文档内容
专题 26 圆的概念及性质
模块一：基础知识....................................................................................................................................................3
考点一：圆的定义及性质................................................................................................................................3
考点二：圆的有关概念....................................................................................................................................3
考点三：垂径定理............................................................................................................................................3
考点四：圆心角的概念....................................................................................................................................3
考点五：圆角角的概念....................................................................................................................................4
考点六：圆内接四边形....................................................................................................................................4
模块二：题型分类....................................................................................................................................................4
考点一：圆的相关概念....................................................................................................................................4
题型一：圆的基本概念..............................................................4
题型二：圆的周长与面积............................................................5
题型三：圆中的角度计算............................................................7
题型四：圆中线段长度的计算........................................................9
题型五：求一点到圆上一点的距离最值...............................................10
考点二：圆的性质..........................................................................................................................................11
题型一：垂径定理及推论判断正误...................................................11
题型二：利用垂径定理求解.........................................................13
题型三：垂径定理与全等三角形.....................................................15
题型四：垂径定理与相似三角形.....................................................16
题型五：垂径定理勾股定理在坐标系应用.............................................18
题型六：垂径定理求平行弦.........................................................21
题型七：垂径定理求同心圆.........................................................22
题型八：垂径定理在格点中的应用...................................................23
题型九：垂径定理的推论应用.......................................................24
题型十：垂径定理的实际应用.......................................................26
题型十一：垂径定理求取值范围.....................................................30
题型十二：弧弦圆心角关系辨析.....................................................30
题型十三：弧弦圆心角关系求角度...................................................32
题型十四：弧弦圆心角关系求线段长.................................................34
题型十五：弧弦圆心角关系求周长...................................................35
题型十六：弧弦圆心角关系求面积...................................................36
题型十七：弧弦圆心角关系求弧的度数...............................................37
题型十八：弧弦圆心角关系比较大小.................................................37
题型十九：弧弦圆心角关系求最值...................................................39
题型二十：弧弦圆心角关系证明.....................................................41
题型二十一：圆周角定理求解.......................................................43
题型二十二：圆周角定理推论求解...................................................45
题型二十三：圆内接四边形求角度...................................................47
题型二十四：圆的有关性质求值.....................................................50
题型二十五：圆的有关性质证明.....................................................52
题型二十六：圆中翻折问题.........................................................56
题型二十七：圆中最值问题.........................................................59
题型二十八：圆中取值范围问题.....................................................61题型二十九：圆的多结论问题.......................................................61
题型三十：圆的辅助线：遇到弦时,添加弦心距........................................63
题型三十一：圆的辅助线：遇到有直径时,画直径所对的圆周角..........................64专题 26 圆的概念及性质
模块一：基础知识
考点一： 圆的定义及性质
圆的定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形
成的图形叫圆。这个固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。
圆的表示方法：以O点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O。
圆的特点：在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形。
圆的对称性：1）圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴；
2）圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。
考点 二 ：圆的有关概念
弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦(例如：右图中的AB)。
直径的概念：经过圆心的弦叫做直径（例如：右图中的CD）。
备注：1）直径是同一圆中最长的弦。2）直径长度等于半径长度的2倍。
⏜
弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。以A、B为端点的弧记作AB，读作圆弧AB或弧
AB。
等弧的概念：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。
半圆的概念：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。
优弧的概念：在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧。
劣弧的概念：小于半圆的弧叫做劣弧。
考点 三 ：垂径定理
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
常见辅助线做法（考点）：(1)过圆心，作垂线，连半径，造Rt△，用勾股，求长度；
(2)有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分
考点 四 ：圆心角的概念
圆心角概念：顶点在圆心的角叫做圆心角。
弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相
等，所对的弦的弦心距相等。
E C
F
O B O
D
A
A
C
B
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它
们所对应的其余各组量分别相等。
考点 五： 圆角角的概念圆周角概念：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。
在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。
推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
C C D
D C C
B A
O
B O B A
O
A B
A E
考点六：圆内接四边形
圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。即：在⊙O中，∵四边
ABCD是内接四边形
模块二：题型分类
考点一：圆的相关概念
题型一：圆的基本概念
1.生活中经常把井盖做成圆形的，这样井盖就不会掉进井里去，这是因为（ ）
A．同样长度的线段围成的平面图形中圆的面积最大
B．同一个圆所有的直径都相等
C．圆的周长是直径的π倍
D．圆是轴对称图形
2.下列说法中，正确的是（ ）
①对角线垂直且互相平分的四边形是菱形； ②对角线相等的四边形是矩形；
③同弧或等弧所对的圆周角相等； ④半圆是弧，但弧不一定是半圆.
A．①④ B．②③ C．①③④ D．②③④
3.下列说法中，正确的是（ ）
①对角线垂直且互相平分的四边形是菱形；②对角线相等的四边形是矩形；③同弧或等弧所对的圆周角
相等；④弧分为优弧和劣弧．
A．① B．①③ C．①③④ D．②③④
4.下列关于圆的说法中，正确的是（ ）
A．过三点可以作一个圆 B．相等的圆心角所对的弧相等
C．平分弦的直径垂直于弦 D．圆的直径所在的直线是它的对称轴
5.下列命题：①三点确定一个圆；②直径是圆的对称轴；③平分弦的直径垂直于弦；④三角形的外心到三
角形三边的距离相等；⑤相等的圆心角所对的弧相等，正确命题的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
6.下列关于圆的说法中，正确的是（ ）
A．过三点可以作一个圆 B．相等的圆心角所对的弧相等
C．平分弦的直径垂直于弦 D．圆的直径所在的直线是它的对称轴
7.下列关于圆的说法，正确的是（ ）
A．弦是直径，直径也是弦 B．半圆是圆中最长的弧
C．圆的每一条直径所在的直线都是它的对称轴 D．过三点可以作一个圆
8.下列语句中，正确的是（ ）
①相等的圆周角所对的弧相等；②同弧或等弧所对的圆周角相等；③平分弦的直径垂直于弦，并且平分
弦所对的弧；④圆内接平行四边形一定是矩形．A．①② B．②③ C．②④ D．④
题型二：圆的周长与面积
1.如下1图，一枚圆形古钱币的中间是一个正方形孔，已知圆的直径与正方形的对角线之比为3∶1，则圆
的面积约为正方形面积的 倍．（精确到个位）
2.半径为R、r的两个同心圆如上2图所示，已知半径为r的圆周长为a，且R−r=1，则半径为R的圆周长
为（ ）
A．a+1 B．a+2 C．a+π D．a+2π
3.《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如上3图，正方形
ABCD的面积为4，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形A'B'C'D'，若A'B':AB=2:1，
则四边形A'B'C'D'的外接圆的周长为 ．
4.如上4图，一个较大的圆内有15个半径为1的小圆，所有的交点都为切点，图中阴影为大圆内但在所
有小圆外部分，则阴影部分的面积为（ ）
22+16√3 20+16√3 22+14√3 20+14√3
A． π B． π C． π D． π
3 3 3 3
5.适时的休闲可以缓解学习压力，如图是火影忍者中的仙法·白激之术，其形状外围大致为正圆，整体可
看成为两个同心圆，BC=400像素，∠ABC=90°，那么周围圆环面积约为（ ）
A．40000π B．1600π C．64000π D．160000π6.山西著名工艺品平遥推光漆器外观古朴雅致、闪光发亮，绘饰金碧辉煌，以手掌推出光泽而得名．图1
是平遥推光漆器的一种图案，图2是选取其某部分并且放大后的示意图．四边形ABCD是边长为2的正方
1
形，分别以正方形的四个顶点为圆心， 对角线的长为半径画弧，四条弧相交于点O，则图中阴影部分的
2
面积为（ ）
1
A．2π−4 B．π−2C．2π D． π
4
7.某公园计划砌一个形状如图（1）所示的喷水池，后来有人建议改为图（2）的形状，且外圆的直径不变，
喷水池边沿的宽度、高度不变，你认为砌喷水池的边沿（ ）
A．图（1）需要的材料多 B．图（2）需要的材料多
C．图（1）、图（2）需要的材料一样多 D．无法确定
8.一块含有30°角的三角板ABC如图所示，其中∠C=90°，∠A=30°，BC=3cm．将此三角板在平
面内绕顶点A旋转一周．
（1）画出边BC旋转一周所形成的图形；
（2）求出该图形的面积．
9.方孔钱是我国古代铜钱的固定形式，呈“外圆内方”．如图所示，是方孔钱的示意图，已知“外圆”的
周长为2π，“内方”的周长为4，则图中阴影部分的面积是 ．
10.把一个圆心为O，半径为r的小圆面积增加一倍，两倍，三倍，分别得到如图所示的四个圆（包括原来
的小圆），则这四个圆的周长之比（按从小到大顺序排列）是 ．题型三：圆中的角度计算
1
1.如图，点P是⊙O外一点，分别以O、P为圆心，大于 OP长为半径作圆弧，两弧相交于点 M和点
2
N，直线MN交OP于点C，再以点C为圆心，以OC长为半径作圆弧，交⊙O于点A，连接PA交MN于点
B，连接OA、OB．若∠P=26°，则∠AOB的大小为（ ）
A．26° B．38° C．52° D．64°
2.如图，⊙O与△OAB的边AB相切，切点为B．将△OAB绕点B按顺时针方向旋转得到△O' A'B，使
点O落在⊙O上，边A'B交线段AO于点C．若∠A'=27°，则∠OCB= ________度．
3.如图，已知AB、AD是⊙O的弦，∠B=30°，点C在弦AB上，连接CO并延长CO交于⊙O于点D，
∠D=20°，则∠BAD的度数是（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
1
4.如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，垂足为C，OD∥AB，OC＝ OD，则∠ABD的度数为（ ）
2A．90° B．95° C．100° D．105°1
5.如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，垂足为C，OD∥AB，OC＝ OD，则∠ABD的度数为（ ）
2
A．90° B．95° C．100° D．105°
6.如图，在⊙O中，AB为直径，∠AOC=80°，点D为弦AC的中点，点E为B´C上任意一点，则
∠CED的大小可能是（ ）
A．10° B．20° C．30° D．40°
7.如图，CD是⊙O的直径，弦DE ∥AO，若∠A=25°，则∠D的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
8.如图，在扇形AOB中，D为A´B上的点，连接AD并延长与OB的延长线交于点C，若CD=OA，
∠O=75°，则∠A的度数为（ ）
A．35° B．52.5° C．70° D．72°题型四：圆中线段长度的计算
1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在斜边AB上，以BD为直径的⊙O经过边AC上的点E，连
接BE，且BE平分∠ABC，若⊙O的半径为3，AD=2，则线段BC的长为（ ）
40 24
A． B．8 C． D．6
3 5
2.已知AB=12，C、D是以AB为直径的⊙O上的任意两点，连接CD，且AB⊥CD，垂足为M，
∠OCD=30°，则线段MB的长为 ．
3.如图，将两个正方形如图放置（B，C，E共线，D，C，G共线），若AB＝3，EF＝2，点O在线段BC上，
以OF为半径作⊙O，点A，点F都在⊙O上，则OD的长是（ ）
A．4 B．√10 C．√13 D．√26
4.已知A、B是圆O上的点，以O为圆心作弧，交OA、OB于点C、D．分别以点C和点D为圆心，大于
1
CD长为半径画弧，两弧相交于点E．作线段OE，交AB于点F，交⊙O于点G．若OF=3cm，
2
∠AOB=120°，则⊙O的半径为 cm．5.如图，在边长为4正方形ABCD中，点E在以B为圆心的弧AC上，射线DE交AB于F，连接CE，若
CE⊥DF，则DE=（ ）．
4 6 8
A．2 B． √5 C． √5 D． √5
5 5 5
题型五：求一点到圆上一点的距离最值
1.在同一平面内，已知⊙O的半径为2，圆心O到直线l的距离为3，点P为圆上的一个动点，则点P到
直线l的最大距离是（ ）
A．2 B．5 C．6 D．8
2.如图，四边形ABCD为矩形，AB=3，BC=4．点P是线段BC上一动点，点M为线段AP上一点．
∠ADM=∠BAP，则BM的最小值为（ ）
5 12 3
A． B． C．√13− D．√13−2
2 5 2
3.我们知道，两点之间线段最短，因此，连接两点间线段的长度叫做两点间的距离；同理，连接直线外一
点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，因此，直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到
直线的距离．类似地，连接曲线外一点与曲线上各点的所有线段中，最短线段的长度，叫做点到曲线的
距离．依此定义，如图，在平面直角坐标系中，点A(2,1)到以原点为圆心，以1为半径的圆的最短距离
为_______．最长距离为_______．4.如图，在RtΔABC中，∠ACB=90°，AC=10，BC=12，点D是ΔABC内的一点，连接AD，CD，
BD，满足∠ADC=90°，则BD的最小值是（ ）
A．5 B．6 C．8 D．13
5.如图，△ABC中，AB=AC，BC=24，AD⊥BC于点D，AD=5，P是半径为3的⊙A上一动点，连结PC，若
E是PC的中点，连结DE，则DE长的最大值为（ ）
A．8 B．8.5 C．9 D．9.5
6.如图，点A，B的坐标分别为A(3，0)、B(0，3)，点C为坐标平面内的一点，且BC=2，点M为线段AC
的中点，连接OM，则OM的最大值为（ ）
3 3
A． √2+1 B．3√2+2 C． √2 D．2
2 2
考点二：圆的性质
题型一：垂径定理及推论判断正误
1.如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．AE＝BE B．OE＝DE C．A´C=B´C D．A´D=B´D2.如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，连接BC、BD、AC，下列结论中不一定正确的是（ ）
A．∠ACB=90° B．OE=BE C．BD=BC D．A´D=A´C
3.如图，CD是⊙O是直径，AB是弦且不是直径，CD⊥AB，则下列结论不一定正确的是（ ）
A．AE=BE B．OE=DE C．AO=CO D．A´D=B´D
4.如图，点F是⊙O直径AB上一个动点（不与点A，B重合），过点F作弦CD⊥AB，点E是A´D上不
与点D重合的一个动点，则下列结论中不一定正确的是（ ）
A．CF=DF B．A´C=A´D
C．∠BAC=∠BED D．∠ABC>∠BED
5.如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD，垂足为E，连接CO、AD、OD，
∠BAD=22.5°，则下列说法中不正确的是（ ）A．CE=EO B．OC=√2CD C．∠OCE=45° D．∠BOC=2∠BAD
题型二：利用垂径定理求解
1.赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥．如图，主桥拱呈圆弧形，跨度
约为37m，拱高约为7m，则赵州桥主桥拱半径R约为（ ）
A．20m B．28m C．35m D．40m
2.如图，线段CD是⊙O的直径，CD⊥AB于点 E，若AB长为 16，OE长为 6，则⊙O半径是
（ ）
A．5 B．6 C．8 D．10
3.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AC＝CD，⊙O的半径为2√2，则△AOC的面积为（ ）
A．√3 B．2 C．2√3 D．4
4.如图，已知AB是⊙O的直径，CD是OO的弦，AB⟂CD．垂足为E．若AB=26，CD=24，则∠OCE的余弦
值为（ ）7 12 7 13
A． B． C． D．
13 13 12 125.如图，CD是圆O的弦，直径AB⊥CD，垂足为E，若AB＝12，BE＝3，则四边形ACBD的面积为( )
A．36√3 B．24√3 C．18√3 D．72√3
6.如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠CAD＝45°，则∠BOC＝ °．
7.如图，⊙O是ΔABC的外接圆，∠BAC=60°，若⊙O的半径OC为2，则弦BC的长为（ ）
A．4 B．2√3 C．3 D．√3
8.如图，点A，B，C在半径为2的 O上，∠ACB＝60°，OD⊥AB，垂足为E，交 O于点D，连接
OA，则OE的长度为 ． ⊙ ⊙
9.如图，OA，OB，OC都是 O的半径，AC，OB交于点D．若AD＝CD＝8，OD＝6，则BD的长为（
） ⊙
A．5 B．4 C．3 D．210.如图是一个圆形餐盘的正面及其固定支架的截面图，凹槽ABCD是矩形．当餐盘正立且紧靠支架于点
A，D时，恰好与BC边相切，则此餐盘的半径等于 cm．
11.已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB=8cm，则AC的长为
（ ）
A．2√5cm B．4√3cm C．2√5cm或4√5cm D．2√3cm或4√3cm
题型三：垂径定理与全等三角形
1.如图，AB为⊙O的直径，AE为⊙O的弦，C为优弧ABE的中点，CD⊥AB，垂足为D，AE=8，
DB=2，则⊙O的半径为（ ）
A．6 B．5 C．4√2 D．4√3
2.小明向如图所示的圆形区域内投掷飞镖．已知△ABC是等边三角形，D点是弧AC的中点，则飞镖落在
阴影部分的概率为 ．
3.如图，AB是⊙O的直径，点C为B´D的中点，CF为⊙O的弦，且CF⊥AB，垂足为E，连接BD交
CF于点G，连接CD，AD，BF．
(1)求证：ΔBFG≅ΔCDG；
(2)若AD=BE=2，求BF的长．4.如图AB为圆O的直径，AE为圆O的弦，C为O上一点，A´C=C´E，CD⊥AB，垂足为D．
(1)连接CO，判断CO与AE的位置关系，并证明；
(2)若AE=8，BD=2，求圆O的半径；
题型四：垂径定理与相似三角形
1.如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，AD⊥BC于点E．
（1）求证：∠BAD=∠CAD；
（2）连接BO并延长，交AC于点F，交⊙O于点G，连接GC．若⊙O的半径为5，OE=3，求GC和
OF的长．
2.如下1图AB与圆O相切于A，D是圆O内一点，DB与圆相交于C．已知BC＝DC＝3，OD＝2，AB＝6，
则圆的半径为 ．
3.如上2图，点E是⊙O中弦AB的中点，过点E作⊙O的直径CD，P是⊙O上一点，过点P作⊙O的切线
3
与AB延长线交于点F，与CD延长线交于点G，若点P为FG中点，cosF= ，⊙O的半径长为3则CE的
5
长为（ ）
7 8 3 4
A． B． C． D．
5 5 2 34.如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点F，OE⊥AC于点E，若OE＝3，OB＝5，则CD的长度是（ ）
A．9.6 B．4√5 C．5√3 D．10
5.如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD=8cm，AE=2cm，则OF
的长度是（ ）
A．3cm B．√6 cm C．2.5cm D．√5 cm
6.如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上的一点．
(1)过点B作⊙O的切线PB，交AC的延长线于点P（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）的条件下，若OD⊥BC，垂足为D，OD=2，PC=9，求PB的长．题型五：垂径定理勾股定理在坐标系应用
1.如图，已知⊙A在平面直角坐标系中，⊙A与x轴交于点B，C，与y轴交于点D，E，若圆心A的坐标为
（-4，6），点B的坐标为（-12，0），则DE的长度为（ ）
A．2√21 B．4√21 C．8 D．16
2.如图，在平面直角坐标系中，⊙M与x轴相切于点A，与y轴分别交点为B，C，圆心M的坐标是(4,5)，
则弦BC的长度为_______．
3.如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，⊙P与x轴、y轴都相切，且经过矩形AOBC的顶点C，
与BC相交于点D，若⊙P的半径为5，点A的坐标是(0,8)，则点D的坐标是（ ）
A．(9,2) B．(9,3) C．(10,2) D．(10,3)
4.如图，在平面直角坐标系中，⊙P与y轴相切于点C，与x轴相交于A，B两点，假设点P的坐标为（5，
3），点M是⊙P上的一动点，那么△ABM面积的最大值为（ ）
A．64 B．48 C．32 D．245.如图，在平面直角坐标系xOy中，以M(3,5)为圆心，AB为直径的圆与x轴相切，与y轴交于A、C两点，
则点B的坐标是 ．
6.如图，在平面直角坐标系中，一个圆与两坐标轴分别交于A、B、C、D四点．已知A（6，0），B（﹣
2，0），C（0，3），则点D的坐标为 ．
7.如图，在平面直角坐标系中，⊙M与x轴相切于点A，与y轴交点分别为B、C，圆心M的坐标是（4，
5），则弦BC的长度为 ．
8.如图，在平面直角坐标系中，以点C(1,1)为圆心，2为半径作圆，交x轴于A，B两点，点P在⊙C上．
(1)求出A，B两点的坐标；
(2)试确定经过A、B两点且以点P为顶点的抛物线解析式；
(3)在该抛物线上是否存在一点D，使线段OP与CD互相平分？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请
说明理由．9.如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是(3,a) (a>3)，半径为3，函数y=x的图象被⊙P截
得的弦AB的长为4√2，则a的值是 ．
10.如图，在平面直角坐标系中，已知A(10,0),B(8,0)，点C,D是以OA为直径的半圆上两点，且四边形
OCDB是平行四边形，则点C的坐标是（ ）
A．(2，3) B．(2,4) C．(1,2) D．(1,3)
6
11.已知在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，点P是反比例函数y= (x>0)图像上的一个动点，若
x
以点P为圆心，3为半径的圆与直线y=x相交，交点为A、B，当弦AB的长等于2√5时，点P的坐标为
．
12.如图，在平面直角坐标系中，以点C(1,1)为圆心，2为半径作圆，交x轴于A，B两点，点P在⊙C上．
(1)求出A，B两点的坐标；
(2)试确定经过A、B两点且以点P为顶点的抛物线解析式；
(3)在该抛物线上是否存在一点D，使线段OP与CD互相平分？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请
说明理由．题型六：垂径定理求平行弦
1.如图，矩形ABCD与圆心在AB上的☉O交于点G，B，F，E， GB =5，EF =4，那么AD = ．
2.已知⊙O的直径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB//CD，AB=8cm，CD=6cm，则AB与CD
之间的距离为 cm．
3.已知⊙O的直径为10cm， AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB=8cm，CD=6cm，则AB与
CD之间的距离为（ ）．
A．1 B．7 C．1或7 D．3或4
4.如图，已知AB是半圆O的直径，弦CD∥AB，CD＝8．AB＝10，则CD与AB之间的距离是 ．
5.在半径为4cm的⊙O中，弦CD平行于弦AB，AB=4√3cm，∠BOD=90°，则AB与CD之间的距离
是_______cm．
6.如图，在⊙O中，AB是直径，弦EF∥AB．
(1)在图1中，请仅用不带刻度的直尺画出劣弧EF的中点P；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)如图2，在（1）的条件下连接OP、PF，若OP交弦EF于点Q，现有以下三个选项：①△PQF的面积
3
为 ；②EF=6；③PF=√10，请你选择两个合适选项作为条件，求⊙O的半径，你选择的条件是 （填
2
序号）题型七：垂径定理求同心圆
1.如图，两个圆都以O为圆心，大圆的弦AB与小圆相切于点C，若AB=6，则圆环的面积为 .
2.如图，两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3，若大圆的弦AB与小圆有公共点，则弦AB的取
值范围是（ ）
A．8≤AB≤10 B．8＜AB≤10 C．4≤AB≤5 D．4＜AB≤5
3.如图，⊙O 的弦AB是⊙O 的切线，且AB∥O O ，如果AB＝12cm，那么阴影部分的面积为（ ）．
1 2 1 2
A．36πcm2 B．12πcm2 C．8πcm2 D．6πcm2
4.如图，以点O为圆心的两个圆中，大圆的弦AB切小圆于点C，大圆的半径OA交小圆于点D，若OD＝
1
3，tan∠OAB＝ ，则AB的长是 ．
25.已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图）．
（1）求证：AC=BD；
（2）若大圆的半径R=10，小圆的半径r=8，且圆O到直线AB的距离为6，求AC的长．
题型八：垂径定理在格点中的应用
1.如图所示，在由边长为1的小正方形组成的网格图中，一段圆弧经过格点A，B，C，AE的延长线经过
格点D，则A´E的长为（ ）
3π π 5π 5π
A． B． C． D．
4 2 8 4
2.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，点B，点D均在格点上，并且在同一个圆上，取格
点M，连接AM并延长交圆于点C，连接AD．
（1）AM= ；
（2）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺画出线段AP，使AP平分∠CAD，且点P在圆上，并简
要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明） ．3.如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A，B，M均为格点，
以格点O为圆心，AB为直径作圆，点M在圆上．
（Ⅰ）线段AB的长等于 ；
（Ⅱ）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，在B´M上找出一点P，使P´M=A´M，并简要说明画图
方法（不要求证明）
4.如图，由小正方形构成的6×6网格中，每个正方形的顶点叫做格点．⊙O经过A、B、C三点，仅用无刻
度的直尺在给定的网格中按要求作图（保留作图痕迹）．
(1)在图1中画出圆心O；
(2)在图2中的圆上找一点E，使OE平分弧BC；
(3)在图3中的圆上找一点F，使BF平分∠ABC．
题型九：垂径定理的推论应用
1.如下1图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上两点，若BC＝BD，∠OCD＝14°，则∠D的度数为（ ）
A．34° B．36° C．37° D．38°
2.如上2图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，E为弧BC上一点，若∠CEA=28°，则∠ABD的度数
为（ ）
A．14° B．28° C．56° D．无法确定3.如图，在⊙O中，点C是A´B的中点，连接OC交弦AB于点D，若OD=3，DC=2，则AB的长是
．
4.如图，AB是⊙O的直径，CD、BE是⊙O的两条弦，CD交AB于点G，点C是弧BE的中点，点B是
弧CD的中点，若AB=10，BG=2，则BE的长为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
5.如图，AB为⊙O的直径，弦CD交AB于点E，B´C=B´D，∠CDB=30°，AC=2√3，则OE=（ ）
√3
A． B．√3 C．1 D．2
2
6.已知AB是⊙O的直径，点C，D是⊙O上两点，A´C=B´C，连接AC，BC，DB．
(1)如图①，若AB=10，BD=5，求∠ABC和∠ABD的大小；
(2)如图②，过点C作⊙O的切线，与DB的延长线交于点E，若CE=CB，求∠ABD的大小．7.如图，已知AB是⊙O的直径，点D是弧BC的中点，点E在DO的延长线上， 连接AE．若∠E=∠B．
(1)求证：AE是⊙O的切线；
(2)连接AC．若AC=6，CF=4，求OE的长．
题型十：垂径定理的实际应用
1.圆在中式建筑中有着广泛的应用，例如古典园林中的门洞.如图，某地园林中的一个圆弧形门洞的高为
2.5m，地面入口宽为1m，求该门洞的半径 m.
2.往直径为52cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽AB=48cm，则水的最大深
度为（ ）
A．8cm B．10cm C．16cm D．20cm
3.我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．
以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”意思是：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知大小，
用锯子去锯这个木材，锯口深DE=1寸，锯道AB=1尺（1尺=10寸），则这根圆柱形木材的直径是
（ ）
A．12寸 B．13寸
C．24寸 D．26寸4.问题情境：筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明朝科学家徐光启在《农政全
书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图①）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒
都按逆时针做匀速圆周运动，每旋转一周用时120秒．
问题设置：把筒车抽象为一个半径为r的⊙O．如图②，OM始终垂直于水平面，设筒车半径为2米．当
t=0时，某盛水筒恰好位于水面A处，此时∠AOM=30°，经过95秒后该盛水筒运动到点B处．（参
考数据，√2≈1.414，√3≈1.732）
问题解决：
(1)求该盛水筒从A处逆时针旋转到B处时，∠BOM的度数；
(2)求该盛水筒旋转至B处时，它到水面的距离．（结果精确到0.1米）
5.在一次数学建模活动课上，吴老师制作了一张简易的海域安全监测平面图，在图中标明了三个监测点的
位置坐标O(0，0)，A(0，10)，B(20，0)，由三个监测点确定的圆形区域是安全警戒区域．（单位：
海里）
(1)某天海面上出现可疑船只C，在监测点A测得C位于南偏东45°，同时在监测点O测得C位于南偏东
60°，求监测点O到C船的距离．（结果精确到整数，参考数据：√2≈1.4，√3≈1.7，√5≈2.2）
(2)当可疑船只C由（1）中位置向正北方向航行时，是否会闯入安全警戒区域？请通过计算作答．6.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具.如图1，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒
车的工作原理.如图2，筒车盛水桶的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆.已知圆心在水面上方，且圆被水面
截得的弦AB长为6米，∠OAB=41.3°，若点C为运行轨道的最高点（C，O的连线垂直于AB），求点C到
弦AB所在直线的距离.（参考数据：sin41.3°≈0.66，cos41.3°≈0.75，tan41.3°≈0.88）
7.中国5A级旅游景区开封市清明上河园，水车园中的水车是由立式水轮，竹筒、支撑杆和水槽等配件组
成，如图是水车园中半径为5m的水车灌田的简化示意图，立式水轮⊙O在水流的作用下利用竹筒将水
运送到到点A处，水沿水槽AP流到田地，⊙O与水面交于点B，C，且点B，C，P在同一直线上；AP与
⊙O相切，若点P到点C的距离为32米，立式水轮⊙O的最低点到水面的距离为2米，连接AC，AB．
请解答下列问题，
(1)求证：∠PAC=∠PBA．
(2)请求出水槽AP的长度．8.古往今来，桥给人们的生活带来便利，解决跨水或者越谷的交通，便于运输工具或行人在桥上畅通无阻，
中国桥梁的桥拱线大多采用圆弧形、抛物线形和悬链形，坐落在河北省赵县汶河上的赵州桥建于隋朝，
距今已有约1400年的历史，是当今世界上现存最早、保存最完整的古代敝肩石拱桥，赵州桥的主桥拱便
是圆弧形．
(1)某桥A主桥拱是圆弧形（如图①中AB´C），已知跨度AC=40m，拱高BD=10m，则这条桥主桥拱的
半径是______m；
(2)某桥B的主桥拱是抛物线形（如图②），若水面宽MN=10m，拱顶P（抛物线顶点）距离水面4m，
求桥拱抛物线的解析式；
(3)如图③，某时桥A和桥B的桥下水位均上升了2m，求此时两桥的水面宽度．
9.“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的应用，例如古典园林中的门洞，如图，
某地园林中的一个圆弧形门洞的高为2.5m，地面入口宽为1m,则该门洞的半径为_______m．
10.图1是某种型号圆形车载手机支架，由圆形钢轨、滑动杆、支撑杆组成．图2是它的正面示意图，滑
动杆AB的两端都在圆O上，A、B两端可沿圆形钢轨滑动，支撑杆CD的底端C固定在圆O上，另一端D
是滑动杆AB的中点，（即当支架水平放置时直线AB平行于水平线，支撑杆CD垂直于水平线），通过滑
动A、B可以调节CD的高度．当AB经过圆心O时，它的宽度达到最大值10cm，在支架水平放置的状态
下：
(1)当滑动杆AB的宽度从10厘米向上升高调整到6厘米时，求此时支撑杆CD的高度．
(2)如图3，当某手机被支架锁住时，锁住高度与手机宽度恰好相等（AE=AB），求该手机的宽度．题型十一：垂径定理求取值范围
1.已知，如图，∠MON=60°，点A，B为射线OM，ON上的动点，且AB=4√3，在∠MON的内部、
△AOB的外部有一点P，且AP=BP，∠APB=120°，则线段OP的取范围 ．
2.如图，C、D是以AB为直径的圆O上的两个动点（点C、D不与A、B重合），M是弦CD的中点，过点
C作CP⊥AB于点P．若CD＝3，AB＝5，则PM的范围是 ．
3.如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OE=AE=2，F为B´D上一点，CF与AB交于点G，若
FG>CG，则BF的长的范围为( )
A．4”“=”或“<”）
(2)求图中△BCD的面积．4.如图，在⊙O中，A´C＝C´B，CD⊥OA于点D，CE⊥OB于点E．
(1)求证：CD＝CE；
(2)若∠AOB＝120°，OA＝2，求四边形DOEC的面积．
题型十七：弧弦圆心角关系求弧的度数
1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝26°，以点C为圆心，BC为半径的圆分别交AB、AC于点D、
点E，则弧BD的度数为（ ）
A．52° B．26° C．64° D．128°
2.如图，点A、C、E在⊙O上，BD为直径，∠B+∠E=155°，则弧CD的度数为 ．
3.同圆中，已知弧AB所对的圆心角是100°，则弧AB所对的圆周角是 ．
题型十八：弧弦圆心角关系比较大小
1.如图所示，在⊙O中，A´B=2C´D，那么（ ）
A．AB>2CD B．AB<2CD C．AB=2CD D．无法比较
2.在同圆中，若弧AB和弧CD都是劣弧，且弧AB=2弧CD，那么AB和CD的大小关系是（ ）A．AB=2CD B．AB>2CD C．AB<2CD D．无法比较它们的大小
⏜ ⏜ ⏜
3.如图，在⊙O中， AB=BC=CD ，连接AC，CD，则AC与CD的关系是（ ）．
A．AC=2CD B．AC<2CD
C．AC>2CD D．无法比较
4.如图，大半圆中有n个小半圆，若大半圆弧长为L ，n个小半圆弧长的和为L ，大半圆的弦AB，BC，CD
1 2
的长度和为L ．则（ ）
3
A．L ＝L ＞L
1 2 3
B．L ＝L ＜L
1 2 3
C．无法比较L 、L 、L 间的大小关系
1 2 3
D．L ＞L ＞L
1 3 2
5.在⊙O中，C是A´B的中点，D是A´C上的任一点（与点A、C不重合），则（ ）
A．AC+CB＝AD+DB B．AC+CB＜AD+DB
C．AC+CB＞AD+DB D．AC+CB与AD+DB的大小关系不确定
6.如图，点P ~P 是⊙O的八等分点．若△P P P ，四边形P P P P 的周长分别为a，b，则下列正
1 8 1 3 7 3 4 6 7
确的是( )
A．ab D．a，b大小无法比较7.如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，C、D是A´B上两点，过点D作DE∥OC交OB于E点，在OD
上取点F，使OF=DE，连接CF并延长交OB于G点．
(1)求证：△OCF≌△DOE；
(2)若C、D是AB的三等分点，OA=2√3：
①求∠OGC；
②请比较GE和BE的大小．
题型十九：弧弦圆心角关系求最值
1.如图，在扇形BOC中，∠BOC=60°，OD平分∠BOC交弧BC于点D．点E为半径OB上一动点，若
OB=2，则CE+DE长的最小值为 ．
2.在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，在6×6的正方形网格
图形ABCD中，M，N分别是AB，BC上的格点，BM＝4，BN＝2．若点P是这个网格图形中的格点，连接
PM，PN，则所有满足∠MPN＝45°的△PMN中，边PM的长的最大值是（ ）
A．4√2 B．6 C．2√10 D．3√5
3.如图，CD是⊙O的直径，CD=8，∠ACD=20°，点B为弧AD的中点，点P是直径CD上的一个动
点，则PA+PB的最小值为 ．
4.如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，C为A´B的三等分点（更靠近A点），点P是⊙O上一个动点，取弦AP的中点D，则线段CD的最大值为（ ）
A．2 B．√7 C．2√3 D．√3+1
5.如图，AB是⊙O的直径，AB＝12，点M在⊙O上，∠MAB=20°，N是M´B的中点，连接MN，P是直
径AB上的动点，若弦MN=2，则△PMN周长的最小值为 ．
6.如图，在边长为6的等边ΔABC中，点E，F分别是边AC，BC上的动点，且AE=CF，连接BE，AF
交于点P，连接CP，则CP的最小值为 ．
7.如图，在⊙O中，点C是A´B上的一点，作AD∥BC交⊙O于点D，连接AB．
(1)求证：AC=BD；
(2)连接BO并延长BO交⊙O于点E，交弦AD于点F，连接CE交AD于点G，连接AE、AC，请根据题意
画图．已知BE=8，AB=4√3．
①若CE=4√2，求AF的长度；②若点C从点A沿A´B运动点B时，求线段BG的长度最小值．题型二十：弧弦圆心角关系证明
1.如图，点A，B，C，D在⊙O上，A´B＝C´D．求证：
(1)AC＝BD；
(2)△ABE∽△DCE．
2.如图，⊙O经过△ABC的顶点A，C及AB的中点D，且D是A´C的中点．
(1)求证：△ABC是直角三角形；
(2)若⊙O的半径为1，求AB2:BC的值．
3.如图，在⊙O中，弦AD、BC相交于点E，连接OE，已知A´B=C´D．
(1)求证：BE=DE；
(2)如果⊙O的半径为5，AD⊥CB,DE=1，求AE的长．4.如图，已知在⊙O中， A´B＝B´C＝C´D，OC与AD相交于点E．求证：
（1）AD∥BC
（2）四边形BCDE为菱形．
5.如图，在扇形AOB中，点C、D在A´B上，A´D=C´B，点F、E分别在半径OA、OB上，OF=OE，连接
DE、CF．
(1)求证：DE=CF；
(2)设点Р为C´D的中点，连接CD、EF、PO，线段PO交CD于点M、交EF于点N．如果PO∥DE，求
证：四边形MNED是矩形．
6.如图，A、B是圆O上的两点，∠AOB=120°，C是A´B的中点．
(1)求证：AB平分∠OAC；
(2)延长OA至P，使得OA=AP，连接PC，若圆O的半径R=1，求PC的长．7.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB上的一点，以BD为直径的半圆与交BC于点F，且
AC切⊙O于点E．
(1)求证：D´E=E´F；
(2)若∠A=30°，AB=6，求CF的长．
8.如图，四边形ABCD内接于⊙O，延长BC到点E，使得CE=AB，∠1=∠2，连接ED．
(1)求证：BD=ED；
(2)若AB=3，BC=5，∠ABC=60°．求tan∠DCB的值．
题型二十一：圆周角定理求解
1.如图，在⊙O中，直径AB=4，弦CD=2，连接AD，BC相交于点E，则∠AEC的度数是 ．
2.如图，△ABC内接于⊙O,∠C=46°，连接OA，则∠OAB=（ ）
A．44° B．45° C．54° D．67°3.如图，AB、AC是⊙O的弦，过点A的切线交CB的延长线于点D，若∠BAD=35°，则∠C=
°．
4.如图，在⊙O中，OA=3，∠C=45°，则图中阴影部分的面积是 ．（结果保留π）
5.如图，△ABC内接于⊙O，CD是⊙O的直径，∠ACD=40°，则∠B=（ ）
A．70° B．60° C．50° D．40°
6.如图，在⊙O中，∠BOC＝130°，点A在BA´C上，则∠BAC的度数为（ ）
A．55° B．65° C．75° D．130°7.如图，在边长为1的正方形网格中，⊙O是△ABC的外接圆，点A，B，O在格点上，则cos∠ACB的值是
．
8.如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上的一点，连接AC、BC，OD⊥BC于点E，交⊙O于点D，连接CD、
AD，AD与BC交于点F，CG与BA的延长线交于点G．
（1）求证：△ACD∽△CFD；
（2）若∠CDA＝∠GCA，求证：CG为⊙O的切线；
1
（3）若sin∠CAD＝ ，求tan∠CDA的值．
3
题型二十二：圆周角定理推论求解
1.如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠CAB＝55°，则∠D的度数是 ．
2.一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作如上2图所示的测量，测
得AB=12cm，BC=5cm，则圆形镜面的半径为 ．3.如图，BC是⊙O的直径，D为⊙O上一点，A为CB´D的中点，AE⊥BC于H并交⊙O于点E，若
CD=3DF，AC=4，则⊙O的半径长为（ ）
5 8 4 4
A． B． √13 C． √13 D． √3
2 13 13 3
4.如图，边长为6的等边三角形ABC内接于⊙O，点D为AC上的动点（点A、C除外），BD的延长线交
⊙O于点E，连接CE．
(1)求证△CED∽△BAD；
(2)当DC=2AD时，求CE的长．
5.如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径，若∠B=20°，则∠CAD的度数是（ ）
A．60° B．65° C．70° D．75°
6.如图，C，D是⊙O上直径AB两侧的两点．设∠ABC=25°，则∠BDC=（ ）A．85° B．75° C．70° D．65°
7.如图，点A，B，C，D在⊙O上，AC⊥BC,AC=4,∠ADC=30°，则BC的长为（ ）
A．4√3 B．8 C．4√2 D．4
8.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，∠ADB=∠CDB．
(1)试判断△ABC的形状，并给出证明；
(2)若AB=√2，AD=1，求CD的长度．
题型二十三：圆内接四边形求角度
1.如图，若∠AOB=70°，则∠APB的度数为（ ）
A．110° B．145° C．135° D．160°
2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=70°，则∠ADC的度数是（ ）
A．70° B．110° C．130° D．140°3.如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接OB，OD，BD，若∠C=110°，则∠OBD=（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
4.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB=CD，A为B´D中点，∠BDC=60°，则∠ADB等于（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
5.如图，△ABC内接于⊙O，∠ABC=120°，AC=4√3，则⊙O的半径为（ ）
A．4 B．4√3 C．2√3 D．√3
6.如图，四边形ABCD内接于⊙O，如果它的一个外角∠DCE=64°，那么∠BOD的度数为( )
A．128° B．64° C．32° D．116°7.如图，AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，与△ABC的外接圆交于点D，则图中与∠EAD相等
的角(不包括∠EAD)是 ．
8.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BE是⊙O的直径，连接AE，OD，若AE∥OD，且
AE=OD，则∠BCD的度数为（ ）
A．100° B．105° C．110° D．120°
9.如图，四边形ABCD内接于⊙O，它的3个外角∠EAB，∠FBC，∠GCD的度数之比为1:2:4，
则∠D= ．
10.如图，∠DCE是⊙O内接四边形ABCD的一个外角，若∠DCE＝72°，那么∠BOD的度数为 ．题型二十四：圆的有关性质求值
1.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=9，AC=12，经过点B且半径为5的⊙O与AB交于D，与
CB的延长线交于E，则线段DE的长为（ ）
A．6.4 B．7 C．7.2 D．8
2.如图，在△ABC中，∠ACB=90∘，过点B，C的⊙O分别交AC，AB于D，E两点，连接EO并延
3
长交⊙O于点F，连接BF，CF．若∠EDC=135∘，CF=√5，S = ，则AB的长为（ ）
△EBF 2
A．√10 B．√13 C．4 D．10
3.如图，圆内接四边形ABCD，∠ABC=60°，对角线BD平分∠ADC，过点B作BE∥CD交DA的延
长线于点E，若AD=2，DC=3，则△BDE的面积为 ．4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，BC和DE相交于
点O，点D落在线段AB上，连接BE．
(1)若∠ABC=20°，则∠BCE= ；
(2)若BE=BD，则tan∠ABC= ．
5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，E为线段AB上一动点，CF⊥CE交△ACE的外接圆于点
F，连接AF，其中AC=3，BC=4．
(1)求证△CFA∽△CEB；
(2)当E从B运动到A时，F运动路径的长为______．
6.如图，边长一定的正方形ABCD，Q为CD上一个动点，AQ交BD于点M，过M作MN⊥AQ交BC于点
1 AB+BN
N，作NP⊥BD于点P，连接NQ，下列结论：①AM＝MN；②MP＝ BD；③BN＋DQ＝NQ；④
2 BM
为定值√2．一定成立的是 ．题型二十五：圆的有关性质证明
7.如图①，在△ABC中，CA=CB，D是△ABC外接圆⊙O上一点，连接CD，过点B作BE∥CD，
交AD的延长线于点E，交⊙O于点F．
(1)求证：四边形DEFC是平行四边形；
(2)如图②，若AB为⊙O直径，AB=7，BF=1，求CD的长．
8.定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个
内角的遥望角．
（1）如图1，∠E是△ABC中∠A的遥望角，若∠A＝α，请用含α的代数式表示∠E．
（2）如图2，四边形ABCD内接于⊙O，^AD＝^BD，四边形ABCD的外角平分线DF交⊙O于点F，连结BF
并延长交CD的延长线于点E．求证：∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角．
（3）如图3，在（2）的条件下，连结AE，AF，若AC是⊙O的直径．
①求∠AED的度数；
②若AB＝8，CD＝5，求△DEF的面积．9.如图，AB是⊙O的直径，点P是射线AB上的一动点（不与点A，B重合），过点P作⊙O的割线交
⊙O于点C，D，BH⊥CD于H，连接BC，BD．
(1)①在图1的情形下，证明：BC⋅BD=AB⋅BH；
②当点P处于图2中的位置时，①中的结论___________（填“仍成立”或“不再成立”）；
(2)若⊙O的半径为3，当∠APC=30°且BC⋅BD=6时，求AP的长．
10.阅读与思考：阿基米德（公元前287年－公元前212年），伟大的古希腊哲学家、百科式科学家、数
学家、物理学家、力学家、静态力学和流体静力学的奠基人，并且享有“力学之父”的美称，留给后人
的最有价值的书是《阿基米德全集》．在该书的“引理集”中有这样一道题：
如图1，以AB为直径作半圆O，弦AC是一个内接正五边形的一条边（即：∠AOC=72°），点D是A´C
的中点，连接CD并延长与直径BA的延长线交于点E，连接AC,DB交于点F，过点F作FM⊥AB于点
M．求证：ME是半圆的半径．
下面是勤奋小组的部分证明过程：
证明：如图2，过点D作DH⊥AB于点H．
∵∠AOC=72∘,A´C=A´C，
1
∴∠ABC= ∠AOC=36°．（依据1）
2
∵点D是A´C的中点，
∴A´D=D´C．
∵∠AOC=72°，
∴∠AOD=∠COD=36°．1
∴∠ABD=∠CBD=∠DAC=∠DCA= ∠ABC=18°．（依据2）
2
∵以AB为直径作半圆O，
∴∠ACB=∠ADB=90°．（依据3）
∴∠BCD=∠ACD+∠ACB=108°．
∵四边形ABCD是半圆O的内接四边形，
∴∠BAD=180°−∠DCB=72°,∠ADC+∠ABC=180°．（依据4）
∵∠ADE+∠ADC=180°，
∴∠ADE=∠ABC=36°．
∵FM⊥AB于点M，
∴FM=FC,∠FMB=∠ACB=90°．
∵BF=BF，
∴△BCF≌△BMF(HL)．
∵BC=BM．
∵BC=BM,∠ABD=∠CBD,BD=BD．
∴△BCD≌△BMD(SAS)．
∴DC=DM．
……
通过上面的阅读，完成下列任务：
(1)任务一：直接写出依据1，依据2，依据3和依据4；
(2)任务二：根据勤奋小组的解答过程完成该题的证明过程．（提示：先求出∠A的度数，再根据等腰三
角形的性质或判定完成该题的证明过程）11.“同弧或等弧所对的圆周角相等”，利用这个推论可以解决很多数学问题．
(1)【知识理解】如图1，圆O的内接四边形ACBD中，∠ABC=60°，BC=AC，
①∠BDC=________；∠DAB________∠DCB（填“>”，“=”，“<”）
②将D点绕点B顺时针旋转60°得到点E，则线段DB，DC，DA的数量关系为________．
1
(2)【知识应用】如图2，AB是圆O的直径，tan∠ABC= ，猜想DA，DB，DC的数量关系，并证
2
明；
(3)【知识拓展】如图3，已知AB=2，A，B分别是射线DA，DB上的两个动点，以AB为边往外构造
等边△ABC，点C在∠MDN内部，若∠D=120°，直接写出四边形ADBC面积S的取值范围．
12.已知在Rt△ABC中，∠B=30°，点M平分BC,AD平分∠BAC，过点A,M,D的⊙O分别交
AB,AC于点E,F．
(1)求∠MAD的度数；
(2)连接DF，求证：△CDF是等边三角形；
(3)若AC=4，则⊙O的半径r=______________．题型二十六：圆中翻折问题
1.如图，在⊙O中，AB为直径，C为圆上一点，将劣弧AC沿弦AC翻折，交AB于点D，连接CD，若点
D与圆心O不重合，∠BAC=25°，则∠DCA= ．
2.如图，在半圆ACB中，AB=6，将半圆ACB沿弦BC所在的直线折叠，若弧BC恰好过圆心O，则弧
BC的长是（ ）
A．3√3 B．π C．2π D．4π
3.如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，先将B´C沿BC翻折交AB于点D．再将B´D沿AB翻折交BC
于点E．若B´E=D´E，设∠ABC=α，则α所在的范围是（ ）
A．21.9°<α<22.3° B．22.3°<α<22.7°
C．22.7°<α<23.1° D．23.1°<α<23.5°
4.如图，AB、AC为⊙O的两条弦，AB=3√2，AC=4，将AB折叠后刚好过弦AC的中点D，则⊙O
的半径为（ ）
A．2√2 B．√5 C．5 D．√75.如图，E为正方形ABCD的边CD上一点（不与C、D重合），将△BCE沿直线BE翻折到△BFE，延
长EF交AE于点G，点O是过B、E、G三点的圆劣弧EG上一点，则∠EOG＝ °．
6.如图，在⊙O中，点C在优弧A´B上，将弧B´C沿BC折叠后刚好经过AB的中点D．若⊙O的半径为
5，AB=4√5，则A´C的长是（ ）
5π 25π 10π
A． B． C． D．4π
2 4 3
7.如图，AB、AC是⊙O的弦（不是直径），将A´B沿AB翻折交AC于点D．若A´B=A´C，A´D=B´D，
AD
则 ＝ ．
CD
8.如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两个点，将⊙O沿弦BC折叠，圆弧BC恰好与弦DA，DB
分别相切于点E，B．若AB=2，则弦BC的长是（ ）
1+√3 √2+√3 1+√6 √2+√6
A． B． C． D．
2 2 2 29.在《折叠圆形纸片》综合实践课上，小东同学展示了如下的操作及问题：
(1)如图1，⊙O 的半径为4cm，通过折叠圆形纸片，使得劣弧AB沿弦AB折叠后恰好过圆心O ，求AB
1 1
长；
(2)如图2，O C⊥弦AB，垂足为点C，劣弧AB沿弦AB折叠后经过O C的中点D，AB=10cm，求⊙O
2 2
的半径．
10.如图（1）AB是⊙O的直径，且AB=2，点C是半圆AB的中点，点P是B´C上一动点，将A´P沿直线
AP折叠交AB于点D，连接PD，PB．
(1)求证：PD=PB；
(2)当点D与点O重合时，如图（2），求B´P的长．
11.【问题背景】
如图1，在⊙O中，将劣弧AB沿弦AB所在的直线折叠，使得劣弧AB恰好过圆心O，圆心O关于直线
AB的对称点为O'．
(1)【探究发现】如图1，连接AO、BO，并延长AO交⊙O于D，连接BD．直接写出∠AOB的度数为
__________，BO与BD的数量关系为__________；
(2)【深入探究】如图2，将劣弧AB沿弦AB所在的直线折叠，弧AB不经过圆心O，在劣弧AB上取一点C
（不与A、B重合），连接AC并延长交⊙O于点D，连接BC、BD．猜想BC与BD的数量关系，并说明理由；
(3)【拓展应用】如图3，在（2）条件下，若BC平分∠ABD，BD=15，CD=10，求AB的长．12.如图，已知，AB是⊙O的直径，点C为圆上一点．
(1)如图①，将A´C沿弦AC翻折，交AB于D，若点D与圆心O重合，AC=2√3，则⊙O的半径为 ；
(2)如图②，将B´C沿弦BC翻折，交AB于D，把B´D沿直径AB翻折，交BC于点E．
（Ⅰ）若点E恰好是翻折后的B´D的中点，则∠B的度数为 ；
（Ⅱ）如图③，连接DE，若AB=10，OD=1，求线段DE的长．
题型二十七：圆中最值问题
1.如图，AB是半⊙O的直径，点C在半⊙O上，AB=2√13cm，AC=6cm．D是B´C上的一个动点，
连接AD，过点C作CE⊥AD于E，连接BE．在点D移动的过程中，BE的最小值为（ ）
A．√13−2 B．√13 C．√3 D．2
2.嘉嘉与淇淇在讨论下面的问题：
如图，Rt△ABC中，AB=60，AC=45，∠BAC=90°．D，E分别是AC，AB边上的动点，DE=52，
以DE为直径的⊙O交BC于点P，Q两点，求线段PQ的最大值．
嘉嘉：当点D，E分别在AC，AB上移动时，点О到点A的距离为定值；
淇淇：当PQ为圆О的直径时，线段PQ的长最大．
关于上述问题及两人的讨论，下列说法正确的是（ ）
A．两人的说法都正确，线段PQ的最大值为52
B．嘉嘉的说法正确，淇淇的说法有问题，线段PQ长度的最大值为48
C．淇淇的说法有问题，当DE∥BC时，线段PQ的长度最大
D．这道题目有问题，PQ的长度只有最小值，没有最大值3.如图，在△ABC中，∠BCA=60°，∠A=45°，AC=4经过点C且与边AB相切的动圆与CB，CA
分别相交于点M，N，则线段MN长度的最小值是（ ）
A．3 B．2√3 C．2√2 D．√6
4.如图，在平面直角坐标系中，点A，C，N的坐标分别为（2，0），（2，0），（4，3），以点C为圆
心，2为半径画⊙C，点P在⊙C上运动，连接AP，交⊙C于点Q，点M为线段QP的中点，连接MN，则
线段MN的最小值为（ ）
A．√21−6√3 B．3 C．√13 D．√10
5.如图，⊙O半径为√2，正方形ABCD内接于⊙O，点E在AD´C上运动，连接BE，作AF⊥BE，垂
足为F，连接CF．则CF长的最小值为（ ）
√2
A．√5−1 B．1 C．√2−1 D．
2
6.如图， A，B是半圆O上的两点，CD是⊙O的直径，∠AOD=80°，B是AD的中点．
(1)在CD上求作一点P，使得AP+PB最短；
(2)若CD=4，求AP+PB的最小值．题型二十八：圆中取值范围问题
1.如图，在⊙O中，直径AB=10，CD⊥AB于点E，CD=8．点F是弧BC上动点，且与点B、C不重
合，P是直径AB上的动点，设m=PC+PF，则m的取值范围是( )
A．80)的图象上，当以OB为直径的圆经过A点，点B
x
的坐标为 ．
3.如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC=2，∠BAC=30°，则⊙O的直径等于 ．
4.如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上．若∠BCD=100°，则∠AOD的度数是（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
5.如图，在⊙O中，AB是直径，弦AC的长为5cm，点D在圆上，且∠ADC=30°，则⊙O的半径为
．
