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第十八章 平行四边形（知识归纳+10 题型突破）
1.掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念, 了解它们之间的关系.
2.探索并掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的有关性质和常用判别方法, 并能运用这些知识进行有关
的证明和计算.
3. 掌握三角形中位线定理.
知识点一、平行四边形
1.定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
2.性质：（1）对边平行且相等；（2）对角相等；邻角互补；（3）对角线互相平分；（4）中心对称图形.
S 底高
3.面积： 平行四边形
4.判定：边：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
角：（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
（5）任意两组邻角分别互补的四边形是平行四边形．
边与角：（6）一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；
对角线：（7）对角线互相平分的四边形是平行四边形.
特别说明：平行线的性质：
（1）平行线间的距离都相等；（2）等底等高的平行四边形面积相等.
知识点二、矩形
1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
2.性质：（1）具有平行四边形的所有性质；（2）四个角都是直角；（3）对角
线互相平分且相等；（4）中心对称图形，轴对称图形.
S ＝长宽
3.面积： 矩形
4.判定：（1) 有一个角是直角的平行四边形是矩形.（2）对角线相等的平行四边形是矩形.
（3）有三个角是直角的四边形是矩形.
特别说明：由矩形得直角三角形的性质：
（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
（2）直角三角形中，30度角所对应的直角边等于斜边的一半．
知识点三、菱形
1.定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
2.性质：（1）具有平行四边形的一切性质；（2）四条边相等；（3）两条对角线互相平分且垂直，并且每
一条对角线平分一组对角；（4）中心对称图形，轴对称图形.
对角线对角线
S ＝底高＝
3.面积： 菱形 2
4.判定：（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形；
（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
（3）四边相等的四边形是菱形.
知识点四、正方形
1.定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.
2.性质：（1）对边平行；（2）四个角都是直角；（3）四条边都相等；
（4）对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角；
（5) 两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形；
（6）中心对称图形，轴对称图形.
1
S =
3.面积： 边长×边长＝2 ×对角线×对角线
正方形
4.判定：（1）有一个角是直角的菱形是正方形；
（2）一组邻边相等的矩形是正方形；
（3）对角线相等的菱形是正方形；
（4）对角线互相垂直的矩形是正方形；
（5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；
（6）四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形.【题型一 利用平行四边形的性质求解】
例题：在平行四边形 中， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1．如图，在 中， ， ， 平分 交边 于点 ，则 （ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
2．如图，在平行四边形 中， ，E为 的中点，若 ，则 的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．（2023秋·山东泰安·八年级校考期末）如图， 过平行四边形 对角线的交点 ，交 于点 ，
交 于点 ，则：
① ；
②图中共有6对全等三角形；
③若 ， ，则 ；
④ ；
其中正确的结论有（ ）A．①④ B．①②④ C．①③④ D．①②③
4．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在平行四边形 中， ， ， 平分
交 于点 ，则 的长为______．
【题型二 判断能否构成平行四边形】
例题：能判定四边形 是平行四边形的是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【变式训练】
1．如图，四边形 的对角线交于点O，下列哪组条件能判断四边形 是平行四边形（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
2．如图，下列四组条件中，不能判定四边形 是平行四边形的是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
3．在下列给出的条件中，能判定四边形 为平行四边形的是（ ）A． B．
C． D．
【题型三 添一个条件成为平行四边形】
例题：已知：如图，AB CD，线段AC和BD交于点O，要使四边形ABCD是平行四边形，还需要增加的
一个条件是：_____（填一个即可）．
【变式训练】
1．如图，平行四边形ABCD中，点E、F分别在BC、AD上，要使四边形BEDF是平行四边形，还需要增
加的一个条件是_______________．
2．如图，在平行四边形 中， 是对角线，E，F是对角线上的两点，要使四边形 是平行四
边形，还需添加一个条件（只需添加一个）是__________．
【题型四 利用平行四边形的性质与判定综合】
例题：如图，四边形 中， 垂直平分 ，垂足为点 为四边形 外一点，且
， ．(1)求证：四边形 是平行四边形；
(2)如果 平分 ， ， ，求 的长．
【变式训练】
1．如图，在 中， ，M、N分别是 的中点．
(1)求证：四边形 是平行四边形；
(2)若 ， ，求 的长．
2．如图，点B、E分别在AC、DF上，AF分别交BD、CE于点M、N，∠A＝∠F，∠1＝∠2．
(1)求证：四边形BCED是平行四边形；
(2)已知DE＝2，连接BN，若BN平分∠DBC，求CN的长．
3．如图，在 中，点E是 边的中点，连接 并延长交 的延长线于点F，连接 ，
．
(1)求证： ；
(2)求证： 平分 ；
(3)若 ， ，求 的面积．【题型五 利用矩形的性质求角度或线段长】
例题：如图，矩形 的对角线 ， 相交于点O，过点O作 ，交 于点E，若
，则 的大小为__________．
【变式训练】
1．在矩形 中，作 的平分线交直线 于点E，则 是____________度．
2．如图，四边形 是矩形，点 在线段 的延长线上，连接 交 于点 ， ，
点 是 的中点，若 ， ，则 的长为______．
3．如图，在平行四边形 中，点 是边 的中点，连接 并延长，交 的延长线于点 ．连接
、 ．
(1)求证： ；
(2)当四边形 是矩形时，若 ，求 的度数．4．如图，在矩形 中， 是对角线， 、 分别平分 、 ，交边 、 于点 、
．
(1)若 ， ，求 的长．
(2)求证： ．
【题型六 矩形的性质与判定综合问题】
例题：如图，在 中， ， 平分 交 于点D，分别过点A、D作 、
， 与 相交于点E，连接 ．
(1)求证： ；
(2)求证：四边形 是矩形．
【变式训练】
1．如图，将 的边 延长到点E，使 ，连接 交边 于点F．(1)求证： ；
(2)若 ，判断四边形 的形状，并证明你的结论．
2．如图，在平行四边形 中，点 ， 分别在边 ， 上， ， ．
(1)求证：四边形 是矩形；
(2)连接 ，若 ， ， 平分 ，则平行四边形 的面积为______．
【题型七 利用菱形的性质求角度或线段长】
例题：如图，菱形 中，已知 ，则 的大小是____________．
【变式训练】
1．如图，在菱形 中， 交对角线 于点E，若 ， ，则 ________．2．如图，在菱形 中， 与 相交于点 ， 的垂直平分线 交 于点 ，连接 ，若
，则 的度数为______．
3．如图，在菱形 中， ， ， 是 中点， 交 于点 ，连接 ，则
的长为______．
4．如图，菱形 的边长为2， ，对角线 与 交于点O，E为 中点，F为 中点，
连接，则 的长为 _____．
5．如图，已知四边形 是菱形，且 于点 ， 于点 ．
(1)求证： ；(2)若 ， ，求菱形 的面积．
【题型八 菱形的性质与判定综合问题】
例题：如图，在四边形 中， ， ，对角线 、 交于点 ， 平分 ，
过点 作 ，交 的延长线于点 ，连接 ．
(1)求证：四边形 是菱形；
(2)若 ， ，求 的长；
【变式训练】
1．如图，平行四边形ABCD的对角线 ， 相交于点O，且 ， ， ．
(1)求证：四边形 是菱形．
(2)若 ， ，求 的长．
2．如图，平行四边形 中， ， ， ，点 是 的中点，点 是边 上
的动点， 的延长线与 的延长线交于点 ，连接 ， ．(1)求证：四边形 是平行四边形；
(2)①直接写出：当 ______ 时，四边形 是菱形（不需要说明理由）；
②当 ______ 时，四边形 是矩形，请说明理由．
【题型九 利用正方形的性质求角度或线段长】
例题：如图，在正方形 中，点 为边 上一点， 与 交于点 ．若 ，则
的大小为______度．
【变式训练】
1．如图，正方形 中， ，则 _____．
2．如图，四边形ABCD是正方形，以BC为边在正方形内部作等边 ，连接PA，则
__________ ．3.如图，在正方形 中， 为对角线 上一点，过 作 于 ， 于 ，若 ，
，则 ___________．
4．已知在矩形ABCD中， ， ，四边形EFGH的三个顶点E、F、G、H分别在矩形ABCD
的边AB、BC、DA上， ．
(1)如图1，当四边形EFGH为正方形时，求 的面积；
(2)如图2，当四边形EFGH为菱形，且 时，求 的面积（用含a的代数式表述）；
(3)在（2）的条件下，当 的面积等于6时，求AH的长．
【题型十 正方形的性质与判定综合问题】
例题：如图所示，在正方形 的边 的延长线上取点 ，连接 ，在 上取点 ，使得 ，
连接 ，过点 作 ，交 于点 ．
(1)若正方形 的边长为 ，且 ，求 的长；
(2)求证： ．【变式训练】
1．如图，点 是正方形 内部的一点， ，将 绕点A按逆时针方向旋转 得到
， ， 的延长线相交于点E.若正方形 的边长为10， ．
(1)求证：四边形 是正方形；
(2)求 的长．
2．如图，点E是正方形 的边 上不同于C，D的任意一点，延长 至点F，使 ．分别
过点E，F作 的垂线，相交于点G．
(1)如图1，连接 ， 、 与 有何关系？请说明理由．
(2)如图2，连接 ．若 ．
①当点E是 的中点时， ____________；
②当点E不是 的中点时， 的值与①相比，有变化吗？请说明理由．
