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第十一章 三角形 重难点检测卷
注意事项：
本试卷满分120分，考试时间120分钟，试题共26题。答卷前，考生务必用 0.5毫米黑
色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置
一、选择题（10小题，每小题3分，共30分）
1．（重庆市南岸区2022-2023学年七年级下学期期末数学试题）下列长度的三条线段首尾相接，能构成三
角形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．
【详解】解：根据三角形的三边关系，知
A、 ，能够组成三角形，故此选项符合题意；
B、 ，不能组成三角形，故选项此不符合题意；
C、 ，不能组成三角形，故此选项不符合题意；
D、 ，不能组成三角形，故此选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】此题考查了三角形的三边关系．解题的关键是看较小的两个数的和是否大于第三个数．
2．（2023春·河北沧州·七年级校考阶段练习）如图， 是 的中线，已知 的周长为 ，
比 长 ，则 的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据三角形中线的定义可得 ，再表示出 和 的周长的差就是 、 的差，
然后计算即可．
【详解】解： 是 边上的中线，
，和 周长的差 ，
的周长为 ， 比 长 ，
周长为： ．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了三角形的中线的定义，把三角形的周长的差转化为已知两边 、 的长度的差
是解题的关键．
3．（2023春·陕西西安·八年级校考阶段练习）如图， 方格纸中小正方形的边长为1，A、B两点在格
点上，请在图中格点上找到点C，使得 的面积为2，满足条件的点C的个数有（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【分析】由于 的面积= 的面积 ，过 且与 平行的直线上另外各还有2个
点满足条件，从而可求得满足条件的总点数．
【详解】解：如图，满足条件的点有6个；
故选：C．
【点睛】本题考查了网格与三角形面积，熟悉网格特点及三角形面积的计算是解题的关键．
4．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）下面命题正确的个数有（ ）
（1）三角形具有稳定性；（2）三角形内角和是 ；
（3）三角形的一个外角等于两个内角的和；
（4）多边形的一组外角和是 ；
（5）直角三角形的两个锐角互余；
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】根据三角形的稳定性，三角形内角和定理，三角形外角的性质，多边形的外角和，直角三角形的
性质逐项判断即可．
【详解】解：（1）三角形具有稳定性，正确；
（2）三角形内角和是 ，正确；
（3）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，原命题错误；
（4）多边形的一组外角和是 ，正确；
（5）直角三角形的两个锐角互余，正确；
正确的有4个，
故选：D．
【点睛】本题考查了命题的真假判断，熟练掌握三角形的稳定性，三角形内角和定理，三角形外角的性质，
多边形的外角和，直角三角形的性质是解题的关键．
5．（2023春·重庆沙坪坝·七年级重庆市第七中学校校考期末）如图，将 沿着 方向平移得到
，使得点 为 中点．若 的周长是12， ，则四边形 的周长为（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
【答案】D
【分析】根据平移性质，平移后图形形状大小不变，则 ，再由点 为 中点得到
，则 ，结合 的周长是12，即可得到四边形 的周长．
【详解】解： 将 沿着 方向平移得到 ，
， ，点 为 中点，
，则 ，
四边形 的周长为
的周长是12，
四边形 的周长为 ，
故选：D．
【点睛】本题考查平移性质、中点定义及求三角形、四边形周长，数形结合，灵活运用平移性质是解决问
题的关键．
6．（2023春·江苏南京·七年级校联考期末）如图， 平分 ，点E，F分别在 和 上， 平
分 交 于点G， .下列结论：① ；② ；③ ；
④ ，其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．②④
【答案】C
【分析】①根据平行线的性质得出 ，根据角平分线的定义得出 ，即可证明
①正确；
②根据 与 不一定相等，得出 ，根据 ，得出 ，判断②
错误；
③设 ， ，得出 ，求出 ，根据
，得出 ，根据 ，得出，可判断③正确；
④根据 ， ，得出 ，判断④错误．
【详解】解：①∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，故①正确；
②∵ 与 不一定相等，
∴ ，
∵ ，
∴ ，故②错误；
③设 ， ，
则 ，
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，故③正确；
④∵ ， ，
∴ ，故④错误；
综上分析可知，正确的是①③，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握平
行线的性质，两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．
7．（2023·河南周口·淮阳第一高级中学校考三模）物理学光的反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；入射角等于反射角．这就是光的反射定律．如
图，两平面镜 与 的夹角为α，一条光线经过两次反射后， ， ，仍可
以使入射光线 与反射光线 平行但方向相反，则α的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分别过点E、G作 ， ，垂线相交于点D，由入射角等于反射角，可得
， ，再根据平行线的性质可得 ，即
，再由 ， ，可得 ，再
利用三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：分别过点E、G作 ， ，垂线相交于点D，
∵入射角等于反射角，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
故选：C【点睛】本题考查平行线的性质、三角形内角和定理，理解题意，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
8．（2023春·重庆北碚·七年级西南大学附中校考阶段练习）如图，在 中，点D、点E分别在边 、
上一点，将 和 分别沿 和 折叠至 ．已知 且 ，则
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设 ，则 ，设 ，由翻折可知，
，再根据三角形的内角和定理，即可得出结果．
【详解】解：设 ，则 ，设 ，
由翻折可知， ， ，
， ，
由 ，得 ，
在 中， ，
，
解得： ，
在 中， ，解得：
由 得 ，
在 中， ，
．
故选：B．
【点睛】本题考查了基本图形变换折叠，三角形的内角和定理，换元的思想方法，关键是利用换元的思想
方法，使分析思路更清晰．
9．（2023春·江苏淮安·七年级洪泽外国语中学校考阶段练习）图1是一盏可折叠台灯．图 为其平面示意
图，底座 于点 ，支架 ， 为固定支撑杆， 是 的两倍，灯体 可绕点 旋转调节．
现把灯体 从水平位置旋转到 位置（如图 中虚线所示），此时，灯体 所在的直线恰好垂直支架
，且 ，则∠ 的度数为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】延长 交 于点 ，延长 交 于点 ，则 ，得到 ，
在四边形 中，利用四边形的内角和为 ，列出等式，即可求出 的度数．
【详解】解：延长 交 于点 ，延长 交 于点 ，如图：
， ，
，
， ，，
，
，
，
，
，
，
，
在四边形 中，有
，
，
解得： ；
故选：B．
【点睛】本题考查了四边形的内角和的应用，同角的补角相等，邻补角的定义，几何图形中角度的和差关
系，解题的关键是正确的作出辅助线，利用四边形的内角和为 进行解题．
10．（2023春·七年级课时练习）如图，点D，E分别是△ABC边BC，AC上一点，BD＝2CD，AE＝CE，
连接AD，BE交于点F，若△ABC的面积为18，则△BDF与△AEF的面积之差S BDF﹣S AEF等于（ ）
△ △
A．3 B． C． D．6
【答案】A
【分析】由△ABC的面积为18，根据三角形的面积公式和等积代换即可求得．
【详解】解：∵ ，
∴ ，∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ①，
同理，∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ②，
由①-②得： ．
故选：A．
【点睛】本题主要考查三角形的面积及等积变换，解答此题的关键是等积代换．
二、填空题（8小题，每小题3分，共24分）
11．（2023春·宁夏中卫·七年级校考期末）已知三角形的两边长分别为 和 ，则第三边的取值范围
_____．
【答案】 /
【分析】设第三边为 ，根据三角形的三边关系列出不等式即可得到答案．
【详解】解：设第三边为 ，
已知三角形的两边长分别为 和 ，则第三边的取值范围是 ，即 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查三角形三边关系，熟记三角形三边关系：任意两边之和大于第三边、任意两边之差小于
第三边是解决问题的关键．
12．（2022秋·广东东莞·八年级校考期中）如图所示， ， 是 的两条高，若 ，
，则 的长为________cm．【答案】
【分析】根据三角形的面积公式可得 的面积 ，从而可得 ，然
后进行计算即可解答．
【详解】解： ， ，
的面积 ，
，
∵
，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了三角形的面积，熟练掌握面积法是解题的关键．
13．（2023春·上海黄浦·七年级统考期末）如图，将一副三角板如图摆放（一块三角板的直角边与另一块
三角板的斜边在同一直线上），那么 ______°．
【答案】75
【分析】由题意知 ， ，再利用三角形的内角和可得答案．
【详解】解：由题意知： ， ，
，
故答案为：75．
【点睛】本题主要考查了三角形的内角和为 ，熟练掌握三角形的内角和性质是解题的关键，难度适中．
14．（2023春·上海宝山·七年级统考期末）如图， 中， ，D为边 上一点，连接 ，
把 沿直线 翻折，使点A落在 边上的点E处，若 ， ______°．【答案】25
【分析】根据翻折得出 ， ， ，求出 ，设
，则 ，得出 ，根据
，列出方程，解方程即可．
【详解】解：根据翻折可知， ， ， ，
∵ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
即 ．
故答案为：25．
【点睛】本题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理的应用，解题的关键是数形结合，熟练掌握折叠
的性质．
15．（2023春·上海杨浦·七年级统考期末）如图，在 中，D、E分别是边AB和AC上的点，将
纸片沿DE折叠，点A落到点F的位置．如果 ， ， ，那么 ______度．
【答案】50
【分析】根据平行线的性质和折叠的性质求出 ， ，然后结合已知得出
，求出 ，再利用三角形外角的性质得出答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ，由折叠得： ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：50．
【点睛】本题考查了平行线的性质，折叠的性质以及三角形外角的性质，熟知三角形的一个外角等于与它
不相邻的两个内角的和是解题的关键．
16．（2023·全国·七年级假期作业）如图，一航班沿北偏东 方向从A地飞往C地，到达C地上空时，
由于天气情况不适合着陆，准备备降B地，已知C地在B地的北偏西 方向，则其改变航向时 的度
数为_______．
【答案】 / 度
【分析】根据题意得出 ， ，再由平行线的性质得出
，利用三角形内角和定理及外角的性质求解即可．
【详解】解：如图：
由题意得： ， ，
∴ ，
∴ ，∵ 是 的一个外角，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】题目主要考查平行线的性质及三角形内角和定理及外角的定义，理解题意，熟练掌握平行线的性
质是解题关键．
17．（2023春·江苏宿迁·七年级统考期末）如图， 为 的中线，点D在 上，且 ，连
接 ， 与 相交于点F，记 的面积为x， 的面积为y，若四边形 的面积为7，则
的值为______．
【答案】11
【分析】连接 ，根据 为 的中线， 的面积为x，得到 ，根据 ，
的面积为y，得到 ，从而得到 ，
根据 ，得到 ，解方程组 得 ，问题得解．
【详解】解：连接 ，
∵ 为 的中线， 的面积为x，
∴ ，
∵ ， 的面积为y，
∴ ，
∵四边形 的面积为7，
∴ ，
∵四边形 的面积为7， 的面积为x， 的面积为y，∴ ，
即 ，
解方程组 得
，
∴ ．
故答案为：11
【点睛】本题考查了三角形中线的定义，三角形的面积公式，二元一次方程组的应用，理解三角形面积公
式，根据题意列出二元一次方程组是解题关键．
18．（2023春·江苏·七年级期末）如果三角形中任意两个内角 与 满足 ，那么我们
称这样的三角形为“准直角三角形”．如图，在 中， ， ， 平分 交
于点D．在线段 上取一点F，当 是“准直角三角形”时，则 ______°．
【答案】 或
【分析】由三角形内角和可得 ，进而可得 ， ， ，再根
据定义进行分类讨论即可求解．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，又∵ 平分 交 于点D．
∴ ，则 ，
∴ ，
①当 时， 是“准直角三角形”，
即： ， ；
②当 时， 是“准直角三角形”，
即： ， ，不符合题意；
③当 时， 是“准直角三角形”，
即： ， ；
④当 时， 是“准直角三角形”，
即： ， ，不符合题意；
⑤当 时， 是“准直角三角形”，
即： ， ，不符合题意；
④当 时， 是“准直角三角形”，
即： ， ，不符合题意；
综上， 或 ，
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查学生对于新定义题型的理解能力，三角形的内角和定理，根据”准直角三角形“的定义
去解题是本题的关键．
三、解答题（8小题，共66分）
19．（2023春·河北唐山·七年级统考期末）如图， 中，D是 上一点，过点D作 交
于E点，F是 上一点，连接 ，若 ．(1)求证： ．
(2)若 ，求 的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1） ，得到 ，推出 ，即可得证；
（2）三角形的内角和定理，求出 的度数，即可得解．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
【点睛】本题考查平行线的判定和性质，三角形的内角和定理．熟练掌握平行线的性质和三角形的内角和
定理，是解题的关键．
20．（2023春·湖南衡阳·七年级统考期末）如图，在 中， ， 的平分线与 的外
角 平分线交于点 ．
(1)求 的度数；
(2)你能说出 与 之间存在怎样的数量关系吗？【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由角平分线的定义可得 ， ，由三角形的
外角性质可得： ， ，再结合 ，从而可求解；
（2）令 ，结合（1）的解答过程进行判断即可．
【详解】（1）解：如图所示：
的平分线与 的外角 平分线交于点 ，
， ，
是 的外角，也是 的外角，
， ，
则有 ，
是 的外角，
，
，
，
即 ，
得 ；
（2）当 时，
的平分线与 的外角 平分线交于点 ，
， ，
是 的外角，也是 的外角，
， ，
则有 ，是 的外角，
，
，
，
即 ，
．
【点睛】本题主要考查三角形的外角性质，角平分线的定义，解答的关键是结合图形，分析清楚各角之间
的关系．
21．（2023春·江西宜春·七年级江西省丰城中学校考期末）如图，在方格纸中，每个小正方形的边长均为
1个单位长度， 的三个顶点就是小正方形的格点．将 向右平移2个单位长度再向下平移1个单
位长度，得到 ．
(1)请在方格纸中画出平移后的 ；
(2)在 中，画出 边上的高 ；
(3) 的面积是__________．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)3
【分析】（1）根据平移的性质，即可解答；
（2）根据三角形的高的定义作出图形即可解答；
（3）利用分割法把三角形的面积看成长方形面积减去周围三个三角形的面积即可．
【详解】（1）解：如图， 即为所求，（2）解： 边上的高 如图所示；
（3）解： ，
故答案为：3．
【点睛】题目主要考查平移图象的作法，高线的画法及割补法求三角形面积，熟练掌握这些基础知识点是
解题关键．
22．（2023春·北京东城·七年级北京二中校考期末）如图，直线 交于点 ，点 在直线 上，根
据下列语句画图并回答问题：
(1)画图：
①过点 画直线 的垂线段 ，垂足为点 ；
②过点 画直线 的平行线 ；
③画 的角平分线 ，交直线 于点 ；
(2)线段 与 的大小关系是___________，依据是______________________；(3)若 ，则 ___________ ．
【答案】(1)见解析
(2) ；直角三角形中斜边大于直角边
(3)60
【分析】（1）根据题意画图即可；
（2）根据直角三角形中斜边大于直角边进行解答即可；
（3）根据 ， ，求出 ，进而求出 ，
根据角平分线的定义得出 ，根据平行线的性质得出 ．
【详解】（1）解：如图，线段 为所求作的垂线段，直线 为所求作的平行线， 为所求作的角平
分线；
（2）解：∵ 为直角边， 为斜边，直角三角形中斜边大于直角边，
∴ ；
故答案为： ；直角三角形中斜边大于直角边．
（3）解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故答案为：60．
【点睛】本题主要考查了作垂线、角平分线、平行线，平行线的性质，直角三角形的性质，解题的关键是
熟练掌握基本的性质，数形结合．
23．（2023春·湖南长沙·七年级校联考期末）如图， 中， 是 的中线， 是 的角平分线， 是 的高．
(1)若 的面积为8， ，求 的长；
(2)若 ，求 的度数．
【答案】(1)8
(2)
【分析】（1）由三角形面积公式可得 ，可求得 ，最后可求得 ；
（2）先求得 ，由 是 的角平分线可得
，最后可得结果．
【详解】（1）由题意可得： ，
即 ，
∴ ，
又 为 的中线，
∴ ，
（2）∵ 是 的高， ，
∴
又 是 的角平分线
∴
∴
【点睛】本题考查了三角形的角平分线、中线、高，三角形的内角和定理，三角形的外角性质，三角形的
面积等知识点，熟练掌握三角形的内角和定理及三角形的外角性质是解此题的关键．
24．（2023春·河南洛阳·七年级统考期末）【教材呈现】如图是华师版七年级下册数学教材第76页的部分
内容如图．
如图， 分别用 、 、 表示 的三个内角，证明 ．延长 至点 ，以点 为顶点，在 的上侧作 ，则 （同位角相等，两直线平行）．
(1)请根据教材提示，结合图①，将证明过程补充完整．
【结论应用】
(2)如图②，在 中， ， 平分 ， 平分 ，求 的度数．
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】（1）利用平行线的性质得 ， 即可解答；
（2）利用角平分线的定义和三角形内角和定理可得；
【详解】（1）由题意得： ， ，
两直线平行，内错角相等 ，
，
即 ．
（2） ， 分别平分 和 ，
， ，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理等知识，熟练掌握平行线的
性质，是解题的关键．25．（2023春·江苏南京·七年级统考期末）在 和 （共 边且不重合）中， ，
．
(1)如图1，当 和 均为钝角三角形， 在直线 两侧时， 和 之间的数量关系
为______．
(2)如图2，当 和 均为锐角三角形，且 在直线 两侧时， 和 之间的数量关
系为______．
(3)如图3，当 为钝角三角形， 为锐角三角形，且 在直线 同侧时，求证：
．
(4)分别作 和 的角平分线，两条角平分线所在直线交于 点（点 不与点 或者点 重合），当
时，直接写出 的度数．
【答案】(1)
(2)
(3)见解析
(4)
【分析】（1）根据三角形的外角的性质定理即可求解；
（2）根据多边形的内角和的公式即可求解；
（3）根据三角形的外角和定理，角的等量代换即可求解；
（4）根据题意，结合（1）、（2）、（3）的结论，角平分线的性质，三角形的内角和定理，外角和定理，
分类讨论，由此即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，延长 ，在 ， 中， ， ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
（2）解：根据四边形的内角和可知， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
（3）证明：如图所示，设 交于点 ，
∵在 中， ，在 中， ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴
，
∵ ，∴ ．
（4）解：①如图所示， ， 分别是 的平分线， ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
由（1）可知， ，
∴ ，
∴ ；
②如图所示， ， 分别是 的平分线， ，且 ，
，
∴ ， ，
∴ ，
由（2）可知， ，∴ ，
在四边形 中，根据四边形内角和可得，
；
③如图所示， ， 分别是 的平分线， ，设 交于点 ，
在 中， ，在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
由（3）可知， ，
∴ ，
∴ ；
综上所示， 的度数为 ．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，外角和定理，四边形的内角和定理，角
平分线的性质的综合，掌握以上知识的综合运用是解题的关键．
26．（2023春·河北邯郸·七年级校联考阶段练习）如图1，直线 ，点A在直线 上，射线 ，
分别与直线 交于点D，K，且 ．(1)若 ，求 的度数；
(2)如图2， 与 的平分线交于点G．
①若 ，求 的度数；
②将条件中“ ”改为“ ”，用含 的代数式表示 ；
(3)如图3，过点K作直线 （P在直线 下方），且 ，作射线 与直线 交于点T，
当 时，直接写出 与 满足的数量关系．
【答案】(1)
(2)① ，②
(3) 或
【分析】（1）根据三角形内角和可求得 ，根据平行线的性质可得 ；
（2）①根据角平分线的性质可得 ， ，推得
，根据平行线的性质可得 ，推得 ，即可求得；
②根据①中结论可得 ， ， ，即可求得；
（3）当 在点 的下方时，由（2）可知 ， ，推得
，根据三角形的外角性质即可求得；
当 在点 的上方时，由（2）可知 ， ，
，推得 ，根据三角形的内角和即可求得．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，∴ ．
（2）解：①∵ 与 的平分线交于点G，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故 ，
∴ ；
②当 时，
由①可得： ， ，
故 ，
∴
即 ，
（3）解：当 在点 的下方时，如图：
由（2）可知 ，
∵ ，
即 ，故 ，
∵ ，
故 ，
即 ；
当 在点 的上方时，如图：
由（2）可知 ，
∵ ，
即 ，
故 ，
∴ ，
又∵
∴ ，
即 ，
综上，当 时， 或 ．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和，平行线的性质，角平分线的性质，三角形的外角性质，熟练掌握
以上性质是解题的关键．
