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第十八章 平行四边形 重难点检测卷
（满分120分，考试时间120分钟，共26题）
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号
填写在答题卡上；
2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦
干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效；
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效；
4.测试范围：平行四边形全部内容；
5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第I卷（选择题）
一、选择题（10小题，每小题3分，共30分）
1．（24-25八年级上·山东泰安·期末）下列说法正确的是（ ）
A．对角线互相垂直的四边形是菱形 B．对角线相等的四边形是矩形
C．对角线互相平分的四边形是平行四边形 D．对角线互相垂直的平行四边形是矩形
【答案】C
【分析】本题考查矩形和菱形的判定，解题的关键是掌握矩形、菱形和平行四边形的判定方法．据此对各
选项逐一判断即可．
【详解】解：A．对角线互相垂直的平行四边形是菱形，原说法错误，故此选项不符合题意；
B．对角线相等的平行四边形是矩形，原说法错误，故此选项不符合题意；
C．对角线互相平分的四边形是平行四边形，原说法正确，故此选项符合题意；
D．对角线相等的平行四边形是矩形，原说法错误，故此选项不符合题意．
故选：C．
2．（24-25八年级上·山东潍坊·期末）在 中， 与 的度数之比为 ，则 的度数是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查平行四边形的性质，平行线的性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
根据平行四边形的性质以及平行线的性质可得 ，再根据 与 的度数之比为 ，即可求出 的度数，即可求解．
【详解】解： 四边形 是平行四边形，
， ，
，
与 的度数之比为 ，
，
，
，
故选：D．
3．（24-25八年级上·山东威海·期末）如图所示，在平行四边形 中，对角线 ， 相交于点 ，
，若 ， ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查平行四边形的性质，勾股定理，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．利用平行四边形
的对角线互相平分得 ， ，再在 中利用勾股定理求出 ，即可求解．
【详解】解：∵四边形 是平行四边形， ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
故选：A．
4．（23-24八年级下·天津南开·期中）如图，在矩形 中，对角线 、 相交于点 ， 于
点 ， ，则 的大小是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查矩形的知识，解题的关键是掌握矩形的性质，根据题意，则 ，点 是对角线的
交点，则 ，根据等边对等角，则 ， ，再根据 ，等
边三角形的三线合一，即可．
【详解】解：∵四边形 是矩形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∵ ，
∴ ，
故选：C．
5．（2025·河北保定·一模）如图所示，小红，小丽，小明家的位畳依次为 的三个顶点A，B，
C，小亮家正好位于小红和小丽家的正中间位置为D点，其中 ，已知小丽家到小红家的距离为
，则小明家到小亮家的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了直角三角形的性质，根据题意易得 ，再根据D点为 中点， ，
由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到结果．【详解】解：如图，
根据题意得 ，
∵D点为 中点， ，
∴ ，
则小明家到小亮家的距离为 ，
故选：C．
6．（24-25九年级下·四川内江·开学考试）如图，点E、F、G、H分别是四边形 边 、 、 、
的中点．则正确的是（ ）
A．若 ，则四边形 为矩形
B．若 ，则四边形 为菱形
C．若 是平行四边形，则 与 互相平分
D．若 是正方形，则 与 互相垂直且相等
【答案】D
【分析】根据三角形中位线定理、平行四边形的判定定理得到四边形 为平行四边形，再根据矩形、
菱形、正方形的判定和性质定理判断即可．
本题考查的是矩形、菱形、正方形的判定和性质、三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，
并且等于第三边的一半是解题的关键．
【详解】解： 点 E、F、G、H分别是四边形 边 、 、 、 的中点，
， ， ， ， ， ，
， ，四边形 为平行四边形，
但 与 不一定互相平分，故选项C不符合题意；
A． ，
，
四边形 为菱形，故本选项不符合题意；
B． 时， ，
则四边形 为矩形，故本选项不符合题意；
D．当四边形 是正方形时， 与 互相垂直且相等，故本选项不符合题意；
故选：D．
7．（24-25九年级下·河北保定·阶段练习）要求只用圆规来验证纸片的两边是否平行，现有甲、乙两种方
案如图1和图2．
甲 乙
①在纸片的一边上取线段 ；
①沿 折叠纸片，使 和 重合，
②用圆规在另一边上截取 ，使
和 重合， 交 于点F；
；
②用圆规比较 的长度，若
③用圆规比较 和 的长度，若
，则 ．
，则 ．
对于两个方案，说法正确的是（ ）
A．只有甲方案可行 B．只有乙方案可行
C．甲、乙方案都可行 D．甲、乙方案都不可行
【答案】C
【分析】本题考查了平行线的判断，解题关键是准确理解题意，选择恰当方法证明，然后判断即可．
【详解】解：甲方案根据两组对边分别相等，可判定四边形 是平行四边形，所以 ，方案可
行；
乙方案由折叠可知 ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ ；
方案可行；
故选：C．
8．（24-25八年级下·河南驻马店·阶段练习）如图，正方形 的边长为1，以 为边作第2个正方形
，再以 为边作第3个正方形 ，按照这样的规律，第2025个正方形的边长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了图形中数字的规律，发现规律是 为底数，以图形序号数减去1为指数的幂是解题
的关键．根据题意，得第一个正方形的边长为 ；第二个正方形的边长为
；第三个正方形的边长为 ；第四个正方形的边长为
；由此得到第n个正方形的边长为 ，即可解答．
【详解】解：根据题意，得第一个正方形的边长为 ；
第二个正方形的边长为 ；
第三个正方形的边长为 ；
第四个正方形的边长为 ；
由此得到第n个正方形的边长为 ；
故第2025个正方形的边长为 ，故选：C．
9．（24-25八年级上·山东泰安·期末）如图，在 中， ，且 ， ，点 是
斜边 上的一个动点，过点 分别作 于点 ， 于点 ，连接 ，则线段 的最
小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连接 ，根据勾股定理求出 的长，再证明四边形 是矩形，可得 ，根据垂线
段最短和三角形面积即可解决问题．
【详解】解：连接 ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
∴当 时， 的值最小，
此时 ，
∴ ，
∴ 的最小值为 ．
故选：B．【点睛】本题考查矩形的判定和性质、勾股定理、三角形面积、垂线段最短等知识，解题的关键是掌握矩
形的性质并理解垂线段最短的意义．
10．（24-25八年级上·山东泰安·期末）如图， 的对角线 ， 交于点 ， 平分 交
于点 ，且 ， ，连接 ．下列结论：① 是等边三角形；② ；
③ ；④ ；成立的个数有（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【答案】D
【分析】结合平行四边形的性质可证明 为等边三角形，即可判断①，证明 ，利用三角形的
中位线性质可判断②，由平行四边形面积公式可判断③，利用三角形中线的性质结合三角形面积公式可判
断④．
【详解】解： 四边形 为平行四边形，
， ， ，
，
∵ 平分 ，
，
，
∴ 为等边三角形 故①正确；
∴ ，
∵ ，
∴
∴ ，
∵ ，∴ 故②正确；
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵
∴
∴
∴ ，
∴ ，故③正确；
∵ ，
∴
∵ ，
∴
∴ ，故④正确；
综上成立的个数是 个，
故选： ．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、三角形中位线性质、等边三角形的判断与性质等知识，三角形外角
的性质，等腰三角形的性质，掌握相关知识是解题关键．
第II 卷（非选择题）
二、填空题（8小题，每小题3分，共24分）
11．（2025·浙江温州·模拟预测）如图，在 中， 是 边上一点， ，若
，则 的度数为 ．
【答案】 / 度【分析】本题考查了平行四边形的性质，等边对等角，以及三角形内角和定理的应用，根据题意等边对等
角得出 ，根据平行线的性质可得 ，根据等边对等角以及三角形内角
和定理可得 ，进而根据 ，即可求解；熟练掌握平行四边形的性质是本
题解题关键．
【详解】解：∵四边形 是平行四边形，
∴
∴
∴
∵
∴ ，
∵
∴ ，
∵
∴
∴ ，
∴
故答案为： ．
12．（24-25七年级上·山东泰安·期末）如图，将矩形纸片 沿 折叠，使 点与 边上的 点重
合．若 ， ，则 的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查的知识点是折叠性质、矩形性质、勾股定理、解一元一次方程，解题关键是由折叠性质
得到 ．
由折叠性质得到 ，设 ，则 ，再由矩形性质和勾股定理得到方
程 后求解即可．
【详解】解：由折叠性质可得 ，
设 ，则 ，矩形纸片 中， ，
，
即 ，
解得 ．
故答案为： ．
13．（24-25八年级下·吉林长春·开学考试）如图，在长方形纸片 中， ， ， 为
边上一点，将长方形纸片 沿 折叠， 的对应边 恰好经过点 ，则 的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键.
根据折叠的性质得到 ， ， ， ， ，根据
勾股定理求出 ，得到 ，根据勾股定理计算即可得到答案.
【详解】解：在长方形纸片 中，
， ，
长方形纸片 沿 折叠， 的对应边 恰好经过点 ，
， ， ， ， ，
，
，
， ，
，
，
故答案为： .
14．（2025·上海·模拟预测）如图，菱形 的对角线 、 相交于点O，过点D作 于点H，连接 ， ，若菱形 的面积为 ，则 的长为 ．
【答案】
【分析】由菱形的性质得 ， ， ，再求出 ，然后由菱形面积求出
，即可解决问题．
本题考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质是解题的
关键．
【详解】解：∵四边形 是菱形，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵菱形 的面积 ，
∴ ，
故答案为： ．
15．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在长方形 中， ，对角线
相交于点O且互相平分，点P是线段 上任意一点，且 于点E， 于点F，则
的值是 ．【答案】
【分析】本题考查了矩形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
首先连接 ，由 求得答案．
【详解】解：连接 ，
∵长方形 中， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
16．（23-24八年级下·海南海口·期中）如图，四边形 中， ， ， ，M
是 上一点，且 ，点E从点A出发以 的速度向点D运动，点F从点C出发，以 的
速度向B运动，当其中一点到达终点，另一点也随之停止，设运动时间为t秒，则当以A，M，E，F为顶
点的四边形是平行四边形时，【答案】 或
【分析】本题考查了动点问题，平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质，合理分类是解题的关键．
分F在M的右侧和左侧两种情况讨论即可．
【详解】解∶∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴当以A，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形时， ，
当F在M的右侧时， ，
又 ，
∴ ，
∴ ；
当F在M的左侧时， ，
又 ，
∴ ，
∴ ；
综上， 当以A，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，t的值为 或 ，
故答案为： 或 ．
17．（24-25九年级上·黑龙江牡丹江·期末）如图，矩形 中， ， ，E是 上一点，将
沿 折叠得到 ， ，垂足为H，若 ，则 ．【答案】 或
【分析】分两种情况讨论： 当点 在 上方时，过点 作 ，交 于点 ，交 于点 ，
由矩形的性质可得 ， ， ，由平行公理的推论可得
，由两直线平行同旁内角互补可得 ， ，可
证得四边形 是矩形，于是可得 ，可证得四边形 是矩形，于是可得 ，
由邻补角互补可得 ， ，进而可证得四边形 是
矩形，于是可得 ， ，由折叠的性质可得 ， ，在
中，根据勾股定理可得 ，则 ，设 ，则
， ，在 中，根据勾股定理可得 ，即
，解方程即可求出 的长； 当点 在 下方时，过点 作 ，交 的延长
线于点 ，交 的延长线于点 ，推导过程与 完全相同，同理可得 的长；综上，可得答案．
【详解】解：分两种情况讨论：
当点 在 上方时，
如图，过点 作 ，交 于点 ，交 于点 ，
，
，
四边形 是矩形，
， ， ，
，
，，
，
，
四边形 是矩形，
，
，
四边形 是矩形，
，
，
，
，
四边形 是矩形，
， ，
由折叠的性质可得：
， ，
在 中，根据勾股定理可得：
，
，
设 ，则 ， ，
在 中，根据勾股定理可得：
，
即： ，
解得： ，
；
当点 在 下方时，
如图，过点 作 ，交 的延长线于点 ，交 的延长线于点 ，推导过程与 完全相同，
同理可得： ；
综上， 或 ，
故答案为： 或 ．
【点睛】本题主要考查了矩形与折叠问题，轴对称的性质，矩形的判定与性质，平行公理的推论，勾股定
理，两直线平行同旁内角互补，利用邻补角互补求角度，解一元一次方程等知识点，熟练掌握相关知识点
并运用分类讨论思想是解题的关键．
18．（24-25八年级上·河北秦皇岛·期末）如图， 和 均为直角三角形，且 ，
，点 从点 向点 运动，在运动过程中，线段 长的最大值为 ，最小值为 ，
当点 为 边中点时，则 长为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了含 的直角三角形的性质、直角三角形的斜边中线定理和勾股定理，熟练掌握
直角三角形的相关定理是解题关键．
由 和 均为直角三角形和 可知 ，通过“在直角三角形中，
如果一个锐角等于 ，那么它所对的直角边等于斜边的一半”可得 ， ， ，再
根据直角三角形的斜边中线定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”得 即可求解．
【详解】解： 和 均为直角三角形，，
，
，
，
， ，
，
，
， ．
当 与 重合时， 的值最大，此时， ，
当 时， 的值最小，此时， ．
当点 为 边中点时， ，
故答案为：6，3， ．
三、解答题（8小题，共66分）
19．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）如图，在平行四边形 中， ，E，F是对角线 上的点，
且 ，连接 ， ， ， ．求证：四边形 是菱形．
【答案】见解析
【分析】本题考查了菱形的判定与性质以及平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定与性质
是解题的关键．
连接 ，交 于点O，证明平行四边形 是菱形，得 ，再证明
，则四边形 是平行四边形，然后由菱形的判定即可得出结论．
【详解】证明：如图，设 交 于点O，∵ ，四边形 是平行四边形，
∴平行四边形 是菱形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
∴四边形 是平行四边形，
又∵ ，
∴平行四边形 是菱形．
20．（24-25八年级上·江西新余·期末）如图，图 、图 、图 均为 的正方形网格，每个小正方形
的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为 ．点A，点 都在格点上，按下列要求作图，使所画图形的顶
点都在格点上，并且所画图形均不全等．
(1)在图 中，以A， ， ， 为顶点画一个四边形，使其为轴对称图形．
(2)在图 中，以A， ， ， 为顶点画一个面积为 的平行四边形．
(3)在图 中，以A， ， ， 为顶点画一个正方形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析【分析】 直接利用轴对称图形的性质得出一个符合题意的图形；
直接利用平行四边形的性质得出一个符合题意的图形；
直接利用正方形的性质得出一个符合题意的图形．
此题主要考查了应用设计与作图，正确掌握轴对称图形、平行四边形的性质以及正方形的性质是解题关键．
【详解】（1）解：如图 ，四边形 为所作；
（2）解：如图 ，平行四边形 为所作；
（3）解：如图 ，正方形 为所作；
21．（24-25八年级上·江苏泰州·期末）如图，在四边形 中， ． ， 分别是
对角线 ， 的中点．(1)求证： ；
(2)若 ， ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析；
(2)CD= ．
【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，及勾
股定理，熟悉各性质并作辅助线构造成等腰三角形是解题的关键．
（1）连接 、 ，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得 ， ，从
而得到 ，再根据等腰三角形三线合一的性质证明即可；
（2）利用勾股定理求出 ，再求出 ，再利用勾股定理列式计算即可得解．
【详解】（1）证明∶如图，连接 、 ，
， 是 的中点，
， ，
，
是 的中点，
；
（2）解： 是 的中点， ，
，
， ，中， ，
，
，
，
中， ．
22．（2025·贵州·模拟预测）如图，在 中，对角线 ， 相交于点 ，作 和 的平
分线，分别交 于点 ， ，延长 交 于点 ，延长 交 于点 ．
(1)求证： ；
(2)已知（从以下两个条件中选择一个作为已知，填写序号），判断四边形 的形状，并证明．条件①：
平分 ；条件②： ．
【答案】(1)见解析
(2)②；是菱形，证明见解析
【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，特殊四边形的判定与性质，等腰三角形的判定，全等三角形
的判定与性质，熟练掌握这些判定与性质是解题的关键．
（1）利用平行四边形的性质得出 ， ， ，可得 ，再结合 ，
分别是 和 的平分线，得出 ，即可证明；
（2）通过 ，得出 ，则可证明 ，则可证明四边形 是平行四
边形；当添加条件①时，再通过证 ，得出 与 不垂直，则四边形 不是菱形和正方形；
通过证 ，得出 与 不垂直，四边形 不是矩形，综上，添加条件①不合适；当添加条
件②时，再通过证明 推出 是菱形．
【详解】（1）证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵ ， 分别是 和 的平分线，
∴ ，∴ ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形；
如果添加条件①无法证明四边形 是其余特殊四边形，理由如下：
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是菱形，
∴ ，
∴ 与 不垂直，
∴四边形 不是菱形和正方形；
∵ ，
∴ ，
∵ 是 的平分线，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ 与 不垂直，
∴四边形 不是矩形；
综上，添加条件①不合适；
如果添加条件②，四边形 是菱形．理由如下：∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是菱形．
23．（24-25八年级上·广东深圳·期末）数学活动课上，学习小组开展“剪拼正方形”实践活动，过程要求
无损耗、无重叠．
【初步尝试】
（1）如图1，长方形纸片 可看作由2个全等的小正方形组成，E是 的中点，沿着 ， 剪2
刀，得到3块图案①，②，③，保持③不动，移动①，②，可以拼接成一个大正方形纸片 ．若
，则 ______．
【深入实践】
（2）如图2，“十字形”纸片可看作由5个全等的小正方形组成，已知点A，B在正方形网格的格点上，
C，D是纸片边上的中点．沿着 ， 将这个“十字形”纸片剪2刀，得到4块图案①，②，③，④，
保持①不动，移动②，③，④，可以拼接成一个大正方形纸片．请在正方形网格中画出拼接后的大正方形，
并标注对应的编号．【拓展迁移】
（3）如图3，同学们从刘徽设计的“青朱出入图”受到启发，将两个边长不等的正方形纸片 ，
剪拼成一个大正方形纸片 ．P，M，N为剪痕与原正方形边的交点，已知 ， ．
① ______， ______；
②求正方形 的边长．
【答案】（1） ；（2）见解析；（3）① ， ；②
【分析】本题主要考查正方形的性质，勾股定理的运用，图象变换的性质，掌握正方形的性质，图形变换
的性质是解题的关键．
（1）根据题意可得 ， ，由勾股定理得到 ，由四边形 是正方形，可得，由此即可求解；
（2）根据正方形的性质拼接即可；
（3）①根据朱出与朱入可得， ，则 ，由此即可求解；②在 中，
，在 中， ，又在 中， ，由
此列式得 ，设 ，解得 ，则 ，由此即可求解．
【详解】解：（1）长方形纸片 可看作由2个全等的小正方形组成，E是 的中点，
∴ ， ，
∴ ，
∵移动①，②，可以拼接成一个大正方形纸片 ，
∴ ，
故答案为： ；
（2）下图展示了两种不同的拼法，
（3）将两个边长不等的正方形纸片 ， 剪拼成一个大正方形纸片 ，P，M，N为剪痕与
原正方形边的交点，已知 ， ，
∴ ，
①如图所示，根据朱出与朱入可得， ，则 ， ，
∴ ， ；
②由①可知 ， ，
在 中， ，
在 中， ，
又在 中， ，
∴ ，设 ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
∴正方形 的边长是 ．
24．（24-25八年级下·上海青浦·阶段练习）如图，在 中， 为对角线 的中点， ，
． ．动点 从点 出发，以每秒2个单位的速度沿折线 向终点 匀速运动，连结
并延长交折线 于点 ．将线段 绕着点 逆时针旋特60°得到线段 ，连结 ，设点 的
运动时间为 ．(1)用含 的代数式表示 的长．
(2)当点 在边 上运动时，求证： ．
(3)当点 在 边上时，求 的值．
【答案】(1)当 时， ；当 时，
(2)见解析
(3)2或3
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与
性质，利用分类讨论的思想方法解答．
（1）利用含 角的直角三角形的性质，平行四边形的性质解答即可；
（2）连接 ，利用平行四边形的性质和全等三角形的判定与性质解答即可；
（3）利用平行四边形的性质，等边三角形的判定与性质求得点 与点D重合或点E在 边上时的 值，
从而得到 的取值范围．
【详解】（1）解： ，
，
，
，
∵四边形 为平行四边形，
，
①当 时， ，
②当 时， ；
（2）证明： 连接 ， 如图，在 中， 为对角线 的中点，
∴ 经过点 ， ，
∵四边形 为平行四边形，
∴ ，
，
在 和 中，
，
，
；
（3）解：①当点 与点 重合时，如图，
由题意得： 为等边三角形，
，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 为平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，②当点 落在 边上时，如图，
由题意得： 为等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 为平行四边形，
，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴当点 在 边上时， 的值为：2或3．
25．（24-25八年级上·四川成都·期末）已知长方形 中， ，点 、 分别是线段 和射线
上的动点，且 ．(1)如图 ，若 ， ，求线段 的长度；
(2)如图 ，若 ， ，求线段 的长度；
(3)如图 ，若点 在 的延长线上，点 是 中点，且 与 互补，求线段 的长度．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查勾股定理，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，熟练掌握矩形的判定和性质
是解题的关键；
（1）根据题意，证明 ，进而判定 ，利用勾股定理即可求解；
（2）过点 作 垂足为点 、 交 于点 ，过点 作 于点 ，延长 交 于点
，根据矩形的性质可得 ，进而证明四边形 是矩形，根据等面积法，进而求解；
（3）延长 与 的延长线交于点 ，过点 于点 ，进而证明 ，令 、
则 ，根据 ，即可求解；
【详解】（1）解：如图 ，设 ， ， ， ，
， ，
，
，
，
在矩形 中， ， ， ，
，
，
，
在 和 中，
， ， ，
，
，
，
；（2）解：如图，过点 作 垂足为点 、 交 于点 ，过点 作 于点 ，延长
交 于点 ，设 ， ， ， ，
则 ， ，
在矩形 中 ， ， ， ，
，
，
，
，
，
，
在 和 中，
， ， ，
，
， ，
，
， ， ，
四边形 是矩形，
， ， ，
，
，
，
解得： ；（3）解：如图，延长 与 的延长线交于点 ，过点 于点 ，
在矩形 中， ， ， ， ，
为 的中点，
，
， ，
在 示 中，
， ， ，
，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
令 、则 ，
，
，
，
，
，，
，
．
26．（24-25九年级上·辽宁阜新·期末）【课本再现】
（1）如图1，正方形 的对角线相交于点O，点O又是正方形 的一个顶点，而且这两个正方
形的边长都为1，四边形 为两个正方形重叠部分，正方形 可绕点O转动．
【问题发现】
（1）①线段 ， 之间的数量关系是______．
②在①的基础上，连接 ，则线段 之间的数量关系是______．
【类比迁移】
（2）如图2，矩形 的中心O是矩形 的一个顶点， 与边 相交于点E， 与边 相
交于点F，连接 ，矩形 可绕着点O旋转，猜想 ， ， 之间的数量关系，并进行证明；
【拓展应用】
（3）如图3，在 中， ，直角 的顶点D在边 的中点处，
它的两条边 和 分别与直线 ， 相交于点E，F， 可绕着点D旋转，当 时，请
直接写出 的面积．
【答案】（1）① ② （2） ，证明见解析（3） 或
【分析】（1）①证明 ，可得结论；②根据全等三角形的性质，结合勾股定理即可得
出结论；（2）猜想： ，连接 ，延长 交 于 ，证明 ，再利用勾股
定理证明即可；
（3）设 分两种情形：①当点E在线段 上时，②当点E在 延长线上时，分别利用勾股定理
构建方程求解即可．
【详解】解：（1）①∵四边形 是正方形，
，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
②∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2） ，理由如下：
连接 ，
∵O为矩形中心，
∴ ，
延长 交 于 ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，∴ ，
∴ ，
又∵矩形 ，
∴ ，
∴ 垂直平分 ，
∴ ，
∵在 中 ，
∴ ；
（3）解：当点E在 上时，
过点B作 ，交 的延长线于点M，连接
∵ ，
∴ ； ，
∵ ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴直线 是线段 的垂直平分线，
∴ ，
由勾股定理，得 ，
故 ．
∵ ， ，
∴ ， ，
设 ，则 ，∴ ，
，
∴ ，
∴ ，
∴
当点E在 的延长线上时，
过点B作 ，交 的延长线于点N，连接
∵ ， ，
∴ ； ，
∵ ， ，，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴直线 是线段 的垂直平分线，
∴ ，
由勾股定理，得 ，
故 ．
∵ ， ，
∴ ， ，
设 ，则 ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，线段的
垂直平分线的判定和性质，勾股定理，熟练掌握正方形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，线
段的垂直平分线的判定和性质是解题的关键．
