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第十八章 平行四边形（单元重点综合测试）
班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________
考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列命题正确的是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
C．顺次连接菱形各边中点所得的四边形是正方形 D．菱形的面积为两条对角线长度乘积的一半
【答案】D
【分析】此题主要考查特殊平行四边形的判定以及菱形的性质，解题的关键是熟知特殊平行四边形的判定
方法；
利用菱形的判定定理、矩形的判定定理、菱形的性质定理及正方形的判定定理分别判断后即可确定正确的
选项．
【详解】A、等腰梯形的对角线相等，但它不是矩形，故该选项不符合题意；
B、对角线互相平分、垂直且相等的四边形是正方形，故该选项不符合题意；
C、顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形，故该选项不符合题意；
D、菱形的面积为两条对角线长度乘积的一半，符合题意；
故选：D
2．如图，菱形 中， 分别是 的中点，若 ，则菱形 的周长为（ ）
A．24 B．18 C．12 D．9
【答案】A
【分析】本题考查了菱形的性质，三角形中位线定理，由三角形的中位线定理可得 ，然后根
据菱形的性质即可求解．
【详解】解：∵E、F分别是 的中点，
∴ ，
∵四边形 是菱形，∴ ，
∴菱形 的周长 ，
故选：A．
3．如图，在 中， ， ， 于点 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题考查了平行四边形的性质，等边对等角求角度，直角三角形两锐角互余的性质；根据等边对
等角求出 ，得到 ，根据平行四边形的对边平行得到 ，
再根据直角三角形两锐角互余求出 度数．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故选：D．
4．如图， 中，过点 作 ，取 边中点 ，连结 ．若 ， ，则 长为
（ ）
A．5 B．5.5 C．6 D．6.5
【答案】C【分析】本题考查的是勾股定理及直角三角形的性质．先根据题意得出 的长，再由勾股定理求出 的
长即可．
【详解】解： ，
是直角三角形，
点 为 边的中点， ，
，
，
．
故选：C．
5．如图，在 中，对角线 ， 相交于点 ．下列说法不一定正确的是（ ）
A．若 ，则 是菱形 B．若 ，则 是正方形
C．若 ，则 是矩形 D．若 ，则 是矩形
【答案】B
【分析】本题考查了正方形的判定、菱形的判定、矩形的判定，据此逐项分析即可作答，解题的关键是明
确它们各自的判定方法．
【详解】解： 、当 时， 是菱形，该说法正确，不合题意；
、当 时， 不一定是正方形，该说法不一定正确，符合题意；
、当 时， 是矩形，该说法正确，不合题意；
、当 时， 是矩形，该说法正确，不合题意；
故选： ．
6．如图， 两地被池塘隔开，小明先在 外选一点 ，然后测出 的中点 ．若 的长为
18米，则 间的距离是（ ）A．9米 B．18米 C．27米 D．36米
【答案】D
【分析】本题主要考查三角形中位线的运用，理解并掌握中位线的性质是解题的关键，根据点 是
的中点，可得 ，由此即可求解．
【详解】解：根据题意， 是 的中位线，
∴ ，
∴ （米），
故选： ．
7．如图，在菱形 中，对角线 、 相交于点O， ， ，则点A到 的距离为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查菱形的性质，菱形的面积公式，勾股定理的应用，根据面积等式求线段的长度等知识与
方法，根据勾股定理求出菱形的边长是解题的关键．先由菱形的性质求得 ，
， ，再根据勾股定理求得 ，设点 到 的距离是h，由
，得 ，即可得到问题的答案．
【详解】解： 四边形 是菱形， ， ，， ， ，
，
设点 到 的距离是h，
，
，
，
故选：C．
8．剪纸不仅是我国传统艺术，还隐藏了不少数学知识．数学活动课上，小强将一张正方形纸片沿对角线
对折再对折，然后沿着图中的虚线剪下，如图所示，则剪下的三角形展开后得到的平面图形是（ ）
A．三角形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
【答案】B
【分析】本题考查了矩形、菱形、正方形的判定方法、剪纸问题；熟练掌握矩形、菱形、正方形的判定方
法是解决问题的关键．由矩形、菱形、正方形的判定方法即可得出结论．
【详解】解：由剪法可知，所得四边形的四条边相等，对角线不一定相等，
∵四边相等的四边形是菱形，
∴展开后得到的平面图形是菱形；
故选：B．
9．如图，在矩形 中，对角线 交于点O，过点O作 交 于点E，交 于点F．
已知 ， 的面积为5，则 的长为（ ）
A．2 B． C． D．3【答案】D
【分析】本题考查了矩形的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理以及三角形的面积问题．连接 ，
由题意可得 为对角线 的垂直平分线，可得 ， ，由三角形的面积则可求得
的长，然后由勾股定理求得答案．
【详解】解：连接 ，如图所示：
由题意可得， 为对角线 的垂直平分线，
， ，
．
，
，
，
，
在 中，由勾股定理得 ，
故选：D．
10．我们常常在建筑中看到四边形的元素．如图，墙面上砌出的菱形窗户的边长为1米（边框宽度忽略不
计），其中较小的内角为 ，则该菱形窗户的采光面积为（ ）平方米A．4 B． C．1 D．
【答案】B
【分析】本题主要考查菱形的性质，以及菱形面积的计算方法，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．画出
图形，根据勾股定理求出对角线的值即可求出面积．
【详解】解： 菱形 ，
， 且 ，
，
是等边三角形，
，
，
在 中 ，
，
该菱形窗户的采光面积为 ．
故选B．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．如图， 中， ， 是 的中点， ，则 ．【答案】10
【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握该性质即可解题．
【详解】解： 在 中， ， 是 的中点，
线段 是斜边 上的中线；
又 ，
．
故答案为： ．
12．如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O．请你添加一个适当的条件________，使其成为菱形．
【答案】AB＝BC，AC⊥BD（答案不唯一）．
【详解】根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可添加条件AC⊥BD；根据邻边相等的平行四边形是
菱形，可添加条件AB＝BC．
AC⊥BD（答案不唯一）
要判断一个平行四边形是菱形，可从邻边相等或对角线互相垂直着手．
13．如图，矩形ABCD的对角线相交于点O．若 ， ，则BC的长为 ．
【答案】
【分析】由矩形的性质可得 为等边三角形，则可求得AC的长，再由勾股定理即可求得BC的长．
【点拨】此题考查了矩形的性质：矩形的对角线互相平分且相等．解答此题的关键在于数形结合思想的应
用．
14．如图所示，点O是 的对称中心， ， ， 是 边的三等分点；G，H是 边的
三等分点．若 ， 分别表示 和 的面积则 与 之间的关系是 ．【答案】
【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据三等分点可得 ， ；再结合点O是
的对称中心可得 ，即可求解．
【详解】解：连接 ，则 必过点 ，如图所示：
∵ ， 是 边的三等分点，
∴ ，
∵G，H是 边的三等分点，
∴ ，
∵点O是 的对称中心，
∴
∴
故答案为：
15．“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥，如图，
将边长为 的正方形 沿对角线 方向平移 得到正方形 ，形成一个“方胜”图案，
则点D， 之间的距离为 ．【答案】
【分析】本题考查的是平移的性质、正方形的性质、勾股定理，根据平移的性质求出 是解题的关键．
根据正方形的性质、勾股定理求出 ，根据平移的性质求出 ，计算即可．
【详解】解：∵四边形 为边长为 的正方形，
∴ ，
由平移的性质可知， ，
∴ ，
故答案为： ．
16．如图，在边长为 的菱形 中， ，连接 ，P为图中任意线段上一点，若 ，
则 的长为 ．
【答案】6或 或
【分析】由题意知 ，如图，分 三种情况求解：当 时， ； ，
则 ，由勾股定理得， ，计算求解即可；当 时，如图，作 于
，由勾股定理得 ，计算求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，如图，分 三种情况求解：当 时， ；
∵菱形 中， ，
∴ 是等边三角形，
∵ ，
∴ ，
由勾股定理得， ；
当 时，如图，作 于 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
由勾股定理得 ，
∴ ；
综上所述， 的长为6或 或 ；
故答案为：6或 或 ．
【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，含 的直角三角形，勾股定理等知识．熟
练掌握菱形的性质，等边三角形的判定与性质，含 的直角三角形是解题的关键．
三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
17．如图，四边形 中， ， 为 上一点， 与 交于点 ， ．(1)求证：四边形 是平行四边形；
(2)若 ， ， ，求 的长．
【答案】(1)见详解
(2) 的长为
【分析】（1）证 ，得 ，再由平行四边形的判定即可得出结论；
（2）过点 作 于点 ，证 是等腰直角三角形，得 ，再由含 角的
直角三角形的性质得 ，然后由勾股定理得 ，求出 ，
即可得出结论．
【详解】（1）证明：
在 和 中，
又
∴四边形 是平行四边形；（2）解：如图，过点 作 于点 ，则 ，
∴ 是等腰直角三角形，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 的长为 ．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股
定理、平行线的性质以及含 角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定和全等三角形
的判定与性质是解题的关键．
18．如图，四边形 是矩形，对角线 ， 相交于点O， 交 的延长线于点E．
(1)求证： ．(2)若 ，求 的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）证明四边形 为平行四边形， 则 ，进而可证 ．
（2）由四边形 为平行四边形，四边形 是矩形，可得 ， ，证明
是等边三角形，则 ，根据 ，计算求解即可．
【详解】（1）证明： 四边形 为矩形，
∴ ， ．
∵ ，
四边形 为平行四边形，
，
∴ ．
（2）解：∵四边形 为平行四边形，四边形 是矩形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ 是等边三角形， ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，平行线的性质．
熟练掌握矩形的性质，平行四边形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，平行线的性质是解题的关键．
19．如图，在 中，D、E分别是 、 的中点， ，延长DE到点F，使得 ，连
接 ．
(1)求证：四边形 是菱形；
(2)若 ， ，求菱形 的面积．
【答案】(1)见解析
(2)【分析】（1）由中位线可知 且 ，由 ， ，证明四边形 是平行四
边形，由 ，证明四边形 是菱形；
（2）由 ，可得 ，则 是等边三角形， ，过点E作
于点G，则 ，由勾股定理得， ，根据 ，
计算求解即可．
【详解】（1）证明：∵D、E分别是 、 的中点，
∴ 且 ，
又∵ ， ，
∴ ， ，
∴四边形 是平行四边形，
又∵ ，
∴四边形 是菱形；
（2）解：∵四边形 是菱形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
如图，过点E作 于点G，
∴ ，
∴ ，
由勾股定理得， ，
∴ ．∴菱形 的面积为 ．
【点睛】本题考查了中位线的性质，菱形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，含 的直角三角形，
勾股定理等知识．熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
20．图①、图②、图③均是 的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点，
点 均在格点上，只用无刻度的直尺在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要
求写画法（所画图形不全等）．
(1)在图①中，以线段 为边画平行四边形 ．
(2)在图②中，以线段 为边画菱形 ．
(3)在图③中，以线段 为边画正方形 ．
【答案】(1)作图见详解
(2)作图见详解
(3)作图见详解
【分析】本题主要考查作图：平行四边形、菱形、正方形，根据平行四边形的判定和性质，菱形的判定和
性质，正方形的判定和性质即可求解，掌握几何图形的性质是解题的关键．
（1）根据平行四边形的判定和性质即可求解；
（2）根据菱形的判定和性质即可求解；
（3）根据正方形的判定和性质即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，
∴四边形 即为所求图形；
（2）解：如图所示，∴四边形 即为所求图形；
（3）解：如图所示，
∴四边形 即为所求图形．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
21．如图，在平行四边形 中，对角线 ， 相交于点O， ，点E是 的中点，过点E
作 ，交 于点F．
(1)求证：四边形 是矩形；
(2)若 ，求四边形 的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）证 是 的中位线，得 ，则四边形 是平行四边形，再证 ，
即可得出结论；
（2）由平行四边形的性质和中位线定理可得 ， ．利用勾股定理可知
，从而得到 ，最后利用矩形面积公式计算即可．【详解】（1）证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
又∵点E是 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ， ．
∵ ， ，
∴四边形 是平行四边形．
∵ ，即 ， ，
∴ ，
∴四边形 是矩形．
（2）∵ ， ，
∴ ，
∵四边形 是平行四边形， ，
∴ ．
在 中， ， ，
∴ ，
∴
∴四边形 的面积是： ．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、勾股定理等知识，
熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
22．如图，在 中，D是 的中点，E是 的中点，过点A作 ， 与 的延长线相交
于点F，连接 ．
(1)求证：四边形 是平行四边形；(2)填空：将下列命题填完整，并使命题成立（图中不再添加其它的点和线）
①当 满足条件 时，四边形 是______形；
②当 满足条件______时，四边形 是正方形．
【答案】(1)见解析
(2)①菱；② ，
【分析】（1）由 ，得到两对内错角相等，再由E为中点，得到 ，利用 得到
与 全等，利用全等三角形对应边相等得到 ，再由 ，等量代换得到 ，利用
一组对边平行且相等的四边形为平行四边形即可得证；
（2）①由 ， 为中线，利用斜边上的中线等于斜边的一半，得到 由邻边相等的平
行四边为菱形，即可得证；
②添加条件为 ， ，由 ，根据①得到四边形 为菱形，再由 ，
利用等腰三角形的三线合一得到 ，根据有一个角是直角的菱形为正方形即可得证．
【详解】（1）证明：∵E为 的中点，D为 中点，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ， ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵
∴四边形 为平行四边形；
（2）解：①当 满足条件 时，四边形 是菱形，理由为：
∵E为 的中点，D为 中点，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ， ，
在 和 中，，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵
∴四边形 为平行四边形；
∵ ，D是 的中点，
∴
∵四边形 为平行四边形， ；
∴四边形 为菱形；
②当 满足条件 ， 时，四边形 是正方形，理由为：
由①知当 满足条件 时，四边形 是菱形，
∵ ， 为 中点，
∴ 为 边上的中线，
∴ ，即 ，
∵四边形 是菱形，
∴四边形 为正方形；
【点睛】此题属于四边形综合题，涉及的知识有：平行四边形的判定，矩形的判定，正方形的判定，全等
三角形的判定与性质，以及等腰三角形与直角三角形的性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．
23．【感知】
（1）如图1，在 中， 分别是边 的中点．则 和 的位置关系为______，数量关系为
______．
【应用】
（2）如图2，在四边形 中， 分别是边 的中点，若 ， ，
求 的度数．
【拓展】（3）如图3，在四边形 中， 与 相交于点 分别为 的中点， 分别交
于点 ．求证： ．
【答案】（1） ；（2） ；（3）证明见解析
【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，等腰三角形的判定和性质，
（1）根据三角形中位线定理即可得到结论；
（2）连接 ，根据三角形中位线定理得到 ，根据勾股定理的逆定理得到
，计算即可；
（3）取 的中点H，连接 ，则 分别是 的中位线，由中位线的性质定理
可得 且 且 ，根据等腰三角形的性质即可得结论；
掌握三角形的中位线的性质是解题的关键．
【详解】（1）∵点 分别是边 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ；
故答案为： ．
（2）如图1，连接 ．
分别是边 的中点，
，
．
，
，，
，
．
（3）证明：如图2，取 的中点 ，连接 ．
分别是 的中点，
且 ，
同理可得 且 ．
，
，
，
，
．
五、（本大题共2小题，每小题12分，共24分）
24．如图，矩形 中， ，点 在边 上，且不与点 重合，直线 与 的延长
线交于点 ．(1)如图1，当点 是 的中点时，求证： ；
(2)将 沿战线 折叠得到 ，点 落在矩形 的内部，延长 交 于点 ．
①如图1，证明 ，并求出在（1）条件下 的值；
②如图2， 交 于点 ，点 是 的中点，当 时，试探究 与 的数量关系，
并说明理由．
【答案】(1)详见解析
(2)① ；② ，详见解析
【分析】（1）根据矩形的性质可得 ， ，根据点P是 的中点，得出 ，
即可求证；
（2）①根据矩形的性质可得 ，由折叠得 ，则 ，即可求证
， ，则 ， ，在 中，得出 ，列出方程求解即可；
②如图，由折叠可知 ，过点 作 ，交 于点 ，根据等角对等边
的得出 ．由点G为 中点，点H是 中点，得出 ．则
．即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ， ，
∵点P是 的中点，
∴ ，
∴ ；
（2）解：①∵四边形 是矩形，
∴ ，∴ ，
由折叠得 ，
∴ ，
∴ ，
矩形 中， ， ，
∴ ，
∵点P是 的中点，
∴ ，
由折叠得 ，
设 ，则 ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
解得 ，即 ；
② 与 的数量关系是 ．
理由：如图，由折叠可知 ，
过点 作 ，交 于点 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴点H是 中点，
∵ ，即 ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．∴ ．
∴ ．
∵点G为 中点，点H是 中点，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
【点睛】本题主要考查了矩形的折叠问题，解题的关键是熟练掌握矩形的性质，勾股定理，全等三角形的
判定和性质，等腰三角形的判定和性质．
25．四边形 为正方形，点E为对角线 上一点，连接 ．过点E作 ，交射线 于点
F．
(1)如图1，若点F在边 上，求证： ；
(2)以 为邻边作矩形 ，连接 ．
①如图2，若 ，求 的长度；
②当线段 与正方形 一边的夹角是 时，直接写出 的度数．
【答案】(1)见解析
(2)① ；② 或
【分析】（1）连接 ，由正方形的对称性得 ，再根据四边形的内角和定理可证明
，进而证得 ，得 ，便可得 ；
（2）①证明 得 ，求出 的长度便可；
②分两种情况： 或 ，分别根据四边形的内角和，三角形的内角和求得结果便可．
【详解】（1）证明：连接 ，如图，∵四边形 是正方形，
∴ ，
∵四边形 是正方形，
，
（2）解：①∵四边形 为矩形， ，
∴四边形 为正方形，
∴ ，
∵四边形 为正方形，
②当 时，如图，当 时，如图，
∵ ，
综上， 或 ．
【点睛】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理、三角形的内角和定理等知识
点，关键是作辅助线和证明全等三角形．
