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张家口市 2022－2023 学年度高三年级第一学期期末考试
数学参考答案及评分标准
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1.D
【解析】由U＝{x|1≤x≤10}，A＝{1，2，3}，B＝{1，2，3，4，5，6}，得(∁U A)∩B＝，
故选D.
2.A
【解析】z＝＋2i＝＋2i＝1＋4i，故 ＝1－4i.故选A.
3.C
【解析】由题意，得8×75%＝6，所以a＝＝9.小于a的有6个数，所以随机取两个数都小
于a的概率为P＝＝，故选C.
4.B
【解析】当x>0时，f ′ (x)<0，所以函数f (x)在区间上单调递减．又函数f (x)为偶函数，
所以函数f (x)在区间上单调递增．
由f (x2－x)－f (x)>0，得f (x2－x)>f (x)，所以<，故<1，解得0<x<2，故选B.
5.B
【解析】设碾滚的高为l，其底面圆的半径为r.
由题意知，推动拉杆绕碾盘转动2周，碾滚恰好滚动了5圈，则2×2πl＝5×2πr，所以＝，
故圆柱形碾滚的高与其底面圆的直径之比约为5∶4.故选B.
6.A
【解析】因为a＝a＋8d＝0，a≠0，所以d＝－≠0.
9 1 1
a＋a＋a ＋a ＝＋＝a＋a＋a＋a ＝4a＝0，
1 8 11 16 8 9 9 10 9
而a＋a＋a ＝a＋a＋a ＝a＋a ＋a ＝2a＋a ＝a ＝a＋10d＝－a≠0，
7 8 14 8 7 14 8 10 11 9 11 11 1 1
所以＝0.故选A.
7.C
【解析】由12＋12－4×1＋2×1＝0，得点P在圆上．设切线的斜率为k.
因为圆的标准方程为＋＝5，所以圆心为E，半径为，
所以k ＝＝－2.又k·k ＝－1，所以k＝，故切线方程为y－1＝，化简得x－2y＋1＝0，故
PE PE
选C.
8.D
【解析】因为23>e2⇒2>e⇒ln 2>⇒>，所以a>b.
设y＝，则y′＝.当x∈时，y′>0，函数y＝单调递增；当x∈时，y′<0，函数y＝单调递减，又
e<<4，所以>.又a＝＝，c＝＝＝＝＝，所以c>a.
综上b<a<c，故选D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项
符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9.BC
【解析】一组数据的标准差越大，这组数据的离散程度越大，所以A错误；
由平均数对极端值比较敏感，所以平均数总在“拖尾巴”的一边，故B正确；
相关系数r只能反映成对样本数据之间的线性相关的程度的大小，决定系数R2是要来判定
不同模型的拟合效果的，所以C正确；
分层随机抽样可以按各层大小比例抽样也可以不按各层大小比例抽样，所以D错误．
10.AC
【解析】由椭圆的定义，得＋＝2a＝8，又8＝＋≥2，当且仅当|AF|＝|AF|＝4时等号成立，
1 2
所以·≤16，故A正确；因为△AFF 的周长 l＝＋＋＝2a＋2c＝12，又△AFF 的面积
1 2 1 2
S ＝·＝，所以S ＝×2c×＝2＝×l×r＝6r，所以r＝.又≤b＝2，所以r≤ ，所
△AF1F2 △AF1F2
以B错误；
因为＋＝2a＝8，所以＝8－，所以＋＝8－.又－≤＝1，所以＋＝8－≥7，所以C正确；
设A，B，则＋＝1，＋＝1，＝2，＝1，
故＋＝0，所以×＋××＝0，故＝－，
所以直线l的方程为y－1＝－，化简得3x＋2y－8＝0.所以D错误．
11.BCD
【解析】如图，设M为AA 的中点，则ME∥AD，由题意，得BE＝BM＝，EM＝，所以
1 1
EM与BE不垂直，即AD与BE不垂直，所以直线AD与平面BEF不垂直，所以A错误；
1 1
因为E，F，H分别为AD，DD ，BB 的中点，所以AD∥EF，DH∥FB.
1 1 1 1
又AD∩DH＝D，EF∩FB＝F，所以平面AHD ∥平面EFB.
1 1 1 1
又AH⊂平面AHD ，所以直线AH∥平面BEF，所以B正确；
1因为F，H分别为DD ，BB 的中点，所以BH⊥FH.
1 1
又BH＝1，FH＝2，所以S ＝×1×2＝.
△BHF
易得点E到平面BFH的距离为，所以三棱锥H－EFB的体积V ＝××＝，所以C正确；
H－EFB
因为BC⊥平面CDD C ，FC⊂平面CDD C ，所以BC⊥FC，又BH⊥FH，故FB为三棱锥
1 1 1 1
H－CFB的外接球的直径．又＝3，所以三棱锥H－CFB的外接球的表面积S＝4π×＝9π，
所以D正确．
12.ABD
【解析】由x－2x＝0，得＝2x.由x－log x＝0，得＝log x.
2 2
设y＝，则x＝，
所以函数y＝的图象关于直线y＝x对称，所以a，b是函数y＝2x和y＝log x的图象与函数y
2
＝的图象的交点的横坐标，故a＝log b，b＝2a，所以A正确；
2
由b＝2a＝，得a＋b＝ab，所以＋＝1，故B正确；
a＋b＝a＋＝a－1＋＋2>4，故C错误；
因为b－a＝2a－a，设f ＝2m－m，则f ′ ＝2mln 2－1，当m>1时，f ′ >0，
所以当m>1时，函数f ＝2m－m单调递增，故f ＝2m－m>f ＝1，即b－a＞1，
所以D正确．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13.－4
【解析】因为a∥b，所以2λ－4＝3λ，所以λ＝－4.
14.－＝1
【解析】由题意，得2＝，所以c＝.又＝2，a2＋b2＝c2，解得a2＝3，b2＝12，
所以双曲线C的方程为－＝1.
15.－
【解析】根据题意，得l与函数f 的切点为(1，a)，设l与函数g＝ex的切点为(x，ex2)，
2
又f ′ ＝2ax，g′＝ex，
所以k＝2a＝ex2，
所以切线l的方程为y－a＝2a(x－1)，即y＝2ax－a.
同时切线l的方程也为y－ex2＝ex2(x－x)，即y＝ex2x＋ex2－xex2，
2 2
所以－a＝ex2－xex2＝b，
2
解得x＝，所以b＝－.
2
16.3；(，2)
【解析】以BC所在直线为x轴，BC的中点为原点建立直角坐标系，则B(－2，0)，C(2，
0)．
设A，由c＝3b，得＝3，所以＝3，化简得x2＋y2－5x＋4＝0，y≠0，
所以点A到BC的最大距离为圆x2＋y2－5x＋4＝0的半径，
故△ABC面积的最大值为S＝××＝3.
由 正 弦 定 理 ， 得 2R ＝⇒R ＝ .因为r(4 ＋ b ＋ 3b) ＝ S
△ ABC
＝ bcsin A ＝ sin A⇒
r＝，故rR＝·.由得1<b<2.
令f (x)＝(1<x<2)，则f ′ (x)＝＝>0，所以f (x)在(1，2)上单调递增，故f (x)的值域为
(，)，所以rR的取值范围是(，2)．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.(本小题满分10分)
解：(1)由直方图，得平均数的估计值为
4×(2×0.0125＋6×0.0375＋10×0.05＋14×0.075＋18×0.0375＋22×0.025＋26×0.0125)＝
13.4(分)，…………………………………………………………………………………………3
分
因为4×(0.0125＋0.025＋0.0375)＝0.3，所以有30%的居民排队时长超过16分钟，
综上，估计该社区居民核酸采集排队时间的平均时长为13.4分钟，在一次核酸采集中该社
区有30%的居民排队时长超过16分钟.…………………………………………………………5
分
(2)由(1)可知样本中有30%×100＝30(人)排队时长超过16分钟.……………………………6
分
又两小区的居住人数之比为9∶11，故在A小区抽取了45人，在B小区抽取了55人，
……………………………………………………………………………………………………7
分
故填表如下：
排队时间超过16分钟 排队时间不超过16分钟 合计
A小区 20 25 45
B小区 10 45 55
合计 30 70 100
……………………………………………………………………………………………………8
分
零假设为H ：排队时间是否超过16分钟与所属小区相互独立，即排队时间是否超过16分
0
钟与所属小区无关，
χ2＝≈8.13>6.635＝x .…………………………………………9分
0.01
根据小概率值α＝0.01的独立性检验，我们推断H 不成立，即排队时间是否超过16分钟与
0
所属小区有关联，此推断犯错误的概率不大于0.01.…………………………………………10
分18.(本小题满分12分)
(1)证明：由题意，得a ＝S ＝2a －4×1＋2，所以a ＝2，a ＋4＝6.………………………1
1 1 1 1 1
分
由S＝2a－4n＋2，得S ＝2a －4＋2，n≥2，
n n n－1 n－1
所以a＝S－S ＝－＝2a－2a －4，n≥2，………3分
n n n－1 n n－1
所以a＝2a ＋4，n≥2，故＝2，n≥2，……………………………………………4分
n n－1
所以数列是以6为首项，2为公比的等比数列.………………………………………5分
(2)解：由(1)得a ＋4＝6×2n－1＝3×2n，故a ＝3×2n－4，…………………………………6
n n
分
则na＝3n·2n－4n.……………………………………………………………………………7分
n
设b＝n·2n，其前n项和为P，
n n
则P＝1×2＋2×22＋…＋n×2n，
n
2P＝1×22＋2×23＋…＋n×2n＋1，
n
所以－P＝2＋22＋23＋…＋2n－n×2n＋1＝－2＋2n＋1－n×2n＋1，
n
所以P＝2n＋1＋2，………………………………………………………………………10分
n
所以T＝3P－4＝32n＋1＋6－4×＝2n＋1－2n2－2n＋6.
n n
…………………………………………………………………………………………………12分
19.(本小题满分12分)
解：(1)由正弦定理，得(a＋b)(a－b)＝(c＋b)c，即a2－b2＝c2＋bc，………………………2
分
故＝－，
由余弦定理，得cos A＝＝－，所以A＝120°.…………………………………4分
(2)由平面四边形内角和为360°，可知∠ABC＋∠BEC＝90°.………………………………5分
在△ABC中，由正弦定理，得＝，即＝.…………………6分
在△BEC中，由正弦定理，得＝，即＝，………7分
所以sin∠ABC·sin＝.………………………………………………………8分
又sin∠ABC·sin＝sin∠ABC·cos∠ABC＝sin，所以sin＝，
故2∠ABC＝30°，即∠ABC＝15°，所以∠ACB＝45°.…………………………………10分
sin 15°＝sin＝×＝.
由正弦定理，得＝＝，所以c＝，b＝，……11分
所以S ＝cbsin A＝×××sin 120°＝×＝1－.……12分
△ABC
20.(本小题满分12分)
(1)证明：由AB＝BC＝CD＝DA＝2，得AD∥BC，…………………………………………1
分
设F，H分别为棱BC和棱PD的中点，连接PF，DF，HF，EH，如图，所以EH綊AD，故EH綊BF，故BE綊FH.………………………………………………2分
因为EB⊥BC，所以FH⊥BC.…………………………………………………………………3分
因为PC＝PB，所以PF⊥BC.
又PF⊂平面PDF，HF⊂平面PDF，PF∩HF＝F，所以BC⊥平面PDF，
又PD⊂平面PDF，所以BC⊥PD.……………………………………………………………4分
(2)解：由(1)知BC⊥平面PDF，所以BC⊥DF.又DC＝2，CF＝1，故DF＝.
因为BE＝，且BE綊FH，所以FH＝.因为PB＝PC＝BC＝2，F为BC的中点，所以PF
＝，故PD＝，△PDF为等边三角形．
由BC⊥平面PDF，BC⊂平面ABCD，得平面PDF⊥平面ABCD.
以F为坐标原点，分别以直线FD，FB为x，y轴，以过点F且垂直于平面ABCD的直线为
z轴，建立如图所示的空间直角坐标系F－xyz.………………………………………………6
分
所以F，D，C，P.…………………………7分
设m＝(x，y，z)为平面PBC的法向量，则有
1 1 1
即可取m＝(，0，－1)，………………………………………………8分
设n＝(x，y，z)为平面PDC的法向量，则有
2 2 2
即可取n＝(，－3，1)，……………………………………………10分
所以|cos〈m，n〉|＝＝，
所以平面PDC与平面PBC夹角的余弦值为.……………………………………………12分
21.(本小题满分12分)
(1)解：f(x)的定义域为R，f ′ (x)＝－eax，……………………………………………1分
当a＝0时，f ′ (x)<0，所以函数f(x)在R上单调递减；……………………………………2
分当a>0时，在区间上，f ′ (x)>0，在区间上，f ′ (x)<0，
所以函数f (x)在区间上单调递增，在区间上单调递减；………3分
当a<0时，在区间上，f ′ (x)<0，在区间上，f ′ (x)>0，
所以函数f (x)在区间上单调递减，在区间上单调递增.…………4分
(2)证明：f(x)＝－xeax＝－eax＋ln x，………………………………………………………………5
分
要证ln x＋ax－1≥，即证ln x＋ax－1≥.……………………………………6分
设g＝x－1＋e－x，则g′＝1－e－x，………………………………………………………7分
在区间上，g′ (x)<0，在区间上，g′ (x)>0，
所以函数g(x)在区间上单调递减，在区间上单调递增，……………9分
所以g≥g＝0，…………………………………………………………………………10分
故－1＋≥0，当ln x＋ax＝0时等号成立，
所以ln x＋ax－1≥成立，
故ln x＋ax－1≥.………………………………………………………………………12分
22.(本小题满分12分)
解：(1)设E，则EA＝r，所以EA2＝x2＋，………………………………………2分
即＋y2＝x2＋36，化简得y2＝12x.………………………………………………………3分
(2)设P，直线PM为y－y＝k，直线PN为y－y＝k，
0 1 0 2
则y＝12x，M，N，………………………………………………4分
0
故＝x＝x.………………………………………………………5分
0 0
又直线PM和直线PN与圆(x－1)2＋y2＝1相切，所以＝＝1，
故k，k 是方程＝1的两个根，…………………………………………………6分
1 2
即k，k 是方程k2＋2yk＋y－1＝0的两个根，
1 2 0
所以k＋k＝，kk＝.……………………………………………………8分
1 2 1 2
则△PMN的面积S ＝x＝＝
△PMN 0
＝x＝x＝x＝.
0 0 0
……………………………………………………………………………………………………9
分
设f＝，x>2，
则f ′ (x)＝.…………………………………………10分
所以当x∈(2，5)时，f ′ (x)<0，函数f单调递减；
当x∈时，f ′ (x)>0，函数f单调递增.…………………………………………11分所以当x＝5时，S 取得最小值，最小值为 .……………………………………12分
0 △PMN
