文档内容
【赢在高考·黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷（七省新高考专用）
黄金卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要
求的。
1．全集 ，集合 ， ，则阴影部分表示的集合是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据给定的条件利用韦恩图反应的集合运算直接计算作答.
【详解】韦恩图的阴影部分表示的集合为 ，而全集 ，集合 ， ，
所以 .
故选：C
2．已知复数 ，若 为纯虚数，则 的值为
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由复数除法运算化简复数这代数形式，然后根据复数的定义求解．
【详解】由于 ，
∵z为纯虚数, ，解得a=1，
故选：D．
3．若非零向量 满足 ， ，则 与 的夹角是
A． B． C． D．【答案】B
【分析】根据向量垂直关系的表示及向量的夹角公式即可求解.
【详解】解： ，
，即得 ，
，
，即 ，
，又 ，
，
故选：B．
4．儿童手工制作（DIY）对培养孩子的专注力、创造力有很大的促进作用．如图，在某节手工课上，小明
将一张半径为2cm的半圆形剪纸折成了一个圆锥（无裁剪无重叠），接着将毛线编制成一个彩球，放置于
圆锥底部，制作成一个冰淇淋模型．已知彩球的表面积为 ，则该冰淇淋模型的高（圆锥顶点到球面
上点的最远距离）为（ ）
A． B． C．6cm D．
【答案】B
【分析】先求圆锥的高和球的半径，再用勾股定理求彩球的球心到圆锥底面所在平面的距离，最后根据题
意得到答案.
【详解】设圆锥的地面半径为 ，则 ，解得 ，所以圆锥的高 ．设彩球的半径为 ，则 ，解得 ．
由勾股定理可得彩球的球心到圆锥底面所在平面的距离为 ，
所以该冰淇淋模型的高为 .
故选：B．
5．“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】构造 ，求出单调性，求出 中 范围，再判断即可.
【详解】设 ，则
，
，
当 时为增函数， 时为减函数，
当 ，时，所以
所以 时，
又因为 ，故 ，解得 ，
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件，
故选：A
6．数列 的前 项和为 ， ，若该数列满足 ，则下列命题中错误的是
（ ）
A． 是等差数列 B．C． D． 是等比数列
【答案】C
【分析】利用 可化简已知等式证得A正确；利用等差数列通项公式可整理得到B正确；由
与 关系可求得C错误；由 ，结合等比数列定义可知D正确.
【详解】对于A，当 时，由 得： ，
，即 ，又 ，
数列 是以 为首项， 为公差的等差数列，A正确；
对于B，由A知： ， ，B正确；
对于C，当 时， ，
经检验： 不满足 ， ，C错误；
对于D，由B得： ， ，又 ，
是以 为首项， 为公比的等比数列，D正确.
故选：C.
7．椭圆 上有两点 、 ， 、 分别为椭圆 的左、右焦点， 是以 为中
心的正三角形，则椭圆离心率为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，由条件表示出 的长，结合椭圆的定义，再由离心率的计算公式，即可得到结果.
【详解】
设 边与 轴交于点 ，且 是以 为中心的正三角形，
则 ，且 为 的重心，
由重心定理可得， ，则 ，
在 中， ，则 ，
所以 ，由椭圆的定义可得，
，即 ，
化简可得 ，则 .
故选：C
8．定义在R上的函数 满足：① ，② 是奇函数，则下列结论可能不正确的是（ ）
A． 是偶函数 B．
C． D． 关于x＝1对称
【答案】A
【分析】利用已知条件分析函数的对称性和周期性，再验证各个选项的结论.
【详解】定义在R上的函数 ,满足 ，有 ，函数图像上的点
关于点 的对称点为 ，即 ，所以函数图像上的点关于点 的
对称点也在函数图像上，即函数图像关于点 对称；
是奇函数，有 ，函数图像上的点 关于点 的对称点
为 ，即 ，所以函数图像上的点关于点 的对称点也在函数图像
上，即函数图像关于点 对称，点 关于点 的对称点 ，所以
；
∴ ，令 ，则 ，所以 ，得函数周期为4，B选项正确；
由 ，当 时，有 ，又函数周期为4，有 ，所以
，C选项正确；
令 ， ，所以 的图像
关于x＝1对称，D选项正确；
函数 ，满足题目中的条件，但 不是偶函数，A选项错误.
故选：A二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的
要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知圆 和圆 ，则（ ）
A．圆 的半径为4
B． 轴为圆 与 的公切线
C．圆 与 公共弦所在的直线方程为
D．圆 与 上共有6个点到直线 的距离为1
【答案】BD
【分析】对于A项，将圆的方程化成标准式即得；对于B项，判断圆心到直线的距离等于圆的半径
即得；对于C项，只需将两圆方程相减化简，即得公共弦直线方程；对于D项，需要结合
图像作出两条和已知直线平行且距离等于1的直线，通过观察分析即得.
【详解】
对于A项，由圆 配方得：
知圆 的半径为2，故选项A错误；
对于B项，因圆心 到 轴的距离为1，等于圆 的半径，故圆 与 轴相切，
同理圆心 到 轴的距离等于圆 的半径，圆 与 轴相切，故 轴为圆与 的公切线，故选项B正确；
对于C项，只需要将 与 左右分别相减，
即得圆 与 的公共弦所在的直线方程为： 故选项C错误；
对于D项，如图，因直线 同时经过两圆的圆心，依题意可作两条
与该直线平行且距离为1的直线 与 ，其中 与 和圆 都相切，各有一个公共点，
与 和圆 都相交，各有两个交点，故圆 与 上共有6个点到直线
的距离为1，故选项D正确.
故选：BD.
10．已知由样本数据 组成的一个样本，得到经验回归方程为 ，且 ，
去除两个样本点 和 后，得到新的经验回归方程为 ．在余下的8个样本数据和新的经
验回归方程中（ ）．
A．相关变量x，y具有正相关关系
B．新的经验回归方程为
C．随着自变量x值增加，因变量y值增加速度变小
D．样本 的残差为
【答案】ABD
【分析】根据线性回归方程的求法、意义可判断ABC ，再由残差的概念判断D.
【详解】 ，x新平均数 ， ．
y新平均数 ，∴ ，∴ ．
新的线性回归方程 ，x，y具有正相关关系，A对．新的线性回归方程： ，B对．
由线性回归方程知，随着自变量x值增加，因变量y值增加速度恒定，C错；
， ， ，D对．
故选：ABD．
11．设抛物线C： 的焦点为F，准线为l，点M为C上一动点， 为定点，则下列结论正确的
是（ ）
A．准线l的方程是 B． 的最大值为2
C． 的最小值为7 D．以线段 为直径的圆与y轴相切
【答案】AD
【分析】根据抛物线方程求得直线方程，结合三角形的知识求得 的最大值，结合抛物线的定
义求得 的最小值以及判断出以线段 为直径的圆与y轴相切.
【详解】由题意得 ，则焦点 ，准线l的方程是 ，故A正确；
，
当点M在线段 的延长线上时等号成立，∴ 的最大值为 ，故B错误；
如图所示，过点M，E分别作准线l的垂线，垂足分别为A，B，
则 ，当点M在线段 上时等号成立，
∴ 的最小值为5，故C不正确；设点 ，线段 的中点为D，则 ，
∴以线段 为直径的圆与y轴相切，D正确.
故选：AD
12．定义在 上的函数 满足： ， ，则关于不等式 的表述正确
的为（ ）
A．解集为 B．解集为
C．在 上有解 D．在 上恒成立
【答案】AC
【解析】构造函数 ，求导后可推出 在 上单调递增，由 ，可得 ，
原不等式等价于 ，从而可得不等式的解集，结合选项即可得结论.
【详解】令 ， ，则 ，
∵ ，
∴ 恒成立，即 在 上单调递增.
∵ ，∴ .
不等式 可化为 ，等价于 ，
∴ ，即不等式式 的解集为 ，
则在 上有解，故选项AC正确.
故选：AC.
【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性､解不等式，构造新函数是解题的关键，考查
学生的转化思想､逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.
第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13． 的展开式中，常数项为 ．
【答案】
【分析】由题意结合二项式展开式的通项公式整理计算即可求得最终结果.
【详解】由二项式展开式的通项公式可得 的展开式的通项公式可知通项公式为：
，
由于 ，
令 可得 ，令 可得 ，
据此可得其常数项为： .
14．人类已进入大数据时代．目前，数据量已经从 级别跃升到
乃至 级别．国际数据公司 的研究结果表明，2008年全球产生的数据量为 2010年增长到 ．若从2008年起，全球产生的数据量 与年
份 的关系为 ，其中 均是正的常数，则2023年全球产生的数据量是2022年的 倍.
【答案】1.5
【分析】通过题目数据求出函数解析式，然后利用指数运算即可求解.
【详解】由题意， ，所以 ，所以 ，
所以2022年全球产生的数据量为 ，则2023年全球产生的数据量 ，
所以2023年全球产生的数据量是2022年的 倍.
故答案为：1.5
15．已知函数 ， ，写出斜率大于 且与函数 ， 的图象均相切的直线
的方程： .
【答案】
【分析】公切线问题，求导，再利用斜率相等即可解题.
【详解】∵ ，
∴ ， ，
设相切的直线 与函数 ， 的图象的切点分别为 ， ，
且 ，
∴ ，且 ，
解得 ，
∴两切点分别为 ，∴与函数 ， 的图象均相切的直线 的方程为： .
故答案为： .
16．已知空间四边形 的各边长及对角线 的长度均为6，平面 平面 ，点M在 上，
且 ，过点M作四边形 外接球的截面，则截面面积的最小值为 .
【答案】
【分析】先由面面垂直的性质得到 平面 ，求得 、 、 、 ，从而求得外接球的半径，
再由平行线分线段成比例的推论证得 三点共线，从而求得 ，从而求得截面面积的最小值.
【详解】由题意知 和 为等边三角形，取 中点为 连接 ，
则
由平面 平面 平面 平面 平面
故 平面 ， ，则易知 ，
易知球心 在平面 的投影为 的外心 ，
在 上作 于 ，易得
则在 中， ，
所以外接球半径 ，连接
因为
所以 三点共线，所以
当 为截面圆圆心时截面面积最小，此时截面圆半径为 ，截面面积为
.
故答案为： ..
四、解答题：本题共6小题，共70分，其中第17题10分，18~22题12分，解答应写出必要的文字说明、
证明过程及验算步骤。
17．在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 为 边的中点， ．
(1)求角 的大小；
(2)若 的面积为 ，求 周长的最小值．
【答案】(1)
(2)12
【分析】（1）由平面向量的线性运算可得 ，由题意可得 ，结合余弦
定理计算即可求解；
（2）根据三角形的面积公式可得 ，由（1），结合基本不等式计算即可求解.
【详解】（1）因为 ， ，
所以 ．
由 ，得 ，
整理，得 ，由余弦定理，得 ．
又 ，故 ．（2）由 的面积为 ，得 ，即 ．
由（1）得 ，
所以 ．
所以当且仅当 时，等号成立，
此时 的周长最小，且最小值为12．
18．已知等差数列 满足 ，且 成等比数列．
(1)求 的通项公式；
(2)记 为数列 前 项的乘积，若 ，求 的最大值．
【答案】(1) 或
(2)
【分析】（1）利用 ，和 成等比数列结合等差数列和等比数列知识，从而求出首项和公
差，从而求解.
（2）根据（1）中结果并结合题意进行分情况讨论，从而求解.
【详解】（1）设 的公差为 ，由 ，得： ；
由 成等比数列，得： ，即： ，整理得： .
由 ，解得： 或 .
所以： 的通项公式为 或 .
（2）因为 ，所以： ，
得：当 时， ；当 时， .
从而 ，又因为： ，所以： 的最大值为 .
故 的最大值为 .
19．目前,教师职业越来越受青睐,考取教师资格证成为不少人的就业规划之一.当前,中小学教师资格考试分
笔试和面试两部分,笔试通过后才能进入面试环节.已知某市 年共有 名考生参加了中小学教师资
格考试的笔试,笔试成绩 ,只有笔试成绩高于 分的学生才能进入面试环节.
(1)从报考中小学教师资格考试的考生中随机抽取 人,求这 人中至少有一人进入面试的概率;
(2)现有甲、乙、丙 名学生进入了面试,且他们通过面试的概率分别为 ,设这 名学生中通过面试的
人数为 ,求随机变量 的分布列和数学期望.
参考数据:若 ,则 , ,
, , .
【答案】(1)
(2)随机变量 的分布列见解析；期望为
【分析】（1）由正态分布的对称性有 ,求各学生能进入面试的概率,再由独立
事件的乘法公式及对立事件的概率求法,求 人中至少有一人进入面试的概率.
（2）求出 的可能取值为 的概率,写出分布列,由分布列求期望即可.
【详解】（1）记“至少有一人进入面试”为事件 ,由已知得: ,
所以 ,
则 ,
即这 人中至少有一人进入面试的概率为 .
（2） 的可能取值为 ,,
,
,
,
则随机变量 的分布列为：
, .
20．如图，在四棱锥 中， 平面 且 ，
．
(1)求证； ，
(2)在线段 上是否存在一点M，使得二面角 的大小为 ，如果存在，求 与平面 所
成角的正弦值；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，【分析】（1）先证明出 ，利用 平面 得到 ，即可证明 平面 ，可以
得到 ；
（2）假设存在点M符合题意.以A为原点，以过A平行于 的直线为x轴， 所在直线分别为y轴、
z轴，建立空间直角坐标系 ，用向量法求解.
【详解】（1）∵ ，
∵ 平面 ，∴ .
∵ 面PAC, 面PAC,且 ，
∴ 平面 ,
.
（2）取 的中点 ，连接 ，则 ，
建立如图所示的空间直角坐标系，
，0， ， ， ， ，0， ，
， ， ，
设⃗PM=t⃗PD(0≤t≤1)，
则点 为 ，
所以 ，
设平面 的法向量是 ，
，
令 ， ，（易知t=1不合题意）
又 是平面 的一个法向量，，
解得 (t=2舍去)则 ．
此时平面 的一个法向量可取 ， ，
设 与平面 所成的角为 ，
则 ，
与平面 所成角的正弦值为 ．
21．已知双曲线 与双曲线 有相同的渐近线，且过点 .
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)已知点 是双曲线 上异于 的两个不同点，且 ，证明：直线 过定
点，并求出定点坐标.
【答案】(1)
(2)证明见解析，定点
【分析】（1）由双曲线渐近线方程和 点坐标求解即可；
（2）由 可得 ，设 （斜率存在），与双曲线方程联立，利用韦达定理求出 的关系即可求解，注意讨论斜率不存在的情况.
【详解】（1）因为双曲线 与已知双曲线有相同的渐近线，
设双曲线 的标准方程为 ，
代入点 坐标，得 ，解得 ，
所以双曲线 的标准方程为
（2）当直线 斜率存在时，设 ，
设 ，联立 与双曲线 ，
化简得 ，
，即 ，
则有 ，
又 ，
因为 ，所以
所以 ，
所以 ，
化简得 ，即
所以 ，
且均满足 ，
当 时，直线 的方程为 ，直线过定点 ，与已知矛盾，
当 时，直线 的方程为 ，过定点
（ii）当直线 斜率不存在时，由对称性不妨设直线 ，
与双曲线 方程联立解得 ，此时 也过点 ，.
综上，直线 过定点
22．已知 且 ，函数 .
(1)若 ，求函数 在 处的切线方程；
(2)若函数 有两个零点，求实数 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由 时，得到 ，求导，进而得到 ，写出切线方程；
（2）将函数 有两个零点，转化为函数 与 的图象在 上有两个交点求解.
【详解】（1）解：当 时， ，则 ，
故 ，时， ，故切点为 ，
所以 在 处的切线方程为 ，
即 .
（2）函数 有两个零点，
方程 在 上有两个根，
方程 在 上有两个根，
函数 与 的图象在 上有两个交点，
设 ，则 ，
时， ； 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
由 ， ，当 时， ，当 时， ，作图如下：
由图得 ，即 ，
设 ，则 ，时， ， 时， ；
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
因为 时 ，且 ，
所以当 时， ；当 时， ，
又因为 ，
所以 的解集为
综上所述 .
