第十四章整式的乘法与因式分解知识归纳与题型突破（单元复习12类题型清单）（学生版）_初中数学_八年级数学上册（人教版）_知识点汇总-U105_2025版

第十四章 整式的乘法与因式分解知识归纳与题型突破 （题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 一、同底数幂的乘法性质 (其中 都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式. （2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质， 即 （ 都是正整数）. （3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。即 （ 都是正整数）. 二、幂的乘方法则 (其中 都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘. 要点诠释：（1）公式的推广： ( ， 均为正整数) （2）逆用公式： ，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解 决问题. 三、积的乘方法则 (其中 是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. 要点诠释：（1）公式的推广： ( 为正整数). （2）逆用公式： 逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算 更简便.如： 注意事项 （1）底数可以是任意实数，也可以是单项式、多项式. （2）同底数幂的乘法时，只有当底数相同时,指数才可以相加.指数为1，计算时不要遗漏. （3）幂的乘方运算时，指数相乘，而同底数幂的乘法中是指数相加. （4）积的乘方运算时须注意，积的乘方要将每一个因式(特别是系数)都要分别乘方. （5）灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁. （6）带有负号的幂的运算，要养成先化简符号的习惯. 四、单项式乘单项式 单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它 们的指数作为积的一个因式. 要点诠释： （1）单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用. （2）单项式的乘法方法步骤：积的系数等于各系数的积，是把各单项式的系数交换到一起进行有理数的乘法计算，先确定符号，再计算绝对值；相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相 加”进行计算；只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里作为积的一个因式. （3）运算的结果仍为单项式，也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成. （4）三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则. 五、单项式与多项式相乘的运算法则 单 项 式 与 多 项 式 相 乘 ， 就 是 用 单 项 式 去 乘 多 项 式 的 每 一 项 ， 再 把 所 得 的 积 相 加 . 即 m(abc)mambmc . 要点诠释：（1）单项式与多项式相乘的计算方法，实质是利用乘法的分配律将其转化为多个单项式乘单 项式的问题. （2）单项式与多项式的乘积仍是一个多项式，项数与原多项式的项数相同. （3）计算的过程中要注意符号问题，多项式中的每一项包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号. （4）对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果. 六、多项式与多项式相乘的运算法则 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加 .即 abmnamanbmbn . 要点诠释：多项式与多项式相乘，仍得多项式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数 之积.多项式与多项式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并 .特殊的二项式相乘： xaxb x2 abxab . 七、平方差公式 平方差公式： 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. a,b 要点诠释：在这里， 既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. 抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有 “相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型： （1）位置变化：如 利用加法交换律可以转化为公式的标准型 （2）系数变化：如（3）指数变化：如 （4）符号变化：如 （5）增项变化：如 （6）增因式变化：如 八、完全平方公式 (ab)2  a2 2abb2 完全平方公式： 两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍. 要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或 减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形： 九、添括号法则 添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各 项都改变符号. 要点诠释：添括号与去括号是互逆的，符号的变化也是一致的，可以用去括号法则检查添括号是否正确. 十、补充公式 ； ； ； . 十一、因式分解 把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式. 要点诠释：（1）因式分解只针对多项式，而不是针对单项式，是对这个多项式的整体，而不是部分，因 式分解的结果只能是整式的积的形式. （2）要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解为止. （3）因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运 算. 十二、公因式 多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式.要点诠释：（1）公因式必须是每一项中都含有的因式. （2）公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式. （3）公因式的确定分为数字系数和字母两部分：①公因式的系数是各项系数的最大公约数.②字母是各 项中相同的字母，指数取各字母指数最低的. 十三、提公因式法 m 把多项式 分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式 ，另一个因式是 m ，即 ，而 正好是 除以 所得的商， 这种因式分解的方法叫提公因式法． 要点诠释：（1）提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律， 即 . （2）用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式. （3）当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第一项的系数变为正数，同时 多项式的各项都要变号. （4）用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公因式后，该项 变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误. 十四、公式法——平方差公式 两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即： a2 b2 abab 要点诠释：（1）逆用乘法公式将特殊的多项式分解因式. （2）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这 两个数（整式）的差的积. （3）套用公式时要注意字母a和b的广泛意义，a、b可以是字母，也可以是单项式或多项式. 十五、公式法——完全平方公式 两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方． a2 2abb2 ab2 a2 2abb2 ab2 即 ， . 形如a2 2abb2 ，a2 2abb2 的式子叫做完全平方式. 要点诠释：（1）逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式；（2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 右边是 两数的和（或差）的平方. （3）完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件. （4）套用公式时要注意字母a和b的广泛意义，a、b可以是字母，也可以是单项式或多项式. 03 题型归纳 题型一 整式的运算正误判断 例题：（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）下列运算正确的是（ ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（2024·湖北武汉·模拟预测）下列计算正确的是（ ） A． B． C． D． 2．（2023·四川资阳·中考真题）下列计算正确的是（ ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·江西九江·阶段练习）下列计算正确的是（ ） A． B． C． D． 题型二 判断是否是因式分解 例题：（2024上·山东济宁·八年级统考期末）下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ） A． B． C． D．巩固训练 1．（2024上·河北保定·八年级统考期末）下列各式从左边到右边的变形中，属于因式分解的是（ ） A． B． C． D． 2．（2024上·山东威海·八年级统考期末）下列由左边到右边的变形，是因式分解的是（ ） A． B． C． D． 题型三 幂的混合运算 例题：计算： (1) ； (2) ． 巩固训练 1．计算下列各题 (1) (2) （ 是整数） (3) （ 是整数） 2．计算： (1) (2) ；(3)先化简，再求值： ，其中 ． 题型四 逆用幂的相关公式求值 例题：已知： ， ， ， (1)求 的值； (2)求 的值． 巩固训练 1．已知 ， ，求 (1) ； (2) 2．（1）已知 ， 求 的值； （2）已知 ，求 的值． 3．回答下列问题． (1)填空： ① ，② ， (2)比一比，（1）中每组中的两个算式的结果是否相等？猜一猜：当n为正整数时， ． (3)试一试，计算： 的值． 4．小红学习了七年级下册“第八章幂的运算”后，发现幂的运算法则如果反过来写，式子可以表达为： ； ； ，可以起到简化计算的作用． (1)在括号里填空： ； ； (2)已知： ， ． ①求 的值． ②求 的值． (3)已知 ，求 的值． 题型五 整式的四则运算 例题:（24-25八年级上·全国·单元测试）计算： (1) ． (2) ． (3)巩固训练 1．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）计算： (1) ； (2) ； (3) ； (4) （用简便方法计算）． 2．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）计算下列各题 (1) ； (2) ． 3．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）化简 (1) (2) (3) (4) (5) (6)4．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）某学生化简 出现了错误，解答过程如下： 解：原式 （第一步） （第二步） （第三步） (1)该学生解答过程是从第______步开始出错，其错误原因是______； (2)请你帮助他写出正确的简化过程． 题型六 整式的化简求值 例题：（23-24七年级下·广东深圳·期末）先化简，再求值： ， 其中a=2， 巩固训练 1．（23-24八年级上·福建福州·单元测试）先化简，再求值： ．其 中 2．（23-24七年级下·全国·单元测试）先化简，再求值： ，其中 ， ．3．（23-24七年级下·河南郑州·期末）先化简，再求值： ，其中 ， ． 4．（23-24七年级下·宁夏银川·期末）先化简，再求值： ，其中 ． 5．（23-24七年级下·陕西渭南·期末）先化简，再求值： ， 其中 ， ． 题型七 整式运算与图形面积 例题：三张大小不一的正方形纸片按如图1和图2方式分别置于相同的长方形中，它们既不重叠也无空隙． 已知正方形 的边长为 ，正方形 的边长为 ，正方形 的边长为 ． (1)用代数式表示图1中阴影部分的面积，并计算当 ， ， 时阴影部分的面积． (2)记图1中阴影部分周长为 ，图2阴影部分周长之和为 ，判断 的值是否与正方形A、B、C的边 长有关，若有关请说明理由，若无关，求出 的值．巩固训练 1．如图，某社区有两块相连的长方形空地，一块长为 ，宽为 ；另一块长为 ， 宽为 ．现将两块空地进行改造，计划在中间边长为 的正方形（阴影部分）中种花，其余 部分种植草坪． (1)求计划种植草坪的面积； (2)已知 ， ，若种植草坪的价格为30元/ ，求种植草坪应投入的资金是多少元？ 2．如图，一个长方形运动场被分隔成 ， ， ， ， ， 共 个区， 区是边长为 的正方形， 区是边长为 的正方形． (1)列式表示每个 区长方形场地的周长，并将式子化简；（用含 、 的代数式表示） (2)列式表示整个长方形运动场的周长，并将式子化简；（用含 、 的代数式表示） (3)如果 ， ，求整个长方形运动场的面积．题型八 公因式 例题：多项式 的公因式是（ ） A． B． C． D． 巩固训练 1．下列各式中，没有公因式的是（ ） A． 与 B． 与 C． 与 D． 与 2．多项式 的公因式是（ ） A． B． C． D． 题型九 判断能否用平方差或完全平方公式因式分解 例题1：（2024上·湖北襄阳·八年级统考期末）下列多项式能用平方差公式分解因式的是( ) A． B． C． D． 例题2：（2024下·全国·七年级假期作业）下列各式：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ．其中能用完全平方公式进行因式分解的有（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 巩固训练 1．（2024上·重庆江津·八年级统考期末）下列各式中，不能用平方差公式分解因式的是（ ） A． B． C． D． 2．（2024上·河北唐山·八年级统考期末）对于下列多项式，能用平方差公式进行因式分解的是（ ） ① ② ③ ④ A．①② B．①④ C．③④ D．②③3．（2024上·广东广州·八年级统考期末）已知多项式 可以用完全平方公式进行因式分解，则 的值为（ ） A．4 B．8 C． D． 4．（2024上·山东泰安·八年级统考期末）下列各多项式中，能运用公式法分解因式的有（ ） （1） （2） （3） （4） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型十 综合提公因式和公式法因式分解 例题：（2024上·山东东营·八年级统考期末）因式分解： (1) (2) (3) 巩固训练 1．（2024上·山东临沂·八年级统考期末）分解因式： (1) ； (2) ． 2．（2024上·湖北黄石·八年级统考期末）分解因式： (1) ； (2) ．题型十一 运用因式分解求多项式的值 例题：（2024上·上海普陀·七年级统考期末）如果 ，那么 的值是（ ） A． B． C．1 D．0 巩固训练 1．长方形的长和宽分别为a，b，若长方形的周长为16，面积为12，则 值为 ． 2．（2023上·湖北武汉·八年级期末）若 ，则代数式 值为 .