2018年高考数学试卷（江苏）（解析卷）_历年高考真题合集_数学历年高考真题_新·Word版2008-2025·高考数学真题_数学（按年份分类）2008-2025_2018·高考数学真题

2018 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）
数学Ⅰ
注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1．本试卷共4页，均为非选择题(第1题~第20题，共20题)。本卷满分为160分，考试时
间为120分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一片交回。
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答
题卡的规定位置。
3．请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。
4．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置
作答一律无效。
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。
参考公式：
锥体的体积 ，其中 是锥体的底面积， 是锥体的高．
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位
置上．
1．已知集合 ， ，那么 ▲ ．
2．若复数 满足 ，其中i是虚数单位，则 的实部为 ▲ ．
3．已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的
平均数为 ▲ ．
4．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S的值为 ▲ ．
第1页 | 共17页5．函数 的定义域为 ▲ ．
6．某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名
女生的概率为
▲ ．
7．已知函数 的图象关于直线 对称，则 的值是 ▲ ．
8．在平面直角坐标系 中，若双曲线 的右焦点 到一条渐
近线的距离为 ，则其离心率的值是 ▲ ．
9．函数 满足 ，且在区间 上，
则 的值为
▲ ．
10．如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 ▲ ．
第2页 | 共17页11．若函数 在 内有且只有一个零点，则 在 上的
最大值与最小值的和为 ▲ ．
12．在平面直角坐标系 中，A为直线 上在第一象限内的点， ，以AB为
直径的圆C与直线l交于另一点D．若 ，则点A的横坐标为 ▲ ．
13．在 中，角 所对的边分别为 ， ， 的平分线交
于点D，且 ，则 的最小值为 ▲ ．
14．已知集合 ， ．将 的所有元素从小
到大依次排列构成一个数列 ．记 为数列 的前n项和，则使得 成
立的n的最小值为 ▲ ．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字
说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分14分）
在平行六面体 中， ．
求证：（1） ；
（2） ．
16．（本小题满分14分）
已知 为锐角， ， ．
第3页 | 共17页（1）求 的值；
（2）求 的值．
17．（本小题满分14分）
某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆 O的一段圆弧 （P为此圆弧的中
点）和线段MN构成．已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米．现规划
在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD，大棚Ⅱ内的地块形
状为 ，要求 均在线段 上， 均在圆弧上．
设OC与MN所成的角为 ．
（1）用 分别表示矩形 和 的面积，并确定
的取值范围；
（2）若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且
甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为 ．求当 为何值
时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．
18．（本小题满分16分）
如图，在平面直角坐标系 中，椭圆C过点 ，焦
点 ，圆O的直径为 ．
（1）求椭圆C及圆O的方程；
（2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P．
①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；
②直线l与椭圆C交于 两点．若 的面积为 ，
求直线l的方程．
19．（本小题满分16分）
记 分别为函数 的导函数．若存在 ，满足 且
，则称 为函数 与 的一个“S点”．
（1）证明：函数 与 不存在“S点”；
（2）若函数 与 存在“S点”，求实数a的值；
第4页 | 共17页（3）已知函数 ， ．对任意 ，判断是否存在 ，使函
数 与 在区间 内存在“S点”，并说明理由．
20．（本小题满分16分）
设 是首项为 ，公差为d的等差数列， 是首项为 ，公比为q的等比数列．
（1）设 ，若 对 均成立，求d的取值范围；
（ 2 ） 若 ， 证 明 ： 存 在 ， 使 得 对
均成立，并求 的取值范围（用 表示）．
数学Ⅰ试题参考答案
一、填空题：本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法．每小题5分，共计70分．
1．{1，8} 2．2 3．90 4．8
5．[2，+∞） 6． 7． 8．2
9． 10． 11．–3 12．3
13．9 14．27
二、解答题
15．本小题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系，考查空间想象
能力和推理论证能力．满分14分．
证明：（1）在平行六面体ABCD-A B C D 中，AB∥A B ．
1 1 1 1 1 1
因为AB 平面A B C，A B 平面A B C，
1 1 1 1 1 1
所以AB∥平面A B C．
1 1
（2）在平行六面体ABCD-A B C D 中，四边形ABB A 为平行四边形．
1 1 1 1 1 1
又因为AA =AB，所以四边形ABB A 为菱形，
1 1 1
因此AB ⊥A B．
1 1
又因为AB ⊥B C ，BC∥B C ，
1 1 1 1 1
所以AB ⊥BC．
1
又因为A B∩BC=B，A B 平面A BC，BC 平面A BC，
1 1 1 1
第5页 | 共17页所以AB ⊥平面A BC．
1 1
因为AB 平面ABB A ，
1 1 1
所以平面ABB A ⊥平面A BC．
1 1 1
16．本小题主要考查同角三角函数关系、两角和（差）及二倍角的三角函数，考查运算求
解能力．满分14分．
4 sin 4
解：（1）因为tan ，tan ，所以sin cos．
3 cos 3
9
因为sin2cos21，所以cos2 ，
25
7
因此，cos22cos21 ．
25
（2）因为,为锐角，所以(0,π)．
5 2 5
又因为cos() ，所以sin() 1cos2()  ，
5 5
因此tan()2．
4 2tan 24
因为tan ，所以tan2  ，
3 1tan2 7
tan2tan() 2
因此，tan()tan[2()]  ．
1+tan2tan() 11
17．本小题主要考查三角函数的应用、用导数求最值等基础知识，考查直观想象和数学建
模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力．满分14分．
解：（1）连结PO并延长交MN于H，则PH⊥MN，所以OH=10．
过O作OE⊥BC于E，则OE∥MN，所以∠COE=θ，
故OE=40cosθ，EC=40sinθ，
则矩形ABCD的面积为2×40cosθ（40sinθ+10）=800（4sinθcosθ+cosθ），
△CDP的面积为 ×2×40cosθ（40–40sinθ）=1600（cosθ–sinθcosθ）．
过N作GN⊥MN，分别交圆弧和OE的延长线于G和K，则GK=KN=10．
令∠GOK=θ ，则sinθ = ，θ ∈（0， ）．
0 0 0
当θ∈[θ ， ）时，才能作出满足条件的矩形ABCD，
0
所以sinθ的取值范围是[ ，1）．
第6页 | 共17页答：矩形ABCD的面积为800（4sinθcosθ+cosθ）平方米，△CDP的面积为
1600（cosθ–sinθcosθ），sinθ的取值范围是[ ，1）．
（2）因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3，
设甲的单位面积的年产值为4k，乙的单位面积的年产值为3k（k>0），
则年总产值为4k×800（4sinθcosθ+cosθ）+3k×1600（cosθ–sinθcosθ）
=8000k（sinθcosθ+cosθ），θ∈[θ ， ）．
0
设f（θ）= sinθcosθ+cosθ，θ∈[θ ， ），
0
则 ．
令 ，得θ= ，
当θ∈（θ ， ）时， ，所以f（θ）为增函数；
0
当θ∈（ ， ）时， ，所以f（θ）为减函数，
因此，当θ= 时，f（θ）取到最大值．
答：当θ= 时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．
18．本小题主要考查直线方程、圆的方程、圆的几何性质、椭圆方程、椭圆的几何性质、
直线与圆及椭圆的位置关系等知识，考查分析问题能力和运算求解能力．满分16分．
解：（1）因为椭圆C的焦点为 ，
可设椭圆C的方程为 ．又点 在椭圆C上，
所以 ，解得
因此，椭圆C的方程为 ．
因为圆O的直径为 ，所以其方程为 ．
第7页 | 共17页（2）①设直线l与圆O相切于 ，则 ，
所以直线l的方程为 ，即 ．
由 ，消去y，得
．（*）
因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点，
所以 ．
因为 ，所以 ．
因此，点P的坐标为 ．
②因为三角形OAB的面积为 ，所以 ，从而 ．
设 ，
由（*）得 ，
所以
．
因为 ，
所以 ，即 ，
解得 舍去），则 ，因此P的坐标为 ．
综上，直线l的方程为 ．
第8页 | 共17页19．本小题主要考查利用导数研究初等函数的性质，考查综合运用数学思想方法分析与解
决问题以及逻辑推理能力．满分16分．
解：（1）函数f（x）=x，g（x）=x2+2x-2，则f′（x）=1，g′（x）=2x+2．
由f（x）=g（x）且f′（x）= g′（x），得
，此方程组无解，
因此，f（x）与g（x）不存在“S”点．
（2）函数 ， ，
则 ．
设x 为f（x）与g（x）的“S”点，由f（x ）=g（x ）且f′（x ）=g′（x ），得
0 0 0 0 0
，即 ，（*）
得 ，即 ，则 ．
当 时， 满足方程组（*），即 为f（x）与g（x）的“S”点．
因此，a的值为 ．
（3）对任意a>0，设 ．
因为 ，且h（x）的图象是不间断的，
第9页 | 共17页所以存在 ∈（0，1），使得 ，令 ，则b>0．
函数 ，
则 ．
由f（x）=g（x）且f′（x）=g′（x），得
，即 （**）
此时， 满足方程组（**），即 是函数f（x）与g（x）在区间（0，1）内的一个
“S点”．
因此，对任意a>0，存在b>0，使函数f（x）与g（x）在区间（0，+∞）内存在“S
点”．
20．本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、
转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力．满分16分．
解：（1）由条件知：a (n1)d,b 2n1．
n n
因为 对n=1，2，3，4均成立，
即|(n 1)d 2n1|1对n=1，2，3，4均成立，
7 5
即11，1d3，32d5，73d9，得 d  ．
3 2
7 5
因此，d的取值范围为[ , ]．
3 2
（2）由条件知：a b (n1)d,b bqn1．
n 1 n 1
若存在d，使得 （n=2，3，···，m+1）成立，
即 |b (n1)d bqn1|b(n2,3,,m1)，
1 1 1
qn12 qn1
即当n2,3,,m1时，d满足 b d  b ．
n1 1 n1 1
第10页 | 共17页因为 ，则 ，
q(1,m2] 1qn1 qm 2
qn12 qn1
从而 b 0， b 0，对n2,3,,m1均成立．
n1 1 n1 1
因此，取d=0时， 对 均成立．
n2,3,,m1
qn12 qn1
下面讨论数列{ }的最大值和数列{ }的最小值（n2,3,,m1）．
n1 n1
qn 2 qn12 nqn qn nqn12 n(qn qn1)qn 2
①当2nm时，    ，
n n1 n(n1) n(n1)
当 1 时，有 ，从而 ．
1q2m qn qm 2 n(qn qn1)qn  20
qn12
因此，当2nm1时，数列{ }单调递增，
n1
qn12 qm 2
故数列{ }的最大值为 ．
n1 m
②设 f(x)2x(1x)，当x>0时， f(x)(ln21xln2)2x 0，
所以 f(x)单调递减，从而 f(x)<f（0）=1．
qn
当2nm时， n  q(n1) 2 1 n(1 1 ) f( 1 )1，
qn1 n n n
n1
qn1
因此，当2nm1时，数列{ }单调递减，
n1
qn1 qm
故数列{ }的最小值为 ．
n1 m
b(qm 2) bqm
因此，d的取值范围为[ 1 , 1 ]．
m m
第11页 | 共17页数学Ⅱ(附加题)
21．【选做题】本题包括 A、B、C、D 四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域
内作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演
算步骤．
A．[选修4—1：几何证明选讲](本小题满分10分)
如图，圆O的半径为2，AB为圆O的直径，P为AB延长线上一点，
过P作圆O的切线，切点为C．若 ，求 BC 的长．
B．[选修4—2：矩阵与变换](本小题满分10分)
已知矩阵 ．
（1）求 的逆矩阵 ；
（2）若点P在矩阵 对应的变换作用下得到点 ，求点P的坐标．
C．[选修4—4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)
在极坐标系中，直线l的方程为 ，曲线C的方程为 ，求直线l
被曲线C截得的弦长．
D．[选修4—5：不等式选讲](本小题满分10分)
若x，y，z为实数，且x+2y+2z=6，求 的最小值．
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解
答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22．（本小题满分10分）
如图，在正三棱柱ABC-A B C 中，AB=AA =2，点P，Q分别为
1 1 1 1
A B ，BC的中点．
1 1
（1）求异面直线BP与AC 所成角的余弦值；
1
（2）求直线CC 与平面AQC 所成角的正弦值．
1 1
23．(本小题满分10分)
第12页 | 共17页设 ，对1，2，···，n的一个排列 ，如果当s<t时，有 ，则称 是
排列 的一个逆序，排列 的所有逆序的总个数称为其逆序数．例如：对
1，2，3的一个排列231，只有两个逆序(2，1)，(3，1)，则排列231的逆序数为2．记
为1，2，···，n的所有排列中逆序数为k的全部排列的个数．
（1）求 的值；
（2）求 的表达式(用n表示)．
第13页 | 共17页数学Ⅱ(附加题)参考答案
21．【选做题】
A．[选修4—1：几何证明选讲]
本小题主要考查圆与三角形等基础知识，考查推理论证能力．满分10分．
证明：连结OC．因为PC与圆O相切，所以OC⊥PC．
又因为PC= ，OC=2，
所以OP= =4．
又因为OB=2，从而B为Rt△OCP斜边的中点，所以BC=2．
B．[选修4—2：矩阵与变换]
本小题主要考查矩阵的运算、线性变换等基础知识，考查运算求解能力．满分10分．
解：（1）因为 ， ，所以A可逆，
从而 ．
（2）设P(x，y)，则 ，所以 ，
因此，点P的坐标为(3，–1)．
C．[选修4—4：坐标系与参数方程]
本小题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力．满分10分．
解：因为曲线C的极坐标方程为 ，
所以曲线C的圆心为（2，0），直径为4的圆．
因为直线l的极坐标方程为 ，
则直线l过A（4，0），倾斜角为 ，
所以A为直线l与圆C的一个交点．
设另一个交点为B，则∠OAB= ．
第14页 | 共17页连结OB，因为OA为直径，从而∠OBA= ，
所以 ．
因此，直线l被曲线C截得的弦长为 ．
D．[选修4—5：不等式选讲]
本小题主要考查柯西不等式等基础知识，考查推理论证能力．满分10分．
证明：由柯西不等式，得 ．
因为 ，所以 ，
当且仅当 时，不等式取等号，此时 ，
所以 的最小值为4．
22．【必做题】本小题主要考查空间向量、异面直线所成角和线面角等基础知识，考查运
用空间向量解决问题的能力．满分10分．
解：如图，在正三棱柱 ABC−A B C 中，设 AC，A C 的中点分别为 O，O ，则
1 1 1 1 1 1
OB⊥OC，OO ⊥OC，OO ⊥OB，以 为基底，建立空间直角坐标系
1 1
O−xyz．
因为AB=AA =2，
1
所以 ．
第15页 | 共17页（1）因为P为A B 的中点，所以 ，
1 1
从而 ，
故 ．
因此，异面直线BP与AC 所成角的余弦值为 ．
1
（2）因为Q为BC的中点，所以 ，
因此 ， ．
设n=（x，y，z）为平面AQC 的一个法向量，
1
则 即
不妨取 ，
设直线CC 与平面AQC 所成角为 ，
1 1
则 ，
所以直线CC 与平面AQC 所成角的正弦值为 ．
1 1
23．【必做题】本小题主要考查计数原理、排列等基础知识，考查运算求解能力和推理论
证能力．满分10分．
解：（1）记 为排列abc的逆序数，对1，2，3的所有排列，有
，
所以 ．
对1，2，3，4的排列，利用已有的1，2，3的排列，将数字4添加进去，4在新排列
中的位置只能是最后三个位置．
因此， ．
第16页 | 共17页（2）对一般的n（n≥4）的情形，逆序数为0的排列只有一个：12…n，所以 ．
逆序数为1的排列只能是将排列12…n中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，所
以 ．
为计算 ，当1，2，…，n的排列及其逆序数确定后，将n+1添加进原排列，n+1
在新排列中的位置只能是最后三个位置．
因此， ．
当n≥5时，
，
因此，n≥5时， ．
第17页 | 共17页