OBA'，问： 的值是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变化，请求出其值．
12．如图1，等边△ABC，∠BAC的平分线交y轴于点D，C的坐标为（0，6）．
（1）求D点的坐标；
（2）如图2，E为x轴上任一点，以CE为边在第一象限内作等边△CEF，FB的延长线交y轴
于点G，求OG的长；
（3）如图3，在（2）的条件下，且∠CEO＝30°，以CE为边在第一象限内作等边△CEF，
EH⊥EC交OE的垂直平分线于H，连接FH交CE于P，求PF与PH的数量关系．
