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第一次月考难点特训（二）与二次方程有关的压轴题
1．阅读下面的例题，
范例：解方程x2﹣|x|﹣2＝0，
解：（1）当x≥0时，原方程化为x2﹣x﹣2＝0，解得：x ＝2，x ＝﹣1（不合题意，舍去）．
1 2
（2）当x＜0时，原方程化为x2+x﹣2＝0，解得：x ＝﹣2，x ＝1（不合题意，舍去）．
1 2
∴原方程的根是x ＝2，x ＝﹣2
1 2
请参照例题解方程x2﹣|x﹣1|﹣1＝0．
【解答】解：x2﹣|x﹣1|﹣1＝0，
（1）当x≥1时，原方程化为x2﹣x＝0，解得：x ＝1，x ＝0（不合题意，舍去）．
1 2
（2）当x＜1时，原方程化为x2+x﹣2＝0，解得：x ＝﹣2，x ＝1（不合题意，舍去）．
1 2
故原方程的根是x ＝1，x ＝﹣2．
1 2
2．某公司销售一种商品，成本为每件20元，经过市场调查发现，该商品的日销售量y（件）与销
售单价x（元）是一次函数关系，其销售单价、日销售量的三组对应数值如下表：
销售单价x（元） 40 60 80
日销售量y（件） 80 60 40
（1）求y与x的关系式；
（2）若物价部门规定每件商品的利润率不得超过100%，求公司销售该商品获得的最大日利润；
（3）若物价部门规定该商品销售单价不能超过a元，并且由于某种原因，该商品每件成本变成
了之前的2倍，在日销售量y（件）与销售单价x（元）保持（1）中函数关系不变的情况下，
该商品的日销售最大利润是1500元，求a的值．
【解答】解：（1）设函数的表达式为y＝kx+b，
{40k+b=80 {k=−1
将（40，80）、（60，60）代入上式得： ，解得 ，
60k+b=60 b=120
故y与x的关系式为y＝﹣x+120；
（2）公司销售该商品获得的最大日利润为w元，
则w＝（x﹣20）y＝（x﹣20）（﹣x+120）＝﹣（x﹣70）2+2500，
∵x﹣20≥0，﹣x+120≥0，x﹣20≤20×100%，
∴20≤x≤40，
∵﹣1＜0，
故抛物线开口向下，故当x＜70时，w随x的增大而增大，
∴当x＝40（元）时，w的最大值为1600（元），
故公司销售该商品获得的最大日利润为1600元；
（3）当w最大 ＝1500时，﹣（x﹣80）2+1600＝1500，
解得x ＝70，x ＝90，
1 2
∵x﹣2×20≥0，
∴x≥40，
又∵x≤a，
∴40≤x≤a．
∴有两种情况，
①a＜80时，即40≤x≤a，
在对称轴左侧，w随x的增大而增大，
∴当x＝a＝70时，w最大 ＝1500，
②a≥80时，即40≤x≤a，
在40≤x≤a范围内w最大 ＝1600≠1500，
∴这种情况不成立，
∴a＝70．
3．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+4k﹣3＝0．
（1）求证：无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）当一矩形ABCD的对角线长为AC=√31，且矩形两条边AB和BC恰好是这个方程的两个
根时，求矩形ABCD的周长．
【解答】（1）证明：Δ＝（2k+1）2﹣4（4k﹣3）
＝4k2+4k+1﹣16k+12
＝4k2﹣12k+13
＝（2k﹣3）2+4，
∵（2k﹣3）2≥0，
∴Δ＞0，
∴无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）根据题意得AB+BC＝2k+1，AB•BC＝4k﹣3，
而AB2+BC2＝AC2＝（√31）2，
∴（2k+1）2﹣2（4k﹣3）＝31，整理得k2﹣k﹣6＝0，解得k ＝3，k ＝﹣2，
1 2
而AB+BC＝2k+1＞0，AB•BC＝4k﹣3＞0，
∴k的值为3，
∴AB+BC＝7，
∴矩形ABCD的周长为14．
4．如图，利用一面长为34米的墙，用铁栅栏围成一个矩形自行车场地ABCD，在AB和BC边各
有一个2米宽的小门（不用铁栅栏）设矩形ABCD的边AD长为x米，AB长为y米，矩形的面
积为S平方米，且x＜y．
（1）若所用铁栅栏的长为40米，求y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围：
（2）在（1）的条件下，求S与x的函数关系式，并求出怎样围才能使矩形场地的面积为 192
平方米？
44
【解答】解：（1）y＝﹣2x+44，自变量x的取值范围5≤x＜ ；
3
（2）S＝﹣2x2+44x，
﹣2x2+44x＝192
解得 x ＝6，x ＝16，
1 2
44
∵x ＝16＞
2
3
∴不合题意，舍去．
∴AD长6米，AB长32米．
5．已知关于x的一元二次方程x2+（k﹣5）x+1﹣k＝0，其中k为常数．
（1）求证：无论k为何值，方程总有两个不相等实数根；
（2）已知函数y＝x2+（k﹣5）x+1﹣k的图象不经过第三象限，求k的取值范围；
（3）若原方程的一个根大于3，另一个根小于3，求k的最大整数值．
【解答】（1）证明：∵Δ＝（k﹣5）2﹣4（1﹣k）＝k2﹣6k+21＝（k﹣3）2+12＞0，
∴无论k为何值，方程总有两个不相等实数根；
（2）解：∵二次函数y＝x2+（k﹣5）x+1﹣k的图象不经过第三象限，二次项系数a＝1，∴抛物线开口方向向上，
∵Δ＝（k﹣3）2+12＞0，
∴抛物线与x轴有两个交点，
设抛物线与x轴的交点的横坐标分别为x ，x ，
1 2
∴x +x ＝5﹣k＞0，x •x ＝1﹣k≥0，
1 2 1 2
解得k≤1，
即k的取值范围是k≤1；
（3）解：设方程的两个根分别是x ，x ，
1 2
根据题意，得（x ﹣3）（x ﹣3）＜0，
1 2
即x •x ﹣3（x +x ）+9＜0，
1 2 1 2
又x +x ＝5﹣k，x •x ＝1﹣k，
1 2 1 2
代入得，1﹣k﹣3（5﹣k）+9＜0，
5
解得k＜ ．
2
则k的最大整数值为2．
6．某商品的进价为每件40元，售价每件不低于60元且每件不高于80元．当售价为每件60元时，
每个月可卖出100件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖2件．设每件商品的售
价为x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；
（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？
（3）当每件商品定价为多少元使得每个月的利润恰为2250元？
【解答】解：（1）y＝（x﹣40）[100﹣2（x﹣60）]＝﹣2x2+300x﹣8800；（60≤x≤80且x为
整数）
（2）y＝﹣2x2+300x﹣8800＝﹣2（x﹣75）2+2450，
∵a＝﹣2＜0，
∴当x＝75时，y有最大值2450．
∴每件商品的售价定为75元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是2450元．
（3）当y＝2250元时，
﹣2x2+300x﹣8800＝2250，
解得：x ＝65，x ＝85；
1 2
其中，x ＝85不符合题意，舍去．
2因此当每件商品的售价为65元时，每个月的利润恰为2250元．
7．用总长为60m的篱笆围成矩形场地．
（1）根据题意，填写下表：
矩形一边长/m 5 10 15 20
矩形面积/m2 125 20 0 22 5 20 0
（2）设矩形一边长为xm，矩形面积为Sm2，当x是多少时，矩形场地的面积最大？并求出矩形
场地的最大面积；
（3）当矩形的长为 1 8 m，宽为 1 2 m时，矩形场地的面积为216m2．
【解答】解：（1）若矩形一边长为10m，则另一边长为30﹣10＝20（m），此时矩形面积为：
10×20＝200（m2），
若矩形一边长为 15m，则另一边长为 30﹣15＝15（m），此时矩形面积为：15×15＝225
（m2），
若矩形一边长为 20m，则另一边长为 30﹣20＝10（m），此时矩形面积为：10×20＝200
（m2），
完成表格如下：
矩形一边长/m 5 10 15 20
矩形面积/m2 125 200 225 200
（2）矩形场地的周长为60m，一边长为xm，则另一边长为（30﹣x）m，
∴矩形场地的面积S＝x（30﹣x）＝﹣x2+30x＝﹣（x﹣15）2+225，
当x＝15时，S取得最大值，最大值为225m2，
答：当x是15m时，矩形场地的面积S最大，最大面积为225m2；
（3）根据题意，得：﹣x2+30x＝216，
解得：x＝12或x＝18，
∴当矩形的长为 18m，宽为12m时，矩形场地的面积为216m2，
故答案为：18，12．
k−1
8．已知在关于x的分式方程 =2①和一元二次方程（2﹣k）x2+3mx+（3﹣k）n＝0②中，
x−1
k、m、n均为实数，方程①的根为非负数．
（1）求k的取值范围；
（2）当方程②有两个整数根x 、x ，k为整数，且k＝m+2，n＝1时，求方程②的整数根；
1 2
（3）当方程②有两个实数根x 、x ，满足x （x ﹣k）+x （x ﹣k）＝（x ﹣k）（x ﹣k），且k
1 2 1 1 2 2 1 2为负整数时，试判断|m|≤2是否成立？请说明理由．
k−1
【解答】解：（1）∵关于x的分式方程 =2的根为非负数，
x−1
∴x≥0且x≠1，
k+1 k+1
又∵x= ≥0，且 ≠1，
2 2
∴解得k≥﹣1且k≠1，
又∵一元二次方程（2﹣k）x2+3mx+（3﹣k）n＝0中2﹣k≠0，
∴k≠2，
综上可得：k≥﹣1且k≠1且k≠2；
（2）∵一元二次方程（2﹣k）x2+3mx+（3﹣k）n＝0有两个整数根x 、x ，且k＝m+2，n＝1时，
1 2
∴把k＝m+2，n＝1代入原方程得：﹣mx2+3mx+（1﹣m）＝0，即：mx2﹣3mx+m﹣1＝0，
∴△≥0，即Δ＝（﹣3m）2﹣4m（m﹣1），且m≠0，
∴Δ＝9m2﹣4m（m﹣1）＝m（5m+4）≥0，
4
则m＞0或m≤− ；
5
∵x 、x 是整数，k、m都是整数，
1 2
m−1 1
∵x +x ＝3，x •x = =1− ，
1 2 1 2
m m
1
∴1− 为整数，
m
∴m＝1或﹣1，
由（1）知k≠1，则m+2≠1，m≠﹣1
∴把m＝1代入方程mx2﹣3mx+m﹣1＝0得：x2﹣3x+1﹣1＝0，
x2﹣3x＝0，
x（x﹣3）＝0，
x ＝0，x ＝3；
1 2
（3）|m|≤2成立，理由是：
由（1）知：k≥﹣1且k≠1且k≠2，
∵k是负整数，
∴k＝﹣1，
（2﹣k）x2+3mx+（3﹣k）n＝0且方程有两个实数根x 、x ，
1 23m 3m (3−k)n 4
∴x +x =− = =−m，x x = = n，
1 2 1 2
2−k k−2 2−k 3
x （x ﹣k）+x （x ﹣k）＝（x ﹣k）（x ﹣k），
1 1 2 2 1 2
x 2﹣x k+x 2﹣x k＝x x ﹣x k﹣x k+k2，
1 1 2 2 1 2 1 2
x 2+x 2＝x x +k2，
1 2 1 2
（x +x ）2﹣2x x ﹣x x ＝k2，
1 2 1 2 1 2
（x +x ）2﹣3x x ＝k2，
1 2 1 2
4
（﹣m）2﹣3× n＝（﹣1）2，
3
m2−1
m2﹣4n＝1，n= ①，
4
Δ＝（3m）2﹣4（2﹣k）（3﹣k）n＝9m2﹣48n≥0②，
m2−1
把①代入②得：9m2﹣48× ≥0，
4
m2≤4，
则|m|≤2，
∴|m|≤2成立．
9．在美丽乡村建设中，某县政府投入专项资金，用于乡村沼气池和垃圾集中处理点建设．该县政
府计划：2018年前5个月，新建沼气池和垃圾集中处理点共计50个，且沼气池的个数不低于垃
圾集中处理点个数的4倍．
（1）按计划，2018年前5个月至少要修建多少个沼气池？
（2）到2018年5月底，该县按原计划刚好完成了任务，共花费资金78万元，且修建的沼气池
个数恰好是原计划的最小值．据核算，前5个月，修建每个沼气池与垃圾集中处理点的平均费
用之比为1：2．为加大美丽乡村建设的力度，政府计划加大投入，今年后 7个月，在前5个月
花费资金的基础上增加投入10a%，全部用于沼气池和垃圾集中处理点建设．经测算：从今年6
月起，修建每个沼气池与垃圾集中处理点的平均费用在 2018年前5个月的基础上分别增加
a%，5a%，新建沼气池与垃圾集中处理点的个数将会在2018年前5个月的基础上分别增加
5a%，8a%，求a的值．
【解答】解：（1）设2018年前5个月要修建x个沼气池，则2018年前5个月要修建（50﹣x）
个垃圾集中处理点，
根据题意得：x≥4（50﹣x），
解得：x≥40．
答：按计划，2018年前5个月至少要修建40个沼气池．（2）修建每个沼气池的平均费用为78÷[40+（50﹣40）×2]＝1.3（万元），
修建每个垃圾处理点的平均费用为1.3×2＝2.6（万元）．
根据题意得：1.3×（1+a%）×40×（1+5a%）+2.6×（1+5a%）×10×（1+8a%）＝78×
（1+10a%），
设y＝a%，整理得：50y2﹣5y＝0，
解得：y ＝0（不合题意，舍去），y ＝0.1，
1 2
∴a的值为10．
10．国家推行“节能减排，低碳经济”政策后，环保节能设备的产品供不应求．某公司购进了A、
B两种节能产品，其中A种节能产品每件成本比B种节能产品多4万元；若购买相同数量的两
种节能产品，A种节能产品要花120万元，B种节能产品要花80万元．已知A、B两种节能产
品的每周销售数量y（件）与售价x（万元/件）都满足函数关系y＝﹣x+20（x＞0）．
（1）求两种节能产品的单价；
（2）若A种节能产品的售价比B种节能产品的售价高2万元/件，求这两种节能产品每周的总
销售利润w（万元）与A种节能产品售价x（万元/件）之间的函数关系式；并说明A种节能产
品的售价为多少时，每周的总销售利润最大？
【解答】解：（1）设B种节能产品的单价为m万元，A种节能产品的单价为（m+4）万元，
120 80
由题意得： = ，
m+4 m
解得：m＝8
经检验m＝8是原方程的解，
则m+4＝12．
答：A种节能产品的单价为12万元，B种节能产品的单价为8万元．
（2）A种节能产品售价x（万元/件），则B种节能产品的售价为（x﹣2）（万元/件），
由题意得，w＝（x﹣12）（﹣x+20）+（x﹣2﹣8）[﹣（x﹣2）+20]，
即w＝﹣2x2+64x﹣460＝﹣2（x2﹣32x+230）＝﹣2（x﹣16）2+52
当x＝16时，w取得最大，w最大 为52．
答：每周的总销售利润w（万元）与A种节能产品售价x（万元/件）之间的函数关系式为w＝
﹣2（x﹣16）2+52，当种节能产品的售价为16（万元/件）时，每周的总销售利润最大．
11．我市正大力发展绿色农产品，有一种有机水果A特别受欢迎，某超市以市场价格10元每千克
在我市收购了6000千克A水果，立即将其冷藏，请根据下列信息解决问题
①水果A的市场价格每天每千克上涨0.1元②平均每天有10千克的该水果损坏，不能出售
③每天的冷藏费用为300元
④该水果最多保存110天
（1）若将这批A水果存放x天后一次性出售，则x天后这批水果的销售单价为 10+0. 1 x 元；
（2）将这批A水果存放多少天后一次性出售所得利润为9600元？
（3）将这批A水果存放多少天后一次性出售可获得最大利润？最大利润是多少？
【解答】解：（1）10+0.1x；
（2）（10+0.1x）（6000﹣10x）﹣10×6000﹣300x＝9600，
解得：x＝80，或x＝120，
∵x≤110，
∴将这批A水果存放80天后一次性出售所得利润为9600元；
（3）设利润为w，由题意得
w＝（10+0.1x）（6000﹣10x）﹣300x﹣6000×10，
＝﹣x2+200x＝﹣（x﹣100）2+10000，
∵a＝﹣1＜0，
∴抛物线开口方向向下，
∴x＝100时，w最大 ＝10000，
∴当x＝100时，利润有最大值．
将这批A水果存放100天后一次性出售可获得最大利润为10000元．
12．阅读材料：把形如ax2+bx+c的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，
配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即 a2±2ab+b2＝（a±b）2．例如：（x﹣1）2+3是x2
﹣2x+4的一种形式的配方，（x﹣2）2+2x是x2﹣2x+4的另一种形式的配方…
请根据阅读材料解决下列问题：
（1）比照上面的例子，写出x2﹣4x+1的两种不同形式的配方；
（2）已知x2+y2﹣4x+6y+13＝0，求2x﹣y的值；
（3）已知a2+b2+c2﹣ab﹣3b﹣2c+4＝0，求a+b+c的值．
【解答】解：（1）x2﹣4x+1的两种配方分别为：
x2﹣4x+1＝（x﹣2）2﹣3，
x2﹣4x+1＝（x﹣1）2﹣2x；
（2）由x2+y2﹣4x+6y+13＝0得：x2﹣4x+4+y2+6y+9＝0，
∴（x﹣2）2+（y+3）2＝0解得：x＝2，y＝﹣3
∴2x﹣y＝4+3＝7；
（3）a2+b2+c2﹣ab﹣3b﹣2c+4
1 3
＝（a2﹣ab+ b2）+（ b2﹣3b+3）+（c2﹣2c+1）
4 4
1 3
＝（a2﹣ab+ b2）+ （b2﹣4b+4）+（c2﹣2c+1）
4 4
1 3
＝（a− b）2+ （b﹣2）2+（c﹣1）2＝0，
2 4
1
从而有a− b＝0，b﹣2＝0，c﹣1＝0，
2
即a＝1，b＝2，c＝1，
故a+b+c＝4．
13．某汽车销售公司2月份销售某厂汽车，在一定范围内，每辆汽车的进价与销售量有如下关系：
若当月仅售出1辆汽车，则该辆汽车的进价为30万元；每多售出1辆，所有售出的汽车的进价
均降低0.1万元．月底厂家一次性返利给销售公司，每辆返利0.5万元．
（1）若该公司当月售出7辆汽车，则每辆汽车的进价为多少万元？
（2）如果汽车的售价为每辆31万元，该公司计划当月盈利12万元，那么需要售出多少辆汽车？
（盈利＝销售利润+返利）
【解答】解：（1）若该公司当月售出7辆汽车，则每辆汽车的进价为：30﹣0.1×（7﹣1）＝
29.4万元
（2）设需要售出x辆汽车，
由题意可知，每辆汽车的销售利润为：
[31﹣（30.1﹣0.1x）]x+0.5x＝12，
整理，得x2+14x﹣120＝0，
解这个方程，得x ＝﹣20（不合题意，舍去），x ＝6．
1 2
答：需要售出6辆汽车．
14．已知x ，x 是关于x的一元二次方程（m+2）x2+2（m﹣2）x+m+10＝0的两实数根．
1 2
（1）求m的取值范围；
（2）已知等腰△ABC的底边BC＝4，若x ，x 恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的
1 2
周长．（3）阅读材料：若△ABC三边的长分别为a，b，c，那么可以根据秦九韶﹣海伦公式可得：
a+b+c
S△ABC =√p(p−a)(p−b)(p−c)，其中p= ，在（2）的条件下，若∠BAC和∠ABC
2
的角平分线交于点I，根据以上信息，求△BIC的面积．
【解答】解：（1）由题意得：△＝b2﹣4ac＝[2（m﹣2）]2﹣4（m+2）（m+10）≥0，且
m+2≠0，
化简得：64m≤﹣64，
解得：m≤﹣1且m≠﹣2；
（2）由题意知：x ，x 恰好是等腰△ABC的腰长，
1 2
∴x ＝x ，
1 2
∵x ，x 是关于x的一元二次方程（m+2）x2+2（m﹣2）x+m+10＝0的两实数根，
1 2
∴△＝b2﹣4ac＝[2（m﹣2）]2﹣4（m+2）（m+10）＝0，
解得m＝﹣1，
∴x2﹣6x+9＝0，
解得x ＝x ＝3，
1 2
∵BC＝4，
∴△ABC的周长为：3+3+4＝10；
（3）由（2）知：△ABC的三边长为3，3，4，
3+3+4
∴p= =5，
2
∴S△ABC =√p(p−a)(p−b)(p−c)=√5×(5−3)×(5−3)×(5−4)=2√5，
过I分别作IF⊥AB，ID⊥BC，IE⊥AC，垂足分别为F，D，E，
∵I是△ABC角平分线的交点，∴IF＝ID＝IE，
∴ S△
ABC
1 1 1 1 1
= AB⋅IF+ BC⋅ID+ AC⋅IE= ID⋅(AB+BC+AC)= ID×(3+3+4)=5ID=2√5
2 2 2 2 2
，
2√5
解得ID= ，
5
1 1 2√5 4√5
∴S△BIC = BC⋅ID= ×4× = ．
2 2 5 5
15．重庆奉节脐橙，柚子非常出名，奉节大力发展经济作物．其中果树种植已经具有规模性了，
今年受气候、雨水等因素的影响，脐橙产量较去年有小幅度的减少．而柚子产量有所增加．
（1）奉节某果农今年收获脐橙和柚子共4200千克，其中脐橙的产量不超过柚子产量的 6倍，
求该果农今年收获柚子至少多少千克？
（2）该果农把今年收获的脐橙、柚子两种水果的一部分运往市场销售．该果农去年脐橙的市场
销售量为1000千克，销售均价为15元千克，今年脐橙的市场销售量比去年减少了a%销售均价
与去年相同．该果农去年柚子的市场销售量为2000千克，销售均价为10元/千克，今年柚子的
5
市场销售量比去年增加了2a%，但销售均价比去年减少了 a%，该果农今年运往市场销售的这
6
部分脐橙和柚子的销售总金额与他去年脐橙和柚子的市场销售总金额相同，求a的值．
【解答】解：（1）设该果农今年收获柚子x千克，
根据题意得：4200﹣x≤6x，
解得：x≥600，
答：该果农今年收获柚子至少600千克；
（2）由题意可得：
5
1000（1﹣a%）×15+2000（1+2a%）×10（1− a%）＝1000×15+2000×10，
6
整理可得：100a%2﹣25a%＝0，
解得：a%＝0.25，a%＝0（舍去），
∴a＝25，
答：a的值为25．
16．如图，在长方形ABCD中，AB＝6cm，AD＝2cm，点P以2cm/s的速度从顶点A出发，沿折线
A﹣B﹣C向点C运动，同时点Q以1cm/s的速度从顶点C出发，沿CD向点D运动，当其中一个动点到达终点时，另一点也随之停止运动．
4
（1）两动点运动几秒时，四边形PBCQ的面积是长方形ABCD面积的 ？
9
（2）是否存在某一时刻，使得点P与点Q之间的距离为√5cm？若存在，求出该时刻；若不存
在，请说明理由．
4
【解答】解：（1）设两动点运动t秒，使四边形PBCQ的面积是矩形ABCD面积的 ．
9
根据题意，得BP＝6﹣2t，CQ＝t，矩形的面积是12．
1 4
则有 （t+6﹣2t）×2＝2×6× ，
2 9
2
解得t= ；
3
（2）设两动点经过t秒使得点P与点Q之间的距离为 √5．
①当0＜t≤3时，如图1，则有（6﹣2t﹣t）2+4＝5，
7 5
解得t= 或 ；
3 3
②当3＜t≤4时，如图2，则有（8﹣2t）2+t2＝5，
得方程5t2﹣32t+59＝0，
此时Δ＜0，此方程无解．
7 5
综上所述，当t= 或 时，点P与点Q之间的距离√5．
3 3
17．阅读理解：材料1：对于一个关于x的二次三项式ax2+bx+c（a≠0），除了可以利用配方法求该多项式的
取值范围外，爱思考的小川同学还想到了其他的方法：比如先令ax2+bx+c＝y（a≠0），然后移
项可得：ax2+bx+（c﹣y）＝0，再利用一元二次方程根的判别式来确定y的取值范围，请仔细
阅读下面的例子：
例：求x2+2x+5的取值范围；
解：令x2+2x+5＝y
∴x2+2x+（5﹣y）＝0
∴Δ＝4﹣4×（5﹣y）≥0
∴y≥4∴x2+2x+5≥4．
材料2：在学习完一元二次方程的解法后，爱思考的小川同学又想到仿造一元二次方程的解法
来解决一元二次不等式的解集问题，他的具体做法如下：
若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a＞0）有两个不相等的实数根x 、x （x ＞x ）
1 2 1 2
则关于x的一元二次不等式ax2+bx+c≥0（a＞0）的解集为：x≥x 或x≤x
1 2
则关于x的一元二次不等式ax2+bx+c≤0（a＞0）的解集为：x ≤x≤x
2 1
请根据上述材料，解答下列问题：
（1）若关于x的二次三项式x2+ax+3（a为常数）的最小值为﹣6，则a＝ 6 或﹣ 6 ；
3x2+6x−2
（2）求出代数式 的取值范围；
1−3x
5mx−n
（3）若关于x的代数式 （其中m、n为常数且m≠0）的最小值为﹣4，最大值为7，
x2−x+2
请求出满足条件的m、n的值．
【解答】解：（1）设y＝x2+ax+3，变形为x2+ax+3﹣y＝0，
∵△≥0，
1
∴a2﹣4（3﹣y）≥0可得y≥3− a2，
4
1
而由已知y≥﹣6，故3− a2=−6，
4
∴a＝6或a＝﹣6．
3x2+6x−2
（2）设y= ，变形为3x2+（6+3y）x﹣2﹣y＝0，
1−3x
∵△≥0，
∴（6+3y）2﹣4×3×（﹣2﹣y）≥0，化简得3y2+16y+20≥0，
10
先求出3y2+16y+20＝0的二根y ＝﹣2，y =− ，
1 2
310
∴根据材料二得y≤− 或y≥﹣2．
3
5mx−n
（3）设y= ，变形得yx2﹣（y+5m）x+2y+n＝0，
x2−x+2
∵△≥0，
∴（y+5m）2﹣4y（2y+n）≥0，
整理得7y2﹣（10m﹣4n）y﹣25m2≤0，
由已知可得﹣4≤y≤7，
根据材料二知7y2﹣（10m﹣4n）y﹣25m2＝0的二根是y ＝﹣4，y ＝7，
1 2
代入整理得{25m2−40m+16n−112=0，
25m2+70m−28n−343=0
14 14
{m= {m=−
解得 5 或 5 ．
7 49
n= n=−
4 4
18．请阅读下列材料：
我们可以通过以下方法求代数式x2+6x+5的最小值．
x2+6x+5＝x2+2•x•3+32﹣32+5＝（x+3）2﹣4，
∵（x+3）2≥0
∴当x＝﹣3时，x2+6x+5有最小值﹣4．
请根据上述方法，解答下列问题：
（Ⅰ）x2+4x﹣1＝x2+2•x•2+22﹣22﹣1＝（x+a）2+b，则ab的值是 ﹣ 1 0 ；
（Ⅱ）求证：无论x取何值，代数式x2+2√6x+7的值都是正数；
（Ⅲ）若代数式2x2+kx+7的最小值为2，求k的值．
【解答】解：（Ⅰ）∵x2+4x﹣1＝x2+2•x•2+22﹣22﹣1＝（x+2）2﹣5＝（x+a）2+b，
∴a＝2，b＝﹣5，
∴ab＝2×（﹣5）＝﹣10．
故答案是：﹣10；
（Ⅱ）证明：x2+2√6x+7＝x2+2√6x+（√6）2﹣（√6）2+7＝（x+√6）2+1．
∵（x+√6）2≥0，
∴x2+2√6x+7的最小值是1，∴无论x取何值，代数式x2+2√6x+7的值都是正数；
√2 √2 √2 √2 1
（Ⅲ）2x2+kx+7＝（√2x）2+2•√2x• k+（ k）2﹣（ k）2+7＝（√2x+ k）2− k2+7．
4 4 4 4 8
√2
∵（√2x+ k）2≥0，
4
√2 1 1
∴（√2x+ k）2− k2+7的最小值是− k2+7，
4 8 8
1
∴− k2+7＝2，
8
解得k＝±2√10．
