文档内容
2024 年兴安盟、呼伦贝尔市初中毕业生学业考试数学
注意事项：
1.本试卷共6页，满分120分．考试时间共120分钟．
2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号填写在答题卡上．回答选择题时，选
出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净
后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，请用 0.5毫米的黑色字迹签字笔将答案写在答
题卡上，写在本试卷上无效．
3.请将姓名、准考证号填写在本试卷相应位置上．
4.考试结束后，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回．
一、选择题（下列各题的四个选项中只有一个正确．共12小题，每小题3分，共36分）
1. 的绝对值是( )
.
A B. 10 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据“正数的绝对值是它本身，0的绝对值为0，负数的绝对值是它的相反数”求解即可．
【详解】解：因为 为负数，
所以 的绝对值为 ，
故选A．
【点睛】本题主要考查求绝对值，掌握“正数的绝对值是它本身，0的绝对值为0，负数的绝对值是它的相
反数”是解题的关键．
2. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D【解析】
【分析】本题考查了整式的运算，根据积的乘方法则、同底数幂相除法则、负整数指数幂、分式的加减，
多项式乘以多项式法则计算，并逐项判定即可．
【详解】解：A． ，原计算错误，不符合题意；
B． ，原计算错误，不符合题意；
C． ，原计算错误，不符合题意；
D． ，原计算正确，符合题意；
故选：D．
3. 如图是由七个完全相同的小正方体组成的立体图形，选项给出的四个平面图形中不属于其三视图的是（
）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据立方体的结构，按照三视图的要求判断选项中是否是三视图．
【详解】A项为左视图，B项为俯视图，C项不属于三视图，D项为主视图，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了立体图形的三视图问题，主要训练学生的空间想象力．
4. 新时代十年来，我国建成世界上规模最大的社会保障体系，其中基本医疗保险的参保人数由 亿增加
到 亿，参保率稳定在 ．将数据 亿用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C【解析】
【分析】本题考查了科学记数法，根据科学记数法的表示形式即可求解，熟练掌握科学记数法的表示形式：
“ 中 的范围是 ， 是正整数”是解题的关键．
【详解】解： ，
故选C．
5. 下列说法正确的是（）
A. 任意画一个三角形，其内角和是 是必然事件
B. 调查某批次汽车的抗撞击能力，适宜全面调查．
C. 一组数据2，4，6，x，7，4，6，9的众数是4，则这组数据的中位数是4
D. 在一次芭蕾舞比赛中，甲、乙两个芭蕾舞团都表演了舞剧《天鹅湖》，两团女演员的身高平均数相同，
方差分别为 ，则甲芭蕾舞团的女演员身高更整齐
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了必然事件，方差的意义，抽样调查与普查，中位数，根据必然事件，中位数，方差的
意义，抽样调查与普查逐项分析判断即可．
【详解】A．任意画一个三角形，其内角和是 是不可能事件，故原说法错误；
B．调查某批次汽车的抗撞击能力，适宜抽样调查．故原说法错误；
C．一组数据2，4，6，x，7，4，6，9的众数是4，则这组数据的中位数是5，故原说法错误
D．在一次芭蕾舞比赛中，甲、乙两个芭蕾舞团都表演了舞剧《天鹅湖》，两团女演员的身高平均数相同，
方差分别为 ，则甲芭蕾舞团的女演员身高更整齐，故正确，
故选：D．
6. 如图， ，若 ，则 的度数是（ ）
A. B. C. D.【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，垂直的定义，度分秒的计算等，先利用垂直定义结合已知条件求出
，然后利用平行线的性质以及度分秒的换算求解即可．
【详解】解∶∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选∶C．
7. 实数 在数轴上的对应位置如图所示，则 的化简结果是（ ）
A. 2 B. C. D. -2
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了实数与数轴的关系，二次根式的性质和绝对值的化简法则，根据数轴可得 ，
，，再利用二次根式的性质和绝对值的化简法则，化简计算即可．
【详解】解∶由数轴知∶ ， ，
∴ ，
∴，
故选：A．
8. 点 在直线 上，坐标 是二元一次方程 的解，则点 的位置在（
）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了一次函数图象上点的特征，解二元一次方程组等知识，联立方程组 ，
求出点P的坐标即可判断．
【详解】解∶ 联立方程组 ，
解得 ，
∴P的坐标为 ，
∴点P在第四象限，
故选∶D．
9. 如图，在 中， ，以点 为圆心，适当长为半径画弧分别交 于点
和点 ，再分别以点 为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧交于点 ，连接 并延长交
于点 ．若 的面积为8，则 的面积是（ ）A. 8 B. 16 C. 12 D. 24
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了尺规作图，含 的直角三角形的性质，等腰三角形的判定等知识， 由作图知 平
分 ，则可求 ，利用含 的直角三角形的性质得出 ，利用等
角对等边得出 ，进而得出 ，然后利用面积公式即可求解．
【详解】解： ∵ ，
∴ ，
由作图知： 平分 ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又 的面积为8，
∴ 的面积是 ，
故选B．10. A，B两种机器人都被用来搬运化工原料，A型机器人比B型机器人每小时多搬运30千克，A型机器人
搬运900千克所用时间与B型机器人搬运600千克所用时间相等．A，B两种机器人每小时分别搬运多少干
克化工原料？（ ）
A. 60，30 B. 90，120 C. 60，90 D. 90，60
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的应用，设 B型机器人每小时搬运 x千克，则 A型机器人每小时搬运
千克，根据“A型机器人搬运900千克所用时间与B型机器人搬运600千克所用时间相等”列分
式方程求解即可．
【详解】解：设B型机器人每小时搬运x千克，则A型机器人每小时搬运 千克，
根据题意，得 ，
解得 ，
经检验， 是原方程的解，
∴ ，
答：A型机器人每小时搬运90千克， B型机器人每小时搬运60千克．
故选：D．
11. 如图，边长为2的正方形 的对角线 与 相父于点 ． 是 边上一点， 是 上一
点，连接 ．若 与 关于直线 对称，则 的周长是（ ）
A. B. C. D.【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质和折叠的性质，属于基础题型，熟练掌握正方形的性质和折叠的性质是
解题的关键．根据正方形的性质可求出 ，根据轴对称的性质可得 ，
则 ，再求出 ，
，即可求出答案．
【详解】解：正方形 的边长为2，
∴ ，
∴ ，
∵ 与 关于直线 对称，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的周长是 .
故选：A．
12. 已知某同学家、体育场、图书馆在同一条直线上．下面的图象反映的过程是：该同学从家跑步去体育
场，在那里锻炼了一阵后又步行回家吃早餐，饭后骑自行车到图书馆．图中用x表示时间，y表示该同学
离家的距离．结合图象给出下列结论：（1）体育场离该同学家2.5千米；
（2）该同学在体育场锻炼了15分钟；
（3）该同学跑步前平均速度是步行平均速度的2倍；
（4）若该同学骑行的平均速度是跑步平均速度的1.5倍，则 的值是3.75；
其中正确结论的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查利用函数图像解决实际问题，正确的读懂图像给出的信息是解题的关键．利用图象信息
解决问题即可．
【详解】解：由图象可知：体育场离该同学家2.5千米，故（1）正确；
该同学在体育场锻炼了 （分钟），故（2）正确；
该同学的跑步速度为 （千米/分钟），步行速度为 （千米/分钟），则跑步
速度是步行速度的 倍，故（3）错误；
若该同学骑行的平均速度是跑步平均速度的1.5倍，则该同学骑行的平均速度为 （千米/分钟），
所以 ，故（4）正确，
故选：C．
二、填空题（本题5个小题，每小题3分，共15分）13. 分解因式：a＋2ab＋ab2＝ ______．
【答案】a（1＋b）2
【解析】
【分析】先提公因式，再用完全平方公式．
【详解】原式＝ ，
故填： ．
【点睛】本题考查因式分解的方法，熟练掌握提公因式和完全平方是关键．
14. 如图，点 ， ，将线段 平移得到线段 ，若 ， ，则点
的坐标是_____．
【答案】
【解析】
【分析】由平移性质可知 ， ，则四边形 是平行四边形，又 ，则
有四边形 是矩形，根据同角的余角相等可得 ，从而证明 ，由性质
得 ，设 ，则 ， ，则 ，解得： ，故有
， ，得出 即可求解．
【详解】如图，过 作 轴于点 ，则 ，由平移性质可知： ， ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
设 ，则 ， ，
∴ ，解得： ，
∴ ， ，∴ ，
∵点 在第四象限，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质、平移
的性质，同角的余角相等等知识点，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
15. 为了促进城乡协调发展，实现共同富裕，某乡镇计划修建公路．如图、 与 是公路弯道的外、内
边线，它们有共同的圆心O，所对的圆心角都是 ，点A，C，O在同一条直线上，公路弯道外侧边线比
内侧边线多36米，则公路宽 的长是____米．（ 取3.14，计算结果精确到0.1）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了弧长公式，解一元一次方程等知识，利用弧长公式并结合题意可得出
，进而得出 ，然后解方程并按要求取近似数即可．
【详解】解：根据题意，得 ， ，
∵公路弯道外侧边线比内侧边线多36米，
∴ ，
∴ ，即解得 ，
故答案为： ．
16. 对于实数 ， 定义运算“※”为 ，例如 ，则关于 的不等式
有且只有一个正整数解时， 的取值范围是____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解，解一元一次不等式组，根据新定义和正整数解列出关于
的不等式组是解题的关键．根据新定义列出不等式，解关于 的不等式，再由不等式的解集有且只有一个
正整数解得出关于 的不等式组求解可得．
【
详解】解：根据题意可知，
解得：
有且只有一个正整数解
解不等式①，得：
解不等式②，得：
故答案为： ．
17. 如图，在平面直角坐标系中，点 ， 的坐标分别为 ， ，过点 作 轴交 轴于点
，点 为线段 上的一点，且 ．反比例函数 的图象经过点 交线段 于点，则四边形 的面积是_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数 的几
何意义，作 轴于 ，作 轴于 ，则 ，由点 ， 的坐标分别为 ，
得 ， ， ，然后证明 得
，求出 ，则 ，故有 点坐标为 ，求出反比例函数解
析式 ，再求出 ，最后根据 即可求解，熟练掌握知识
点的应用是解题的关键．
【详解】如图，作 轴于 ，作 轴于 ，则 ，
∵点 ， 的坐标分别为 ， ，∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 点坐标为 ，代入 可得， ，
∴反比例函数解析式为 ，
∵ 轴，
∴点 与点 纵坐标相等，且 在反比例函数图象上，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
三、解答题（本题4个小题，每小题6分，共24分）
18. 计算： ．
【答案】【解析】
【分析】本题考查实数的混合运算．根据零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值计算即可得出答
案．
【详解】解：
．
19. 先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】 ，
【解析】
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，掌握分式混合运算法则是解题的关键．根据分式的混合运算法
则进行化简，再代入求值即可．
【详解】解：
，
当 时，原式 ．
20. 综合实践活动中，数学兴趣小组利用无人机测量大楼的高度．如图，无人机在离地面 40米的 处，测
得操控者 的俯角为 ，测得楼 楼顶 处的俯角为 ，又经过人工测量得到操控者 和大楼之间的水平距离是80米，则楼 的高度是多少米？（点 都在同一平面内，参考数据：
）
【答案】楼 的高度为 米．
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质等知识．过 作 于 ，过 作
于 ，则四边形 是矩形，则 ， ，由题意知 ，
，根据 求 的值，根据 求 的值即可．
【详解】解：如图，过 作 于 ，过 作 于 ，则四边形 是矩形，
∴ ， ，
由题意知 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴楼 的高度为 米．
21. 从一副普通的扑克牌中取出五张牌，它们的牌面数字分别是4，4，5，5，6．（1）将这五张扑克牌背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，则抽取的这张牌的牌面数字是4的概率是多少？
（2）将这五张扑克牌背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取第二张．请用列
表或画树状图的方法，求抽取的这两张牌的牌面数字之和为奇数的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查的是用树状图法求概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步
或两步以上完成的事件，解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验，用到的知识点为：概率=所求情
况数与总情况数之比．
（1）直接用概率公式求解即可；
（2）画树状图，再利用概率公式进行计算即可．
【小问1详解】
解：将这五张扑克牌背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，抽取牌面数字是4的概率为： ；
【小问2详解】
解：画树状图，如下，
共有20种等可能事件，其中抽取的这两张牌的牌面数字之和为奇数有12种，
所以抽取的这两张牌的牌面数字之和为奇数的概率为 ．
四、解答题（本题7分）
22. 如图，在平行四边形 中，点 在边 上， ，连接 ，点 为 的中点，的延长线交边 于点 ，连接
（1）求证：四边形 是菱形：
（2）若平行四边形 的周长为 ，求 的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，等边三角形的判定与性质等知识 ：
（1）由平行四边形的性质得 再证明 ，得
出 ，证明出四边形 是平行四边形，由 得出四边形 是菱形：
（2）求出菱形 的周长为20，得出 ，再证明 是等边三角形，得出 ．
【小问1详解】
证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ 即
∴
∵ 为 的中点，
∴
∴ ，
∴
∵
∴四边形 是平行四边形，
又∴四边形 是菱形；
【小问2详解】
解：∵
∴
∵平行四边形 的周长为22，
∴菱形 的周长为：
∴
∵四边形 是菱形，
∴
又
∴ 是等边三角形，
∵ ．
五、解答题（本题7分）
23. 某市某校组织本校学生参加“市志愿者服务”活动，其服务项目有“清洁卫生”“敬老服务”“文明
宣传”“交通劝导”，每名参加志愿者服务的学生只参加其中一项．为了解各项目参与情况，该校随机调
查了部分参加志愿者服务的学生，将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据统计图信息，解答下列问题：（1）本次调查的学生共有______人，请补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，求“敬老服务”对应的圆心角的度数；
（3）该校共有2000名学生，若有 的学生参加志愿者服务，请你估计参加“文明宣传”项目的学生人
数．
【答案】（1）200，画图见解析
（2）
（3）360人
【解析】
【分析】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，样本估计总体等，解题的关键是：
（1）利用“整理卫生”的人数除以所占百分比求出调查的总人数，然后总人数减去其余各组人数，求出
“文明宣传”的人数，然后补图即可；
（2）用 乘以“敬老服务”所占百分比即可；
（3）用 乘以“文明宣传”所占的百分比即可．
【小问1详解】
解：本次调查的学生共有 人，
“文明宣传”的人数有 人，
补图如下：
故答案为：200；
【小问2详解】解： ，
∴“敬老服务”对应的圆心角的度数是 ，
【小问3详解】
解： ，
∴估计参加“文明宣传”项目的学生人数为360人．
六、解答题（本题8分）
24. 如图，在 中，以 为直径的 交 于点 ，垂足为 ． 的两条弦
相交于点 ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 ，求扇形 的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接 ，利用等边对等角，圆周角定理等可得出 ，由垂直的定义得出
，等量代换得出 ，即 ，然后根据切线的判定即
可得证；
（2）先利用含 的直角三角形的性质求出 ，同时求出 ，进而求出，利用等边对等角，三角形外角的性质等可求出 ， ，证明
是等边三角形，得出 ， ，进而求出 ，在 中，利
用余弦定义可求出 ，最后利用扇形面积公式求解即可．
【小问1详解】
证明：连接 ，
∵ ，
∴ ，
又 ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
又 是 的半径；
∴ 是 的切线；
【小问2详解】
解：∵ ， ， ，
∴ ， ，
又 ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又 ，
∴ 是等边三角形，
∴ ， ，
∴ ，
在 中， ，
∴扇形 的面积为 ．
【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，解直角三
角形的应用，三角形外角的性质，灵活运用所学知识是解题的关键．
七、解答题（本题10分）
25. 某超市从某水果种植基地购进甲、乙两种优质水果，经调查，这两种水果的进价和售价如表所示：
水果种类 进价（元/千克） 售价（元/千克）
甲 22
乙 25
该超市购进甲种水果18千克和乙种水果6千克需366元：购进甲种水果30千克和乙种水果15千克需705
元．
（1）求 的值；
（2）该超市决定每天购进甲、乙两种水果共150千克进行销售，其中甲种水果的数量不少于50千克，且
不大于120千克．实际销售时，若甲种水果超过80千克，则超过部分按每千克降价5元销售．求超市当天
销售完这两种水果获得的利润 （元）与购进甲种水果的数量 （千克）之间的函数关系式（写出自变量
的取值范围），并求出在获得最大利润时，超市的进货方案以及最大利润．【答案】（1） ，
（2） ，购进甲种水果80千克，乙种水果70千克，最大利润为1060元
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，解题的关键是∶
（1）根据“购进甲种水果18千克和乙种水果6千克需366元：购进甲种水果30千克和乙种水果15千克
需705元”列方程求解即可；
（2）分 ， 两种情况讨论，根据总利润等于甲的利润与乙的利润列出函数关系式，
然后利用一次函数的性质求解即可．
【小问1详解】
解：根据题意，得 ，
解得 ；
【小问2详解】
解：当 时，
根据题意，得 ，
∵ ，
∴ 随 的增大而增大，
∴当 时， 有最大值，最大值为 ，
即购进甲种水果80千克，乙种水果70千克，最大利润为1060元；
当 时，
根据题意，得 ，
∵ ，
∴ 随 的增大而减小，为
∴ 时， 有最大值，最大值 ，
即购进甲种水果80千克，乙种水果70千克，最大利润为1060元；
综上， ，购进甲种水果80千克，乙种水果70千克，最大利润为1060元．
八、解答题（本题13分）
26. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数 的图像经过原点和点 ．经过点
的直线与该二次函数图象交于点 ，与 轴交于点 ．
（1）求二次函数的解析式及点 的坐标；
的
（2）点 是二次函数图象上 一个动点，当点 在直线 上方时，过点 作 轴于点 ，与直
线 交于点 ，设点 的横坐标为 ．
① 为何值时线段 的长度最大，并求出最大值；
②是否存在点 ，使得 与 相似．若存在，请求出点 坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1） ，
（2）①当 时， 有最大值为 ；②当P的坐标为 或 时， 与 相似
【解析】
【分析】（1）把 ， ， 代入 求解即可，利用待定系数法求出
直线 解析式，然后令 ，求出y，即可求出C的坐标；
（2）①根据P、D的坐标求出 ，然后根据二次函数的性质求解即可；②先利用等边对等角，平行线的判定与性质等求出 ，然后分 ，
两种情况讨论过，利用相似三角形的性质、等腰三角形的判定与性质等求解即可．
【小问1详解】
解：把 ， ， 代入 ，
得 ，
解得 ，
∴二次函数的解析式为 ，
设直线 解析式为 ，
则 ，
解得 ，
∴直线 解析式为 ，
当 时， ，
∴ ；
【小问2详解】
解：①设 ，则 ，
∴，
∴当 时， 有最大值为 ；
②∵ ， ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
又 轴，
∴ 轴，
∴ ，
当 时，如图，
∴ ，
∴ 轴，
∴P的纵坐标为3，
把 代入 ，得 ，
解得 ， ，
∴ ，∴ ，
∴P的坐标为 ；
当 时，如图，过B作 于F，
则 ， ，
又 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得 ， （舍去），
∴ ，
∴P的坐标为
综上，当P的坐标为 或 时， 与 相似．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数、一次函数解析式，二次函数的性质，相似
三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识，明确题意，添加合适辅助线，合理分类讨论
是解题的关键．
