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重难点突破02 利用传统方法求线线角、线面角、二面角与距离
目录
知识点1：线与线的夹角
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¿ ¿
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（1）位置关系的分类：
（2）异面直线所成的角
①定义：设 是两条异面直线，经过空间任一点 作直线 ，把 与 所成的锐角（或
直角）叫做异面直线 与 所成的角（或夹角）．
②范围：
③求法：平移法：将异面直线 平移到同一平面内，放在同一三角形内解三角形．
知识点2：线与面的夹角
①定义：平面上的一条斜线与它在平面的射影所成的锐角即为斜线与平面的线面角．
②范围：
③求法：常规法：过平面外一点 做 平面 ，交平面 于点 ；连接 ，则 即为直线 与平
面 的夹角．接下来在 中解三角形．即 （其中 即点 到面 的距离，
可以采用等体积法求 ，斜线长即为线段 的长度）；
知识点3：二面角
（1）二面角定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角，这条直线称为二面角的
棱，这两个平面称为二面角的面．（二面角 或者是二面角 ）
（2）二面角的平面角的概念：平面角是指以二面角的棱上一点为端点，在两个半平面内分别做垂直
于棱的两条射线，这两条射线所成的角就叫做该二面角的平面角；范围 ．
（3）二面角的求法
法一：定义法
在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角，
如图在二面角 的棱上任取一点 ，以 为垂足，分别在半平面 和 内作垂直于棱的射线 和
，则射线 和 所成的角称为二面角的平面角（当然两条垂线的垂足点可以不相同，那求二面角就
相当于求两条异面直线的夹角即可）．
法二：三垂线法
在面 或面 内找一合适的点 ，作 于 ，过 作 于 ，则 为斜线 在面 内
的射影， 为二面角 的平面角．如图1，具体步骤：
①找点做面的垂线；即过点 ，作 于 ；
②过点（与①中是同一个点）做交线的垂线；即过 作 于 ，连接 ；
③计算： 为二面角 的平面角，在 中解三角形．
A
C
A
B
a
A'
C'
B
O B' b
b
图1 图2 图3
法三：射影面积法凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面
积公式（ ，如图2）求出二面角的大小；
法四：补棱法
当构成二面角的两个半平面没有明确交线时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线（称为
补棱），然后借助前述的定义法与三垂线法解题．当二平面没有明确的交线时，也可直接用法三的摄影面
积法解题．
法五：垂面法
由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是
二面角的平面角．
例如：过二面角内一点 作 于 ，作 于 ，面 交棱 于点 ，则 就是二
面角的平面角．如图3．此法实际应用中的比较少，此处就不一一举例分析了．
知识点4：空间中的距离
求点到面的距离转化为三棱锥等体积法求解．
题型一：异面直线所成角
例1．（2023·四川绵阳·绵阳中学校考二模）如图，圆柱的轴截面为矩形 ，点 ， 分别在上、下
底面圆上， ， ， ， ，则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图（1），在 上取点 ，使 ，连接 ， ， ， ， ．
易知四边形 为矩形，则 ，且 ．
连接 ， ．因为 ，且 ，
所以四边形 为平行四边形，所以 ，且 ．
连接 ，则 ，且 ，
所以四边形 为平行四边形，则 ，
所以 或其补角是异面直线 与 所成的角．
在 中， ， ， ， ，
在 中， ， ，所以 ．
在 中， ， ，所以 ．又 ，
在 中，由余弦定理 ．
故选：B.
例2．（2023·全国·高三校联考开学考试）如图，在直三棱柱 中， ，则异
面直线 与 所成角的余弦值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图，将该几何体补成一个直四棱柱 ，由题易得底面 为菱形，且 为等边三角形.
连接 ，易得 ，所以 （或其补角）是异面直线 与 所成的角.
设 1，则 ，
所以 .
故选：D.
例3．（2023·江西·高三统考阶段练习）如图，二面角 的大小为 ，且 与交线 所
成的角为 ，则直线 所成的角的正切值的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】先证明一个结论：如图，直线 为平面 的一条斜线， 为斜足， 与平面 所成的角为 ，
则平面 内的直线与直线 所成角的最小值为 .
证明：对于平面 内的任意一条直线 ，如果其不过点 ，则可以平移该直线至点 ，
此时直线 与直线 所成角即为平移后的直线与直线 所成的角.
设平移后的直线为直线 （如图），过 作 的垂线，垂足为 ，在平面 内的射影为 ，连接 ，则 ，
而直线 与直线 所成的角即为 ，其中 ， .
因为 ，
故 ，当且仅当 与 重合时等号成立，
所以平面 内的直线与直线 所成角的最小值为 .
回到原题，
如图，设 ，取 上一点 ，过 作 ，垂足为 ，
垂足为 ，连接 ，
因为 ， ，故 ，而 ， ，
平面 ，故 平面 ，
而 平面 ，故 ，故 为平面 的平面角的补角，
故 .
不妨令 ，则 .
又 ，所以 ，所以 ，
所以 .
因为 ，故 与平面 所成的角为 ，
由前述所证结论可得，直线 所成角的最小值为 ，其正切值为 .
故选：B.
变式1．（2023·河南·洛宁县第一高级中学校联考模拟预测）在正三棱柱 中， ，D为
的中点，E为 的中点，则异面直线AD与BE所成角的余弦值为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【解析】D为 的中点，E为 的中点，所以 ， ，
如图，延长CB至F，使得 ，连接DE，DF，AF， ，
因为 ，所以 ， ，
所以四边形BEDF是平行四边形， ，
则 为异面直线AD与BE所成的角或补角．设 ，
取 的中点 ，连接 、 ，
则 ， ， ， ，
，
，
由余弦定理得 ，
由余弦定理得 ．
所以直线AD与BE所成角的余弦值为
故选：C.
变式2．（2023·全国·高三对口高考）两条异面直线a、b所成角为 一条直线l与a、b成角都等于 ，那
么 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．【答案】B
【解析】设 ， ， ，则 确定平面 ，且 与 的夹角为 ，
， 过点 ，如图，当 时，并且 为 角的平分线时，此时 ，
当 时，且 为平面 的斜线时，由题意可知， 在平面 的射影，落在 与 的所成角的平分线上，
当落在夹角 的角平分线上时，过直线 上一点 ，作 ， ，连结 ,
，则 ， ，且 平面 ，所以 平面 ，
平面 ，所以 ， ， ,
因为 ，所以 ， ，此时 ，
当 时，此时 ，
可知， 的取值范围是 ，
当 在 角的平分线时，或是 在平面 的射影，落在 角的平分线时，以及 时，此时 的取值
范围是 ，
综上可知， 的取值范围是 ，
故选：B
变式3．（2023·四川·校联考模拟预测）在正四棱台 中， ，其体积为
为 的中点，则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设正四棱台 的高为 ，
连接 ，作 交 于点 ，
作 交 于点 ，连接 ，
则 为异面直线 与 所成角或其补角.
因为 ，
且正四棱台 的体积为 ，
即 ，
所以 ，即 ，
易求 ，
，
，
，
所以 .
故选：D.
变式4．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六中学校校考三模）正三棱柱 的棱长均相等，E是的中点，则异面直线 与BE所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】连接 ，设F为 的中点，设 交于点D，
连接 ，由于四边形 为平行四边形 ，故D为 的中点，
所以 ，则 即为异面直线 与 所成角或其补角，
连接 ，由于正三棱柱 的棱长均相等，设棱长为2，
则 ,
，则 ，
故在 中， ,
由于异面直线 与BE所成角的范围为 ，
故异面直线 与BE所成角的余弦值为 ，
故选：D
题型二：线面角
例4．（2023·贵州贵阳·校联考三模）如图，在直三棱柱 中， ， ，
则 与平面 所成角的正弦值等于（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图所示：
取 的中点 ，连接 ， ，
在正三棱柱 中，底面 是正三角形，
，又 底面 ， 平面 ， .
又 ， 平面 ， 平面 ，
平面 ，
为 与平面 所成角，
由题意，设 ， ， ，
在 中， ，
故选：C.
例5．（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥 中， ， ， 是等边
三角形， ， ， .(1)求 的长度；
(2)求直线 与平面 所成的角的正弦值.
【解析】（1）取 中点 ，连接 ，
是等边三角形， ，
又 ， ， 平面 ， 平面 ，
平面 ， ， ，
为等边三角形， .
（2） 平面 ， 平面 ， 平面 平面 ，
作 ，垂足为 ，则 平面 ， ，连接 ，
为直线 与平面 所成的角，
由题意知： ，又 ，
，
， ，
， ， ， ，
直线 与平面 所成的角的正弦值为 .例6．（2023·广东阳江·高三统考开学考试）在正三棱台 中， ， ， 为
中点， 在 上， .
(1)请作出 与平面 的交点 ，并写出 与 的比值（在图中保留作图痕迹，不必写出画法和
理由）；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值.
【解析】（1）①作图步骤：延长 ，使其相交于 ，连接 ，则可得 ；
作图如下：
作图理由：在平面 中，显然 与 不平行，延长相交于 ，
由 ，则 平面 ，由 平面 ，则 平面 ，由 ， ，则 平面 ，可得
故 平面 .
②连接 ，如下图所示：
在正三棱台 中， ，即 ，易知 ，
则 ，由 ，且 ，则 ，显然 ，
由 分别为 的中点，则 ，且 ，
易知 ，故 .
（2）由题意，过 作平面 的垂线，垂足为 ，并连接 ，如下图所示：
由（1）可知： 且 ，则 ，由 ， ，
在侧面 中，过 分别作 的垂线，垂足分别为 ，如下图所示：易知 , ，所以 ，
在 中， ，则 ，
棱台的高 ，
由图可知直线 与平面 所成角为 ，
因为 平面 ，且 平面 ，所以 ，
所以 .
变式5．（2023·海南海口·海南华侨中学校考二模）如图，在多面体 中，平面 平面
，底面 是等腰直角三角形， ，侧面 是正方形， 平面 ，且
， .
(1)证明： ．
(2)若 是 的中点， 平面 ，求直线 与平面 所成角的正弦值．
【解析】（1）因为 平面 ，平面 平面 ，所以 平面 ，
又因为 平面 ，所以 ，
因为 ， ， ， 平面 ，
所以 平面 ，
因为 平面 ，
所以 ．
（2）如图，因为 是 的中点， 平面 ， 平面 ，且平面 平面
，
所以 ，因为平面 平面 ，
平面 平面 ，平面 平面 ，
平面 平面 ，平面 平面 ，
所以 ， ，
因为 是等腰直角三角形，
所以 ，
又因为 ，侧面 是正方形，
所以 ， ，
所以点 到 的距离为 ，
所以 ，则 ，
又 ，所以 ，
所以 ，
设点 到平面 的距离为 ，
由 可得 ，解得 ，
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 ．
变式6．（2023·全国·高三专题练习）在三棱锥 中， ，平面
平面 ，且 .(1)证明： ；
(2)若 是直线 上的一个动点，求直线 与平面 所成的角的正切值最大值.
【解析】（1）在三棱锥 中，在平面 内过点 作直线 ，如图，
因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，所以 ，
因为 ， 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，
所以 .
（2）过 作 交 于 ，连接 ，由（1）知 平面 ，
因此 是直线 与平面 所成的角，
又 平面 ，所以 ，
设 ，由 ， ，得 ， ，
又 ，所以 ， ，
在 中，由余弦定理,
得 ，
所以 ，当且仅当 时取等号，
所以直线 与平面 所成的角的正切值最大值为2.
变式7．（2023·湖南邵阳·高三统考学业考试）如图，在四棱锥 中，四边形 是边长为2的
正方形， 与 交于点 ， 面 ，且 .(1)求证 平面 .；
(2)求 与平面 所成角的大小．
【解析】（1）因为 是正方形，所以 ，
又因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
因为 ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 .
（2）连接 ，因为 平面 ，所以 为 与平面 所成的角，
因为 ，所以 ，
在直角 中， ，
所以 ，即 与平面 所成的角为 .
变式8．（2023·全国·高三专题练习）如图，在三棱柱 中， 底面ABC，
， 到平面 的距离为1．
(1)证明： ；
(2)已知 与 的距离为2，求 与平面 所成角的正弦值．【解析】（1）如图，
底面 ， 面 ，
，又 ， 平面 ， ,
平面ACC A，又 平面 ，
1 1
平面 平面 ，
过 作 交 于 ，又平面 平面 ， 平面 ，
平面
到平面 的距离为1， ，
在 中， ，
设 ，则 ，
为直角三角形，且 ，
， ， ，
，解得 ，
，
（2） ，
，
过B作 ，交 于D，则 为 中点，
由直线 与 距离为2，所以
， ， ，
在 ， ，
延长 ，使 ，连接 ，由 知四边形 为平行四边形，
， 平面 ，又 平面 ，
则在 中， ， ，
在 中， ， ，
,
又 到平面 距离也为1，
所以 与平面 所成角的正弦值为 .
变式9．（2023·全国·模拟预测）如图，在多面体ABCDE中，平面 平面 ， 平面 ，
是边长为2的正三角形， ， ．
(1)点 为线段 上一点，求证： ；
(2)求 与平面 所成角的正弦值．
【解析】（1）证明：取 中点 ，连接 ，
因为 是边长为2的正三角形，可得 ，
因为平面 平面，平面 平面 ，且 平面 ，
所以 平面 ，且 ，
又因为 平面 ，所以 ，因为 ，可得 ，所以四边形 为平行四边形，所以 ，
由 ，且 为 的中点，可得 ，
因为平面 平面 ，平面 平面 ，且 平面 ，
所以 平面 ，所以 平面 ，
又因为 平面 ，所以 .
（2）在 中， ，且 ，
由余弦定理得 ，
所以 ，
如图所示，过 作 垂直于 ，交 延长线于点 ，即 ，连结 ，
因为 平面 ，且 平面 ，所以 ，
又因为 ，且 平面 ，所以 平面 ，
所以 即为 与平面 所成角,
在直角 中，可得 ，
在直角 中，可得 ，
所以 ，即 与平面 所成角的正弦值为 .
变式10．（2023·海南海口·统考模拟预测）如图，四棱锥 中， ， ，平面
平面 .(1)证明：平面 平面 ；
(2)若 ， ， ， 与平面 所成的角为 ，求 的最大值.
【解析】（1）证明：过点A作 于 ，
因为平面 平面 ，平面 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ，
由 ， ，可知 ，
而 ， 平面
所以 平面 ，
因为 平面 ，所以平面 平面 ．
（2）法1：由（1）知 平面 ， 平面 ，所以 ，
又 ，所以 ，
所以 ， ，所以 ，
由 平面ABCD，所以 平面 ．
如图建立空间直角坐标系，则 ， ， ，设 ，
平面 的一个法向量为 ， ，
，所以 ， ，即 ，
得 令 ，得 ，
，所以 ，
显然，当 时， 取最小值，综上，当 时， 的最大值为 ．
法2：设点 到平面 的距离为 ，因为 ， 平面 ，
所以 平面 ，所以点A到平面 的距离也为 ，
由（1）， 平面 ，所以 ，又 ，所以 ，
所以 ，所以 ，所以 ，
由（1）， 平面 ，所以 ，
由 ，在四边形 中，当 时， 取最小值，
此时四边形 显然为矩形， ，所以 的最大值为 ．
变式11．（2023·全国·模拟预测）如图，在四棱锥 中，底面为直角梯形， ，
， 底面 ，且 ， ， 分别为 ， 的中点．
(1)证明： ．
(2)求 与平面 所成角的正弦值．
【解析】（1）因为 ， 分别为 ， 的中点，所以 ，又 ，
所以 ，则 四点共面.
因为 是 的中点， ，所以 ．
因为 平面 ，所以 ．在直角梯形中， ．而 ， ， 平面 ，
因此 平面 ．所以 ．
又因为 ，且 ， ， 平面 ，
所以 平面 ．
因为 平面 ，所以 ．
（2）连接 ．由（1）可知 平面 ，
所以 是 与平面 所成角．
设 ，于是 ， ．
另一方面， ．
因此，在直角三角形 中， ．
所以 与平面 所成角的正弦值为 ．
变式12．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，在四棱锥 中，底面 为直角梯形，
， ， ， ， ， ．
(1)求证：平面 平面 ；
(2)设 为 的中点，求直线 与平面 所成角的正弦值．
【解析】（1）证明： 为直角梯形， ， ．
又 ， ， 平面 ,所以 平面 ．
又 平面 ， ，
又 ， ，
如图，过点A作 ， ， ．又 ， ．
又 ，由勾股定理可知
， 平面 ， 平面 ．
平面 平面 平面 ．
（2）取AB的中点N，连接DN，MN，
∵M为AE的中点， ， ，
由（1）知BE⊥平面ABCD，∴MN⊥平面ABCD，
∴∠MDN为直线DM与平面ABCD所成角．
由（1）知 ，又 ， ， ，
∴ ， ，
∴
．
．
题型三：二面角
例7．（2023·全国·高三专题练习）如图，在三棱柱 中，已知 平面 ，且
.
(1)求 的长；
(2)若 为线段 的中点，求二面角 的余弦值.【解析】（1）连接 ，
因为 平面 ， 平面 ，则 ，
又因为 ， 平面 ，
所以 平面 ，
且 平面 ，可得 ，
因为 为平行四边形，且 ，则 为矩形，
所以 正方形，可得 .
（2）根据题意将三棱柱转化为正四棱柱 ，
取 的中点 ，连接 ，则 三点共线，且 // ，
因为 // ，可得 // ，
所以平面 即为平面 ，
同理平面 即为平面 ，
因为 // ， 平面 ，则 平面 ，
且 平面 ，则 ，
所以二面角 的平面角为 ，
可得 ，
在 中，则 ，
所以二面角 的余弦值为 .
.
例8．（2023·全国·高三专题练习）如图，在三棱柱 中，侧面 为菱形，
.(1)证明：平面 平面 ；
(2)求二面角 的余弦值.
【解析】（1）连 、 交于 ，则 为 、 的中点，连 ，
因为 ，所以 ，
因为侧面 为菱形， ， ，
所以 ， ，所以 ，即 ，
因为 ， 平面 ，
所以 平面 ，因为 平面 ，
所以平面 平面 .
（2）取 的中点 ，连 ， ， ，
由（1）知， ，又 ，所以 ，
又 ，所以 ，同理得 ，
所以 为二面角 的平面角，
在 中， ，
， ，
所以 .所以二面角 的余弦值为 .
例9．（2023·广东深圳·高三校联考开学考试）在四棱锥 中，底面ABCD为正方形， .
(1)证明：平面 平面ABCD；
(2)若 ， ，求平面PAD与平面PBC夹角的余弦值.
【解析】（1）∵底面ABCD为正方形，
∴ ，
又∵ ， ，AD， 平面PAD，
∴ 平面PAD，
∵ 平面ABCD，
∴平面 平面ABCD.
（2）（法一）取AD中点为O，连结PO，
∵在 中， ， ，
∴ ， 为等边三角形.
∵平面 平面ABCD，平面 平面 ， 平面PAD，
∴ 平面ABCD，
以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
设底面正方形的边长为2，
∴ ， ， ， ， ，
∴ ， ，
设平面PBC的一个法向量 ，
则 ，即 ，
令 ，则 ， ，
∴ ，
由（1）可知平面PAD的一个法向量 ，
设平面PAD与平面PBC的夹角为 ，则 ，
∴平面PAD与平面PBC夹角的余弦值为 .
（法二）设平面PAD与平面PBC的交线为l，
∵ ， 平面PAD， 平面PAD，
∴ 平面PAD，
又∵ 平面PBC，
∴ ， ，
∵平面PAD与平面PBC有一个交点P，
∴l为过点P且与BC平行的一条直线，如下图，
取AD中点为O，取BC中点为M，连结PO，PM，OM，
∵底面四边形ABCD为正方形，O，M分别为AD，BC的中点，
∴ ，
又∵ 平面PAD，∴ 平面PAD，
∵ 平面PAD，∴ ，
∵在 中， ，O为AD的中点，
∴ ， ，
又 ，PO， 平面PAD，
∴ 平面POM，∴ ，
又∵ 为锐角，∴ 为平面PAD与平面PBC的夹角，
设底面正方形ABCD的边长为2，
在 中， ， ，
∴平面PAD与平面PBC夹角的余弦值为 .变式13．（2023·四川成都·高三川大附中校考阶段练习）如图， 是圆 的直径，点 在圆 所在平面
上的射影恰是圆 上的点 ，且 ，点 是 的中点， 与 交于点 ，点 是 上的一
个动点.
(1)求证： ；
(2)求二面角 平面角的余弦值.
【解析】（1）证明： 点 在圆 所在平面上的射影恰是圆 上的点 ， 平面 ，
平面 ， ，
又 是圆 的直径，有 ，且 ， 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，所以 ．
（2） 平面 ， 平面 ，所以 ， ，
为二面角 的平面角．
设 ，则 ， ，有 ， 为锐角，
在直角 中可得 ，故 ，
故二面角 平面角的余弦值为 ．
变式14．（2023·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）已知在四棱锥 中， ， ，
， ， ，E为CD的中点.(1)证明：平面 平面PAE；
(2)若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求二面角 的正弦值.
【解析】（1）平面PCD与平面PAE能垂直，理由如下：
在△ 中 ，故 ，即 ，
所以△ 为等腰三角形，又E为CD中点，故 ，
因为 ，且 ， 面 ，所以 面 ，
由 面 ，故面 面 .
（2） 平面 ，
是二面角 的平面角，
过点 作 ，分别与 ， 相交于 ， ，连接 ，
由（1）知 平面 ，
为直线 与平面 所成的角，且 ，
由 ，则 ，由 ，则 ，
又 ，且 面 ，则 面 ，而 面 ，
所以 ，结合 ， ，且 面 ，
所以 面 ，则 为直线 与平面 所成的角，
有题意知 ，
,
因为 知， ，又 ，
是平行四边形， ， ，
因为 ， ，
，
于是 ，所以 ，
又 ， ， ，
所以 ，因为 ， 面 ， 面 ，
则 ，则 ，即 ，因为 为 中点，则 ，又因为 ，且 平面 ， 平面 ，
则二面角 的正切值即为 ，
则 ，
二面角 的正弦值是 .
变式15．（2023·广东广州·高三广州市第六十五中学校考阶段练习）如图，在五面体 中， 平
面ABC， ， ， .
(1)问：在线段CD上是否存在点P，使得 平面ACD?若存在，请指出点P的位置，并证明；若不存在，
请说明理由.
(2)若 ， ， ，求平面ECD与平面ABC夹角的余弦值.
【解析】（1）当P为线段CD的中点时， 平面ACD；
证明：分别取 的中点为 ，连接 ，则 ，而 ， ，
故 ,即四边形 为平行四边形，
则 ;
因为 平面ABC， 平面 ,故 ，则 ；
由 ，O为AC中点，故 ，则 ，
又 平面 ，
故 平面ACD；
（2）在平面 中延长 交于一点F，连接 ，
则 为平面ECD与平面ABC的交线，
由于 ， ，故B为 的中点，
而O为 的中点，故 ，
由（1）知 ， 平面ACD，故 平面ACD，
所以 平面ACD， 平面ACD，
故 ， 平面 , 平面 ，
且 平面ABC， 平面ABC，故 ，则 为锐角，
故 即为平面ECD与平面ABC夹角，
在 中， ， ，所以 ,
则 ,
即平面ECD与平面ABC夹角的余弦值为 .
变式16．（2023·安徽黄山·屯溪一中校考模拟预测）如图，在梯形 中， ，
， ，四边形 为矩形， 平面 平面 ， .(1)求证： 平面 ；
(2)求二面角 的平面角的余弦值；
(3)若点 在线段 上运动，设平面 与平面 所成二面角的平面角为 ，试求 的范
围.
【解析】（1）证明：在梯形 中， ， ， ， ，
，
， ， 平面 平面 ，平面 平面 ， 平
面 ， 平面 .
（2）取 中点 ，连接 ， ，
， ， ，
， ， 为二面角的平面角.
， ， ， ，
.
（3）由（2）知：
①当 与 重合时， ；
②当 与 重合时，过 作 ，且使 ，连接 ， ，则平面 平面 ，
， ， 平面ABC， 平面ABC， ， 平面 ，
平面 ， ， ， ；③当 与 ， 都不重合时，令 ， ，延长 交 的延长线于 ，连接 ， 在
平面 与平面 的交线上， 在平面 与平面 的交线上， 平面 平面 ，
过 作 交 于 ，连接 ，
由（1）知， ，又 ， 平面 ， ，
平面 ， 平面 ， .
又 ， 平面ACH， ， 平面 ， ， .
在 中， ，从而在 中， ，
， ， . ，
.
综上所述， ， .
变式17．（2023·吉林·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）如图， 是圆 的直径，点 是圆 上异
于 的点，直线 平面 分别是 的中点．(1)记平面 与平面 的交线为 ，证明： 平面 ；
(2)设（1）中的直线 与圆 的另一个交点为 ，且点 满足 ．记直线 与平面 所成的角
为 ，异面直线 与 所成的角为 ，二面角 的大小为 ，求证： ．
【解析】（1）∵ 平面 平面 ，
∴直线 平行于平面 ,
又 平面 ，平面 平面 ，
∴ ，又 ．
∴ ，
因为 是直径，所以 为直角，所以 ，
又因为 平面 ，AC在面ABC上，所以 ，
而 相交于点C,且 都在平面 内，
所以 平面 ，故 平面 ．
（2）证法一（综合法）：如图，连接 ，由（1）可知交线 即为直线 ，且 ．
因为 是 的直径，所以 ，于是 ．
已知 平面 ，而 平面 ，所以 ．
而 ，BC、PC在面PBC内，所以 平面 ．
连接 ，
因为 平面 ，所以 ．
故 就是二面角 的平面角，即 ．由 ，作 ，且 ．
连接 ，
因为 是 的中点， ，所以 ，
从而四边形 是平行四边形， ．
连接 ，因为 平面 ，
所以 是 在平面 内的射影．
故 就是直线 与平面 所成的角，即 ．
又 平面 ，BF在面PBC内，所以 ，所以 为锐角．
故 为异面直线 与 所成的角，即 ，
于是在 ， ， 中，
分别可得 ．
从而 ，即 ．
证法二（向量法）：
如图，由 ，作 ，且 ，
连接 ．
由（1）可知交线l即为直线 ．
以点 为原点，向量 所在直线分别为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
设 ，则有 ， ．
于是 ， ，
所以从而 ．
取平面 的一个法向量为 ，可得 ，
设平面 的一个法向量为 ．
由 ，可得 取 ．
于是 ，从而 ．
故 ，即 ．
变式18．（2023·全国·高三专题练习）如图，在三棱锥 中， ， ， ，
，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O， ，点F在AC上， .
(1)证明： 平面 ；
(2)证明：平面 平面BEF；
(3)求二面角 的正弦值.
【解析】（1）连接 ，设 ，则 ， ，
，
则 ，
解得 ，则 为 的中点，由 分别为 的中点，于是 ，即 ，则四边形 为平行四边形，
，又 平面 平面 ，
所以 平面 .
（2）法一：由（1）可知 ，则 ，得 ，
因此 ，则 ，有 ，
又 ， 平面 ，
则有 平面 ，又 平面 ，所以平面 平面 .
法二：因为 ，过点 作 轴 平面 ，建立如图所示的空间直角坐标系，
，
在 中， ，
在 中， ，
设 ，所以由 可得： ，
可得： ，所以 ，
则 ，所以 ， ，
设平面 的法向量为 ，则 ，得 ，
令 ，则 ，所以 ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，得 ，
令 ，则 ，所以 ，
，
所以平面 平面BEF；
（3）法一：过点 作 交 于点 ，设 ，
由 ，得 ，且 ，
又由（2）知， ，则 为二面角 的平面角，
因为 分别为 的中点，因此 为 的重心，
即有 ，又 ，即有 ，
，解得 ，同理得 ，
于是 ，即有 ，则 ，从而 ， ，
在 中， ，
于是 ， ，
所以二面角 的正弦值为 .
法二：平面 的法向量为 ，
平面 的法向量为 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
故二面角 的正弦值为 .
变式19．（2023·广东广州·统考三模）如图，在几何体 中，矩形 所在平面与平面 互
相垂直，且 ， ， ．
(1)求证： 平面 ；(2)求二面角 的平面角的余弦值．
【解析】（1）在矩形 中， ，
又平面 平面 ，平面 平面 = ， 平面 ，
所以 平面 ，
又 平面 ，
所以 ，
在矩形 中， ,
又 ，所以 ,
所以 .
又 ， 平面 ，
所以 平面 ；
（2）解法1：在 与 中， ， ， ，
所以 ，所以 ，
由等腰三角形性质，得 ．
又平面 平面 ，
平面 平面 = ， 平面
所以 平面 ．
记 ，连结 ，所以 ， ，
所以 是二面角 的平面角．
在 中, ．
在 中，由勾股定理得 ，
在 中，由勾股定理得 ，
在 中，由勾股定理得 ，
所以 ，
即二面角 的平面角的余弦值为 ．解法2：在 与 中， ， ， ，
所以 ，所以 ，
由等腰三角形性质，得 ．
又平面 平面 ，
平面 平面 = ， 平面
所以 平面 ．
记 ，以 为坐标原点， 方向分别为 轴、 轴、 轴方向建立空间直角坐标系.
在 中, ．
所以 ，
所以点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
所以 ， ．
设平面 的法向量为 ，则 ， ，即 , 令 ，解得 ， ，
所以 为平面 的一个法向量．
又平面 的一个法向量为 ，
所以 ，
又二面角 的平面角为锐角，
即二面角 的平面角的余弦值为 ．
变式20．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知四棱锥 中，底面 为平行四边形， ，
平面 平面 .
(1)若 为 的中点，证明： 平面 ；
(2)若 ，求平面 与平面 所夹角的余弦值.
【解析】（1）在四棱锥 中， 为 的中点，又 ，则 ，而 ，
因此 平面 ，
所以 平面 .
（2）在平面 内过点 作 交直线 于 ，连接 ，如图，
因为平面 平面 ，平面 平面 ，则 平面 ，
而 平面 ，则有 ，又 ， 平面 ，
于是 平面 ， 平面 ，则 ，有 ，得 ，平面 ， 平面 ，则 平面 ，平面 与平面 的交线为 ，
因此 ，有 ，从而 为平面 与平面 所成二面角的平面角，
显然 ，则 ，
所以平面 与平面 的夹角的余弦值为 .
变式21．（2023·河南·洛宁县第一高级中学校联考模拟预测）在图1中， 为等腰直角三角形，
， ， 为等边三角形，O为AC边的中点，E在BC边上，且 ，沿AC将
进行折叠，使点D运动到点F的位置，如图2，连接FO，FB，FE，使得 ．
(1)证明： 平面 ．
(2)求二面角 的余弦值．
【解析】（1）证明：连接OB，
因为 为等腰直角三角形， ， ，
所以 ，
因为O为AC边的中点，
所以 ，
在等边三角形 中， ，
因为O为AC边的中点，
所以 ，则 ，
又 ，
所以 ，即 ，
因为 ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ．（2）方法一：因为 是等腰直角三角形， ， 为边 中点，
所以 ，
由（1）得 平面 ，则以O为坐标原点， ， ， 的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空
间直角坐标系，
则 ， ， ，
所以 ， ，
设平面 的法向量为 ，
由 ，得 ，令 ，得 ，
易知平面 的一个法向量为 ，
设二面角 的大小为θ，
则 ，
由图可知二面角 为锐角，所以二面角 的余弦值为 ．
方法二：
作 ，垂足为M，作 ，垂足为N，连接 ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 ，
又因为 ， 平面 ，
所以 平面 ，
又 平面 ，
所以 ，
又 ， ， 平面 ，
所以 平面 ，
又 平面 ，
所以 ，
又平面 平面 ，
所以二面角 的平面角为 ，
因为 ，所以 ，
所以 ， ，
在 中， ， ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，即二面角 的余弦值为 ．变式22．（2023·江苏苏州·校联考三模）如图，在三棱锥 中， 是边长为 的等边三角形，
且 ， 平面 ，垂足为 平面 ，垂足为 ，连接 并延长交 于点
.
(1)求二面角 的余弦值；
(2)在平面 内找一点 ，使得 平面 ，说明作法及理由，并求四面体PDEF的体积.
【解析】（1）
，并且 是等边三角形，
三棱锥 是正三棱锥，D是 的中心，点G是AB边的中点；
由 平面 ， 平面 ， 平面 ，可知 ， 平
面PDG， 平面PDG，
所以 平面 ，进而得 ，
所以 就是二面角 的平面角，
又 是边长为 的等边三角形，且 ， ，
是等腰直角三角形，同理 都是等腰直角三角形；
， ，
，即二面角 的余弦值为 ；
（2） 平面 ， 平面 ，
平面 ，
同理 平面 ，又 平面 ，
， 与点P，D，C共面，即E点在线段PG上，又 ， ， ，
过E点在平面PAB内作PB的平行线，与PA交于F，则 平面 ，
也是等腰直角三角形， ，
又 平面PAB， 平面PAB， ，将 作为底面，则ED是三棱锥 的高，
，即四面体 的体积为 .
变式23．（2023·全国·高三专题练习）已知四棱锥 的底面为梯形 ，且 ，又
， ， ，平面 平面 ，平面 平面 ．
(1)判断直线 和 的位置关系，并说明理由；
(2)若点 到平面 的距离为 ，请从下列①②中选出一个作为已知条件，求二面角 余弦值大小．
① ；
② 为二面角 的平面角．
【解析】（1） 且 ， 延长 必交于一点，即为点 ，
平面 ， 平面 ，且 ， ，
平面 ， 平面 ，又 平面 ， 平面 ，
连接 ，则平面 平面 ，又平面 平面 ，
直线 即为直线 ，如下图所示，
，即直线 与 相交.
（2）若选条件①， ，平面 平面 ，平面 平面 ， 平面
， 平面 ；同理可知： 平面 ，
平面 ， ， ；
取 中点 ，连接 ，
， ， 四边形 为平行四边形， ，
， ，又 ， ，
；
设 ，则 ，又 ， ，
，
，
，
，
又 ， ，
由（1）知：二面角 即为二面角 ，设其平面角为 ，
， ， 为 中点， ， ，
设点 到直线 的距离为 ，
则 ，即 ，解得： ，
，又二面角 为锐二面角， .
若选条件②，若 为二面角 的平面角，则 ， ，
又 ， ；
平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ， 平面 ；
同理可知： 平面 ，
平面 ， ， ；
取 中点 ，连接 ，
， ， 四边形 为平行四边形， ，
， ，又 ， ，
；
设 ，则 ，又 ， ，
，
，
，
，
又 ， ，
由（1）知：二面角 即为二面角 ，设其平面角为 ，
， ， 为 中点， ， ，
设点 到直线 的距离为 ，则 ，即 ，解得： ，
，
又二面角 为锐二面角， .
题型四：距离问题
例10．（2023·山东滨州·高三山东省北镇中学校考阶段练习）如图所示的斜三棱柱 中，
是正方形，且点 在平面 上的射影恰是AB的中点H，M是 的中点．
(1)判断HM与面 的关系，并证明你的结论；
(2)若 ， ，求斜三棱柱两底面间的距离．
【解析】（1）直线HM与平面 平行．
证明如下：取 的中点N．连接NM，AN．
因为点M是 的中点，所以 ，且 ．
又 是正方形，点H是AB的中点，所以 ， ．
所以 ， ．
所以四边形ANMH为平行四边形，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ．（2）因为点 在平面 上的射影是AB的中点H，所以 平面 ．
连接 ， ，则 ， ．
由正方形 的边AB=2，得 ，
所以 ，
所以 的面积为 ．
设斜三棱柱两底面间的距离为d，即H到平面 的距离为d，
由 得 ，解得 ，
即斜三棱柱两底面间的距离为 ．
例11．（2023·北京海淀·高三海淀实验中学校考期末）如图，在三棱柱 中，平面 平
面 ，侧面 是边长为2的正方形， 分别为 的中点.
(1)证明： 面
(2)请再从下列三个条件中选择一个补充在题干中，完成题目所给的问题.
①直线 与平面 所成角的大小为 ；②三棱锥 的体积为 ；③ . 若选择条件
___________.
求（i）求二面角 的余弦值；
（ii）求直线 与平面 的距离.
【解析】（1）证明：取 中点G，连接FG、CG，∵ 分别为 的中点，∴在三棱柱中，
，且 ，∴四边形FECG为平行四边形，∴ .
∵ 面 ， 面 ，∴ 面 ；
（2）平面 平面 ，平面 平面 = ，又侧面 是边长为2的正方形，
则 ，∴ 面 ， 面 ，∵ 面 ，∴ .取 中点I，作 于J，连接FI，IE，FJ，则 平面 ， ，∵
平面 ，∴ ，
∵ 平面FIJ，∴ 平面FIJ，∵ 平面FIJ，∴ ，∴ 为二面角
的平面角的补角.
∵ 面 ，∴直线 与平面 的距离即为E到平面 的距离， 作 于 ，由
平面 平面 ，平面 平面 = ，则EK即为E到平面 的距离，即直线
与平面 的距离.
选①，∵ 面 ，∴ 为直线 与平面 所成角，即 ，∴
.
（i）在正 中，易得 ，故在 中， ，
故二面角 的余弦值为 ；
（ii） 在正 中， ，故直线 与平面 的距离为 ；
选②， ， 为 的中点，∴ ，∵ 面 ，∴ ，
即 ，又 ，∴ ，∴ ，解得 ，∴ ，
.
（i）在 中， ，故在 中， ，故二面角
的余弦值为 ；
（ii）在 中， ，故直线 与平面 的距离为1；
选③， 取AB中点H， ，连接OH，则O为 中点，则 且 ，由
，∴ ，则 ，又 ，∴ ，∴， .
此时条件③与条件②一致，故（i）二面角 的余弦值为 ；（ii）直线 与平面 的距
离为1.
例12．（2023·全国·高三专题练习）如图，三棱锥 中， ， 均为等边三角形， ，
O为AB中点，点D在AC上，满足 ，且面 面ABC．
(1)证明： 面POD；
(2)若点E为PB中点，问：直线AC上是否存在点F，使得 面POD，若存在，求出FC的长及EF到
面POD的距离；若不存在，说明理由．
【解析】（1）由条件 、 为等边三角形， 为 的中点，
则 ， ， ，
由余弦定理得
从而在 中， ，
得 为直角三角形，且 ，
又面 面 ，面 面 ，且 ， 面 ,
则由面面垂直的性质定理可得 面
由 面 ，
因此由 ， ， ， 面 ，即 面POD.
（2）存在AC上的点F，使得 面点E为PB中点，取 的中点 ，可得 ，再在面 内作 交 于点 ，该点 即
为满足题意的点（如图）．
下面证明面 面
由于 ， 面 ， 面 ，则 面 ，
， 面 ， 面 ，则 面 ，
面 ， 面 ， ，
则由面面平行的判定定理可得面 面 ， 面 ，因此 面POD
又由于 ，从而可得 ， ， ，
由（1）可知， 面 ，则 面 ， 即为面 与面 间的距离，也即 到面
的距离．
综上：存在 上的点 ，使得 面 ， ，
到面 的距离为 ．
变式24．（2023·广东河源·高三校联考开学考试）在长方体 中， ， ，
， 为 ， 的中点， 在 上，且 .过 ， ， 三点的平面与长方体的六个面相交得到六
边形 ，则点 到直线 的距离为 .
【答案】
【解析】如图所示，在长方体 中，连接 ,
因为 ， ， ， 为 ， 的中点，截面与平面 ，平面 分别相交于直
线 ，
所以 ，
所以 ， ， ，
所以 ，延长 与 的延长线交于 ,延长 与 相交于 ，连接 ， ,
与 的交点为 ， 与 的交点为 ，因为 ，所以 ，因为 ， ，所以 ，
因为 ， 为 的中点，所以 ，
因为 ，所以 ，又 ，所以 ，同理 ， ，在 上取一点 ，
使得 ，过 作 与 垂直，垂足为 ，连接 ， ,
由于 平面 ，所以 平面 ， 平面 ，
故 ,又 平面 ,
所以 平面 , 平面 ,故 ，
且 ，因为
，
，
所以 ，所以 ，所以 .
故答案为： .
变式25．（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考二模）在圆台 中， 是其轴截面，
，过 与轴截面 垂直的平面交下底面于 ，若点 到平面 的距离是
，则圆台的体积等于 .【答案】
【解析】∵ ，所以四边形 为平行四边形，所以 ,则
为正三角形∴ ，由题意得，平面 平面 平面，且平面 平面
，所以点 到平面 的距离即为 与 的距离，在 中，过点 作 的垂线
,过点 作 的垂线 ，则 ，
所以 ，则 ，则圆台的体积为
，所以圆台的体积为 .
故答案为：
变式26．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知AB，CM分别为圆柱上、下底面的直径，且AB＝2，圆
柱的高为 ， ，则点M到平面ABC的距离为 .
【答案】
【解析】如图所示，连接AM，BM，设 ，O分别为上、下底面圆的圆心，连接AO，BO， .
因为 ，又 ， ，则 平面ABO，则 ，
过C作 垂直于圆柱上底面，垂足为 ，连接 ， ，
则 ， ，
设点M到平面ABC的距离为d，
则有 ，解得 ，
故点M到平面ABC的距离为 .
故答案为：
变式27．（2023·湖北武汉·高三武汉市黄陂区第一中学校考阶段练习）在四面体 中， ，
与 所在的直线间的距离为3，且 与 所成的角为 ，则四面体 的体积为 .
【答案】
【解析】如图所示，把三棱锥 补成一个平行六面体，
其中 为异面直线 的公垂线，即 且 ，
在平行六面体中，可得 ，所以 ，
又因为 且 平面 ，所以 平面 ，
又由 平面 ，所以点 到平面 的距离为 ，
因为 且异面 与 所成的角为 ，即 与 所成的角为
又因为 ，
则 ，
即四面体 的体积为 .
故答案为： .变式28．（2023·浙江绍兴·高三统考开学考试）在正三棱锥 中， ，设 分别是棱
的中点， 是三棱锥 的外接球的球心，若 ，则 到平面 的距离为
.
【答案】 /
【解析】设 是 的中点，连接 ，
由于 ，所以 ，
由于 平面 ，所以 平面 ，
由于 平面 ，所以 ，
由于 分别是 的中点，所以 ，
由于 ，所以 ，
由于 平面 ，所以 平面 ，
由于 平面 ，所以 ，
根据正四棱锥的性质可知 两两相互垂直，且 ，
所以可将正三棱锥 补形成正方体如下图所示，
正三棱锥的外接球也即是正方体的外接球，设外接球的半径为 ，
由于 ，所以 ，
，设等边三角形 的外接圆半径为 ，
则 ，
所以外接球的球心 到平面 的距离为 .
故答案为：变式29．（2023·全国·高三对口高考）已知线段 ，且 与平面 的距离为4，点 是平面 上的
动点，且满足 ，若 ，则线段 长度的取值范围是 ．
【答案】
【解析】∵ ，将线段AD投影到平面 上得到射影 ，则 、 垂直于平面 ，又
平面 ，∴ .
与平面 的距离即 ， ，则动点B的轨迹是以 为圆心，半径
的圆，
， ，即 ，又 ，所以
，即 ．
故答案为：
变式30．（2023·全国·高三专题练习）已知∠ACB=90°，P为平面ABC外一点，PC=4，点P到∠ACB两边
AC，BC的距离均为 ，那么点P到平面ABC的距离为 .
【答案】
【解析】设 在平面 内的射影为 ，则 平面 ，
由于 平面 ，所以 ，
过 作 ，垂足分别为 ，
由于 ，所以四边形 是矩形.
由于 平面 ，所以 平面 ，
平面 ，所以 ；同理可证得 .
所以 ， ，，即 到平面 的距离是 .
故答案为：
变式31．（2023·安徽滁州·校联考二模）已知两平行平面 间的距离为 ，点 ，点
，且 ，若异面直线 与 所成角为60°，则四面体 的体积为 ．
【答案】6
【解析】设平面ABC与平面 交线为CE，取 ,则
