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2025-2026 学年八年级下册数学单元自测
第十九章 二次根式 ·基础通关
建议用时：60 分钟，满分：120 分
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）
1 ．若 在实数范围内有意义，则 的取值范围是 ( )
A ． B ． C ． D ．
2 ．下列二次根式，不能与 合并的是 ()
A ． B ． C． D ．
3 ．下列运算正确的是 ()
A ． B ． C ． D ．
4 ．估计 的值应在 ( )
A ．1 到 2 之间 B ．2 到 3 之间 C ．3 到 4 之间 D ．4 到 5 之间
5 ．下列根式： 、 、 、 、 、 中，最简二次根式的个数是 ( )
A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
6 ．若 ，则 a 的取值范围为 ( )
A ． B ． C ． D ．
7 ．当 时，代数式 的值为 ( )
A ．2 B ． C． D ．
8 ．若 ， ，则 的值用 a ，b 可以表示为 ( )
A ． B ． C ． D ．
9 ．已知矩形的长为 ，面积为 ，要在这个矩形上剪下一个正方形，则所剪下的正方形的最大面
积是 ( )
A ．30 B ．40 C ．50 D ．60
10 ．2025 年 5 月 4 日，第八届数字中国建设峰会在福州圆满落幕．本次峰会讨论了多种数据加密方式，
若
1 / 41 / 4以下运算为数据加密方式： ，那么 的值为 ( )
A ．1 B ．4 C． D ．9
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）
11 ．计算： ．
12 ．比较大小： （填“ ”“ ”“ ”）
13 ．若 与最简二次根式 是同类二次根式，则 的值为 ．
14 ．已知三角形三边长分别为 、 、 ，则化简代数式 的结果是 ．
15 ．实数 x、y 满足 ，则yx = .
16 ．观察下列各式：① ; ② ; ③ ； ……请你将发现的规律用
含自然数 n（ ）的等式表示出来 ．
三、解答题（第 17 ，18 ，19 ，20 题，每题 6 分；第 21 ，22 ，23 题，每题 8 分；第 24 ，25 题，每题
12 分；共 9 小题，共 72 分）
17 ．计算：
(1) (2)
18 ．定义两种新运算，规定： ， ，其中 a ，b 为实数且 ．
(1)求 的值；
(2)化简 ．
19 ．海伦—秦九韶公式：海伦（约公元 50 年），古希腊几何学家，在数学史上以解决几何测量问题闻
名，在他的著作《度量》一书中证明了一个利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式．即如果
一个三角形的三边长分别为 a ，b ，c ，记 ，那么这个三角形的面积
．如图，在 中， ， ， ．求 的面积．
2 / 42 / 420 ．已知 ， ，分别求下列代数式的值：
(1) ；
(2) ．
21 ．若两个含二次根式的代数式 ， 满足： ，且 是有理数，则称 与 是关于
的“和谐二次根式” ，如 ，则称 与 是关于 4 的“和谐二次根式”．
(1)若 与 是关于 10 的“和谐二次根式” ，求 的值．
(2)若 与 是关于 6 的“和谐二次根式” ，求 的值．
22 ．【阅读理解】阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题．（本题 10 分）
化简： ．
解：隐含条件 ，解得 ．
所以 ．
所以原式 ．
【启发应用】（1）按照上面的解法，试化简： ．
【类比迁移】（2）实数 在数轴上的位置如图所示，化简 ．
23．课本再现：我们已经知道 ，因此将 的分子、分母同时乘“ ”，分母就
变成了 4 ，这就是分母有理化．
方法应用：
(1)化简： ______________；
(2)若 ，求 的值；
(3)若 ，比较 a 和 b 的大小．
3 / 43 / 424 ．【观察思考】
第 1 个等式： ；第 2 个等式： ；第 3 个等式： ；
第 4 个等式： ；
… … 【规律发现】
（1）①直接写出第 4 个等式： ；
②如果 为正整数，用含 的式子表示上述的运算规律：
． 【规律证明】
（2）证明②中的运算规律．
【规律应用】
（3）根据上述规律，化简： ．
25 ．阅读材料：
小颖在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如 ，善
于思考的小颖进行了以下探索：
设 （ 其 中 x ， y ， m ， n 均 为 正 整 数 ）， 则 有
， ∴ , . 这样小颖就找到了一种把部分
的式子化为平方式的方法．请你仿照小颖的方法探索并解决下列问题：
(1)当 x，y ，m ，n 均为正整数且 时，请用含 m ，n 的式子分别表示 x，y：
______ ， ______；
(2)若 ，且 x ，m ，n 均为正整数，求 x 的值；
(3)①填空： ______；
②化简： ．
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