文档内容
【赢在高考·黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷（新高考II 卷专用）
黄金卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要
求的。
1．已知集合 则 （ ）
A={x|(x+4)(x−e)<0}，B={x|−π≤x≤π}， A∩B=
A．[−π,π] B．[−e,e] C．(−e,π] D．[−π,e)
2．在复平面内，复数 的共轭复数对应的点位于（ ）
(2−i)(1+3i)
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础．著名的“康托三分集”是数学理性思维的构
造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间 均分为三段，去掉中间的区间段(1 2)，
[0,1] ,
3 3
记为第一次操作；再将剩下的两个区间[ 1] [2 ]分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为
0, , ,1
3 3
第二次操作；…，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自
去掉中间的区间段．操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”．若使去
9
掉的各区间长度之和不小于 ，则需要操作的次数n的最小值为（参考数据：lg2=0.3010,lg3=0.4771
10
）（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
4．已知向量 ， 的夹角为 ， ，且向量 与 垂直，则实数 （ ）
⃗a ⃗b 60° |⃗a|=|⃗b|=1 ⃗a λ⃗b−⃗a λ=
A．2√2 B．√3 C．√2 D．2
5．2023年夏天贵州榕江的村超联赛火爆全国，吸引了国内众多业余球队参赛．现有六个参赛队伍代表站
成一排照相，如果贵阳折耳根队与柳州螺蛳粉队必须相邻，同时南昌拌粉队与温江烤肉队不能相邻，那么
不同的站法共有（ ）种．
A．144 B．72 C．36 D．242π
6．在三棱锥 P−ABC中，侧棱PA=PB=PC=4，BC=2√3，∠BAC= ，则其外接球的表面积
3
是（ ）
16π 64π 32π 8π
A． B． C． D．
3 3 3 3
2√6 π
7．已知 cosα+√3sinα= ，则 cos(2α+ )=（ ）
3 3
2 2 1 1
A．− B． C．− D．
3 3 3 3
8．已知函数 f (x)=¿ ，方程 [f (x)] 2 −2af (x)=0(a∈R) 有两个不等实根，则下列选项正确的是（ ）
A．点 (0,0) 是函数 f (x) 的零点 B． a 的取值范围是( 2 , e2 ) ∪ [e ,+∞ )
e2 8 2
C． 是 的极大值点 D． ， ，使
x=−3 f (x) ∃x ∈(0,1) x ∈(1,3) f (x )>f (x )
1 2 1 2
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的
要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知函数f (x)=Asin(2ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)在一个周期内的图象如图所示，图象与y轴的
交点为 ，则下列结论正确的是（ ）
(0,√3)
A．f (x)的最小正周期为π
B．f (x)的最大值为2
5π
C．直线x= 是f (x)图象的一个对称轴
6
[ π ]
D．f (x)在区间 − ,0 上单调递增
3
10．已知F为抛物线C：y2=2x焦点，过点M(3,2)的直线L与抛物线C交于不与原点O重合的两点
A(x ,y ),B(x ,y )，若⃗OA⋅⃗OB=0，则下列结论正确的是（ ）
1 1 2 2
A． x x =4 B．直线L的方程为y=2x−4
1 25
C．F关于L对称点为( ,−1) D．M为线段AB中点.
2
11．已知直三棱柱ABC−A B C 内接于球O,A A =8,AB⊥AC,AB=AC=4，点D,E为AB,AC的
1 1 1 1
中点，点Q为侧面BCC B 上一动点，且A Q=4，则下列结论正确的是（ ）
1 1 1
8
A．点A到平面A BC的距离为
1 3
B．存在点Q，使得CQ⊥平面A DE
1
C．过点D作球的截面，截面的面积最小为4π
D．点Q的轨迹长为2√2π
12．实数a，b满足a2+4b2=2，则（ ）
1
A．ab≤
2
B．a+b的最大值为2√3
C． [ √10 √10]
a−b∈ − ,
2 2
9
D．(a+2b)(a3+8b3)的最大值为
2
第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
1 5
13．在(2x− ) 的展开式中，x3的系数为 .(用数字作答)
x
14．已知定义在 上的函数 满足 为 的导函数，当
(−3,3) f(x) f(x)=e2xf(−x),f(1)=1,f' (x) f(x)
时， ，则不等式 的解集为 .
x∈[0,3) f' (x)>f(x) exf(1−x)>1
15．若 ， 分别是函数 与圆 上的点，则 的最小值为 ．
P Q y=x2 (x+3) 2+ y2=1 |PQ|
16．已知椭圆 x2 y2 内有一个定点 ，过点P的两条直线 ， 分别与椭圆 交于点
Γ: + =1(a>b>0) P(1,1) l l Γ
a2 b2 1 2
1
A，C和点B，D，且满足⃗AP=λ⃗PC，⃗BP=λ⃗PD，若λ变化时，直线CD的斜率总为− ，则椭圆Γ的离
4
心率为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
17．（10分）设数列 的前 项和为 ，已知 ．
{a } n S a =1,S −2S =1,n∈N∗
n n 1 n+1 n
(1)证明： 为等比数列，求出 的通项公式；
{S +1} {a }
n n
n
(2)若b = ，求{b }的前n项和T ．
n a n n
n
18．（12分）已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且ccosB+bcosC=−2acosB.
(1)求角B的大小，
(2)若A的角平分线交边BC于点D，且AD=√3,c=√2，求边b.
19．（12分）党的二十大以来，国家不断加大对科技创新的支持力度，极大鼓舞了企业持续投入研发的信
心.某科技企业在国家一系列优惠政策的大力扶持下，通过不断的研发和技术革新，提升了企业收益水平.
下表是对2023 年1 ~5月份该企业的利润y(单位：百万)的统计.
1 3
月份 2 月 4 月 5 月
月 月
月份编号x 1 2 3 4 5
利润y(百万) 7 12 13 19 24
(1)根据统计表，求该企业的利润y与月份编号x的样本相关系数(精确到0.01)，并判断它们是否具有线性
相关关系（0.75≤|r|≤1，则认为y与x的线性相关性较强，|r|<0.75，则认为y与x的线性相关性较弱.）；
(2)该企业现有甲、乙两条流水线生产同一种产品.为对产品质量进行监控，质检人员先用简单随机抽样的方
法从甲、乙两条流水线上分别抽取了5件、3件产品进行初检，再从中随机选取3件做进一步的质检，记
抽到“甲流水线产品”的件数为X，试求X的分布列与期望.
x
∑(x −x)(y −y)
i i
附：相关系数 r= i=1 ，√1740≈41.7.
√ n √ n
∑(x −x) 2 ∑(y −y) 2
i i
i=1 i=1
20．（12分）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCE和四边形CDEF是全等的直角梯形，且这两个
π
梯形所在的平面相互垂直，其中∠ABC=∠BCE=∠CDE=∠≝= ，CE=EF=2AB=2CD.
2(1)证明：DE⊥平面BCD；
(2)若AB=2，求点F到平面BDE的距离.
21．（12分）已知双曲线 的中心为坐标原点，左焦点为 ，离心率为 ．
C (−2√5,0) √5
(1)求C的方程；
(2)记C的右顶点为A，过点A作直线MA,NA与C的左支交于M,N两点，且MA⊥NA，AD⊥MN，D
为垂足．证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值．
22．（12分）已知函数 .
f (x)=a(ex−1)−lnx
(1)当a=1时，求f (x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)当a≥1时，证明：f (x)>sinx.
