【赢在中考·黄金8卷】备战2023年中考数学全真模拟卷（沈阳专用）
黄金卷 2
（满分120分，考试用时120分钟）
一、选择题：本大题共有 10 小题，每小题2分，共 20分。每小题只有一个正确选项.
1．（2022·四川巴中·统考中考真题）下列各数是负数的是（ ）
A．(−1) 2 B．|−3| C．−(−5) D．√3−8
【答案】D
【分析】先将各选项的数进行化简，再根据负数的定义进行作答即可
【详解】解：(−1) 2=1，是正数，故 A 选项不符合题意；
|−3|=3，是正数，故 B 选项不符合题意；
−(−5)=5，是正数，故 C 选项不符合题意；
√3−8=−2，是负数，故 D 选项符合题意．
【点睛】本题考查了负数的定义，涉及乘方，绝对值的化简，立方根，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
2．（2022·贵州安顺·统考中考真题）某几何体如图所示，它的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图，即可得答案．
【详解】解：从上面看，是两个圆形，大圆内部有个小圆．
故选：D．【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，解题的关键是掌握从上面看得到的图形是俯视图．
3．（2022·湖北黄石·统考中考真题）下列运算正确的是（ ）
A．a9−a7=a2 B．a6÷a3=a2 C．a2 ⋅a3=a6 D．(−2a2b) 2 =4a4b2
【答案】D
【分析】根据合并同类项法则，同底数幂的乘处法法则以及积的乘方运算法则即可求出答案．
【详解】解：A．a9与a7不是同类项，所以不能合并，故A不符合题意
B．原式=a3，故B不符合题意
C．原式=a5，故C不符合题意
D．原式=4a4b2，故D符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查合并同类项法则，同底数幂的乘处法法则以及积的乘方运算法则，本题属于基础题型．
4．（2022·浙江台州·统考中考真题）如图是战机在空中展示的轴对称队形．以飞机B，C所在直线为x轴、
队形的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系．若飞机E的坐标为(40，a)，则飞机D的坐标为（ ）
A．(40,−a) B．(−40,a) C．(−40,−a) D．(a,−40)
【答案】B
【分析】直接利用关于y轴对称，纵坐标相同，横坐标互为相反数，进而得出答案．
【详解】解：根据题意，点E与点D关于y轴对称，
∵飞机E的坐标为(40，a)，
∴飞机D的坐标为(-40，a)，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了关于y轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号关系是解题关键．
5．（2022·浙江衢州·统考中考真题）如图是某品牌运动服的S号，M号，L号，XL号的销售情况统计图，
则厂家应生产最多的型号为（ ）A．S号 B．M号 C．L号 D．XL号
【答案】B
【分析】根据题意可得在销量中，该品牌运动服中的众数是M号，即可求解．
【详解】解：∵32%>26%>24%>18%，
∴在销量中，该品牌运动服中的众数是M号，
∴厂家应生产最多的型号为M号．
故选：B
【点睛】本题主要考查了众数的应用，熟练掌握一组数据中，出现次数最多的数是众数解题的关键．
6．（2022·湖南益阳·统考中考真题）若x＝2是下列四个选项中的某个不等式组的一个解，则这个不等式组
是（ ）
A．¿ B．¿ C．¿ D．¿
【答案】D
【分析】先把不等式组的解集求出来，然后根据解集判断x＝2是否是解集一个解．
【详解】解：A、∵不等式组的解集为x＜﹣1，∴x＝2不在这个范围内，故选项A不符合题意；
B、∵不等式组的解集为﹣1＜x＜1，∴x＝2不在这个范围内，故选项B不符合题意；
C、∵不等式组无解，∴x＝2不在这个范围内，故选项C不符合题意；
D、∵不等式组的解集为x＞1，∴x＝2在这个范围内，故选项D符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了不等式组的解集，不等式组解集的确定方法：同大取大，同小取小，大小小大中间找，
大大小小无解了．
7．（2022·内蒙古呼和浩特·统考中考真题）如图，△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕点C顺时针旋转
得到△EDC，使点B的对应点D恰好落在AB边上，AC、ED交于点F．若∠BCD=α，则∠EFC的度数
是（用含α的代数式表示）（ ）1 1 3 3
A．90°+ α B．90°− α C．180°− α D． α
2 2 2 2
【答案】C
【分析】根据旋转的性质可得，BC=DC，∠ACE=α，∠A=∠E，则∠B=∠BDC，利用三角形内角和可求得
∠B，进而可求得∠E，则可求得答案．
【详解】解：∵将△ABC绕点C顺时针旋转得到△EDC，且∠BCD=α
∴BC=DC，∠ACE=α，∠A=∠E，
∴∠B=∠BDC，
180°−α α
∴∠B=∠BDC= =90°− ，
2 2
α α
∴∠A=∠E=90°−∠B=90°−90°+ = ，
2 2
α
∴∠A=∠E= ，
2
α 3
∴∠EFC=180°−∠ACE−∠E=180°−α− =180°− α，
2 2
故选：C．
【点睛】本题考查了旋转变换、三角形内角和、等腰三角形的性质，解题的关键是掌握旋转的性质．
8．（2022·江苏泰州·统考中考真题）已知点(−3,y ),(−1,y ),(1,y )在下列某一函数图像上，且
1 2 3
y <y <y 那么这个函数是( )
3 1 2
3 3
A．y=3x B．y=3x2 C．y= D．y=−
x x
【答案】D
【分析】先假设选取各函数，代入自变量求出y1、y2、y3的值，比较大小即可得出答案．
【详解】解：A．把点(−3,y ),(−1,y ),(1,y )代入y=3x，解得y1=-9，y2=-3，y3=3，所以y1<y2<y3，这
1 2 3与已知条件y <y <y 不符，故选项错误，不符合题意；
3 1 2
B．把点(−3,y ),(−1,y ),(1,y )代入y=3x2，解得y1=27，y2=3，y3=3，所以y1>y2=y3，这与已知条件
1 2 3
y <y <y 不符，故选项错误，不符合题意；
3 1 2
3
C． 把点(−3,y ),(−1,y ),(1,y )代入y= ，解得y1=-1，y2=-3，y3=3，所以y2<y1<y3，这与已知条件
1 2 3 x
y <y <y 不符，故选项错误，不符合题意；
3 1 2
3
D． 把点(−3,y ),(−1,y ),(1,y )代入y=- ，解得y1=1，y2=3，y3=-3，所以y <y <y ，这与已知条件
1 2 3 x 3 1 2
y <y <y 相符，故选项正确，符合题意；
3 1 2
故选：D．
【点睛】此题考查了一次函数、反比例函数以及二次函数，解题的关键是掌握函数值的大小变化和函数的
性质．
9．（2022·黑龙江绥化·统考中考真题）学校组织学生进行知识竞赛，5名参赛选手的得分分别为：96，
97，98，96，98.下列说法中正确的是（ ）
A．该组数据的中位数为98 B．该组数据的方差为0.7
C．该组数据的平均数为98 D．该组数据的众数为96和98
【答案】D
【分析】首先对数据进行重新排序，再根据众数，中位数，平均数，方差的定义进行求值计算即可．
【详解】解：数据重新排列为：96，96，97，98， 98，
∴数据的中位数为：97，故A选项错误；
96+96+97+98+98
该组数据的平均数为 =97 ，故C选项错误；
5
1
该组数据的方差为： [(96−97) 2+(96−97) 2+(97−97) 2+(98−97) 2+(98−97) 2 ]=0.8，故B选项错
5
误；
该组数据的众数为：96和98，故D选项正确；
故选：D．
【点睛】本题主要考查数据中名词的理解，掌握众数，中位数，平均数，方差的定义及计算方法是解题的
关键．
10．（2022·广东广州·统考中考真题）如图，正方形ABCD的面积为3，点E在边CD上， 且CE = 1，
∠ABE的平分线交AD于点F，点M，N分别是BE，BF的中点，则MN的长为（ ）√6 √3
A． B．
2 2
√6−√2
C．2−√3 D．
2
【答案】D
【分析】如图，连接EF，先证明AB=BC=CD=AD=√3,∠ABC=90°=∠A=∠D, 再求解
CE 1 √3 1
tan∠EBC= = = , 可得∠EBC=30°, ∠ABF= ∠ABE=30°, 再求解
BC √3 3 2
AF=AB·tan30°=1, 可得△DEF为等腰直角三角形，求解EF=√2DE=√6−√2, 再利用三角形的中位
线的性质可得答案．
【详解】解：如图，连接EF，
∵正方形ABCD的面积为3，
∴AB=BC=CD=AD=√3,∠ABC=90°=∠A=∠D,
∵CE=1,
∴DE=√3−1,CE 1 √3
∴tan∠EBC= = = ,
BC √3 3
∴∠EBC=30°,
∴∠ABE=90°−30°=60°,
∵AF平分∠ABE,
1
∴∠ABF= ∠ABE=30°,
2
√3
∴AF=AB·tan30°=√3× =1,
3
∴DF=√3−1,
∴△DEF为等腰直角三角形，
∴EF=√2DE=√2(√3−1)=√6−√2,
∵M,N分别为BE,BF的中点，
1 √6−√2
∴MN= EF= .
2 2
故选D
【点睛】本题考查的是正方形的性质，锐角三角函数的应用，等腰直角三角形的判定与性质，角平分线的
定义，三角形的中位线的性质，求解∠EBC=∠ABF=30°是解本题的关键．
二、填空题：本大题共有6小题，每小题3分，共18分。
11．（2022·山东淄博·统考中考真题）分解因式：x3−9x=____.
【答案】x(x+3)(x−3)
【分析】先提取公因式x后继续应用平方差公式分解即可．
【详解】x2−9x=x(x2−9)=x(x+3)(x−3)．
故答案为：x(x+3)(x−3)
12．（2022·上海·统考中考真题）解方程组¿的结果为_____．
【答案】¿
【分析】利用平方差公式将②分解因式变形，继而可得x−y=3④，联立①④利用加减消元法，算出结果
即可．
【详解】解：¿由②，得：(x+ y)(x−y)=3③，
将①代入③，得：1×(x−y)=3，即x−y=3④，
①+②，得：2x=4，
解得：x=2，
①−②，得：2y=−2，
解得：y=−1，
∴方程组¿的结果为 ¿．
【点睛】本题考查解二元二次方程组，与平方差公式分解因式，能够熟练掌握平方差公式分解因式是解决
本题的关键．
a−3 a2−4 2
13．（2022·四川自贡·统考中考真题）化简： ⋅ + ＝____________．
a2+4a+4 a−3 a+2
a
【答案】
a+2
【分析】根据分式混合运算的顺序，依次计算即可．
a−3 a2−4 2
【详解】 ⋅ +
a2+4a+4 a−3 a+2
a−3 (a+2)(a−2) 2
= ⋅ +
(a+2) 2 a−3 a+2
a−2 2 a
= + =
a+2 a+2 a+2
a
故答案为
a+2
【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握约分，通分，因式分解的技巧是解题的关键．
14．（2022·重庆·统考中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB=1，BC=2，以B为圆心，BC的长为半径
画弧，交AD于点E．则图中阴影部分的面积为_________．（结果保留π）π
【答案】
3
【分析】先根据特殊角的锐角三角函数值，求出∠ABE，进而求出∠EBC，再根据扇形的面积公式求解
即可．
【详解】解：∵矩形ABCD，
∴∠A=∠ABC=90° ，
∵ 以B为圆心，BC的长为半轻画弧，交AD于点E， BC=2，
∴BE=BC=2 ，
在Rt△ABE中，AB=1，
AB 1
∴cos∠ABE= = ，
BE 2
∴∠ABE=60° ，
∴∠EBC=90°−60°=30° ，
30π×22 π
S阴影= = ．
360 3
π
故答案为： ．
3
【点睛】本题考查了由特殊角的三角函数值求角度数，矩形的性质，扇形的面积的计算，综合掌握以上知
识点并熟练运用是解题的关键．
k
15．（2022·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）如图，点A是反比例函数y= (x<0)图象上一点，过点A作
x
AB⊥y轴于点D，且点D为线段AB的中点．若点C为x轴上任意一点，且△ABC的面积为4，则
k=______________．
【答案】−4
( k) 1 k
【分析】设点A a, ，利用S = ×(−2a)× =4即可求出k的值．
a △ABC 2 a( k)
【详解】解：设点A a, ，
a
∵点D为线段AB的中点．AB⊥y轴
∴AB=2AD=−2a，
1 k
又∵S = ×(−2a)× =4，
△ABC 2 a
∴k=−4．
故答案为：−4
1 k
【点睛】本题考查利用面积求反比例函数的k的值，解题的关键是找出S = ×(−2a)× =4．
△ABC 2 a
16．（2022·贵州黔东南·统考中考真题）如图，折叠边长为4cm的正方形纸片ABCD，折痕是DM，点C
落在点E处，分别延长ME、DE交AB于点F、G，若点M是BC边的中点，则FG=______cm．
5 2
【答案】 ##1
3 3
【分析】根据折叠的性质可得DE=DC=4，EM=CM=2，连接DF，设FE=x，由勾股定理得BF，DF，从而求出x
的值，得出FB，再证明ΔFEG∼ΔFBM，利用相似三角形对应边成比例可求出FG．
【详解】解：连接DF,如图，∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA=4,∠A=∠B=∠C=∠CDA=90°.
∵点M为BC的中点，
1 1
∴BM=CM= BC= ×4=2
2 2
由折叠得，ME=CM=2,DE=DC=4,∠DEM=∠C=90°,
∴∠DEF=90°，∠FEG=90°,
设FE=x,则有DF2=DE2+EF2
∴DF2=42+x2
又在Rt ΔFMB中，FM=2+x,BM=2，
∵FM2=FB2+BM2
∴FB=√FM2−BM2=√(2+x) 2−22
∴AF=AB−FB=4−√(2+x) 2−22
在Rt ΔDAF中，DA2+AF2=DF2,
2
∴42+(4−√(2+x) 2−22
)
=42+x2,
4
解得，x = ,x =−8（舍去）
1 3 2
4
∴FE= ,
3
4 10
∴FM=FE+ME= +2=
3 3
√ 4 2 8
∴FB= (2+ ) −22=
3 3
∵∠DEM=90°
∴∠FEG=90°
∴∠FEG=∠B,
又∠GFE=∠MFB.
∴△FEG∼ΔFBM4
FG FE FG 3
∴ = ,即 =
FM FB 10 8
3 3
5
∴FG= ,
3
5
故答案为：
3
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，正确作出辅
助线是解答本题的关键．
三、解答题：本大题共有6小题，共63分。
17.（6分）（2022·山东菏泽·统考中考真题）计算：
(1) −1
+4cos45°−√8+(2022−π) 0 ．
2
【答案】3
【分析】先计算乘方和化简二次根式，并把特殊三角函数值代入，再合并同类二次根式，即可求解．
√2
【详解】解：原式=2+4× -2√2+1
2
=2+2√2-2√2+1
=3．
【点睛】本题考查实数的混合运算，熟练掌握负整指数幂与零指数幂运算法则，熟记特殊角三角函数值是
解题的关键．
18.（8分）（2022·陕西·统考中考真题）有五个封装后外观完全相同的纸箱，且每个纸箱内各装有一个西
瓜，其中，所装西瓜的重量分别为6kg，6kg，7kg，7kg，8kg．现将这五个纸箱随机摆放．
(1)若从这五个纸箱中随机选1个，则所选纸箱里西瓜的重量为6kg的概率是______；
(2)若从这五个纸箱中随机选2个，请利用列表或画树状图的方法，求所选两个纸箱里西瓜的重量之和为
15kg的概率．
2
【答案】(1)
5
1
(2)见解析，
5
【分析】（1）直接根据概率公式计算；（2）先列表，展示所有20种等可能的结果数，再找出两个数字之和等于15kg所占的结果数，再根据概率
公式计算．
(1)
2
解：所选纸箱里西瓜的重量为6kg的概率是 ，
5
2
故答案为： ；
5
(2)
解：列表如下：
第
二个
6 6 7 7 8
第一个
6 12 13 13 14
6 12 13 13 14
7 13 13 14 15
7 13 13 14 15
8 14 14 15 15
由列表可知，共有20种等可能的结果，其中两个西瓜的重量之和为15kg的结果有4种．
4 1
∴P= = ．
20 5
【点睛】本题考查了列表法与树状图法求概率，解题的关键是利用列表法和树状图法展示所有可能的结果
求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，从而求出概率．
19.（8分）（2022·湖北鄂州·统考中考真题）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且
∠CDF=∠BDC、∠DCF=∠ACD．
(1)求证：DF=CF；(2)若∠CDF=60°，DF=6，求矩形ABCD的面积．
【答案】(1)见解析
(2)36√3
【分析】（1）先证明△DCF≌△DCO得到DF=DO，CF=CO，再由矩形的性质证明OC=OD，即可证明
DF=CF=OC=OD；
（2）由全等三角形的性质得到∠CDO=∠CDF=60°，OD=DF=6，即可证明△OCD是等边三角形，得到
CD=OD=6，然后解直角三角形BCD求出BC的长即可得到答案．
【详解】（1）解：在△DCF和△DCO中，
¿，
∴△DCF≌△DCO（ASA），
∴DF=DO，CF=CO，
∵四边形ABCD是矩形，
1 1
∴OC=OD= AC= BD，
2 2
∴DF=CF=OC=OD；
（2）解：∵△DCF≌△DCO，
∴∠CDO=∠CDF=60°，OD=DF=6，
又∵OD=OC，
∴△OCD是等边三角形，
∴CD=OD=6，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BCD=90°，
∴BC=CD⋅tan∠BDC=6√3，
∴S =BC⋅CD=36√3．
矩形ABCD
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，解直角三角形，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判
定，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
20．（8分）（2022·黑龙江牡丹江·统考中考真题）某电视台为了解观众对“谍战”题材电视剧的喜爱情况，
随机抽取某社区部分电视观众，进行问卷调查，整理绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图：男、女观众对“谍战”题材电视剧的喜爱情况统计图
男观众对“谍战”题材电视剧的喜爱情况统计图
请根据以上信息，解答下列问题：
(1)在这次接受调查的女观众中，表示“不喜欢”的女观众所占的百分比是多少？
(2)求这次调查的男观众人数，并补全条形统计图．
(3)若该社区有男观众约1000人，估计该社区男观众喜欢看“谍战”题材电视剧的约有多少人？
【答案】(1)60%
(2)300人，图见解析
(3)600人
【分析】（1）先求出接受调查的女观众的总人数，再由图可知表示“不喜欢”的女观众有90人，然后用
90除以总人数即可；
（2）用男观众中喜欢“谍战”题材电视剧的人数直接除以60%即可解答；
（3）利用样本估计总体的方法，用总人数乘以男观众喜欢看“谍战”题材电视剧的百分比即可．
（1）
90
解： ×100%=60% ．
90+40+20答：女观众中“不喜欢”所占的百分比是60%；
（2）
解：(90+180)÷(1−10%)=300（人） ．
答：这次调查的男观众有300人 ．
300-90-180=30人，
补全条形统计图，如图所示，
（3）
180
解：1000× =600（人） ．
300
答：喜欢看“谍战”题材电视剧的男观众约有600人 ．
【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图以及用样本估计总体的思想，解题的关键是弄清题意，读懂
统计图．
21．（8分）（2022·甘肃兰州·统考中考真题）掷实心球是兰州市高中阶段学校招生体育考试的选考项目．
如图1是一名女生投掷实心球，实心求行进路线是一条抛物线，行进高度y（m）与水平距离x（m）之间
5
的函数关系如图2所示，抛出时起点处高度为 m，当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m处．
3
(1)求y关于x的函数表达式；
(2)根据兰州市高中阶段学校招生体有考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于6.70m，此项考试得分为满分10分．该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由．
4 8 5
【答案】(1)y关于x的函数表达式为y=− x2+ x+ ；
27 9 3
(2)该女生在此项考试中是得满分，理由见解析．
【分析】（1）根据题意设出y关于x的函数表达式，再用待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，令y=0，解方程即可求解．
【详解】（1）解∶∵当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m处，
∴设y=a(x−3) 2+3，
5
∵y=a(x−3) 2+3经过点(0， )，
3
5
∴ =a(0−3) 2+3
3
4
解得∶a=− ,
27
4 4 8 5
∴y=− (x−3) 2+3=− x2+ x+ ，
27 27 9 3
4 8 5
∴y关于x的函数表达式为y=− x2+ x+ ；
27 9 3
（2）解：该女生在此项考试中是得满分，理由如下∶
4 8 5 4 8 5
∵对于二次函数y=− x2+ x+ ，当y=0时，有− x2+ x+ =0
27 9 3 27 9 3
∴4x2−24x−45=0，
15 3
解得∶x = ， x =− (舍去)，
1 2 2 2
15
∵ >6.70，
2
∴该女生在此项考试中是得满分．
【点睛】本题考查二次函数的应用和一元二次方程的解法，利用待定系数法求出二次函数的解析是是解题
的关键．
22．（10分）（2022·山东威海·统考中考真题）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，
BD，延长CD至点E．(1)若AB＝AC，求证：∠ADB＝∠ADE；
(2)若BC＝3，⊙O的半径为2，求sin∠BAC．
【答案】(1)见解析
3
(2)
4
【分析】（1）根据圆内接四边形外角等于内对角，得到∠ABC＝∠ADE，根据等腰三角形性质，得到
∠ABC＝∠ACB，结合圆周角定理，∠ADB＝∠ACB，推理即可．
（2）作直径BF，连接FC，根据sin∠BAC= sin∠BFC计算即可．
【详解】（1）∵圆内接四边形外角等于内对角，四边形ABCD是圆的内接四边形，
∴∠ABC＝∠ADE，
∵AB=AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠ADB＝∠ACB，
∴∠ADB＝∠ADE．
（2）如图，作直径BF，连接FC，
则∠BCF=90°，
∵圆的半径为2，BC=3，
∴BF=4，BC=3，∠BAC= ∠BFC，BC 3
∴sin∠BAC= sin∠BFC= = ．
BF 4
【点睛】本题考查了圆的内接四边形性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，三角函数，熟练掌握圆的内
接四边形性质，圆周角定理，三角函数是解题的关键．
23．（10分）（2022·宁夏银川·校考三模）已知：如图，在Rt ΔABC中，∠C=90°，AC=3cm，
BC=4cm，点P从点B出发，沿BC向点C匀速运动，速度为1cm/s，过点P作PD∥AB，交AC于点
D．同时，点Q从点A出发，沿AB向点B匀速运动，速度为2cm/s．当一个点停止运动时，另一个点也停
止运动，连接PQ．设运动时间为t（s）（0<t<2.5），解答下列问题：
(1)当t为何值时，四边形ADPQ为平行四边形？
(2)设四边形ADPQ的面积为y（cm2），试确定y与t的函数关系式．
(3)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使S :S =13:2？若不存在，请说明理由；若存在，
四边形ADPQ △PQB
求出t值，并求出此时PQ的距离．
20
【答案】(1)当t= 时，四边形ADPQ为平行四边形；
13
9 3
(2)y= t2+ t；
40 2
3√5
(3)t=2，PQ= ．
5
【分析】（1）根据勾股定理求出AB，根据平行四边形的性质得到PQ∥AC，根据相似三角形的性质列出比例式计算即可；
（2）过点P作PE⊥AB，证明ΔBPE∼ΔBAC和ΔCPD∼ΔCBA，根据相似三角形的性质求出PE、
PD，根据梯形的面积公式计算即可；
（3）根据题意列出一元二次方程，解方程求出t，根据相似三角形的性质、勾股定理计算即可．
【详解】（1）解：∵ ∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm
∴ AB=√AC2+BC2=5cm
∵ PD∥AB
∴当PQ∥AC时，四边形ADPQ为平行四边形
QB BP 5−2t t
∴ = ，即 =
AB BC 5 4
20
解得：t=
13
20
答：当t= 时，四边形ADPQ为平行四边形．
13
（2）解：如图，过点P作PE⊥AB，垂足为E
∵ ∠PEB=∠C=90°，∠B=∠B
∴ ΔBPE∼ΔBAC
PE BP PE t
∴ = ，即 =
AC BA 3 5
3
解得：PE= t
5
∵ PD∥AB
∴ ∠DPC=∠B，∠C=∠C
∴ ΔCPD∼ΔCBA
PD CP PD 4−t
∴ = ，即 =
AB CB 5 420−5t
解得：PD=
4
1
∴ y=S = ×(PD+AQ)×PE
四边形ADPQ 2
1 (20−5t ) 3
∴ y= × +2t × t
2 4 5
9 3
∴ y= t2+ t．
40 2
13
（3）解：否存在某一时刻t，使S :S =13:2，则y= S ，
四边形ADPQ △PQB 2 ΔPQB
1 3 3
∵ S = ×QB×PE=− t2× t
ΔPQB 2 5 2
∴ 9 t2+ 3 t= 13 × ( − 3 t2× 3 t )
40 2 2 5 2
解得：t =0（舍去），t =2
1 2
则当t为2s时，S :S =13:2，此时BP=2，BQ=5−4=1
四边形ADPQ △PQB
3 4
作QH⊥BC于H，则QH= ，BH=
5 5
6
∴ PH=
5
3√5
则PQ=√PH2+QH2=
．
5
【点睛】本题考查的是平行四边形的判定、相似三角形的判定和性质、二次函数解析式的确定，掌握相似
三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
24．（12分）（2022·江苏淮安·统考二模）如图1，将三角形纸片ABC（∠BAC=90°）进行以下操作：
第一步：折叠三角形纸片ABC使点C与点A重合，得到折痕DE，然后展开铺平；第二步：将△DEC绕点
D顺时针方向旋转得到△DFG，点E、C的对应点分别是点F、G，直线GF与边AC交于点M（点M不与点A重合），与边AB交于点N．
(1)已知AB=6,AC=8．
①在△DEC绕点D旋转的过程中，试判断MF与ME的数量关系，并证明你的结论；
②如图2，在△DEC绕点D旋转的过程中，当直线GF经过点B时，求AM的长；
(2)如图3，若直角三角形纸片ABC的两直角边AB=AC=4，在点G从点C开始顺时针旋转45°的过程中，
设△DFG与△ABC的重叠部分的面积为S，则S的最小值为________．
7
【答案】(1)①ME=MF，见解析；②AM=
4
(2)12−6√3
【分析】（1）①连接DM，根据HL证RtDEM≌RtDFM(HL)，即可得出结论；②根据DE//AB，得
CD CE
= =1，可得CD=BD，MB=MC，设AM=x，则MC=MB=8−x，在Rt△ABM中，
BD AE
62+x2=(8−x)，即可得到答案；
（2）设DG交AC边于R，根据旋转过程中△GMR的面积逐渐变大，故当旋转角为30°时△GMR的面积最大，
此时S有最小值，求出此时的S值即可．
【详解】（1）①ME=MF，
∵折叠三角形纸片ABC使点C与点A重合，得到折痕DE，
∴DE⊥AC．
∴∠DEM=90°．
如图连接DM，根据旋转性质可知：
DE=DF,∠DEM=∠DFM=90°．
又∵DM=DM，
∴RtDEM≌RtDFM(HL)，
∴ME=MF．
②如图：
∵翻折，旋转，
∴EC=AC,DC=DG,∠C=∠1．
∵∠DEC=∠BAC=90°，
∴DE//AB，
CD CE
∴ = =1，
BD AE
∴CD=BD，
∴DG=DB，
∴∠2=∠1．
∴∠2=∠C，
∴MB=MC，设AM=x，则MC=MB=8−x，在Rt△ABM中，62+x2=(8−x)
7 7
解得x= ，即AM= ；
4 4
（2）12−6√3．
理由如下：
当△DEC绕点D顺时针旋转30°时，所得的△DFG与△ABC的重叠部分的面积S最小,理由如下，
若△DEC绕点D顺时针旋转后，所得的三角形为△DF’G’.
设FG、F’G’、DG、DG’交AC分别于点M、M’、P、P’
由题意可知，MF=ME，M’F’=M’E.
1
由于S= (MF+ME+EP)×DE=2ME+EP.
2
同理，S’=2M’E+EP’
①如图1，若旋转的角度等于（30°+α），
则S’-S =(2M’E+EP’)-(2ME+EP)=2MM’-PP’.
由题意知，△DMP是等腰三角形，且直线DE是其对称轴，
于是，作MM’关于直线DE的对称线段PR.连接DR，作∠EDP的平分线，交AC于点Q，由题意知，∠PDP’=∠FDF’=α，∠EDF’=60°+α，
因而∠EDM’=30°+α，∠MDM’=α.所以∠RDP=∠PDQ=∠P’DQ=α，
在DP、DR上分别取点P''、Q'，使得DP''=DP',DQ'=DQ，连接QP'',PQ'，
则QP''=QP'，PQ'=QP，
因为∠QP''P=∠QP'G'=∠DPP'+∠PDP'＞DPP'所以QP＞QP''，
同理PR>QP，
因而2MM’=2PR>QP+QP'=PP'，从而S'>S，
②如图2，若旋转的角度等于（30°-α），
则S'-S=（2M'E+EP')-（2ME+EP)=PP'-2MM'，
在DQ、DP'上分别取点R'、P''，
使DR'=DR.DP''=DP，
连接PR'、QP''，
则PR'=PR，QP''=QP，
因为∠QP''P'=∠QPG=∠DP'P+∠PDP'>∠DP'P.所以QP'＞QP''，
同理QP>PR，S'>S，
因而2MM'=2PR<QP+QP'=PP'.从而S'>S，
综上所述，当∠CDG=30°时，四边形DFMP的面帜最小，
如下图所示：
∵AB=AC=4，
∴DE=DF=2，
延长DF交AC于T，则∠TDE=30°，∠DTM=60°，
4√3
∴DT=DE÷cos30°= ，
3
4√3
即FT=DT−DF= −2，
3
∴FM=FT•tan60°=4−2√3，
∴MR=2FM=8−4√3，
1 1
∴S=S +S = ×2×（4−2√3）+ ×2×（8−4√3）=12−6√3，
△DFM △DMR 2 2
故答案为：12−6√3．
【点睛】本题主要考查几何变换的综合题，熟练掌握全等三角形的判定和性质，勾股定理、等腰直角三角
形的性质等知识是解题的关键．
25．（12分）（2022·重庆·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于点A
和C（1，0），交y轴于点B（0，3），抛物线的对称轴交x轴于点E，交抛物线于点F．(1)求抛物线的解析式；
(2)将线段OE绕着点O沿顺时针方向旋转得到线段OE'，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接AE',BE'，求
1
BE'+ AE'
的最小值；
3
(3)M为平面直角坐标系中一点，在抛物线上是否存在一点N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形为矩形？
若存在，请直接写出点N的横坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)y＝﹣x2﹣2x+3；
√82
(2) ；
3
−1−√5 −1+√5
(3)存在， ， ，﹣1，2
2 2
【分析】（1）根据待定系数法即可求出解析式；
1
（2）先取OE的三等分点D，得出DE'= AE' ，当B，E'，D三点共线时即为最小值；
3
（3）先设出点N的坐标，根据矩形的性质列出关于N点坐标的方程组，即可求出N点的坐标．
（1）
把C(1,0)，B(0,3)代入y=−x2+bx+c中，
得：¿，
∴b=−2，c=3，
∴y=−x2−2x+3；
（2）
1
在OE上取一点D，使得OD= OE，
3
连接DE'，BD，1 1
∵ OD= OE= OE' ，对称轴x=−1，
3 3
∴E(−1,0)，OE=1，
∴OE'=OE=1，OA=3，
OE' OD 1
∴ = = ，
OA OE' 3
又∵∠DOE'=∠E'OA，
ΔDOE'∽△E'OA，
1
∴
DE'= AE'
，
3
1
∴
BE'+ AE'=BE'+DE'
，
3
当B，E'，D三点共线时，BE'+DE'最小为BD，
√ 1 2 √82
BD=√OB2+OD2= 32+( ) = ，
3 3
1 √82
∴ BE'+ AE'的最小值为 ；
3 3
（3）
存在，
∵A(−3,0)，B(0,3)，
设N(n,−n2−2n+3)，
则AB2=18，AN2=(n2+2n−3) 2+(n+3) 2，BN2=n2+(n2+2n) 2，
∵以点A，B，M，N为顶点构成的四边形是矩形，
∴ΔABN是直角三角形，若AB是斜边，则AB2=AN2+BN2，
即18=(n2+2n−3) 2+(n+3) 2+n2+(n2+2n) 2，
−1−√5 −1+√5
解得：n = ，n = ，
1 2 2 2
−1−√5 −1+√5
∴N的横坐标为 或 ，
2 2
若AN是斜边，则AN2=AB2+BN2，
即(n2+2n−3) 2+(n+3) 2=18+n2+(n2+2n) 2，
解得n=0（与点B重合，舍去）或n=−1，
∴N的横坐标是−1，
若BN是斜边，则BN2=AB2+AN2，
即n2+(n2+2n) 2=18+(n2+2n−3) 2+(n+3) 2，
解得n=−3（与点A重合，舍去）或n=2，
∴N的横坐标为2，
−1−√5 −1+√5
综上N的横坐标为 ， ，−1，2．
2 2
【点睛】本题主要考查二次函数的综合应用，求解析式常用的是待定系数法，一般都是第一问，也是后面
内容的基础，必须掌握且不能出错，否则后面的两问没法做，对于相似三角形，要牢记它的判定与性质，
考试中一般都是先判定，再用性质．
