文档文本内容
专题 04 分式
模块一：基础知识....................................................................................................................................................3
考点一：二次根式的概念................................................................................................................................3
考点二：二次根式的性质................................................................................................................................3
考点三：二次根式的运算................................................................................................................................4
模块二：题型分类....................................................................................................................................................4
考点一：二次根式的相关概念........................................................................................................................4
题型一：二次根式有意义的条件......................................................4
题型二：判断最简二次根式..........................................................7
题型三：判断同类二次根式..........................................................7
考点二：二次根式的性质与化简....................................................................................................................9
题型一：利用二次根式的性质化简....................................................9
题型二：常见二次根式化简的10种技巧..............................................10
考点三：二次根式的运算..............................................................................................................................20
题型一：二次根式的乘除运算.......................................................20
题型二：二次根式的加减运算.......................................................24
题型三：应用乘法公式计算二次根式的值.............................................25
题型四：二次根式的混合运算.......................................................28
题型五：二次根式的化简求值.......................................................32
题型六：二次根式的应用...........................................................33
题型七：二次根式的估值...........................................................38
题型八：二次根式中的开放性试题...................................................40
题型九：二次根式中的规律探究.....................................................41
题型十：与二次根式有关的新定义问题...............................................44专题 04 分式
模块一：基础知识
考点一：二次根式的概念
二次根式的概念：一般地，我们把形如√a（𝑎≥0）的式子叫做二次根式，“√❑”称为二次根号，二次
根号下的数叫做被开方数．
最简二次根式：开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做
最简二次根式．
同类二次根式的概念：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二
次根式.
考点二：二次根式的性质
二次根式的化简方法：
1）利用二次根式的基本性质进行化简；
2） 利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简．√ab =√a•√b （a≥0，b≥0），
√a √a
= （a≥0，b＞0）
b √b
化简二次根式的步骤：
1）把被开方数分解因式；
2）利用积的算术平方根的性质，把各因式（或因数）积的算术平方根化为每个因式（或因数）的算术平
方根的积；
3）化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2．
考点三：二次根式的运算
乘法法则: 两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.即：√ab =√a•√b （a≥0，b≥0）.√a √a
除法法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.即： = （a≥0，b＞0）.
√b b
加减法法则：先把各个二次根式化为最简二次根式后，再将被开方数相同的二次根式合并.
【口诀】一化、二找、三合并.
分母有理化：通过分子和分母同乘以分母的有理化因式，将分母中的根号去掉的过程.
【分母有理化方法】
1 √a √a
1）分母为单项式时，分母的有理化因式是分母本身带根号的部分.即： = =
√a √a•√a a
2）分母为多项式时，分母的有理化因式是与分母相乘构成平方差的另一部分.
1 √a+√b √a+√b
即： = = ；
√a−√b (√a−√b)(√a+√b) a−b
混合运算顺序：先乘方、再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的(或先去掉括号)．
模块二：题型分类
考点一：二次根式的相关概念
题型一：二次根式有意义的条件
√x+5
1.若式子 有意义，则x的取值范围是 ．
x
【答案】x≥−5且x≠0/x≠0且x≥−5
【提示】根据分母不为零，二次根式的被开方数是非负数，列出不等式计算即可．
√x+5
【详解】∵式子 有意义，
x
∴x+5≥0且x≠0，
∴x≥−5且x≠0，
故答案为：x≥−5且x≠0．
【点睛】本题考查了分母不为零，二次根式的被开方数是非负数，熟练掌握二次根式和分式有意义的条
件是解题的关键．
2.若√a−4有意义，则a的值可以是（ ）
A．−1 B．0 C．2 D．6
【答案】D
【提示】根据二次根式有意义的条件即可求解．
【详解】解：∵√a−4有意义，
∴a−4≥0，
解得：a≥4，则a的值可以是6
故选：D．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
3.二次根式√1−x在实数范围内有意义，则实数x的取值范围在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【提示】根据被开方数大于等于0列不等式计算即可得到x的取值范围，然后在数轴上表示即可得解．
【详解】解：根据题意得，1−x≥0，
解得x≤1，
在数轴上表示如下：
故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，不等式的解法，以及在数轴上表示不等式的解集，理解二
次根式有意义的条件是解题关键．
1 1
4.在函数y= + 中，自变量x的取值范围是 ．
√x−1 x−2
【答案】x>1且x≠2
【提示】根据分式有意义的条件，二次根式有意义的条件得出x−1>0,x−2≠0，即可求解．
【详解】解：依题意，x−1>0,x−2≠0
∴x>1且x≠2，
故答案为：x>1且x≠2．
【点睛】本题考查了求函数自变量的取值范围，熟练掌握分式有意义的条件，二次根式有意义的条件是
解题的关键．
5.使代数式√−x2+2x−1有意义的x的取值范围是 ．
【答案】x=1
【分析】二次根式√a（a≥0），据此即可计算．
【详解】解：由题意得，
−x2+2x−1≥0，
∴ −(x−1) 2≥0，
∴ (x−1) 2≤0，∴x=1，
故答案为：x=1．
【点睛】本题主要考查了求含有二次根式的函数的自变量取值范围，掌握二次根式有意义的条件是解题
的关键．
1
6.若 有意义，则实数x的取值范围是
√x−3
【答案】x>3
【分析】根据分式有意义的条件，二次根式有意义的条件计算即可．
1
【详解】∵ 有意义，
√x−3
∴x−3≥0，且x−3≠0，
解得x＞3，
故答案为：x＞3．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件，二次根
式有意义的条件是解题的关键．
1
7.在函数y= +(x−3) 0 中，自变量x的取值范围是( )
√x+3
A．x≥−3 B．x>−3 C．x≠3 D．x>−3且x≠3
【答案】D
【分析】根据二次根式的被开方数的非负性、分式的分母不能为0、0的0次方没有意义即可得．
【详解】由二次根式的被开方数的非负性、分式的分母不能为0、0的0次方没有意义得：¿
解得¿
即自变量x的取值范围是x>−3且x≠3
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的被开方数的非负性、分式的分母不能为0、零指数幂的定义，掌握各性质
和定义是解题关键．
√2x+tan45°
8.式子 有意义的x的取值范围是（ ）
x−tan45°
1 1 1
A．x≥− 且x≠1 B．x≠1 C．x≥− D．x>− 且x≠1
2 2 2
【答案】A
【分析】先将tan45°化简，再根据分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，即可进行解答．
【详解】解：∵tan45°=1，
√2x+tan45° √2x+1
∴ = ，
x−tan45° x−1√2x+tan45°
∵式子 有意义，
x−tan45°
∴¿，
1
解得：x≥− 且x≠1，
2
故选：A．
【点睛】本题主要考查了特殊角度的三角函数值，分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，解题的
关键是掌握tan45°=1，分式分母不等于0，二次根式被开方数为非负数．
题型二：判断最简二次根式
1.下列二次根式中，最简二次根式的是（ ）
√1
A．√0.2 B．√8 C．√6 D．
2
【答案】C
【提示】对各选项逐一进行化简，判断是否为最简二次根式即可得出答案．
√5
【详解】A、√0.2= ，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
5
B、√8=2√2，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
C、√6是最简二次根式，故此选项符合题意；
√1 √2
D、 = ，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
2 2
故选C．
【点睛】本题主要考查最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
2.写出一个实数x，使√x−3是最简二次根式，则x可以是 ．
【答案】5（答案不唯一）
【提示】本题主要考查了最简二次根式的定义．
【详解】解：x=5时，√x−3=√5−3=√2，√2是最简二次根式，
∴x的值可以是5．
故答案为：5．（答案不唯一）
【点睛】本题主要考查了最简二次根式的定义，解题的关键是熟练掌握最简二次根式的条件，最简二次
根式的条件是（1）被开方数不含分母； （2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
题型三：判断同类二次根式
1.下列二次根式中，与√2是同类二次根式的是（ ）
A．√4 B．√6 C．√8 D．√12
【答案】C
【提示】根据同类二次根式的定义，逐个进行判断即可．【详解】解：A、√4=2，与√2不是同类二次根式，不符合题意；
B、√6与√2不是同类二次根式，不符合题意；
C、√8=2√2，与√2是同类二次根式，符合题意；
D、√12=2√3，与√2不是同类二次根式，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了同类二次根式，解题的关键是掌握同类二次根式的定义：将二次根式化为最简
二次根式后，被开方数相同的二次根式是同类二次根式；最简二次根式的特征：（1）被开方数不含分母；
（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
2.下列各组二次根式中，化简后是同类二次根式的是（ ）
A．√8与√3 B．√2与√12 C．√5与√15 D．√75与√27
【答案】D
【提示】把每个选项中的不是最简二次根式化为最简二次根式即可作出判断．
【详解】A、√8=2√2，2√2与√3不是同类二次根式，故此选项错误；
B、√12=2√3，√2与2√3不是同类二次根式，故此选项错误；
C、√5与√15不是同类二次根式，故此选项错误；
D、√75=5√3，√27=3√3，5√3与3√3是同类二次根式，故此选项正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的化简，同类二次根式的识别等知识，注意二次根式必须化成最简二次根
式．
3.下列各式中，能与√2合并的是（ ）
A．√4 B．√24 C．√12 D．√8
【答案】D
【提示】先化成最简二次根式，再根据同类二次根式的定义判断即可．
【详解】A．√4化简后不能与√2合并，不合题意；
B．√24=2√6化简后不能与√2合并，不合题意；
C．√12=2√3化简后不能与√2合并，不合题意；
D．√8=2√2化简后能与√2合并，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的性质和同类二次根式，能熟记同类二次根式的性质是解题的关键．
4.若最简根式√−2m+9与√5m−5是同类二次根式，则m= ．
【答案】2
【提示】根据同类根式及最简二次根式的定义列方程求解．
【详解】解：∵最简二次根式√−2m+9与√5m−5是同类二次根式，∴−2m+9=5m−5，
解得m=2，
故答案为：2．
【点睛】此题考查的是同类二次根式与最简二次根式，掌握其概念是解决此题关键．
考点二：二次根式的性质与化简
题型一：利用二次根式的性质化简
1.计算√(−2) 2等于（ ）
A．±2 B．2 C．4 D．√2
【答案】B
【提示】直接利用二次根式的性质化简得出答案．
【详解】解：√(−2) 2=√4=2．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．
2.化简√12的结果是（ ）
A．2√3 B．3 C．2√2 D．2
【答案】A
【提示】将被开方数12写成平方数4与3的乘积，再将4开出来为2，易知化简结果为2√3．
【详解】解：√12=√4×3=√22×3＝2√3，
故选：A．
【点睛】本题考查了二次根式的化简，关键在于被开方数要写成平方数乘积的形式再进行化简．
3.请写出一个正整数m的值使得√8m是整数；m= ．
【答案】8
【提示】要使√8m是整数，则8m要是完全平方数，据此求解即可
【详解】解：∵√8m是整数，
∴8m要是完全平方数，
∴正整数m的值可以为8，即8m=64，即√8m=√64=8，
故答案为：8（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查了二次根式的化简，正确理解题意得到8m要是完全平方数是解题的关键．
4.若√8−x为整数，x为正整数，则x的值是 ．
【答案】4或7或8
【提示】根据根号下的数大于等于0和x为正整数，可得x可以取1、2、3、4、5、6、7、8，再根据√8−x为整数即可得x的值．
【详解】解：∵8−x≥0
∴x≤8
∵x为正整数
∴x可以为1、2、3、4、5、6、7、8
∵√8−x为整数
∴x为4或7或8
故答案为：4或7或8．
【点睛】本题考查了利用二次根式的性质化简、解一元一次不等式等知识点，掌握二次根式的性质是解
答本题的关键．
题型二：常见二次根式化简的10种技巧
题组一：数形结合法
1.实数a在数轴上的对应位置如图所示，则√a2+1+|a−1|的化简结果是（ ）
A．1 B．2 C．2a D．1﹣2a
【答案】B
【提示】根据数轴得∶ 0<a<1，得到a>0， a-1<0，利用二次根式和绝对值的性质化简求解即可．
【详解】解∶∵根据数轴得∶ 0<a<1，
∴a>0， a-1<0，
∴原式=|a|+1+1-a
=a+1+1- a
=2．
故选∶B．
【点睛】本题考查二次根式的性质与化简，实数与数轴，掌握√a2=|a|是解题的关键．
2.实数m在数轴上对应点的位置如图所示，化简：√(m−2) 2= ．
【答案】2−m/−m+2
【提示】利用二次根式的性质和绝对值的性质，即可求解．
【详解】由数轴位置可知1<m<2，∴√(m−2) 2=|m−2|=2−m．
【点睛】本题考查二次根式化简运算，掌握二次根式的性质√a2=|a|是关键．
3.实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简|a+1|−√(b−1) 2+√(a−b) 2= ．
【答案】2
【提示】利用数轴可得出−1<a<0，1<b<2，进而化简求出答案．
【详解】解：由数轴可得：−1<a<0，1<b<2，
则a+1>0,b−1>0,a−b<0
∴|a+1|−√(b−1) 2+√(a−b) 2
=|a+1|−|b−1|+|a−b|
=a+1−(b−1)−(a−b)
=a+1−b+1−a+b
=2．
故答案为：2．
【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出a，b的取值范围是解题关键．
题组二：估值法
1.估计√2(√8+√10)的值应在（ ）
A．7和8之间 B．8和9之间
C．9和10之间 D．10和11之间
【答案】B
【提示】先计算二次根式的混合运算，再估算结果的大小即可判断．
【详解】解：√2(√8+√10)
=√16+√20
=4+2√5
∵2<√5<2.5，
∴4<2√5<5，
∴8<4+2√5<9，
故选：B．【点睛】此题考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，正确掌握二次根式的混合运算法则是解题的
关键．
√1
2.设m=5 −√45，则实数m所在的范围是（ ）
5
A．m<−5 B．−5<m<−4 C．−4<m<−3 D．m>−3
【答案】B
【提示】根据二次根式的加减运算进行计算，然后估算即可求解．
√1 √25
【详解】解：m=5 −√45 = −√45 =√5−3√5=−2√5，
5 5
∵2√5=√20，√16<√20<√25
∴−5<−2√5<−4，
即−5<m<−4，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式的加减运算，无理数的估算，正确的计算是解题的关键．
3.若将三个数−√3，√7，√11表示在数轴上，其中一个数被墨迹覆盖（如图所示），则这个被覆盖的数
是 ．
【答案】√7
【提示】根据被覆盖的数的范围求出被开方数的范围，然后即可得解．
【详解】设被覆盖的数是a，根据图形可得
1<a<3，
∴1<a2<9，
∴三个数−√3，√7，√11中符合范围的是√7．
故答案为：√7．
【点睛】本题考查了实数与数轴的关系，根据数轴确定出被覆盖的数的取值范围是解题的关键．
题组三：公式法
1.计算(2√3+3)(2√3−3)的结果等于 ．
【答案】3
【提示】利用平方差公式解答．
【详解】解：(2√3+3)(2√3−3) =(2√3) 2 −32=12−9=3
故答案为：3．
【点睛】本题考查利用平方差公式进行计算，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．2.已知：(√2+√3) 2=5+2√a，则a= ．
【答案】6
【提示】根据完全平方公式算出(√2+√3) 2=5+2√6，再结合已知条件求出结果．
【详解】∵ (√2+√3) 2=(√2) 2+2×√2×√3+(√3) 2=5+2√6，(√2+√3) 2=5+2√a，
∴ 5+2√6=5+2√a，
∴ a=6．
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算和完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
3.计算：(√3+1)(√3−1)−√16+(3√2−1) 2．
【答案】17−6√2
【详解】
解：(√3+1)(√3−1)−√16+(3√2−1) 2
=3−1−4+18−6√2+1
=17−6√2．
【点睛】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是二次根式的加减运算以及乘除运算法则，本题属
于基础题型．
4.计算：(5+√6)×(5√2−2√3)．
【答案】19√2
【详解】解：(5+√6)×(5√2−2√3)
=(5+√6)×√2×(5−√6)
=25√2−10√3+10√3−6√2
=19√2
100√3
5. = ．
(√2+√3−√5)(2+√6+√10)
【答案】25
100√3
【提示】利用平方差公式把原式变形为 ，即可求解．
√2[(√2+√3) 2 −(√5) 2]
100√3
【详解】解：
(√2+√3−√5)(2+√6+√10)100√3
=
(√2+√3−√5)⋅√2(√2+√3+√5)
100√3
=
√2[(√2+√3) 2 −(√5) 2]
100√3
=
√2×2√6
100
=
√2×2√2
=25；
故答案为：25
【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算法则，理解相关知识是解答关键．
题组四：换元法
n+2+√n2−4 n+2−√n2−4
1.已知n＝√2＋1，求 + 的值．
n+2−√n2−4 n+2+√n2−4
【答案】√2+1
【详解】
设a=n+2+√n2−4，b=n+2-√n2−4，
∴a+b=2（n+2），ab=（n+2）2-（n2-4）=4（n+2），
a b a2+b2 (a+b) 2−2ab
∴原式= + = =
b a ab ab
(a+b) 2 4(n+2) 2
= −2= −2
ab 4(n+2)
=n．
当n＝√2＋1时，原式＝√2＋1.
题组五：拆项法
√6+4√3+3√2
1.计算： .[提示：√6＋4√3＋3√2＝(√6＋√3)＋3(√3＋√2)]
(√6+√3)(√3+√2)
【答案】√6−√2
【提示】根据题中提示进行拆分，在进行化简即可.√6+4√3+3√2 (√6＋√3)＋3(√3＋√2)
【详解】解：原式＝ =
(√6+√3)(√3+√2) (√6+√3)(√3+√2)
√6＋√3 3(√3＋√2)
＝ +
(√6+√3)(√3+√2) (√6+√3)(√3+√2)
1 1
＝ +
√3+√2 √6+√3
＝√3−√2+√6−√3
＝√6−√2.
题组六：整体代入法
1 1
1.已知x= ，y= ，则x2+ y2−xy= ．
√5+2 √5−2
【答案】17
【提示】先对x和y进行分母有理化，将所给的多项式化为(x+ y) 2−3xy，再计算x+ y和xy的值后，代
入计算即可．
1 √5−2
【详解】解：x= = =√5−2，
√5+2 (√5+2)(√5−2)
1 √5+2
y= = =√5+2
√5−2 (√5−2)(√5+2)
原式=(x+ y) 2−2xy−xy
=(x+ y) 2−3xy
∵x+ y=2√5，xy=5−4=1，
∴原式=(2√5) 2 −3=17，
故答案为：17．
【点睛】本题考查了二次根式的化简，分母有理化，要熟练掌握平方差公式和完全平方公式．
1 1 x y
2.已知x= ，y= ，求 + +5的值．
√5−2 √5+2 y x
【答案】23
x y x2+ y2
【提示】利用分母有理化化简可得x=√5+2，y=√5−2，再代入 + +5= +5求值即可；
y x xy1 √5+2
【详解】解：∵x= = =√5+2，
√5−2 (√5−2)(√5+2)
1 √5−2
y= = =√5−2，
√5+2 (√5+2)(√5−2)
x y x2+ y2
∴ + +5= +5
y x xy
(√5+2) 2+(√5−2) 2
= +5
(√5+2)(√5−2)
=5+4√5+4+5−4√5+4+5
=23．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算以及二次根式的化简求值，解决问题关键是掌握分母有理化．
1 1
3.已知：x= ，y= ．求值：
√10+3 √10−3
(1)x+ y
(2)x2y+x y2
【答案】(1)2√10
(2)2√10
【提示】（1）分母有理化，化简x、y，据此求解即可；
（2）提取公因式得到x2y+x y2=xy(x+ y)，再整体代入求解即可．
1 √10−3
【详解】（1）解：∵x= = =√10−3，
√10+3 (√10+3)(√10−3)
1 √10+3
y= = =√10+3，
√10−3 (√10−3)(√10+3)
∴x+ y=√10−3+√10+3=2√10；
（2）解：由（1）知x=√10−3，y=√10+3，x+ y=2√10，
∴xy=(√10−3)(√10+3)=1，
∴x2y+x y2=xy(x+ y)
=x+ y=2√10．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的混合运算是解题的关键．√5+√3 √5−√3 b a
4.已知a= ，b= ，求 + ．
√5−√3 √5+√3 a b
【答案】62
【提示】利用分母有理化化简a、b，求出a+b和ab，再将所求式子利用分式加法法则变形，代入计算即
可．
√5+√3 (√5+√3) 2 5+2√15+3 √5−√3
【详解】解：a= = = =4+√15，b= =4−√15，
√5−√3 (√5+√3)(√5−√3) 5−3 √5+√3
∴a+b=4+√15+4−√15=8，ab=(4+√15)(4−√15)=1，
b a
则 +
a b
a2+b2
=
ab
(a+b) 2−2ab
=
ab
82−2×1
=
1
=62．
【点睛】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的加法法则、乘法法则、完全平方公式是解
题的关键．
题组七：因式分解法
√2+√3
1.计算： .
2+√6+√10+√15
√5−√2
【答案】
3
【详解】提示：把分母2+√6+√10+√15变形为：√2（√2+√3）+√5（√2+√3），然后提出（
√2+√3）即可求解.
√2+√3 √2+√3 √2+√3
解： .= =
2+√6+√10+√15 √2（√2+√3）+√5（√2+√3） （√2+√5）（√2+√3）
1
=
√2+√5
√5−√2
＝
(√5+√2)(√5−√2)
√5−√2
＝
5−2√5−√2
＝ .
3
题组八：配方法
√b a √b a
1.若a，b为实数，且b＝√3−5a＋√5a−3＋15，试求 + +2− + −2的值．
a b a b
2
【答案】
5
【详解】试提示：利用二次根式的定义求出a与b的值，再把原式进行化简，把a，b的值代入化简结果
进行计算即可得到结果．
解：由二次根式的定义，得¿，
3
∴3－5a＝0，∴a＝ .∴b＝15，∴a＋b＞0，a－b＜0.
5
√b a √b a √(a+b) 2 √(a−b) 2 a+b b−a
∴ + +2− + −2＝ − = √ab− √ab
a b a b ab ab ab ab
a+b b−a 2
=( − )√ab= √ab
ab ab b
3
当a＝ ，b＝15时，
5
2 √3 2
原式＝ × ×15= .
15 5 5
2.可以用配方法化简二重根式，
例如：√4−2√3=√(√3−1) 2=√3−1，
4√2−4
请化简式子：√5−2√6+√7−4√3+ = ．
4−2√2
【答案】2
【提示】先把5−2√6，7−4√3分别化为(√3−√2) 2 与(2−√3) 2 ，再化简，结合分母有理化，最后计算加
减运算即可．
4√2−4
【详解】解：√5−2√6+√7−4√3+
4−2√2
4(√2−1)
=√(√3−√2) 2+√(2−√3) 2+
2(2−√2)
2(√2−1)(2+√2)
=√3−√2+2−√3+
(2−√2)(2+√2)=2−√2+(√2−1)(2+√2)
=2−√2+2√2+2−2−√2
=2；
故答案为：2
【点睛】本题考查的是二次根式的化简，二次根式的混合运算，分母有理化，掌握二次根式的化简的方
法与技巧是解本题的关键．
题组九：辅元法
√x+ y
1.已知x∶y∶z＝1∶2∶3(x>0，y>0，z>0)，求 的值．
√x+z+√x+2y
【答案】√15−2√3
【详解】
设x＝k(k＞0)，则y＝2k，z＝3k，
√3k √3
∴原式＝ = =√15−2√3.
√4k+√5k 2+√5
2.《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，书中提出了已知三角形三边a、b、c求面积的
公式，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约
√ 1[ (c2+a2−b2
)
2]
之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即为S= c2a2− ．
4 2
现有周长为18的三角形的三边满足a:b:c=4:3:2，则用以上给出的公式求得这个三角形的面积为
．
【答案】3√15
【提示】根据周长为18的三角形的三边满足a:b:c=4:3:2，求得a=8,b=6,c=4，代入公式即可求解．
【详解】解：∵周长为18的三角形的三边满足a:b:c=4:3:2，设a=4k,b=3k,c=2k
∴4k+3k+2k=18
解得k=2
∴ a=8,b=6,c=4
√ 1[ (c2+a2−b2
)
2]
∴ S= c2a2−
4 2
√ 1[ (42+82−62
)
2]
= 42×82−
4 2√1
= (1024−484)
4
=√135
= 3√15
故答案为：3√15
【点睛】本题考查了化简二次根式，正确的计算是解题的关键．
题组十：先判断后化解
√b √a
1.已知a＋b＝－6，ab＝5，求b ＋a 的值．
a b
26√5
【答案】−
5
【分析】首先对每一项根式进行分母有理化进行化简，然后通分，进行分式的加法运算，再用对分母提
取公因式后，运用配方法对提取公因式后的分母进行整理，最后再入求值即可．
【详解】解：∵a＋b＝－6，ab＝5，
∴a＜0，b＜0.
−a√ab −b√ab √ab(a2+b2 ) (a+b) 2−2ab
∴原式= + =− =(−√ab)·
b a ab ab
26√5
=− .
5
2.先化简再求值
√y2−4 y+4
(1)已知：y>√3x−2+√2−3x+2，求 +5−3x的值．
2−y
1 a2−9 √a2−4a+4
(2)已知a= ，求 − 的值．
2+√3 a−3 a2−2a
【答案】(1)2
(2)7
【分析】（1）根据二次根式被开方数的非负性，可得x的值，从而得y的范围，从而可将要求的式子化简
求解；
（2）先对已知条件利用分母有理化进行化简，再对要求的式子进行化简，最后将a的值代入计算即可．
【详解】（1）∵√3x−2≥0，√2−3x≥0，3x−2≥0，2−3x≥0
2
∴x= ，√3x−2=√2−3x=0
3
∵y>√3x−2+√2−3x+2
∴y>2√y2−4 y+4
+5−3x
2−y
y−2 2
= +5−3×
2−y 3
=−1+5−2
=2
√y2−4 y+4
∴ +5−3x的值为2．
2−y
1
（2）∵a=
2+√3
2−√3
=
(2+√3)(2−√3)
=2−√3<1
a2−9 √a2−4a+4
∴ −
a−3 a2−2a
(a+3)(a−3) √(a−2) 2
= −
a−3 a(a−2)
2−a
=(a+3)−
a(a−2)
1
=a+3+
a
=2−√3+3+2+√3
=7
a2−9 √a2−4a+4
∴ − 的值为7．
a−3 a2−2a
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值和分式的化简求值，熟练掌握因式分解及分母有理化的方法，
是解题的关键．
考点三：二次根式的运算
题型一：二次根式的乘除运算
1.对于二次根式的乘法运算，一般地，有√a⋅√b=√ab．该运算法则成立的条件是（ ）
A．a>0,b>0 B．a<0,b<0 C．a≤0,b≤0 D．a≥0,b≥0
【答案】D【提示】根据二次根式有意义的条件得出不等式组，再解不等式组即可得出结果．
【详解】解：根据二次根式有意义的条件，得¿，
∴a≥0,b≥0，
故选：D．
【点睛】二次根式有意义的条件，及解不等式组，掌握二次根式有意义的条件是被开方数为非负数是本
题的关键．
2.下列运算正确的是（ ）
A．√2+√3=√5 B．√(−5) 2=−5
2
C．(3−√2) 2=11−6√2 D．6÷ ×√3=3
√3
【答案】C
【提示】根据二次根式的运算法则运算判断．
【详解】解：A、 √2+√3，不能合并，原计算错误，本选项不合题意；
B、 √(−5) 2=5，原计算错误，本选项不合题意；
C、 (3−√2) 2=11−6√2，计算正确，本选项符合题意；
2 √3
D、6÷ ×√3=6× ×√3=9，注意运算顺序，原计算错误，本选项不合题意；
√3 2
故选：C
【点睛】本题考查二次根式的运算，乘法公式；注意掌握运算法则是解题的关键．
√14a2
3.若a=√2，b=√7，则 =（ ）
b2
A．2 B．4 C．√7 D．√2
【答案】A
【提示】把a=√2，b=√7代入计算即可求解．
【详解】解：∵a=√2，b=√7，
√14a2 √14×(√2) 2 √14×2
∴ = = =√4＝2，
b2 (√7) 2 7
故选：A．
【点睛】本题考查了求二次根式的值，掌握二次根式的乘方和乘除运算是解题的关键．
√a √ 1
4.计算： ÷√ab⋅ 等于（ ）
b ab1 1 1
A． √ab B． √ab C． √ab D．b√ab
|a|b2 ab b
【答案】A
【提示】根据二次根式的乘除运算法则进行计算，最后根据二次根式的性质化简即可．
√a √ 1 √a 1 1 √ 1 1
【详解】解： ÷√ab⋅ = ⋅ ⋅ = = √ab．
b ab b ab ab ab3 |a|b2
故选：A．
【点睛】本题考查二次根式的乘除运算和二次根式的性质，√a⋅√b=√ab(a≥0,b≥0)，
√a
√a÷√b= (a≥0,b>0)，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
b
5.计算：√20×√5= ．
【答案】10
【提示】根据二次根式的乘法法则计算即可．
【详解】√20×√5=√20×5=√100=10．
故答案为：10．
【点睛】本题考查了二次根式的乘法．二次根式的乘法法则√a⋅√b=√ab．
√3 √4
6.计算√18÷ × 结果为（ ）．
4 3
A．3√2 B．4√3 C．4√2 D．6√2
【答案】C
【分析】根据二次根式的乘除法则计算即可．
√ 4 4
【详解】解：原式= 18× × =√32=4√2，
3 3
故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式的乘除运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
√14a2
7.若a=√2，b=√7，则 = ．
b2
【答案】2
【分析】本题主要考查了二次根式的性质、二次根式运算等知识，首先根据题意可得a=√2>0，
b=√7>0，然后根据二次根式的性质和运算法则求解即可，熟练掌握相关运算法则是解题关键．
【详解】解：∵a=√2>0，b=√7>0，
√14a2 √14a2 √14a √14×√2
∴ = = = =√2×√2=2．
b2 √b2 b √7故答案为：2．
√a √ 1
8.计算 ÷√ab⋅ （a＞0，b＞0）的结果是（ ）
b ab
1 1 1
A． √ab B． √ab C． √ab D．b√ab
ab2 ab b
【答案】A
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，利用二次根式的性质进行化简，正确化简二次根式是解题关
键．
直接利用二次根式的混合运算法则，计算化简即可．
√a √ 1
【详解】解： ÷√ab⋅
b ab
√a 1 1
= × ×
b ab ab
√ 1
=
ab3
1
= √ab，
ab2
故选：A．
9.从−√2、√3，√6中任意选择两个数，分别填在算式(□+○) 2÷√2里面的“□”与“○”中，计算该算
式的结果是 ．（只需写出一种结果）
5 9
【答案】 √2−2√3（或4√2−2√6或 √2+6，写出一种结果即可）
2 2
【分析】先利用完全平方公式计算二次根式的乘法，再计算二次根式的除法即可得．
【详解】解：①选择−√2和√3，
则(−√2+√3) 2 ÷√2=(2−2√6+3)÷√2
=(5−2√6)÷√2
=5÷√2−2√6÷√2
5
= √2−2√3．
2
②选择−√2和√6，
则(−√2+√6) 2 ÷√2=(2−2√12+6)÷√2=(8−2√12)÷√2
=8÷√2−2√12÷√2
=4√2−2√6．
③选择√3和√6，
则(√3+√6) 2 ÷√2=(3+2√18+6)÷√2
=(9+6√2)÷√2
=9÷√2+6√2÷√2
9
= √2+6．
2
5 9
故答案为： √2−2√3（或4√2−2√6或 √2+6，写出一种结果即可）．
2 2
题型二：二次根式的加减运算
1.计算：√9−√4= ．
【答案】1
【提示】先化简二次根式，再计算减法．
【详解】解：√9−√4=3−2=1，
故答案为：1．
【点睛】本题考查二次根式的运算，解题的关键是掌握二次根式的性质．
√1
2.计算√3+3 的结果是 ．
3
【答案】2√3
【提示】先化简二次根式，再合并同类二次根式即可．
√1
【详解】解：√3+3
3
=√3+√3
=2√3，
故答案为：2√3．
【点睛】本题考查了二次根式的加减，把二次根式化为最简二次根式是解题的关键．
3.下列运算正确的是（ ）
√2 √2
A．√2+√5=√7 B．5√2+ =5+
2 2
C．√5−√3=√2 D．2√3−√3=√3【答案】D
【提示】利用二次根式的加减运算法则进行计算，然后作出判断．
【详解】解：A、√2与√5不是同类二次根式，不能合并计算，故此选项不符合题意；
√2 11√2
B、5√2+ = ，故此选项不符合题意；
2 2
C、√5与√3不是同类二次根式，不能合并计算，故此选项不符合题意；
D、2√3−√3=√3，正确，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查二次根式的加减运算，掌握运算法则是解题关键．
4.已知实数m、n满足√m−3+|n−12|=0，则√m+√n= ．
【答案】3√3
【提示】根据绝对值和平方的非负性求出x和y的值，然后代入化简求值即可．
【详解】∵√m−3+|n−12|=0，
∴¿，
解得¿，
∴√m+√n=√3+√12=√3+2√3=3√3，
故答案为：3√3．
【点睛】本题考查了绝对值和二次根式的非负性，二次根式的化简和加减运算，根据题意求出x和y的值
是解题的关键．
5.已知：√18−√2=a√2−√2=b√2，则ab= ．
【答案】6
【提示】根据二次根式的运算法则即可求解．
【详解】∵√18−√2=3√2−√2=2√2
∴a=3,b=2
∴ab=6
故答案为：6．
【点睛】此题主要考查二次根式的运算，解题的关键是熟知其运算法则．
题型三：应用乘法公式计算二次根式的值
1.下面是小文同学进行二次根式混合运算的过程，请认真阅读，完成相应的任务：
解：(√3−√2) 2 ×(5+2√6)
=(3−2√6+2)×(5+2√6)
…第1步
=(5−2√6)×(5+2√6) …
第2步=25−12 …第3
步
=13. …第4步
任务：
(1)上述解答过程中，第1步依据的乘法公式为 （用字母表示）；
(2)上述解答过程，从第 步开始出错，具体的错误是 ；
(3)计算的正确结果为 ．
【答案】(1)(a±b) 2=a2±2ab+b2
(2)3，(2√6) 2计算错误
(3)1
【分析】（1）根据完全平方公式即可解答；
（2）根据二次根式混合运算的运算顺序和运算法则，逐步进行计算，即可解答；
（3）根据二次根式混合运算的运算顺序和运算法则，逐步进行计算，即可解答．
【详解】（1）解：第1步依据的乘法公式为(a±b) 2=a2±2ab+b2，
故答案为：(a±b) 2=a2±2ab+b2；
（2）解：(√3−√2) 2 ×(5+2√6)
=(3−2√6+2)×(5+2√6)
=(5−2√6)×(5+2√6)
=25−24，
∴第3步计算错误， (2√6) 2=24≠12，(2√6) 2计算错误，
故答案为：3，(2√6) 2计算错误；
（3）解：解：(√3−√2) 2 ×(5+2√6)
=(3−2√6+2)×(5+2√6)
=(5−2√6)×(5+2√6)=25−24
=1．
【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算的运算顺序和
运算法则，以及完全平方公式(a±b) 2=a2±2ab+b2和平方差公式(a+b)(a−b)=a2−b2．
2.计算(√7+√6)(√7−√6)的结果为 ．
【答案】1
【分析】根据平方差公式，二次根式的性质及运算法则处理．
【详解】解：(√7+√6)(√7−√6)=(√7) 2 −(√6) 2=7−6=1
故答案为：1
【点睛】本题考查平方差公式、二次根式性质及运算，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
3.计算(2+3√2)(2−3√2)的结果等于 ．
【答案】−14
【分析】根据平方差公式进行计算即可求解．
【详解】解：(2+3√2)(2−3√2)
=4−18
=−14．
故答案为：−14．
【点睛】本题考查了二次根式的乘法，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
4.我们知道：乘法公式：a2+2ab+b2=(a±b) 2，则有√a2±2ab+b2=|a±b|，那么我们如何把双重二次
根式√a±2√b(a>0，b>0，a±2√b>0)化简呢？如果能找到两个数m，n(m>0，n>0)使得
(√m)
2+(√n) 2=a即m+n=a，√m⋅√n=√b即mn=b，那么√a±2√b=|√m±√n|，从而使双重二次根
式得以化简．
例如：化简√3+2√2．
∵3=1+2，2=1×2，
∴3+2√2=(√1) 2+2√1×√2+(√2) 2=(1+√2) 2 ，∴√3+2√2=|1+√2|=1+√2，由此对于任意一个双重二次根式，只要可以化成√a±2√b的形式且能找
到两个数m，n(m>0，n>0)使得(√m) 2+(√n) 2=a即m+n=a，√m⋅√n=√b即mn=b，那么这个双重二
次根式就一定可以化为一个二次根式．请完成下列问题：
(1)填空：√5+2√6=________；√12−2√35= ________；
(2)化简：√16−4√15；
1
(3)计算：√3−√5+ √14+4√10．
2
【答案】(1)√3+√2；√7−√5
(2)√10−√6
3√5+√2−2
(3)
2√2
【分析】（1）将被开方数利用完全平方公式变形成完全平方式，利用二次根式化简，即可求得答案；
（2）将原式转成√16−2√60，再将16−2√60转化成完全平方式，化简即可求得答案；
√6−2√5 1√7+2√10
（3）将原式化简成 + ，再转成完全平方式，化简即可求得答案．
2 2 2
【详解】（1）解：√5+2√6=√(√3) 2+2×√3×√2+(√2) 2=√(√3+√2) 2=√3+√2；
√12−2√35=√(√7) 2 −2×√7×√5+(√5) 2=√(√7−√5) 2=√7−√5；
故答案为：√3+√2；√7−√5；
（2）解：√16−4√15=√16−2√60
=√(√10) 2 −2×√10×√6+(√6) 2
=√(√10−√6) 2
=√10−√6；
√6−2√5 1√7+2√10
（3）解：√3−√5+√2+√3= +
2 2 2
√5−1 1 √5+√2
= + ⋅
√2 2 √2
2√5−2 √5+√2
= +
2√2 2√23√5+√2−2
= ．
2√2
【点睛】本题考查二次根式的计算，考查二次根式的化简，考查计算能力，属于中档题．
题型四：二次根式的混合运算
( √1)
1.计算： √48−3 ÷√3= ．
3
【答案】3
【提示】先利用二次根式的性质化简，再计算括号内的减法，然后计算二次根式的除法即可．
( √1)
【详解】解： √48−3 ÷√3
3
( √3)
= 4√3−3× ÷√3
3
=(4√3−√3)÷√3
=3√3÷√3
=3
故答案为：3．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键．
√3
2.计算：√27÷ ×2√2−6√2．
2
【答案】6√2
【分析】利用二次根式的混合运算法则计算即可．
√3
【详解】解：√27÷ ×2√2−6√2
2
2
=3√3× ×2√2−6√2
√3
=12√2−6√2
=6√2．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的混合运算法则是解答本题的关键．
( √1)
3.计算： √48−3 ÷√3= ．
3
【答案】3【分析】先利用二次根式的性质化简，再计算括号内的减法，然后计算二次根式的除法即可．
( √1)
【详解】解： √48−3 ÷√3
3
( √3)
= 4√3−3× ÷√3
3
=(4√3−√3)÷√3
=3√3÷√3
=3
故答案为：3．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键．
4.计算：√3 8+
1
−
(1) −2
+|√5−3|
2+√5 3
【答案】−6
【分析】根据立方根、负整数指数幂及二次根式的运算可进行求解．
【详解】解：原式=2+√5−2−9+3−√5
=−6．
【点睛】本题主要考查立方根、负整数指数幂及二次根式的运算，熟练掌握立方根、负整数指数幂及二
次根式的运算是解题的关键．
5.计算：
√9
(1)(√6+2√15)×√3− ×√38
2
(2)|−√3 −23|− √ 2 1 −√3 (−1) 2000
4
2√18+√6
0
(3) −(1−√3)
√2
( √1)(√1 ) √3
(4) √24− +√6 +2√12× ÷5√2
2 8 4
【答案】(1)6√5
1
(2)−
2
(3)5+√347 3√2
(4) +
4 10
【分析】（1）根据二次根式的混合运算法则求解即可；
（2）首先计算立方根和算术平方根，然后计算加减；
（3）根据二次根式的混合运算法则和零指数幂运算法则求解即可；
（4）根据二次根式的混合运算法则求解即可．
√9
【详解】（1）(√6+2√15)×√3− ×√38
2
√9
=3√2+6√5− ×2
2
=3√2+6√5−3√2
=6√5；
（2）|−√3 −23|− √ 2 1 −√3 (−1) 2000
4
3
=2− −1
2
1
=− ；
2
2√18+√6
0
（3） −(1−√3)
√2
=6+√3−1
=5+√3；
( √1)(√1 ) √3
（4） √24− +√6 +2√12× ÷5√2
2 8 4
1
=√3+12− −√3+3÷5√2
4
1 3√2
=√3+12− −√3+
4 10
47 3√2
= + ．
4 10
【点睛】此题考查了二次根式的混合运算，零指数幂运算，解题的关键是熟练掌握以上运算法则．
6.若3−√2的整数部分为a，小数部分为b，则代数式(2+√2a)⋅b的值是 ．
【答案】2【提示】先由1<√2<2得到1<3−√2<2，进而得出a和b，代入(2+√2a)⋅b求解即可．
【详解】解：∵ 1<√2<2，
∴1<3−√2<2，
∵ 3−√2的整数部分为a，小数部分为b，
∴a=1，b=3−√2−1=2−√2．
∴(2+√2a)⋅b=(2+√2)×(2−√2)=4−2=2，
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查无理数及代数式化简求值，解决本题的关键是要熟练掌握无理数估算方法和无理
数整数和小数部分的求解方法．
7.已知k=√2(√5+√3)⋅(√5−√3)，则与k最接近的整数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【提示】根据二次根式的混合运算进行计算，进而估算无理数的大小即可求解．
【详解】解：k=√2(√5+√3)⋅(√5−√3) =√2(5−3)=2√2
∵2.52=6.25，32=9
5
∴ <2√2<3,
2
∴与k最接近的整数为3，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
√3
8.计算：√27÷ ×2√2−6√2．
2
【答案】6√2
【提示】利用二次根式的混合运算法则计算即可．
√3
【详解】解：√27÷ ×2√2−6√2
2
2
=3√3× ×2√2−6√2
√3
=12√2−6√2
=6√2．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的混合运算法则是解答本题的关键．题型五：二次根式的化简求值
( 1 ) a
1.先化简，再求值： 1+ ÷ ，其中a=√2−1．
a−1 a2−1
【答案】a+1，√2
【提示】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最
简结果，最后把a的值代入计算即可．
( 1 ) a
【详解】解： 1+ ÷
a−1 a2−1
a−1+1 (a+1)(a−1)
= ⋅
a−1 a
a (a+1)(a−1)
= ⋅
a−1 a
=a+1
当a=√2−1时，原式= √2−1+1=√2 .
【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
2.先化简，再求值：（a+2b）2+（a+2b）（a-2b）+2a（b-a），其中a＝√3-√2，b＝√3+√2．
【答案】6ab,6
【提示】直接利用完全平方公式、平方差公式化简，进而合并同类项，再把已知数据代入得出答案．
【详解】解：原式＝a2+4b2+4ab+a2−4b2+2ab−2a2
=6ab；
∵ a＝√3-√2，b＝√3+√2，
∴原式=6(√3−√2)(√3+√2)
=6
【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算与整式的混合运算——化简求值，正确掌握整式的混合运
算法则是解题关键．
( 4n ) m
3.已知m+2n=√5，求代数式 +2 ÷ 的值．
m−2n m2−4n2
【答案】2√5
【提示】根据分式的混合运算法则把原式化简，代入计算即可．
( 4n 2m−4n) m
【详解】解：原式= + ÷
m−2n m−2n m2−4n22m (m+2n)(m−2n)
= ×
m−2n m
=2(m+2n)，
当m+2n=√5时，原式=2√5．
【点睛】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
x2+x (x+1) 2 x−3
4.先化简，再求值： ÷ − ，其中x=√3+1．
x2−2x+1 x2−1 x−1
3
【答案】 ；√3．
x−1
【提示】根据分式的运算法则进行化简，然后将x的值代入原式即可求出答案．
x(x+1) (x+1) 2 x−3
【详解】解：原式= ÷ −
(x−1) 2 (x+1)(x−1) x−1
x(x+1) (x+1)(x−1) x−3
= × −
(x−1) 2 (x+1) 2 x−1
x x−3
= −
x−1 x−1
x−x+3
=
x−1
3
= ；
x−1
当x=√3+1时，
3
原式= =√3．
√3+1−1
【点睛】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
5.已知：m＝√2+1，n＝√2﹣1，则√m2+n2+3mn＝（ ）
A．±3 B．﹣3 C．3 D．√5
【答案】C
【提示】先根据题意得出m−n和mn的值，再把式子化成含m−n与mn的形式，最后代入求值即可.
【详解】由题得：m−n=2、mn=1
∴√m2+n2+3mn=√(m−n) 2+5mn=√22+5×1=√9=3
故选：C.
题型六：二次根式的应用1.古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦﹣秦
a+b+c
九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记p= ，那么三角形的面积为
2
S=√p(p−a)(p−b)(p−c)，∠A，∠B，b，c，若a=5，b=6，C=7，则△ABC的面积为
．
【答案】6√6
【提示】根据a，b，c的值，求出p的值，代入公式计算即可求出S．
【详解】解：∵a=5，b=6，C=7，
a+b+c
∴p= =9，
2
则S=√p(p−a)(p−b)(p−c)=√9×(9−5)×(9−6)×(9−7)=6√6．
故答案为：6√6．
【点睛】此题考查了二次根式的应用，以及数学常识，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
√8 √15 √24
2.按一定规律排列的一列数：√3， ， ， ，……其中第5个数为 ，第n个数为
2 3 4
（n为正整数）．
√35 √n2+2n
【答案】 ，
5 n
√3
【提示】首先将√3转换成 ，再提示分子分母中数字和项数之间的规律即可解答．
1
√3
【详解】将√3转换成 之后，可发现各项的分母依次为1，2，3，4，⋯，
1
可以得出第n项的分母就是n，故第5项的分母为5；
同时各项的分子中根号内的值依次为3，8，15，24，⋯，
不难发现第n项的分子中根号内的值应是(n+1) 2−1，
所以第5项的分子应是√62−1=√35，则第n个数分子为√(n+1) 2−1=√n2+2n，
√35 √n2+2n
故第5个数为 ，第n个数为 ，
5 n√35 √n2+2n
故答案为： ， ．
5 n
√3
【点睛】本题是找规律的题型，解题的关键点在于将√3转换成 ，同时对分子中的规律也应注意把握．
1
√ 1 √1 √ 1 √1 √ 1 √1
3.观察下列各式：① 1+ =2 ，② 2+ =3 ，③ 3+ =4 ，…，请写出第6个式子：
3 3 4 4 5 5
，用含n （n≥1）的式子写出你猜想的规律： ．
√ 1 √1 √ 1 √ 1
【答案】 6+ =7 n+ =(n+1)
8 8 n+2 n+2
【提示】观察等式左右两边的式子结构，即可得出答案．
√ 1 √1
【详解】解：观察可知：第6个式子为： 6+ =7 ；
8 8
√ 1 √ 1
一般规律为： n+ =(n+1)
n+2 n+2
√ 1 √1 √ 1 √ 1
故答案为： 6+ =7 ； n+ =(n+1)
8 8 n+2 n+2
【点睛】本题考查二次根式有关的规律题．旨在考查学生的推理能力．
4.阅读材料：我们学习了《二次根式》和《乘法公式》，可以发现：当a>0，b>0时，有
(√a+√b) 2=a−2√ab+b≥0，∴a+b≥2√ab，当且仅当a=b时取等号．
请利用上述结论解决以下问题：
1 1
(1)当x>0时，x+ 的最小值为_________；当x<0时，x+ 的最大值为_________；
x x
x2+3x+16
(2)当x>0时，求y= 的最小值；
x
(3)如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△AOB、△COD的面积分别为9和16，求四
边形ABCD的最小面积．
【答案】(1)2；−2
(2)y的最小值为11
(3)49【提示】（1）根据题目中给出的信息进行解答即可；
x2+3x+16 16
（2）先将y= 变形得到y=x+ +3，然后根据题目中给出的信息进行解答即可；
x x
S S BO 144
（3）设S =x，根据等高三角形性质得出 △BOC = △AOB = ，求出S = ，根据四边形
△BOC S S DO △AOD x
△COD △AOD
144 √ 144
ABCD的面积为16+9+x+ ≥25+2 x⋅ =49，求出最小值即可．
x x
1 √ 1 1
【详解】（1）解：∵当x>0时，x+ ≥2 x⋅ =2，即x+ ≥2，
x x x
1
∴x+ 的最小值为2；
x
∵当x<0时，−x>0，
∴−x+ ( − 1) ≥2 √ (−x)⋅ ( − 1) =2，即−x+ ( − 1) ≥2，
x x x
( 1)
∴− x+ ≥2，
x
1
∴x+ ≤−2，
x
1
∴x+ 的最大值为−2；
x
故答案为：2；−2；
x2+3x+16 16
（2）解：y= =x+ +3，
x x
∵x>0，
16 √ 16
∴x+ +3≥2 x⋅ +3=11，
x x
∴当x=4时，y的最小值为11．
（3）解：设S =x，已知S =9，S =16，则由等高三角形性质可知，
△BOC △AOB △COD
S S BO
△BOC = △AOB = ，
S S DO
△COD △AOD
x 9
=
∴ ，
16 S
△AOD144
∴S = ，
△AOD x
144 √ 144
因此四边形ABCD的面积=16+9+x+ ≥25+2 x⋅ =49，
x x
当且仅当x=12时取等号，即四边形ABCD面积的最小值为49 ．
【点睛】本题主要考查了二次根式的应用，三角形面积的计算，解题的关键是理解题意，准确计算．
5.问题：已知实数a、b、c满足a≠b，且2023(a−b)+√2023(b−c)+(c−a)=0，求证：
(c−b)(c−a)
−√2023=2023．
(a−b) 2
小明在思考时，感觉无从下手，就去请教学霸小刚,小刚审题后思考了片刻，对小明说：我们可以构造一
个一元二次方程，利用一元二次方程根与系数的关系及整体代入即可解答，并写下了部分解题过程供小
明参考：
令√2023=x，则2023=x2，原等式可变形为关于x的一元二次方程：
(a−b)x2+(b−c)x+(c−a)=0(a≠b)．
可以发现：(a−b)×12+(b−c)×1+(c−a)=0．
从而可知构造的方程两个根分别是1和√2023 ．
利用根与系数的关系得：1+√2023= _____；1×√2023=_____；…
请你根据小刚的思路完整地解答本题．
b−c c−a
【答案】− ； ；见解析
a−b a−b
【提示】令√2023=x，则2023=x2，原等式就可变为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系求出
代数式的值．
【详解】解：令√2023=x，则2023=x2，原等式可变形为关于x的一元二次方程：
(a−b)x2+(b−c)x+(c−a)=0(a≠b)．
可以发现：(a−b)×12+(b−c)×1+(c−a)=0．
从而可知构造的方程两个根分别是1和√2023.
b−c c−a
利用根与系数的关系得：1+√2023=− ；1×√2023= ；
a−b a−b
(c−b)(c−a)
∴ −√2023
(a−b) 2c−b c−a
= ⋅ −√2023
a−b a−b
=(1+√2023)×√2023−√2023
=√2023+(√2023) 2 −√2023
=2023．
【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，根据题意确定一元二次方程，得到方程的两个根，
再由根与系数的关系用两根之和与两根之积表示代数式中的分式，代入代数式求出代数式的值．
a+b
6.探究问题：探究 与√ab的大小关系．
2
a+b a+b
(1)观察猜想： 与√ab的大小关系是 ______√ab．
2 2
a+b a+b a+b
(2)计算验证：当a=8,b=8时， 与√ab的大小关系是 ______√ab；当a=2,b=6时， 与
2 2 2
a+b
√ab的大小关系是 ______√ab．
2
(3)推理证明：如图，以AB为直径作半圆O，点C半圆上一动点，过C作CD⊥AB于点D，设AD=a，
BD=b．先用含a，b的式子表示出线段OC，CD，再写出他们（含a，b的式子）之间存在的大小关系．
(4)实践应用：要制作一个面积为1平方米的矩形，请直接利用探究得出的结论，求矩形周长的最小值．
【答案】(1)≥
(2)=；>
a+b
(3) ≥√ab；
2
(4)矩形周长的最小值为4．
【提示】（1）根据题意作出猜想即可；
（2）代入数据，计算即可得出答案；
a+b
（3）易得OC= ，再通过证明△ACD∽△CBD，利用相似比得CD=√ab，根据直角边与斜边的
2
a+b
关系得OC≥CD（当C点为半圆AB的中点时取等号），所以 ≥√ab；
2a+b a+b
（4）设矩形的两边分别为a、b，则ab=1，利用 ≥√ab得 ≥1，即a+b≥1，所以2(a+b)≥2，
2 2
于是可得矩形周长的最小值．
a+b a+b
【详解】（1）解：猜想： 与√ab的大小关系是 ≥√ab．
2 2
故答案为：≥；
a+b
（2）解：当a=8，b=8时， =8，√ab=√8×8=8，
2
a+b
∴ =√ab；
2
a+b 2+6
当a=2，b=6时， = =4，√ab=√2×6=2√3，
2 2
a+b
∴ >√ab．
2
故答案为：=；>；
（3）解：∵AB为直径，AB=AD+BD=a+b，
a+b
∴∠ACD=90°，OC= ，
2
∴∠A+∠B=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠ACD=∠CDB，
∴∠A+∠ACD=90°，
∴∠ACD=∠B，
∴△ACD∽△CBD，
CD AD CD a
∴ = ，即 = ，
BD CD b CD
∴CD=√ab，
∵OC≥CD（当C点为半圆AB的中点时取等号），
a+b
∴ ≥√ab；
2
（4）解：设矩形的两边分别为a、b，则ab=1，
a+b
∵ ≥√ab，
2
a+b
∴ ≥1，即a+b≥2，
2
∴2(a+b)≥4，∴矩形周长的最小值为4．
【点睛】本题考查了二次根式的应用，熟练掌握圆周角定理、相似三角形的判定与性质；体会由于几何
的方法比较代数式的大小．
题型七：二次根式的估值
√1
1.设m=5 −√45，则实数m所在的范围是（ ）
5
A．m<−5 B．−5<m<−4 C．−4<m<−3 D．m>−3
【答案】B
【分析】根据二次根式的加减运算进行计算，然后估算即可求解．
√1 √25
【详解】解：m=5 −√45 = −√45 =√5−3√5=−2√5，
5 5
∵2√5=√20，√16<√20<√25
∴−5<−2√5<−4，
即−5<m<−4，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式的加减运算，无理数的估算，正确的计算是解题的关键．
√1
2.估计(4√3+3√2)× 的值应在 和 之间（填写整数）．
3
【答案】 6 7
【分析】先利用二次根式的运算法则将原式化简，再对无理数进行估算．
√1 √ 1 √ 1
【详解】解：(4√3+3√2)× =4 3× +3 2× =4+√6，
3 3 3
∵ 4<6<9，
∴ √4<√6<√9，
∴ 2<√6<3，
∴ 6<4+√6<7，
√1
∴估计(4√3+3√2)× 的值应在6和7之间，
3
故答案为：6，7．
【点睛】本题考查二次根式的混合运算，无理数的估算，解题的关键是熟练掌握二次根式的运算法则．
3.已知k=√2(√5+√3)⋅(√5−√3)，则与k最接近的整数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】根据二次根式的混合运算进行计算，进而估算无理数的大小即可求解．【详解】解：k=√2(√5+√3)⋅(√5−√3) =√2(5−3)=2√2
∵2.52=6.25，32=9
5
∴ <2√2<3,
2
∴与k最接近的整数为3，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
4.如图，数轴上有O，A，B，C，D四点，根据图中各点表示的数，表示数√2×√12−2的点会落在
（ ）
A．点O和A之间 B．点A和B之间 C．点B和C之间 D．点C和D之间
【答案】B
【分析】根据√2×√12−2=√24−2，先估算出√24的取值范围，再估算出√24−2的取值范围，进而确
定在数轴上的位置即可．
【详解】解：√2×√12−2=√24−2，
∵16<24<25，
∴√16<√24<√25，即4<√24<54，
∴4−2<√24−2<5−2，即2<√24−2<3，
∴表示数√2×√12−2的点会落在点A和B之间．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式的乘法，无理数的估算，实数与数轴等知识，准确的计算并掌握无理数估
算的方法是解决本题的关键．
题型八：二次根式中的开放性试题
1.请写出一个正整数m的值使得√8m是整数；m= ．
【答案】8
【分析】要使√8m是整数，则8m要是完全平方数，据此求解即可
【详解】解：∵√8m是整数，
∴8m要是完全平方数，
∴正整数m的值可以为8，即8m=64，即√8m=√64=8，
故答案为：8（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查了二次根式的化简，正确理解题意得到8m要是完全平方数是解题的关键．2.已知x为正整数，写出一个使√x−3在实数的范围内没有意义的x值是 ．
【答案】1（答案不唯一）
【分析】根据二次根式有意义的条件，可得当x−3<0时，√x−3没有意义，解不等式，即可解答．
【详解】解：当x−3<0时，√x−3没有意义，
解得x<3，
∵x为正整数，
∴x可取1，2，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟知根号下的式子小于零时，二次根式无意义，是解题的
关键．
3.写出一个实数x，使√x−3是最简二次根式，则x可以是 ．
【答案】5（答案不唯一）
【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义．
【详解】解：x=5时，√x−3=√5−3=√2，√2是最简二次根式，
∴x的值可以是5．
故答案为：5．（答案不唯一）
【点睛】本题主要考查了最简二次根式的定义，解题的关键是熟练掌握最简二次根式的条件，最简二次
根式的条件是（1）被开方数不含分母； （2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
4.如果一个无理数a与√8的积是一个有理数，写出a的一个值是 ．
【答案】√2（答案不唯一）
【分析】√8=2√2，一个无理数a与2√2的积是有理数，那么即可判断a与√2是同类二次根式，即可写
出a的值，答案不唯一．
【详解】解：∵√8=2√2，
∴由题意得一个无理数a与2√2的积是有理数，
∴a与√2是同类二次根式，答案不唯一．
故答案为：√2（答案不唯一）
【点睛】本题主要考查实数的性质以及同类二次根式的性质，解题的关键是掌握有理数和无理数的基本
定义以及同类二次根式的积为有理数即可．
题型九：二次根式中的规律探究
1.观察下列各式：
①√1×2×3×4+1=5；
②√2×3×4×5+1=11；③√3×4×5×6+1=19；
…
(1)观察①②③等式，那么第⑤个等式为 ；
(2)根据上述规律，猜测写出√n×(n+1)(n+2)(n+3)+1＝ ，并加以证明．
【答案】(1)√5×6×7×8+1=41
(2)n2+3n+1，见解析
【分析】（1）根据①②③等式的结果找到规律，再根据规律解答；
（2）根据多项式乘多项式的运算法则、完全平方公式解答即可．
【详解】（1）（1）因为①√1×2×3×4+1=12+3×1+1=5；
②√2×3×4×5+1=22+3×2+1=11；
③√3×4×5×6+1=33+3×3+1=19；
所以第⑤个等式为：√5×6×7×8+1=52+3×5+1=41，
故答案为：√5×6×7×8+1=41；
（2）√n(n+1)(n+2)(n+3)+1=n2+3n+1；
证明如下：n(n+1)(n+2)(n+3)+1
=(n2+3n)(n2+3n+2)+1
=(n2+3n) 2+2(n2+3n)+1
=(n2+3n+1) 2；
∴√n(n+1)(n+2)(n+3)+1=n2+3n+1．
故答案为：n2+3n+1．
【点睛】本题考查的是数字的变化规律，掌握完全平方公式是解题的关键．
2.观察下列等式：
1
第1个等式：a = =√2−1；
1 1+√2
1
第2个等式：a = =√3−√2；
2 √2+√3
1
第3个等式：a = =2−√3；
3 √3+2
…根据以上等式给出的规律，计算：a +a +a +…+a = ．
1 2 3 19
【答案】2√5−1/−1+2√5
【分析】直接仿照前面三个等式，即可写出第n个等式，根据前面已知a ，a ，a 的值和所求出的a 的值，
1 2 3 n
进行计算即可解答．
1
【详解】解：第n个等式：a = =√n+1−√n，
n √n+1+√n
∴a +a +a +…+a
1 2 3 19
=√2−1+√3−√2+√4−√3+⋅⋅⋅+√20−√19
=−1+√20
=2√5−1
【点睛】本题考查了二次根式的分母有理化，发现规律，根据已知等式，找出数字变换规律是解题的关
键．
√ 2 √2 √ 2 √8 √22×2 √2 √ 3 √3
3.观察下列各式及其验证过程： 2+ =2 ，验证： 2+ = = =2 , 3+ =3 ，验
3 3 3 3 3 3 8 8
√ 3 √27 √32×3 √3
证： 3+ = = =3 ．
8 8 8 8
√ 4
（1）按照上述两个等式及其验证过程，猜想 4+ 的变形结果并进行验证；
15
（2）针对上述各式反映的规律，直接写出用a（a≥2的整数）表示的等式．
√ 4 √a
【答案】（1）4 ；（2）a
15 a2−1
【分析】（1）通过观察，不难发现：等式的变形过程利用了二次根式的性质a=√a2 （a≥0），把根号外
的移到根号内；再根据“同分母的分式相加，分母不变，分子相加”这一法则的倒用来进行拆分，同时
要注意因式分解进行约分，最后结果中的被开方数是两个数相加，两个加数分别是左边根号外的和根号
内的；
（2）根据上述变形过程的规律，即可推广到一般，表示左边的式子时，注意根号外的和根号内的分子、
分母之间的关系：根号外的和根号内的分子相同，根号内的分子是分母的平方减去1．
√ 4 √ 4
【详解】解：（1） 4+ =4 ，
15 15√ 4 √64 √42×4 √ 4
验证： 4+ = = =4 ；
15 15 15 15
√ a √ a
（2） a+ =a （a≥2的整数）．
a2−1 a2−1
【点睛】本题从最简单的二次根式的变形入手，层层递进，经过归纳，猜想出n次根式变形的结论，考
查了我们探索规律的能力，掌握验证从特殊到一般的学习方法．
4.观察下列各式：
√ 1 1 1 √ 1 1 1 √ 1 1 1
S = 1+ + =1+ ，S = 1+ + =1+ ，S = 1+ + =1+ ，…
1 12 22 1×2 2 22 32 2×3 3 32 42 3×4
请利用你所发现的规律，计算：S +S +⋯+S = ．
1 2 50
50 2600
【答案】50 /
51 51
【分析】直接根据已知数据变化规律进而将原式变形求出答案．
【详解】S +S +⋯+S
1 2 50
1 1 1
=1+ +1+ +⋯+1+
1×2 2×3 50×51
1 1 1 1 1
=50+(1− + − +⋯+ − )
2 2 3 50 51
50
=50 ，
51
50
故答案为：50 ．
51
【点睛】本题考查数字变化规律，正确将原式变形是解题的关键．
题型十：与二次根式有关的新定义问题
1.定义一种运算：cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ，cos(a−β)=cosαcosβ+sinαsinβ.例如：当
1 √2 √3 √2 √2+√6
α=60°，β=45°时，cos(60°−45°)= × + × = ，则cos75°的值为( )
2 2 2 2 4
√6+√2 √6−√2 √6−√2 √6+√2
A． B． C． D．
4 4 2 2
【答案】B
【分析】根据cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ，可以计算出cos75°的值．
【详解】解：由题意可得，
cos75°
=cos(30°+45°)=cos30°cos45°−sin30°sin45°
√3 √2 1 √2
= × − ×
2 2 2 2
√6 √2
= −
4 4
√6−√2
= ，
4
故选：B．
【点睛】本题考查解直角三角形、二次根式的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新
定义解答．
2.对于任意的正数m，n定义运算※为：m※n＝¿计算(3※2)×(8※12)的结果为( )
A．2－4√6 B．2 C．2√5 D．20
【答案】B
【详解】解：∵3＞2，
∴3※2=√3−√2，
∵8＜12，
∴8※12=√8+√12=2(√2+√3)，
∴（3※2）×（8※12）=（√3−√2）×2(√2+√3)=2．
故选B．
√3
52.定义新运算：a⊗b=√ab+a+b+1，则 ×（2⊗3）的值为 ．
2
【答案】3．
【分析】先根据题目给出的例子得出实数混合运算的式子，再进行计算即可．
【详解】∵a⊗b=√ab+a+b+1，
√3
∴ ×（2⊗3）
2
√3
= ×√2×3+2+3+1
2
√3
= ×2√3
2
=3．
故答案为3．
【点睛】本题考查的是实数的混合运算，熟知实数混合运算的法则是解答此题的关键．
3.观察下列等式√3+2√2=√(√1+√2) 2=√1+√2；
√5+2√6=√(√2+√3) 2=√2+√3；
√7+2√12=√(√3+√4) 2=√3+√4；
……
请你直接写出以下计算结果：
(1)请你猜测√13+2√42=_________，√21+2√110=_________；
(2)针对上述各式显示的规律，请你猜测
√ (2n−1)+2√n2−n=___________（n≥2，n为整数）；
(3)利用上述规律计算：
1 1 1 1
+ + +⋅⋅⋅+ =
______（n≥2，n为整数）．
√3+2√2 √5+2√6 √7+2√12 √ (2n−1)+2√n2−n
【答案】(1)√6+√7，√10+√11
(2)√n−1+√n
(3)−1+√n
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，分母有理数，熟练掌握相分母有理化的方法和
步骤是解题的关键．
（1）根据题目所给的运算方法进行计算即可；
（2）根据题目所给的运算方法进行计算即可；
（3）根据（1）（2）的运算结果，将算式化简，根据平方差公式将分母有理化，再进行计算即可．
【详解】（1）解：根据题意可得：
√13+2√42=√(√6+√7) 2=√6+√7，
√21+2√110=√(√10+√11) 2=√10+√11，
故答案为：√6+√7，√10+√11．
（2）解：√ (2n−1)+2√n2−n=√(√n−1+√n) 2=√n−1+√n，
故答案为：√n−1+√n．
（3）解：根据题意可得：1 1 1 1
+ + +⋅⋅⋅+
√3+2√2 √5+2√6 √7+2√12 √ (2n−1)+2√n2−n
1 1 1 1
= + + +⋅⋅⋅+
√1+√2 √2+√3 √3+√4 √n−1+√n
=−(√1−√2)−(√2−√3)−(√3−√4)−⋅⋅⋅−(√n−1−√n)
=−1+√2−√2+√3−√3+√4−⋅⋅⋅−√n−1+√n
=−1+√n，
故答案为：−1+√n．
