文档内容
绝密★启用前
2018 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学（理工类）
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至
2页，第Ⅱ卷3至5页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题考上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷
时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！
第I卷
注意事项：
1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，
再选涂其他答案标号。
2．本卷共8小题，每小题5分，共40分。
参考公式：
如果事件A，B互斥，那么 .
如果事件A，B相互独立，那么 .
棱柱的体积公式 ，其中 表示棱柱的底面面积， 表示棱柱的高.
棱锥的体积公式 ，其中 表示棱锥的底面面积， 表示棱锥的高.
一. 选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
(1)设全集为R，集合 ， ，则
(A) (B)
(C) (D)
第1页 | 共7页(2)设变量x，y满足约束条件 则目标函数 的最大值为
(A) 6 (B) 19 (C) 21 (D) 45
(3)阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为20，则输出T的值为
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
(4)设 ，则“ ”是“ ”的
(A)充分而不必要条件
(B)必要而不充分条件
(C)充要条件
(D)既不充分也不必要条件
(5)已知 ， ， ，则a，b，c的大小关系为
(A) (B) (C) (D)
第2页 | 共7页(6)将函数 的图象向右平移 个单位长度，所得图象对应的函数
(A)在区间 上单调递增 (B)在区间 上单调递减
(C)在区间 上单调递增 (D)在区间 上单调递减
(7)已知双曲线 的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B
两点. 设A，B到双曲线同一条渐近线的距离分别为 和 ，且 ，则双曲线的方程为
(A) (B)
(C) (D)
(8)如图，在平面四边形ABCD中， ， ， ， . 若点E为边
CD上的动点，则 的最小值为
(A) (B) (C) (D)
第Ⅱ卷
注意事项：
第3页 | 共7页1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
2. 本卷共12小题，共110分。
二. 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
(9) i是虚数单位，复数 .
(10) 在 的展开式中， 的系数为 .
(11) 已知正方体 的棱长为1，除面 外，该正方体其余各面的中心分别为点E，
F，G，H，M(如图)，则四棱锥 的体积为 .
(12)已知圆 的圆心为 C，直线 ( 为参数)与该圆相交于 A，B两点，则
的面积为 .
(13)已知 ，且 ，则 的最小值为 .
(14)已知 ，函数 若关于 的方程 恰有2个互异的实数解，
则 的取值范围是 .
三.解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
（15）（本小题满分13分）
第4页 | 共7页在 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知 .
（I）求角B的大小;
（II）设a=2，c=3，求b和 的值.
(16)(本小题满分13分)
已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16. 现采用分层抽样的方法从中抽取7人，
进行睡眠时间的调查.
（I）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？
（II）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检
查.
（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；
（ii）设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概
率.
(17)(本小题满分13分)
如 图 ， 且 AD=2BC ， , 且 EG=AD ， 且 CD=2FG ，
，DA=DC=DG=2.
（I）若M为CF的中点，N为EG的中点，求证： ；
（II）求二面角 的正弦值；
（III）若点P在线段DG上，且直线BP与平面ADGE所成的角为60°，求线段DP的长.
(18)(本小题满分13分)
设 是等比数列，公比大于 0，其前 n 项和为 ， 是等差数列. 已知 ，
第5页 | 共7页， ， .
（I）求 和 的通项公式；
（II）设数列 的前n项和为 ，
（i）求 ；
（ii）证明 .
(19)(本小题满分14分)
设椭圆 (a>b>0)的左焦点为 F，上顶点为 B. 已知椭圆的离心率为 ，点A的坐标为
，且 .
（I）求椭圆的方程；
（II）设直线l： 与椭圆在第一象限的交点为P，且l与直线AB交于点Q.
若 (O为原点) ，求k的值.
(20)(本小题满分14分)
已知函数 ， ，其中a>1.
（I）求函数 的单调区间；
（II）若曲线 在点 处的切线与曲线 在点 处的切线平行，证
明 ；
（III）证明当 时，存在直线l，使l是曲线 的切线，也是曲线 的切线.
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