文档内容
【赢在高考·黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷（上海高考专用）
黄金卷06
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、 填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
1．（4分）集合 ， ，若 ，3， ， ，则
3 0 ．
【分析】先求出 ， ，根据交集、并集的定义即可得出 ， ．
【解答】解： ， ；
若 ，3， ， ，
则 ， ；
；
， ；
，
故答案为：30．
【点评】本题主要考查并集与交集的定义，描述法与列举法表示集合，属于基础题．
2．（4分）已知 是公比为 的等比数列，且 、 、 成等差数列，则 1 ．
【分析】由已知结合等差数列的性质及等比数列的通项公式，即可得出答案．
【解答】解：因为 是公比为 的等比数列，且 、 、 成等差数列，
所以 ，
即 ，
所以 ，
则 ，解得 ，又 ，则 ．
故答案为：1．
【点评】本题考查等差数列的性质及等比数列通项公式的应用，考查转化思想和方程思想，考查运算能力，
属于基础题．
3．（4分）若复数 满足 是虚数单位），则 ．
【分析】根据已知条件，运用复数的运算法则，以及复数模的公式，即可求解．
【解答】解： ，
，即 ，
，
．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查复数的运算法则，以及复数模的公式，属于基础题．
4．（4分）若 ， ， ， 四点中恰有三点在椭圆 上，
则椭圆 的方程为 ．
【分析】由于 ， 关于轴对称，故由题设知 经过 ， 两点， 不经过点 ，然后求出 ， ，即
可得到椭圆的方程．
【解答】解：由于 ， 关于轴对称，故由题设知 经过 ， 两点，所以 ．
又由 知， 不经过点 ，所以点 在上，所以 ．
因此 ，故 的方程为 ．
故答案为： ．【点评】本题考查椭圆的简单性质，椭圆方程的求法，考查转化思想以及计算能力，属基础题．
5．（4分）已知 ， ，则 ．
【分析】由已知求得 的值，结合平方关系求解 ， 的值，则答案可求．
【解答】解： ， ，
又 ， ， ，
则 ， ，
联立 ，解得 ．
．
故答案为： ．
【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式及同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．
6．（4分）在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ， ，则
的值为 2 ．
【分析】直接利用正弦定理和等比数列的性质求出结果．
【解答】解：利用正弦定理可得： ，
利用等比性质， ．
故答案为：2．
【点评】本题考查的知识要点：正弦定理和等比数列的性质，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于
基础题和易错题．
7．（5分）已知函数 是偶函数，则 的值域是 ， ．
【分析】根据题意，函数解析式变形可得 ，由偶函数的
定义可得 、 的值，即可得函数的解析式，由此分析可得答案．【解答】解：根据题意，函数 ，
若 是偶函数，则有 ，
必有 ，则 ，
故 ，必有 ，
即 的值域是： ， ，
故答案为： ， ．
【点评】本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，涉及函数的值域，属于基础题．
8．（5分）已知 ，向量 为单位向量， ，则向量 在向量 方向上的投影向量为 ．
【分析】根据投影向量的定义即得．
【解答】解： ，向量 为单位向量， ，
则 ，
则向量 在向量 方向上的投影向量为 ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查投影向量的求解，属于基础题．
9．（5 分）已知一组数据的回归直线方程为 ，且 ，发现有两组数据 ，
的误差较大，去掉这两组数据后，重新求得回归直线方程为 ，则当 时，
5 ．
【分析】先通过回归直线方程过样本中心点，可求出 ，从而得到样本中心点，然后算出去掉两组数据后
的新数据的样本中心点，并将其代入新回归直线方程即可求得 ，进而得解．
【解答】解：由回归直线方程过样本中心点 ，可将 代入 ，得 ，所以原数据的样本中心点为 ，
去掉两组数据 ， 后的新数据的 ， ，
所以新数据的样本中心点为 ，
因为新数据的回归直线方程为 ，将 代入得 ，
所以 ，
当 时， ．
故答案为：5．
【点评】本题考查回归直线方程的求法，考查学生的运算能力，属于基础题．
10．（5分）如图，在正方体 中，
（Ⅰ） 与平面 所成角的大小为 ；
（Ⅱ） 与平面 所成角的大小为 ；
（Ⅲ） 与平面 所成角的大小为 ．
【分析】根据直线与平面的位置关系可求解（Ⅰ）（Ⅱ）；根据线面角的定义可求（Ⅲ）．
【解答】解：（Ⅰ）因为 ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
所以 与平面 所成角为 ；
（Ⅱ）因为 ， ，所以 ，
又 平面 ， 平面 ，
所以 ，
又 ，
所以 平面 ，
所以 与平面 所成角为 ；
（Ⅲ）因为 平面 ，
所以 与平面 所成角为 ；
故答案为：（Ⅰ） ；（Ⅱ） ；（Ⅲ） ．
【点评】本题考查了直线与平面所成的角，属于基础题．
11．（5分）设某车间的 类零件的厚度 （单位： 服从正态分布 ，且
若从 类零件中随机选取200个，则零件厚度小于 的个数的方差为 3 2 ．
【分析】根据正态分布的对称性可知， ，则有若从 类零件中随
机选取100个，则零件厚度小于14 的个数即为 ，则 ，计算方差即可．
【解答】解：依题意可得 ．
若从 类零件中随机选取100个，则零件厚度小于14 的个数即为 ，则 ，
则 ．
故答案为：32．
【点评】本题考查正态分布的应用，属于基础题．
12．（5分）已知 ， ， ，则 的最小值为 ．【分析】依题意可得 ，再由基本不等式计算可得．
【解答】解：因为 ， ， ，
所求 ， ， ，
所以 ，
当且仅当 时取等号．
故答案为： ．
【点评】本题考查对数的运算及基本不等式的应用，属于基础题．
二、 选择题（本大题共有4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分）
13．（4分）若直线 的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，则能使 的是
A． ，2， ， ，0， B． ，3， ， ，0，
C． ，2， ， ， ， D． ， ， ， ，3，
【分析】直接利用向量的线性运算，法向量，线面垂直的应用求出结果．
【解答】解：直线 的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，当 ，2， ， ， ， 时满足
，
对于 、 、 显然不存在向量共线的条件，故错误
故选： ．
【点评】本题考查的知识要点：向量的线性运算，法向量，线面垂直的应用，主要考查学生的运算能力和
数学思维能力，属于基础题．
14．（4分）如图，已知 是半径为 的扇形， ， 是弧 上的动点，过点 作
垂足为 ，某地区欲建一个风景区，该风景区由 和矩形 组成，且 ，则该风景区面
积的最大值为A． B． C． D．
【分析】设 ，其中 ．利用 表示风景区面积，求出最大值即可．
【解答】解：设 ，其中 ，则 ， ．
又 ，则 ．
则风景区面积 ．
又 ，
则 ，
当且仅当 ，即 时取等号．
故选： ．
【点评】本题主要考查三角函数及其应用，考查扇形面积公式，考查运算求解能力，属于中档题．
15．（5分）在平面直角坐标系 中，点 关于直线 的对称点为
A． B． C． D．
【分析】设出点 关于直线 对称点 的坐标，根据题意列出方程组，解方程组即可．
【解答】解：设点 关于直线 对称点 的坐标为 ，
则 ，
解得 ， ，所以点 的坐标为 ．
故选： ．
【点评】本题考查了点关于直线对称点的求法问题，也考查了方程组的解法与应用问题，是基础题目．
16．（5分）已知 是偶函数 的导函数， （1） ．若 时， ，则使
得不等式 成立的 的取值范围是
A． B． C． D．
【分析】设 ，求导得 ，进而可得 时，
单调递增，由于 为偶函数，推出 为奇函数，进而可得 在 上单调递增，由于
（1） ，则 （1） ，由于 ，则 （1），推出 ，
即可得出答案．
【解答】解：设 ，
，
因为 时， ，
所以 时， ， 单调递增，
因为 为偶函数，
所以 ，
所以 ，
所以 为奇函数，
所以 在 上单调递增，因为 （1） ，
所以 （1） （1） （1） ，
因为 ，
所以 （1），
所以 ，
所以 ，
故选： ．
【点评】本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．
三、解答题（本大题共有6题，满分78分）
17．（14分）数列 中， ，且 ．
（1）证明：数列 为等比数列，并求出 ；
（2）记数列 的前 项和为 ．若 ，求 ．
【分析】（1）根据题意结合等比数列的定义与通项公式分析运算；
（2）由（1）可得 ，根据前 项和与通项之间的关系结合并项求和分析运算．
【解答】解：（1）因为 ，
则 ，且 ，
所以数列 是以首项为2，公比为2的等比数列，
故 ，可得 ；
（2）因为 ，即 ，
当 时，则 ，解得 ；当 时，则 ，
两式相减得： ，整理得 ，
所以
，
即 ．
【点评】本题主要考查了等比数列的判断及通项公式的应用，还考查了数列递推关系的应用，属于中档题．
18．（14分）如图，半圆所在的平面与矩形所在平面 垂直， 是半圆弧上一点（端点除外），
是半圆的直径， ， ．
（1）求证：平面 平面 ；（2）是否存在 点，使得二面角 的正弦值为 ？若存
在，求四棱锥 的体积；若不存在，说明理由．
【分析】（1）根据线面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理的判定定理即可证明；
（2）建系如图，设 ，0， ， ，再将面面角转化为两平面的法向量所成角，再由向量
夹角公式建立 的方程，从而求出 ，从而得 的坐标，最后再由锥体的体积公式计算即可得解．
【解答】解：（1）证明： 半圆所在的平面与矩形所在平面 垂直，
又 ，又半圆所在的平面与矩形所在平面 的交线为 ，
且 面 ，
垂直半圆所在的平面，又 在半圆所在的平面内，
，又 是半圆弧上一点（端点除外）， 是半圆的直径，，且 ，
平面 ，又 平面 ，
平面 平面 ；
（2）建系如图，根据题意可得：
，0， ， ，1， ， ，1， ，设 ，0， ， ，
由（1）知平面 的法向量 ，
又 ， ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，取 ，
若二面角 的正弦值为 ，则二面角 的余弦值的绝对值为 ，
，
，
， ，
平方解得 ， ，
存在 为 ，0， 满足题意，
此时易得四棱锥 的体积为 ．【点评】本题考查线面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理，向量法求二面角，向量夹角公式的应用，
方程思想，锥体的体积公式的应用，属中档题．
19．（16分）在平面直角坐标系 中，已知双曲线 的右焦点为 ，离心率为
2，且过点 ．
（1）求双曲线 的标准方程；
（2）设过原点 的直线 在第一、三象限内分别交双曲线 于 ， 两点，过原点 的直线 在第二、
四象限内分别交双曲线 于 ， 两点，若直线 过双曲线的右焦点 ，求四边形 面积的最小值．
【分析】（1）根据已知条件，结合双曲线过点 ，再结合双曲线的性质，即可求解；
（2）根据双曲线的对称性，推得 ，设出直线 的方程，并与双曲线联立，推得
，再根据韦达定理，三角形面积公式，函数的单调性，即可求解．
【解答】解：（1）由双曲线 的右焦点为 ，离心率为2，
则 ①，
因为双曲线 过点 ，
所以 ②，
又 ③，联立①②③式，解得 ， ，
故双曲线 的标准方程为 ；
（2）由双曲线的对称性，知四边形 为平行四边形，
所以 ，
由题意知直线 的斜率不为零，直线 过双曲线的右焦点 ，
设 的方程为 ，
联立 消去 ，化简整理可得， ，
△ ，
设 ， ， ， ，
由韦达定理可得， ， ，
因为 ， 均在双曲线右支，
所以
所以 解得 ．
所以 ．
令 ，则 ，所以 ．
令函数 ，易得 在区间 上单调递减，
所以当 时， ．
所以四边形 面积的最小值为24．
【点评】本题主要考查直线与双曲线的综合应用，考查转化能力，属于中档题．
20．（16分）2022年初，新冠疫情在辽宁葫芦岛市爆发，市某慈善机构为筹措抗疫资金，在民政部门允许
下开设“疫情无情人有情”线上抽奖活动，任何人都可以通过捐款的方式参加线上抽奖．在线上捐款后，
屏幕上会弹山抽奖按钮，每次按下按钮后将会随机等可能的出现“抗”“疫”“胜”“利”四个字中的一
个．规定：若出现“利”字，则抽奖结束．否则重复以上操作，最多按4次．获奖规则如下：依次出现
“抗”“疫”“胜”“利”四个字，获一等奖；不按顺序出现这四个字，获二等奖；出现“抗”“疫”
“胜”三个字为三等奖．
（1）求获得一、二、三等奖的概率；
（2）设按下按钮次数为 ，求 的分布列和数学期望．
【分析】（1）利用独立事件的概率公式，以及古典概型的概率公式求解．
（2） 的所有可能取值为1，2，3，4，再求出相应的概率，列出分布列，结合期望公式求解即可．
【解答】解：（1）一等奖：要依次出现“抗”“疫”“胜”“利”四个字，每个字出现的概率为 ，
一等奖的概率为 ，
二等奖：不按顺序出现“抗”“疫”“胜”“利”四个字，
二等奖的概率为 ，
三等奖：要出现“抗”“疫”“胜”三个字，有“抗，抗，疫，胜”，“抗，疫，疫，胜”，“抗，疫，
胜，胜”三种情况，
三等奖的概率为 ．（2） 的所有可能取值为1，2，3，4，
， ， ， ，
的分布列为：
1 2 3 4
．
【点评】本题主要考查了古典概型的概率公式，考查了离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题．
21．（18分）已知函数 ， ， ．
（1）当 时，曲线 在 处的切线与直线 平行，求函数
在 ， 上的最大值；
（2）当 ， 时，证明： （b） （a） ．
【分析】（1）求出 ，利用 （2） ，求出 的值，利用判断函数 的单调性，即可
求出最大值
（2）要证明不等式成立，只需证明 成立，令 ， ，只需证明 成
立，构造函数 ，利用导数证明 （1） ，从而可得结论．
【解答】（1）解：当 时， ，因此 ，
而曲线 在 处的切线与直线 平行，故 （2） ，即 ，解得 ．
所以 ， ，
故当 ， 时， ，即函数 在 ， 上单调递减，
当 ， 时， ，即函数 在 ， 上单调递增，
所以 （e）， ，而 （e） ， ，
故 （e） ，即 （e），
所以函数 在 ， 上的最大值为 ．
（2）证明：当 时， ， ，由于 ，
故 要 证 明 （ b ） （ a ） 成 立 证 明 成 立 证 明
成立，
证明 成立，令 ，因为 ，则 ，
即只需证明 成立 证明 即可，下面证明该不等式成立．
设 ，求得 ，
因为 ，所以 ，
所以当 时， ，
因此函数 是 上的增函数，故 （1） ，这就证明了当 时， 恒成立，故原命题成立．
【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查导数的几何意义，考查转化思想与运算求
解能力，属于难题．
