文档内容
绝密★启用前
2018年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）
数学试卷
（满分150分，考试时间120分钟）
考生注意
1.本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页.
2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答
题纸指定位置.
3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答
一律不得分.
4.用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）
4 1
1.行列式 的值为_________.
2 5
x2
2.双曲线 - y2 =1的渐近线方程为_________.
4
3.在(1+x)7的二项展开式中，x2项的系数为_________.（结果用数值表示）
4.设常数aÎR，函数 f(x)=log (x+a)。若 f(x)的反函数的图像经过点(3,1)，则
2
a =_________.
5.已知复数z 满足(1+i)z =1-7i（i是虚数单位），则 z =_________.
6.记等差数列{a }的前n项和为S ，若a =0，a +a =14，则S =_________.
n n 3 6 7 7
ì 1 ü
7.已知aÎí-2,-1,- ,1,2,3ý。若幂函数 f(x)= xa为奇函数，且在(0,+¥)上递减，则
î 2 þ
a=_________.
8.在平面直角坐标系中，已知点A(-1,0)，B(2,0)，E、F 是y轴上的两个动点，且
uuur uuur uuur
EF =2，则AE·BF 的最小值为_________.
9.有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个。从中随机
第1页 | 共6页选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是_________.（结果用最简分数表示）
S 1
10.设等比数列{a }的通项公式为a =qn-1（nÎN*），前n项和为S 。若 lim n =
n n n n®+¥a 2
n+1
，则q =_________.
2x æ 6ö æ 1ö
11.已知常数a >0，函数 f(x)= 的图像经过点P ç p, ÷、Q ç q,- ÷。若
2x +ax è 5ø è 5ø
2p+q =36pq，则a =_________.
1
12.已知实数x 、x 、y 、y 满足：x2 + y2 =1，x 2 + y 2 =1，x x + y y = ，则
1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 2
x + y -1 x + y -1
1 1 + 2 2 的最大值为_________.
2 2
二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）
x2 y2
13.设P是椭圆 + =1上的动点，则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为（）
5 3
（A）2 2（B）2 3（C）2 5（D）4 2
1
14.已知aÎR ，则“a>1”是“ <1”的（）
a
A
1
（A）充分非必要条件（B）必要非充分条件
（C）充要条件（D）既非充分又非必要条件
15.《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥
A
为阳马。设AA 是正六棱柱的一条侧棱，如图。若阳马以该正六
1
棱柱的顶点为顶点、以AA 为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（）
1
第2页 | 共6页（A）4（B）8（C）12（D）16
16.设D是含数1的有限实数集， f(x)是定义在D上的函数。若 f(x)的图像绕原点逆时针
p
旋转 后与原图像重合，则在以下各项中， f(1)的可能取值只能是（）
6
3 3
（A） 3（B） （C） （D）0
2 3
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）
17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2.
（1）设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；
（2）设PO=4，OA、OB是底面半径，且ÐAOB=90°，M 为线段AB的中点，如图
，求异面直线PM与OB所成的角的大小。 P
O B
M
A
18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
设常数aÎR ，函数 f(x)=asin2x+2cos2 x。
（1）若 f(x)为偶函数，求a的值；
p
（2）若 f( )= 3+1，求方程 f(x)=1- 2在区间[-p,p]上的解。
4
第3页 | 共6页19.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时。某地上
班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤。分析显示：当S中x%（0< x<100）的成员
自驾时，自驾群体的人均通勤时间为
ì30, 0< x£30,
ï
f(x)=í 1800 （单位：分钟）
2x+ -90, 30< x<100
ï
î x
而公交群体的人均通勤时间不受x影响，恒为40分钟。试根据上述分析结果回答下列问题
：
（1）当x在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？
（2）求该地上班族S的人均通勤时间g(x)的表达式；讨论g(x)的单调性，并说明其
实际意义。
第4页 | 共6页20.（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）
设常数t > 2，在平面直角坐标系xOy中，已知点F(2,0)，直线l：x=t ，曲线
G:y2 =8x（0£ x£t，y³0），l与x轴交于点A，与G交于点B。P、Q分别是曲
线G与线段AB上的动点。
（1）用t表示点B到点F 的距离；
（2）设t =3， FQ =2，线段OQ的中点在直线FP上，求△AQP的面积；
（3）设t =8，是否存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E在G上？若存在，
求点P的坐标；若不存在，说明理由。
第5页 | 共6页21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
给定无穷数列{a }，若无穷数列{b }满足：对任意nÎN*，都有 b -a £1，则称{b }
n n n n n
与{a }“接近”。
n
1
（1）设{a }是首项为1，公比为 的等比数列，b =a +1，nÎN*。判断数列{b }是
n 2 n n+1 n
否与{a }接近，并说明理由；
n
（2）设数列{a }的前四项为：a =1，a =2，a =4，a =8，{b }是一个与{a }接
n 1 2 3 4 n n
近的数列，记集合M ={x|x=b,i =1,2,3,4}，求M 中元素的个数m ；
i
（3）已知{a }是公差为d 的等差数列。若存在数列{b }满足：{b }与{a }接近，且在
n n n n
b -b ，b -b ，…，b -b 中至少有100个为正数，求d 的取值范围。
2 1 3 2 201 200
第6页 | 共6页
