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第十四章 整式乘法（含平方差公式与完全平方公式）压轴训练
01 压轴总结
目录
压轴题型一 利用单项式乘法求字母或代数式的值................................................................................................1
压轴题型二 已知多项式乘积不含某项求字母的值................................................................................................2
压轴题型三 多项式乘法中的规律性问题................................................................................................................4
压轴题型四 利用平方差公式与完全平方公式进行简便运算................................................................................7
压轴题型五 平方差公式与几何图形......................................................................................................................10
压轴题型六 通过对完全平方公式变形求值..........................................................................................................14
压轴题型七 求完全平方式中的字母系数..............................................................................................................16
压轴题型八 完全平方式在几何图形中的应用......................................................................................................17
压轴题型九 完全平方公式在几何图形中的应用..................................................................................................19
压轴题型十 整式运算中的新定义型问题..............................................................................................................23
压轴题型十一 利用竖式的方法求整式中多项式除以单项式..............................................................................31
02 压轴题型
压轴题型一 利用单项式乘法求字母或代数式的值
例题：若 ，则 的值为 ．
巩固训练
1．若单项式 与 的积为 ，则 ．
2．若5am+1b2与3an+2bn的积是15a8b4，则nm＝ ．
压轴题型二 已知多项式乘积不含某项求字母的值
例题：求值，若 的积中不含 的一次项与 的二次项，
(1)求 的值；
(2)求代数式 的值．巩固训练
1．已知 的展开式中不含 项和 项，求：
(1) ， 的值；
(2) 的值。
2．已知关于 的一次二项式 与 的积不含二次项，一次项的系数是4．求：
(1)系数 与 的值；
(2)二项式 与 的积．
压轴题型三 多项式乘法中的规律性问题
例题：探索题：
……
(1)当 时， ＝ ．
(2)试求： 的值．
(3)判断 的值个位数字是 ．巩固训练
1．我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），下图揭示了 （n
为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律：杨辉三角两腰上的数都是1，其余每个数为它的上方
（左右）两数之和，例如：
，它只有一项，系数为1
，它有两项，系数分别为1，1，系数和为2；
，它有三项，中间项系数2等于上方数字1加1，系数分别为1，2，1，系数和为
4；
，它有四项，中间项系数3等于上方数字1加2，系数分别为1，3，3，1，系
数和为8；……
(1)写出 的展开式______请利用整式的乘法验证你的结果．
(2) 的展开式的系数分别为______，系数和为______．
(3) 展开式共有______项，系数和为______，请说明你是怎样得到这个结果的？
压轴题型四 利用平方差公式与完全平方公式进行简便运算
例题：用简便方法计算下列各题．
(1) ；
(2) ．巩固训练
1．用简便方法计算：
(1)
(2)
2．用简便算法计算
(1)
(2)
3．用简便方法计算：
(1) ；
(2) ．
4．计算：
(1) ．
(2) ．
(3) ．
压轴题型五 平方差公式与几何图形
例题：图1、图2分别由两个长方形拼成．(1)图1中图形的面积为 ，图2中图形的面积为 ．（用含有a、b的代数式表示）
(2)由（1）可以得到等式： ．
(3)根据你得到的等式解决下列问题：
①计算： ．
②若 ，求 的值．
巩固训练
1．【实践操作】
（1）如图 ，在边长为 的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形（ ），把图 中 形的纸片按图
剪拼，改造成了一个大长方形如图 ，用含 、 的式子表示图 中大长方形的面积为______；
（2）请写出图 、图 、图 验证的乘法公式为：______；
【应用探究】
（3）利用（ ）中验证的公式简便计算： ；
（4）计算： ．2．实战与探究，如图1，边长为a的大正方形有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个
长方形（如图2所示）．
(1)上述操作能验证的公式是______（请选择正确的一个）．
A． B． C．
(2)请应用上面的公式完成下列各题：
①已知 ， ，则 ______；
②计算： ；
③计算：
压轴题型六 通过对完全平方公式变形求值
例题：已知： ， ，求下列各式的值：
(1) ；
(2) ．
巩固训练
1．已知 ， ，求下列代数式的值．
(1)
(2)2．已知 ，求下列式子的值：
(1) ；
(2) ．
压轴题型七 求完全平方式中的字母系数
例题：已知关于x的式子 是某个多项式的完全平方，那么A是 ．
巩固训练
1．若 是一个完全平方式，则 ．
2．若整式 是完全平方式，请写出所有满足条件的 是 ．
压轴题型八 完全平方式在几何图形中的应用
例题：我们已经学习了乘法公式 的多种运用，可以运用所学知识解答：求代数式
的最小值．解答如下：
解： ，
，∴当 时， 的值最小，最小值是 ，
∴ ，∴当 时， 的值最小，最小值是 ，
∴ 的最小值是 ．
请你根据上述方法，解答下列各题．
(1)知识再现：当 ______时，代数式 的最小值是______；
(2)知识运用：若 ，当 ______时， 有最______值（填“大”或“小”），这个值是______；
(3)知识拓展：若 ，求 的最小值．
巩固训练
1．例：求代数式 的最小值.
解： ，
， ，
当 时，代数式 有最小值 ，
仿照以上方法，完成下列问题：
(1)求代数式 的最小值；
(2)求代数式 的最大值.
2．我们已学完全平方公式： ，观察下列式子：
，
，原式有最小值是 ；
，
，原式有最大值是 ；
并完成下列问题：(1)代数式 有最 （填大或小）值，这个值= ．
(2)解决实际问题：在紧靠围墙的空地上，利用围墙及一段长为100米的木栏围成一个长方形花圃，为了设
计一个尽可能大的花圃，如图设长方形一边长度为 米，完成下列任务．
①用含 的式子表示花圃的面积；
②请说明当 取何值时，花圃的最大面积是多少平方米？
压轴题型九 完全平方公式在几何图形中的应用
例题：现有长与宽分别为 、 的小长方形若干个，用两个这样的小长方形，拼成如图1的图形，用四个
相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题：
(1)根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于 、 的关系式：（用 、 的代数式表示出来）；
图1表示： ；图2表示： ；
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
(2)若 ， ，则 ； ；
(3)如图3，点 是线段 上的一点，以 ， 为边向两边作正方形，设 ，两正方形的面积和
，求图中阴影部分面积．
巩固训练
1．将完全平方公式 进行适当的变形，可以解决很多的数学问题，例如：若 ，
，求 的值．解：因为 ，所以 ，即 ．
又因为 ，所以 ．
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
(1)若 ， ，则 ；
(2)若 ， ，求 的值；
(3)两个正方形 如图摆放，面积和为34， ，则图中阴影部分面积和为 ．
2．如图①，正方形 是由两个长为a、宽为b的长方形和两个边长分别为a、b的正方形拼成的．
(1)利用正方形 面积的不同表示方法，直接写出 、 、 之间的关系式，这个关系式是
；
(2)若m满足 ，请利用（1）中的数量关系，求 的值；
(3)若将正方形 的边 、 分别与图①中的 、 重叠，如图②所示，已知 ， ，
求图中阴影部分的面积（结果必须是一个具体数值）．压轴题型十 整式运算中的新定义型问题
例题：（23-24七年级下·浙江杭州·阶段练习）对于任意有理数a、b、c、d，定义一种新运算：
．
(1) ；
(2)对于有理数x、y，若 是一个完全平方式，则k＝ ；
(3)对于有理数x、y，若 ，求 的值．
巩固训练
1．（22-23七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）用“ ”定义一种新运算：对于任意有理数 和 ，规定
．如： ．解答下列问题：
(1)若 ，求 的值；
(2)化简： ；
(3)若 ， ，判断 与 的大小关系，并说明理由．
2．（23-24七年级上·江苏盐城·期中）我们定义：如果两个多项式M与N的和为常数，则称M与N互为
“组合多项式”，这个常数称为它们的“组合数”．如 与 ， ，则M
与N互为“组合多项式”，它们的“组合数”为3．
(1)下列各组多项式中，互为“组合多项式”的是________（填序号）；① 与 ；② 与 ；③ 与 ．
(2)多项式 与 （m，n为常数）互为“组合多项式”，求它们的“组合数”；
(3)关于x的多项式 与 的“组合数”能为0吗？若能，请求出m，n的值；
若不能，请说明理由．
3．（24-25八年级上·山西临汾·阶段练习）阅读下列材料，完成相应的任务．
平衡多项式
定义：对于一组多项式 （ 是常数），当其中两个多项式的乘积与另外
两个多项式乘积的差是一个常数 时，称这样的四个多项式是一组平衡多项式， 的绝对值是这组平衡多
项式的平衡因子．
例如：对于多项式 ，因为 ，所以多项式 是一
组平衡多项式，其平衡因子为 ．
任务：
(1)小明发现多项式 是一组平衡多项式，在求其平衡因子时，列式如下：
，要根据他的思路求该组平衡多项式的平衡因子；
(2)判断多项式 是否为一组平衡多项式，若是，求出其平衡因子；若不是，说明理
由；
(3)若多项式 （ 是常数）是一组平衡多项式，求 的值．
4．（23-24七年级下·江苏扬州·期末）定义：对于任意四个有理数a、b、c、d，定义一种新运算：．
(1) ；
(2) ；若 是完全平方式，则 ；
(3)若有理数m、n满足 ，且 ．
① 求 的值；
② 如图，四边形 是长方形，点E、F、G、H分别在边 上，连接 交于点
P，且 将长方形 分割成四个小长方形，若 ， ， ， ，在①的
条件下，求图中阴影部分的面积．
压轴题型十一 利用竖式的方法求整式中多项式除以单项式
例题：阅读与思考
我们学过单项式除以单项式、多项式除以单项式，那么多项式除以多项式该怎么计算呢？请同学们阅读
“刻苦小组”的项目实施过程，帮助他们解决项目实施过程中遇到的问题．项目主题：竖式的方法解决多
项式除以多项式．
项目实施：
任务一 搜集资料：我们也可以用竖式进行类似演算，即先把被除式、除式按某个字母的指数从大到小依次排列项的顺序，并把所缺的次数项用零补齐，再类似数的竖式除法求出商式和余式，其中余式为 或余
式的次数低于除式的次数．
（1）请把 按 的指数从大到小排列： ．
任务二 竖式计算：
例如：计算 ，可依照 的计算方法用竖式进行计算．因此
．
（2）“刻苦小组”把小学的除法运算法则运用在多项式除法运算上，这里运用的数学思想是（ ）
A．数形结合 B．类比 C．方程
任务三 学以致用
（3） 的商式是 ，余式是 ．
巩固训练
1．阅读理解：由两个或两类对象在某些方面的相同或相似，得出它们在其他方面也可能相同或相似的推
理方法叫类比法 多项式除以多项式可以类比于多位数的除法进行计算．
如图 ：
+
，．
即多项式除以多项式用竖式计算，步骤如下：
①把被除式和除式按同一字母的指数从大到小依次排列（若有缺项用零补齐）．
②用竖式进行运算．
③当余式的次数低于除式的次数时，运算终止，得到商式和余式 若余式为零，说明被除式能被除式整除．
例如： 余式为 ， 能被 整除．
根据阅读材料，请回答下列问题：
(1)多项式 除以多项式 ，所得的商式为______ ；
(2)已知 能被 整除，则 ______ ；
(3)如图 ，有 张 卡片， 张 卡片， 张 卡片，能否将这 片拼成一个与原来总面积相等且一边
长为 的长方形？若能，求出另一边长；若不能，请说明理由．
