文档内容
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2018年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学（理工类）
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至2
页，第Ⅱ卷3至5页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题考上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷
时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！
第I卷
注意事项：
1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，
再选涂其他答案标号。
2．本卷共8小题，每小题5分，共40分。
参考公式：
如果事件A，B互斥，那么P(A U B)= P(A)+P(B) .
如果事件A，B相互独立，那么P(AB)= P(A)P(B) .
棱柱的体积公式V =Sh，其中S 表示棱柱的底面面积，h表示棱柱的高.
1
棱锥的体积公式V = Sh，其中S 表示棱锥的底面面积，h表示棱锥的高.
3
一. 选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
A (C B)=
(1)设全集为R，集合A={x 0< x<2}，B={x x³1}，则 I R
(A) {x 0< x£1} (B) {x 0< x<1}
(C) {x1£ x<2} (D) {x 0< x<2}
ì x+ y£5,
ï
ï2x- y£4,
(2)设变量x，y满足约束条件í 则目标函数z =3x+5y的最大值为
-x+ y£1,
ï
ï î y³0,
(A) 6 (B) 19 (C) 21 (D) 45
第1页 | 共6页(3)阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为20，则输出T的值为
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
1 1
(4)设xÎR，则“|x- |< ”是“x3 <1”的
2 2
(A)充分而不必要条件
(B)必要而不充分条件
(C)充要条件
(D)既不充分也不必要条件
1
(5)已知a=log e，b=ln2，c=log ，则a，b，c的大小关系为
2 1 3
2
(A) a >b>c (B) b>a>c (C) c>b>a (D) c>a >b
p p
(6)将函数y =sin(2x+ )的图象向右平移 个单位长度，所得图象对应的函数
5 10
3p 5p 3p
(A)在区间[ , ]上单调递增 (B)在区间[ ,p]上单调递减
4 4 4
第2页 | 共6页5p 3p 3p
(C)在区间[ , ]上单调递增 (D)在区间[ ,2p]上单调递减
4 2 2
x2 y2
(7)已知双曲线 - =1(a>0, b>0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两
a2 b2
点. 设A，B到双曲线同一条渐近线的距离分别为d 和d ，且d +d =6，则双曲线的方程为
1 2 1 2
x2 y2 x2 y2
(A) - =1 (B) - =1
4 12 12 4
x2 y2 x2 y2
(C) - =1 (D) - =1
3 9 9 3
(8)如图，在平面四边形ABCD中，AB^ BC，AD^CD，ÐBAD=120°，AB= AD=1.
uuur uuur
若点E为边CD上的动点，则AE×BE的最小值为
21 3 25
(A) (B) (C) (D) 3
16 2 16
第Ⅱ卷
注意事项：
1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
2. 本卷共12小题，共110分。
二. 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
6+7i
(9) i是虚数单位，复数 = .
1+2i
1
(10) 在(x- )5的展开式中，x2的系数为 .
2 x
(11)
第3页 | 共6页已知正方体ABCD-ABC D 的棱长为1，除面ABCD外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F
1 1 1 1
，G，H，M(如图)，则四棱锥M -EFGH 的体积为 .
ì 2
ïx=-1+ t,
ï 2
(12)已知圆x2 + y2 -2x=0的圆心为C，直线í (t为参数)与该圆相交于A，B两点，则
ï 2
y =3- t
ï
î 2
△ABC的面积为 .
1
(13)已知a,bÎR，且a-3b+6=0，则2a + 的最小值为 .
8b
ìx2 +2ax+a, x£0,
(14)已知a >0，函数 f(x)=í 若关于x的方程 f(x)=ax恰有2个互异的实数解，
î-x2 +2ax-2a,x>0.
则a的取值范围是 .
三.解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
（15）（本小题满分13分）
p
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bsinA=acos(B- ).
6
（I）求角B的大小;
（II）设a=2，c=3，求b和sin(2A-B)的值.
(16)(本小题满分13分)
已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16.
现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查.
（I）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？
第4页 | 共6页（II）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.
（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；
（ii）设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率.
(17)(本小题满分13分)
如图，AD∥BC 且AD=2BC，AD^CD,EG∥AD且EG=AD，CD∥FG且CD=2FG，
DG ^平面ABCD，DA=DC=DG=2.
（I）若M为CF的中点，N为EG的中点，求证：MN∥平面CDE；
（II）求二面角E-BC-F 的正弦值；
（III）若点P在线段DG上，且直线BP与平面ADGE所成的角为60°，求线段DP的长.
(18)(本小题满分13分)
设{a }是等比数列，公比大于0，其前n项和为S (nÎN*)，{b }是等差数列. 已知a =1，
n n n 1
a =a +2，a =b +b ，a =b +2b .
3 2 4 3 5 5 4 6
（I）求{a }和{b }的通项公式；
n n
（II）设数列{S }的前n项和为T (nÎN*)，
n n
（i）求T ；
n
n (T +b )b 2n+2
（ii）证明å k k+2 k = -2(nÎN*).
(k+1)(k+2) n+2
k=1
(19)(本小题满分14分)
x2 x2
设椭圆 + =1(a>b>0)的左焦点为F，上顶点为B.
a2 b2
第5页 | 共6页5
已知椭圆的离心率为 ，点A的坐标为(b,0)，且 FB × AB =6 2 .
3
（I）求椭圆的方程；
（II）设直线l：y =kx(k >0)与椭圆在第一象限的交点为P，且l与直线AB交于点Q.
AQ 5 2
若 = sinÐAOQ(O为原点) ，求k的值.
PQ 4
(20)(本小题满分14分)
已知函数 f(x)=ax，g(x)=log x，其中a>1.
a
（I）求函数h(x)= f(x)-xlna的单调区间；
（II）若曲线y = f(x)在点(x , f(x ))处的切线与曲线y = g(x)在点(x ,g(x ))
1 1 2 2
2lnlna
处的切线平行，证明x +g(x )=- ；
1 2 lna
1
（III）证明当a³ee时，存在直线l，使l是曲线y = f(x)的切线，也是曲线y = g(x)的切线.
第6页 | 共6页
