文档内容
专题 04 分式
模块一：基础知识....................................................................................................................................................2
考点一：二次根式的概念................................................................................................................................2
考点二：二次根式的性质................................................................................................................................2
考点三：二次根式的运算................................................................................................................................3
模块二：题型分类....................................................................................................................................................3
考点一：二次根式的相关概念........................................................................................................................3
题型一：二次根式有意义的条件......................................................3
题型二：判断最简二次根式..........................................................4
题型三：判断同类二次根式..........................................................4
考点二：二次根式的性质与化简....................................................................................................................4
题型一：利用二次根式的性质化简....................................................4
题型二：常见二次根式化简的10种技巧...............................................4
考点三：二次根式的运算................................................................................................................................7
题型一：二次根式的乘除运算........................................................7
题型二：二次根式的加减运算........................................................7
题型三：应用乘法公式计算二次根式的值..............................................8
题型四：二次根式的混合运算........................................................9
题型五：二次根式的化简求值........................................................9
题型六：二次根式的应用...........................................................10
题型七：二次根式的估值...........................................................12
题型八：二次根式中的开放性试题...................................................12
题型九：二次根式中的规律探究.....................................................12
题型十：与二次根式有关的新定义问题...............................................13专题 04 分式
模块一：基础知识
考点一：二次根式的概念
二次根式的概念：一般地，我们把形如√a（𝑎≥0）的式子叫做二次根式，“√❑”称为二次根号，二次
根号下的数叫做被开方数．
最简二次根式：开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做
最简二次根式．
同类二次根式的概念：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二
次根式.
考点二：二次根式的性质
二次根式的化简方法：
1）利用二次根式的基本性质进行化简；
2） 利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简．√ab =√a•√b （a≥0，b≥0），
√a √a
= （a≥0，b＞0）
b √b
化简二次根式的步骤：
1）把被开方数分解因式；
2）利用积的算术平方根的性质，把各因式（或因数）积的算术平方根化为每个因式（或因数）的算术平
方根的积；
3）化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2．
考点三：二次根式的运算
乘法法则: 两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.即：√ab =√a•√b （a≥0，b≥0）.除法法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.即：√a √a（a≥0，b＞0）.
=
√b b
加减法法则：先把各个二次根式化为最简二次根式后，再将被开方数相同的二次根式合并.
【口诀】一化、二找、三合并.
分母有理化：通过分子和分母同乘以分母的有理化因式，将分母中的根号去掉的过程.
【分母有理化方法】
1 √a √a
1）分母为单项式时，分母的有理化因式是分母本身带根号的部分.即： = =
√a √a•√a a
2）分母为多项式时，分母的有理化因式是与分母相乘构成平方差的另一部分.
即： 1 √a+√b √a+√b；
= =
√a−√b (√a−√b)(√a+√b) a−b
混合运算顺序：先乘方、再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的(或先去掉括号)．
模块二：题型分类
考点一：二次根式的相关概念
题型一：二次根式有意义的条件
√x+5
1.若式子 有意义，则x的取值范围是 ．
x
2.若√a−4有意义，则a的值可以是（ ）A．−1 B．0 C．2 D．6
A． B．
C． D．
1 1
4.在函数y= + 中，自变量x的取值范围是 ．
√x−1 x−2
5.使代数式 有意义的x的取值范围是 ．
√−x2+2x−1
1
6.若 有意义，则实数x的取值范围是
√x−3
1
7.在函数y= +(x−3) 0 中，自变量x的取值范围是( )
√x+3
A．x≥−3 B．x>−3 C．x≠3 D．x>−3且x≠3
√2x+tan45°
8.式子 有意义的x的取值范围是（ ）
x−tan45°1 1 1
A．x≥− 且x≠1 B．x≠1 C．x≥− D．x>− 且x≠1
2 2 2题型二：判断最简二次根式
1.下列二次根式中，最简二次根式的是（ ）
√1
A．√0.2 B．√8 C．√6 D．
2
2.写出一个实数x，使√x−3是最简二次根式，则x可以是 ．
题型三：判断同类二次根式
1.下列二次根式中，与√2是同类二次根式的是（ ）
A．√4 B．√6 C．√8 D．√12
2.下列各组二次根式中，化简后是同类二次根式的是（ ）
A．√8与√3 B．√2与√12 C．√5与√15 D．√75与√27
3.下列各式中，能与√2合并的是（ ）
A．√4 B．√24 C．√12 D．√8
4.若最简根式√−2m+9与√5m−5是同类二次根式，则m= ．
考点二：二次根式的性质与化简
题型一：利用二次根式的性质化简
1.计算 等于（ ）A． B．2 C．4 D．
√(−2) 2 ±2 √2
2.化简√12的结果是（ ）
A．2√3 B．3 C．2√2 D．2
3.请写出一个正整数m的值使得√8m是整数；m= ．
4.若√8−x为整数，x为正整数，则x的值是 ．
题型二：常见二次根式化简的10种技巧
题组一：数形结合法
1.实数a在数轴上的对应位置如图所示，则 的化简结果是（ ）
√a2+1+|a−1|
A．1 B．2 C．2a D．1﹣2a
2.实数 在数轴上对应点的位置如图所示，化简： ．
m √(m−2) 2=3.实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简 ．
|a+1|−√(b−1) 2+√(a−b) 2=
题组二：估值法
1.估计 的值应在（ ）
√2(√8+√10)
A．7和8之间 B．8和9之间
C．9和10之间 D．10和11之间
√1
2.设m=5 −√45，则实数m所在的范围是（ ）
5
A．m<−5 B．−5−3
3.若将三个数−√3，√7，√11表示在数轴上，其中一个数被墨迹覆盖（如图所示），则这个被覆盖的数
是 ．
题组三：公式法
1.计算 的结果等于 ．
(2√3+3)(2√3−3)
2.已知：
(√2+√3) 2=5+2√a
，则
a=
．
3.计算：
(√3+1)(√3−1)−√16+(3√2−1) 2
．
4.计算：(5+√6)×(5√2−2√3)．
5. 100√3 ．
=
(√2+√3−√5)(2+√6+√10)
题组四：换元法
1.已知n＝
＋1，求n+2+√n2−4 n+2−√n2−4的值．
√2 +
n+2−√n2−4 n+2+√n2−4
题组五：拆项法
1.计算： √6+4√3+3√2 .[提示： ＋4 ＋3 ＝( ＋ )＋3( ＋ )]
√6 √3 √2 √6 √3 √3 √2
(√6+√3)(√3+√2)
题组六：整体代入法
1 1
1.已知x= ，y= ，则x2+ y2−xy= ．
√5+2 √5−21 1 x y
2.已知x= ，y= ，求 + +5的值．
√5−2 √5+2 y x1 1
3.已知：x= ，y= ．求值：
√10+3 √10−3
(1)x+ y
(2)x2y+x y2
√5+√3 √5−√3 b a
4.已知a= ，b= ，求 + ．
√5−√3 √5+√3 a b
题组七：因式分解法
√2+√3
1.计算： .
2+√6+√10+√15
题组八：配方法
√b a √b a
1.若a，b为实数，且b＝√3−5a＋√5a−3＋15，试求 + +2− + −2的值．
a b a b
2.可以用配方法化简二重根式，
例如： ，
√4−2√3=√(√3−1) 2=√3−1
4√2−4
请化简式子：√5−2√6+√7−4√3+ = ．
4−2√2
题组九：辅元法
√x+ y
1.已知x∶y∶z＝1∶2∶3(x>0，y>0，z>0)，求 的值．
√x+z+√x+2y
2.《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，书中提出了已知三角形三边a、b、c求面积的
公式，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约
之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即为 S=
√ 1[
c2a2−
(c2+a2−b2
)
2]
．
4 2
现有周长为18的三角形的三边满足a:b:c=4:3:2，则用以上给出的公式求得这个三角形的面积为
．
题组十：先判断后化解
√b √a
1.已知a＋b＝－6，ab＝5，求b ＋a 的值．
a b
2.先化简再求值
(1)已知： ，求√y2−4 y+4 的值．
y>√3x−2+√2−3x+2 +5−3x
2−y(2)已知 1 ，求a2−9 √a2−4a+4的值．
a= −
2+√3 a−3 a2−2a考点三：二次根式的运算
题型一：二次根式的乘除运算
1.对于二次根式的乘法运算，一般地，有√a⋅√b=√ab．该运算法则成立的条件是（ ）
A．a>0,b>0 B．a<0,b<0 C．a≤0,b≤0 D．a≥0,b≥0
2.下列运算正确的是（ ）
A． B．
√2+√3=√5 √(−5) 2=−5
2
C．(3−√2) 2=11−6√2 D．6÷ ×√3=3
√3
3.若 ，则√14a2 （ ）
a=√2，b=√7 =
b2
A．2 B．4 C．√7 D．√2
√a √ 1
4.计算： ÷√ab⋅ 等于（ ）
b ab
1 1 1
A． √ab B． √ab C． √ab D．b√ab
|a|b2 ab b
5.计算：√20×√5= ．
√3 √4
6.计算√18÷ × 结果为（ ）．
4 3
A．3√2 B．4√3 C．4√2 D．6√2
7.若 ， ，则√14a2 ．
a=√2 b=√7 =
b2
√a √ 1
8.计算 ÷√ab⋅ （a＞0，b＞0）的结果是（ ）
b ab
1 1 1
A． √ab B． √ab C． √ab D．b√ab
ab2 ab b
9.从 、 ， 中任意选择两个数，分别填在算式 里面的“□”与“○”中，计算该算
−√2 √3 √6 (□+○) 2÷√2
式的结果是 ．（只需写出一种结果）
题型二：二次根式的加减运算
1.计算：√9−√4= ．
√1
2.计算√3+3 的结果是 ．
3
3.下列运算正确的是（ ）
√2 √2
A．√2+√5=√7 B．5√2+ =5+ C．√5−√3=√2 D．2√3−√3=√3
2 24.已知实数m、n满足√m−3+|n−12|=0，则√m+√n= ．
5.已知：√18−√2=a√2−√2=b√2，则ab= ．题型三：应用乘法公式计算二次根式的值
1.下面是小文同学进行二次根式混合运算的过程，请认真阅读，完成相应的任务：
解：(√3−√2) 2 ×(5+2√6)
=(3−2√6+2)×(5+2√6)
…第1步
=(5−2√6)×(5+2√6) …
第2步
=25−12 …第3
步
=13. …第4步
任务：
(1)上述解答过程中，第1步依据的乘法公式为 （用字母表示）；
(2)上述解答过程，从第 步开始出错，具体的错误是 ；
(3)计算的正确结果为 ．
2.计算 的结果为 ．
(√7+√6)(√7−√6)
3.计算 的结果等于 ．
(2+3√2)(2−3√2)
4.我们知道：乘法公式： ，则有 ，那么我们如何把双重二次
a2+2ab+b2=(a±b) 2 √a2±2ab+b2=|a±b|
根式 化简呢？如果能找到两个数m，n 使得
√a±2√b(a>0，b>0，a±2√b>0) (m>0，n>0)
即 ， 即 ，那么 ，从而使双重二次根
(√m) 2+(√n) 2=a m+n=a √m⋅√n=√b mn=b √a±2√b=|√m±√n|
式得以化简．
例如：化简√3+2√2．
∵3=1+2，2=1×2，
∴ ，
3+2√2=(√1) 2+2√1×√2+(√2) 2=(1+√2) 2
∴√3+2√2=|1+√2|=1+√2，由此对于任意一个双重二次根式，只要可以化成√a±2√b的形式且能找
到两个数m，n 使得 即 ， 即 ，那么这个双重二
(m>0，n>0) (√m) 2+(√n) 2=a m+n=a √m⋅√n=√b mn=b次根式就一定可以化为一个二次根式．请完成下列问题：
(1)填空：√5+2√6=________；√12−2√35= ________；
(2)化简：√16−4√15；
1
(3)计算：√3−√5+ √14+4√10．
2
题型四：二次根式的混合运算
1.计算：( √1) ．
√48−3 ÷√3=
3
√3
2.计算：√27÷ ×2√2−6√2．
2
3.计算：( √1) ．
√48−3 ÷√3=
3
4.计算：
√3 8+
1
−
(1) −2
+|√5−3|
2+√5 3
5.计算：
√9
(1)(√6+2√15)×√3− ×√38
2
(2)|−√3 −23|− √ 2 1 −√3 (−1) 2000
4
2√18+√6
0
(3) −(1−√3)
√2
(4)( √1)(√1 ) √3
√24− +√6 +2√12× ÷5√2
2 8 4
6.若 的整数部分为a，小数部分为b，则代数式 的值是 ．
3−√2 (2+√2a)⋅b
7.已知 ，则与 最接近的整数为（ ）
k=√2(√5+√3)⋅(√5−√3) k
A．2 B．3 C．4 D．5
√3
8.计算：√27÷ ×2√2−6√2．
2
题型五：二次根式的化简求值
1. 先化简，再求值：( 1 ) a ，其中 ．
1+ ÷ a=√2−1
a−1 a2−12.先化简，再求值：（a+2b）2+（a+2b）（a-2b）+2a（b-a），其中a＝√3-√2，b＝√3+√2．
3.已知 ，求代数式( 4n ) m 的值．
m+2n=√5 +2 ÷
m−2n m2−4n24.先化简，再求值： x2+x (x+1) 2 x−3，其中 ．
÷ − x=√3+1
x2−2x+1 x2−1 x−1
5.已知：m＝ +1，n＝ ﹣1，则 ＝（ ）
√2 √2 √m2+n2+3mn
A．±3 B．﹣3 C．3 D．√5
题型六：二次根式的应用
1.古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦﹣秦
a+b+c
九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记p= ，那么三角形的面积为
2
， ， ，b，c，若 ， ， ，则 的面积为
S=√p(p−a)(p−b)(p−c) ∠A ∠B a=5 b=6 C=7 △ABC
．
√8 √15 √24
2.按一定规律排列的一列数：√3， ， ， ，……其中第5个数为 ，第n个数为
2 3 4
（n为正整数）．
√ 1 √1 √ 1 √1 √ 1 √1
3.观察下列各式：① 1+ =2 ，② 2+ =3 ，③ 3+ =4 ，…，请写出第6个式子：
3 3 4 4 5 5
，用含n （n≥1）的式子写出你猜想的规律： ．
4.阅读材料：我们学习了《二次根式》和《乘法公式》，可以发现：当a>0，b>0时，有
， ，当且仅当 时取等号．
(√a+√b) 2=a−2√ab+b≥0 ∴a+b≥2√ab a=b
请利用上述结论解决以下问题：
1 1
(1)当x>0时，x+ 的最小值为_________；当x<0时，x+ 的最大值为_________；
x x
x2+3x+16
(2)当x>0时，求y= 的最小值；
x
(3)如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△AOB、△COD的面积分别为9和16，求四
边形ABCD的最小面积．5.问题：已知实数a、b、c满足a≠b，且2023(a−b)+√2023(b−c)+(c−a)=0，求证：
(c−b)(c−a) ．
−√2023=2023
(a−b) 2
小明在思考时，感觉无从下手，就去请教学霸小刚,小刚审题后思考了片刻，对小明说：我们可以构造一
个一元二次方程，利用一元二次方程根与系数的关系及整体代入即可解答，并写下了部分解题过程供小
明参考：
令√2023=x，则2023=x2，原等式可变形为关于x的一元二次方程：
．
(a−b)x2+(b−c)x+(c−a)=0(a≠b)
可以发现： ．
(a−b)×12+(b−c)×1+(c−a)=0
从而可知构造的方程两个根分别是1和√2023 ．
利用根与系数的关系得：1+√2023= _____；1×√2023=_____；…
请你根据小刚的思路完整地解答本题．
a+b
6.探究问题：探究 与√ab的大小关系．
2
a+b a+b
(1)观察猜想： 与√ab的大小关系是 ______√ab．
2 2
a+b a+b a+b
(2)计算验证：当a=8,b=8时， 与√ab的大小关系是 ______√ab；当a=2,b=6时， 与
2 2 2
a+b
√ab的大小关系是 ______√ab．
2
(3)推理证明：如图，以AB为直径作半圆O，点C半圆上一动点，过C作CD⊥AB于点D，设AD=a，
BD=b．先用含a，b的式子表示出线段OC，CD，再写出他们（含a，b的式子）之间存在的大小关系．
(4)实践应用：要制作一个面积为1平方米的矩形，请直接利用探究得出的结论，求矩形周长的最小值．题型七：二次根式的估值
√1
1.设m=5 −√45，则实数m所在的范围是（ ）
5
A．m<−5 B．−5−3
√1
2.估计(4√3+3√2)× 的值应在 和 之间（填写整数）．
3
3.已知 ，则与 最接近的整数为（ ）
k=√2(√5+√3)⋅(√5−√3) k
A．2 B．3 C．4 D．5
4.如图，数轴上有O，A，B，C，D四点，根据图中各点表示的数，表示数√2×√12−2的点会落在
（ ）
A．点O和A之间 B．点A和B之间 C．点B和C之间 D．点C和D之间
题型八：二次根式中的开放性试题
1.请写出一个正整数m的值使得√8m是整数；m= ．
2.已知x为正整数，写出一个使 在实数的范围内没有意义的x值是 ．
√x−3
3.写出一个实数x，使√x−3是最简二次根式，则x可以是 ．
4.如果一个无理数a与√8的积是一个有理数，写出a的一个值是 ．
题型九：二次根式中的规律探究
1.观察下列各式：
①√1×2×3×4+1=5；
②√2×3×4×5+1=11；
③√3×4×5×6+1=19；
…
(1)观察①②③等式，那么第⑤个等式为 ；
(2)根据上述规律，猜测写出 ＝ ，并加以证明．
√n×(n+1)(n+2)(n+3)+12.观察下列等式：
1
第1个等式：a = =√2−1；
1 1+√2
1
第2个等式：a = =√3−√2；
2 √2+√3
1
第3个等式：a = =2−√3；
3 √3+2
…
根据以上等式给出的规律，计算：a +a +a +…+a = ．
1 2 3 19
3.观察下列各式及其验证过程：√ 2 √2，验证：√ 2 √8 √22×2 √2 √ 3 √3，验
2+ =2 2+ = = =2 , 3+ =3
3 3 3 3 3 3 8 8
证：√ 3 √27 √32×3 √3．
3+ = = =3
8 8 8 8
√ 4
（1）按照上述两个等式及其验证过程，猜想 4+ 的变形结果并进行验证；
15
（2）针对上述各式反映的规律，直接写出用a（a≥2的整数）表示的等式．
4.观察下列各式：
√ 1 1 1 ， √ 1 1 1 ， √ 1 1 1 ，…
S = 1+ + =1+ S = 1+ + =1+ S = 1+ + =1+
1 12 22 1×2 2 22 32 2×3 3 32 42 3×4
请利用你所发现的规律，计算：S +S +⋯+S = ．
1 2 50
题型十：与二次根式有关的新定义问题
1.定义一种运算：cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ，cos(a−β)=cosαcosβ+sinαsinβ.例如：当
1 √2 √3 √2 √2+√6
α=60°，β=45°时，cos(60°−45°)= × + × = ，则cos75°的值为( )
2 2 2 2 4
√6+√2 √6−√2 √6−√2 √6+√2
A． B． C． D．
4 4 2 22.对于任意的正数m，n定义运算※为：m※n＝¿计算(3※2)×(8※12)的结果为( )
A．2－4√6 B．2 C．2√5 D．20
3.观察下列等式
；
√3+2√2=√(√1+√2) 2=√1+√2
；
√5+2√6=√(√2+√3) 2=√2+√3
；
√7+2√12=√(√3+√4) 2=√3+√4
……
请你直接写出以下计算结果：
(1)请你猜测√13+2√42=_________，√21+2√110=_________；
(2)针对上述各式显示的规律，请你猜测
___________（ ， 为整数）；
√ (2n−1)+2√n2−n= n≥2 n
(3)利用上述规律计算：
1 1 1 1
+ + +⋅⋅⋅+ =______（
n≥2
，
n
为整数）．
√3+2√2 √5+2√6 √7+2√12 √ (2n−1)+2√n2−n
