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张家口市 2022－2023 学年度高三年级第一学期期末考试
数学参考答案及评分标准
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1.D
【解析】由U＝{x|1≤x≤10}，A＝{1，2，3}，B＝{1，2，3，4，5，6}，得(∁U A)∩B＝，
故选D.
2.A
【解析】z＝＋2i＝＋2i＝1＋4i，故 ＝1－4i.故选A.
3.C
【解析】由题意，得8×75%＝6，所以a＝＝9.小于a的有6个数，所以随机取两个数都小
于a的概率为P＝＝，故选C.
4.B
【解析】当x>0时，f ′ (x)<0，所以函数f (x)在区间上单调递减．又函数f (x)为偶函数，
所以函数f (x)在区间上单调递增．
由f (x2－x)－f (x)>0，得f (x2－x)>f (x)，所以<，故<1，解得0e2⇒2>e⇒ln 2>⇒>，所以a>b.
设y＝，则y′＝.当x∈时，y′>0，函数y＝单调递增；当x∈时，y′<0，函数y＝单调递减，又
e<<4，所以>.又a＝＝，c＝＝＝＝＝，所以c>a.
综上b4，故C错误；
因为b－a＝2a－a，设f ＝2m－m，则f ′ ＝2mln 2－1，当m>1时，f ′ >0，
所以当m>1时，函数f ＝2m－m单调递增，故f ＝2m－m>f ＝1，即b－a＞1，
所以D正确．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13.－4
【解析】因为a∥b，所以2λ－4＝3λ，所以λ＝－4.
14.－＝1
【解析】由题意，得2＝，所以c＝.又＝2，a2＋b2＝c2，解得a2＝3，b2＝12，
所以双曲线C的方程为－＝1.
15.－
【解析】根据题意，得l与函数f 的切点为(1，a)，设l与函数g＝ex的切点为(x，ex2)，
2
又f ′ ＝2ax，g′＝ex，
所以k＝2a＝ex2，
所以切线l的方程为y－a＝2a(x－1)，即y＝2ax－a.
同时切线l的方程也为y－ex2＝ex2(x－x)，即y＝ex2x＋ex2－xex2，
2 2
所以－a＝ex2－xex2＝b，
2
解得x＝，所以b＝－.
2
16.3；(，2)
【解析】以BC所在直线为x轴，BC的中点为原点建立直角坐标系，则B(－2，0)，C(2，
0)．
设A，由c＝3b，得＝3，所以＝3，化简得x2＋y2－5x＋4＝0，y≠0，
所以点A到BC的最大距离为圆x2＋y2－5x＋4＝0的半径，
故△ABC面积的最大值为S＝××＝3.
由 正 弦 定 理 ， 得 2R ＝⇒R ＝ .因为r(4 ＋ b ＋ 3b) ＝ S
△ ABC
＝ bcsin A ＝ sin A⇒
r＝，故rR＝·.由得10，所以f (x)在(1，2)上单调递增，故f (x)的值域为
(，)，所以rR的取值范围是(，2)．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.(本小题满分10分)
解：(1)由直方图，得平均数的估计值为
4×(2×0.0125＋6×0.0375＋10×0.05＋14×0.075＋18×0.0375＋22×0.025＋26×0.0125)＝
13.4(分)，…………………………………………………………………………………………3
分
因为4×(0.0125＋0.025＋0.0375)＝0.3，所以有30%的居民排队时长超过16分钟，
综上，估计该社区居民核酸采集排队时间的平均时长为13.4分钟，在一次核酸采集中该社
区有30%的居民排队时长超过16分钟.…………………………………………………………5
分
(2)由(1)可知样本中有30%×100＝30(人)排队时长超过16分钟.……………………………6
分
又两小区的居住人数之比为9∶11，故在A小区抽取了45人，在B小区抽取了55人，
……………………………………………………………………………………………………7
分
故填表如下：
排队时间超过16分钟 排队时间不超过16分钟 合计
A小区 20 25 45
B小区 10 45 55
合计 30 70 100
……………………………………………………………………………………………………8
分
零假设为H ：排队时间是否超过16分钟与所属小区相互独立，即排队时间是否超过16分
0
钟与所属小区无关，
χ2＝≈8.13>6.635＝x .…………………………………………9分
0.01
根据小概率值α＝0.01的独立性检验，我们推断H 不成立，即排队时间是否超过16分钟与
0
所属小区有关联，此推断犯错误的概率不大于0.01.…………………………………………10
分18.(本小题满分12分)
(1)证明：由题意，得a ＝S ＝2a －4×1＋2，所以a ＝2，a ＋4＝6.………………………1
1 1 1 1 1
分
由S＝2a－4n＋2，得S ＝2a －4＋2，n≥2，
n n n－1 n－1
所以a＝S－S ＝－＝2a－2a －4，n≥2，………3分
n n n－1 n n－1
所以a＝2a ＋4，n≥2，故＝2，n≥2，……………………………………………4分
n n－1
所以数列是以6为首项，2为公比的等比数列.………………………………………5分
(2)解：由(1)得a ＋4＝6×2n－1＝3×2n，故a ＝3×2n－4，…………………………………6
n n
分
则na＝3n·2n－4n.……………………………………………………………………………7分
n
设b＝n·2n，其前n项和为P，
n n
则P＝1×2＋2×22＋…＋n×2n，
n
2P＝1×22＋2×23＋…＋n×2n＋1，
n
所以－P＝2＋22＋23＋…＋2n－n×2n＋1＝－2＋2n＋1－n×2n＋1，
n
所以P＝2n＋1＋2，………………………………………………………………………10分
n
所以T＝3P－4＝32n＋1＋6－4×＝2n＋1－2n2－2n＋6.
n n
…………………………………………………………………………………………………12分
19.(本小题满分12分)
解：(1)由正弦定理，得(a＋b)(a－b)＝(c＋b)c，即a2－b2＝c2＋bc，………………………2
分
故＝－，
由余弦定理，得cos A＝＝－，所以A＝120°.…………………………………4分
(2)由平面四边形内角和为360°，可知∠ABC＋∠BEC＝90°.………………………………5分
在△ABC中，由正弦定理，得＝，即＝.…………………6分
在△BEC中，由正弦定理，得＝，即＝，………7分
所以sin∠ABC·sin＝.………………………………………………………8分
又sin∠ABC·sin＝sin∠ABC·cos∠ABC＝sin，所以sin＝，
故2∠ABC＝30°，即∠ABC＝15°，所以∠ACB＝45°.…………………………………10分
sin 15°＝sin＝×＝.
由正弦定理，得＝＝，所以c＝，b＝，……11分
所以S ＝cbsin A＝×××sin 120°＝×＝1－.……12分
△ABC
20.(本小题满分12分)
(1)证明：由AB＝BC＝CD＝DA＝2，得AD∥BC，…………………………………………1
分
设F，H分别为棱BC和棱PD的中点，连接PF，DF，HF，EH，如图，所以EH綊AD，故EH綊BF，故BE綊FH.………………………………………………2分
因为EB⊥BC，所以FH⊥BC.…………………………………………………………………3分
因为PC＝PB，所以PF⊥BC.
又PF⊂平面PDF，HF⊂平面PDF，PF∩HF＝F，所以BC⊥平面PDF，
又PD⊂平面PDF，所以BC⊥PD.……………………………………………………………4分
(2)解：由(1)知BC⊥平面PDF，所以BC⊥DF.又DC＝2，CF＝1，故DF＝.
因为BE＝，且BE綊FH，所以FH＝.因为PB＝PC＝BC＝2，F为BC的中点，所以PF
＝，故PD＝，△PDF为等边三角形．
由BC⊥平面PDF，BC⊂平面ABCD，得平面PDF⊥平面ABCD.
以F为坐标原点，分别以直线FD，FB为x，y轴，以过点F且垂直于平面ABCD的直线为
z轴，建立如图所示的空间直角坐标系F－xyz.………………………………………………6
分
所以F，D，C，P.…………………………7分
设m＝(x，y，z)为平面PBC的法向量，则有
1 1 1
即可取m＝(，0，－1)，………………………………………………8分
设n＝(x，y，z)为平面PDC的法向量，则有
2 2 2
即可取n＝(，－3，1)，……………………………………………10分
所以|cos〈m，n〉|＝＝，
所以平面PDC与平面PBC夹角的余弦值为.……………………………………………12分
21.(本小题满分12分)
(1)解：f(x)的定义域为R，f ′ (x)＝－eax，……………………………………………1分
当a＝0时，f ′ (x)<0，所以函数f(x)在R上单调递减；……………………………………2
分当a>0时，在区间上，f ′ (x)>0，在区间上，f ′ (x)<0，
所以函数f (x)在区间上单调递增，在区间上单调递减；………3分
当a<0时，在区间上，f ′ (x)<0，在区间上，f ′ (x)>0，
所以函数f (x)在区间上单调递减，在区间上单调递增.…………4分
(2)证明：f(x)＝－xeax＝－eax＋ln x，………………………………………………………………5
分
要证ln x＋ax－1≥，即证ln x＋ax－1≥.……………………………………6分
设g＝x－1＋e－x，则g′＝1－e－x，………………………………………………………7分
在区间上，g′ (x)<0，在区间上，g′ (x)>0，
所以函数g(x)在区间上单调递减，在区间上单调递增，……………9分
所以g≥g＝0，…………………………………………………………………………10分
故－1＋≥0，当ln x＋ax＝0时等号成立，
所以ln x＋ax－1≥成立，
故ln x＋ax－1≥.………………………………………………………………………12分
22.(本小题满分12分)
解：(1)设E，则EA＝r，所以EA2＝x2＋，………………………………………2分
即＋y2＝x2＋36，化简得y2＝12x.………………………………………………………3分
(2)设P，直线PM为y－y＝k，直线PN为y－y＝k，
0 1 0 2
则y＝12x，M，N，………………………………………………4分
0
故＝x＝x.………………………………………………………5分
0 0
又直线PM和直线PN与圆(x－1)2＋y2＝1相切，所以＝＝1，
故k，k 是方程＝1的两个根，…………………………………………………6分
1 2
即k，k 是方程k2＋2yk＋y－1＝0的两个根，
1 2 0
所以k＋k＝，kk＝.……………………………………………………8分
1 2 1 2
则△PMN的面积S ＝x＝＝
△PMN 0
＝x＝x＝x＝.
0 0 0
……………………………………………………………………………………………………9
分
设f＝，x>2，
则f ′ (x)＝.…………………………………………10分
所以当x∈(2，5)时，f ′ (x)<0，函数f单调递减；
当x∈时，f ′ (x)>0，函数f单调递增.…………………………………………11分所以当x＝5时，S 取得最小值，最小值为 .……………………………………12分
0 △PMN
