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专题 06 圆（55 题）
1．（2023·江西·中考真题）如图，点 ， ， ， 均在直线 上，点 在直线 外，则经
过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】D
【分析】根据不共线三点确定一个圆可得，直线上任意2个点加上点 可以画出一个圆，
据此列举所有可能即可求解．
【详解】解：依题意， ； ； ； ； ， 加上点 可以画出一个圆，
∴共有6个，
故选：D．
【点睛】本题考查了确定圆的条件，熟练掌握不共线三点确定一个圆是解题的关键．
2．（2024·江西·中考真题）如图， 是 的直径， ，点C在线段 上运动，过
点C的弦 ，将 沿 翻折交直线 于点F，当 的长为正整数时，线段
的长为 ．
【答案】 或 或2
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，折叠的性质，根据 ，可得 或
2，利用勾股定理进行解答即可，进行分类讨论是解题的关键．
【详解】解： 为直径， 为弦，
，
当 的长为正整数时， 或2，
当 时，即 为直径，
1将 沿 翻折交直线 于点F，此时 与点 重合，
故 ；
当 时，且在点 在线段 之间，
如图，连接 ，
此时 ，
，
，
，
，
；
当 时，且点 在线段 之间，连接 ，
同理可得 ，
，
综上，可得线段 的长为 或 或2，
故答案为： 或 或2．
3．（2025·江西·中考真题）如图，点A，B，C在 上， ，以 ， 为边
作 ．
2(1)当 经过圆心O时（如图1），求 的度数；
(2)当 与 相切时（如图2），若 的半径为6，求 的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先根据直径所对的圆周角为直角，得出 ，再求出
，再根据平行四边形的性质得出 ；
（2）连接 、 ，根据切线性质得出 ，证明 ，得出 ，
说明 垂直平分 ，根据线段垂直平分线的性质得出 ，根据等腰三角形性质得
出 ，根据圆周角定理得出 ，最后根据弧长公式
求出结果即可．
【详解】（1）解：∵ 经过圆心O，
∴ 为 的直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵四边形 为平行四边形，
∴ ；
（2）解：连接 、 ，如图所示：
∵ 与 相切，
∴ ，
∴ ，
∵在 中 ，
∴ ，
3∴ ，
∴ ，
∴ 垂直平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了切线的性质，弧长公式，等腰三角形的判定和性质，平行四边形
的性质，垂径定理，圆周角定理，线段垂直平分线的性质，解题的关键是数形结合，熟练
掌握相关的判定和性质．
4．（2024·江西·中考真题）如图， 是半圆O的直径，点D是弦 延长线上一点，连
接 ， ．
(1)求证： 是半圆O的切线；
(2)当 时，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了直径所对的圆周角为直角，等边三角形的判定和性质，弧长公式，熟
知相关性质和计算公式是解题的关键．
（1）根据直径所对的圆周角为直角结合已知条件，可得 ，即可得 ，
进而可证得结论；
（2）连接 ，证明 为等边三角形，求得 ，利用弧长公式即可解答．
【详解】（1）证明： 是半圆O的直径，
，
，
，
，
是半圆O的切线；
（2）解：如图，连接 ，
4，
为等边三角形，
， ，
，
．
5．（2023·江西·中考真题）如图，在 中， ，以 为直径的
与 相交于点D，E为 上一点，且 ．
(1)求 的长；
(2)若 ，求证： 为 的切线．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）如图所示，连接 ，先求出 ，再由圆周角定理得到
，进而求出 ，再根据弧长公式进行求解即可；
（2）如图所示，连接 ，先由三角形内角和定理得到 ，则由圆周角定理可
得 ，再由 是 的直径，得到 ，进而求出
，进一步推出 ，由此即可证明 是 的切线．
【详解】（1）解：如图所示，连接 ，
∵ 是 的直径，且 ，
∴ ，
∵E为 上一点，且 ，
∴ ，
∴ ，
5∴ 的长 ；
（2）证明：如图所示，连接 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的直径，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∵ 是 的半径，
∴ 是 的切线．
【点睛】本题主要考查了切线的判定，求弧长，圆周角定理，三角形内角和定理等等，正
确作出辅助线是解题的关键
．
6．（2022·江西·中考真题）（1）课本再现：在 中， 是 所对的圆心角，
是 所对的圆周角，我们在数学课上探索两者之间的关系时，要根据圆心O与 的位
置关系进行分类．图1是其中一种情况，请你在图2和图3中画出其它两种情况的图形，
并从三种位置关系中任选一种情况证明 ；
（2）知识应用：如图4，若 的半径为2， 分别与 相切于点A，B，
，求 的长．
6【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）①如图2，当点O在∠ACB的内部，作直径，根据三角形外角的性质和等腰
三角形的性质可得结论；②如图3，当O在∠ACB的外部时，作直径CD，同理可理结论；
（2）如图4，先根据（1）中的结论可得∠AOB=120°，由切线的性质可得
∠OAP=∠OBP=90°，可得∠OPA=30°，从而得PA的长．
【详解】解：（1）①如图2，连接CO，并延长CO交⊙O于点D，
∵OA=OC=OB，
∴∠A=∠ACO，∠B=∠BCO，
∵∠AOD=∠A+∠ACO=2∠ACO，∠BOD=∠B+∠BCO=2∠BCO，
∴∠AOB=∠AOD+∠BOD=2∠ACO+2∠BCO=2∠ACB，
∴∠ACB= ∠AOB；
如图3，连接CO，并延长CO交⊙O于点D，
∵OA=OC=OB，
7∴∠A=∠ACO，∠B=∠BCO，
∵∠AOD=∠A+∠ACO=2∠ACO，∠BOD=∠B+∠BCO=2∠BCO，
∴∠AOB=∠AOD-∠BOD=2∠ACO-2∠BCO=2∠ACB，
∴∠ACB= ∠AOB；
（2）如图4，连接OA，OB，OP，
∵∠C=60°，
∴∠AOB=2∠C=120°，
∵PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，
∴∠OAP=∠OBP=90°，∠APO=∠BPO= ∠APB= （180°-120°）=30°，
∵OA=2，
∴OP=2OA=4，
∴PA=
【点睛】本题考查了切线长定理，圆周角定理等知识，掌握证明圆周角定理的方法是解本
题的关键．
7．（2021·江西·中考真题）如图1，四边形 内接于 ， 为直径，过点 作
于点 ，连接 ．
8（1）求证： ；
（2）若 是 的切线， ，连接 ，如图2．
①请判断四边形ABCO的形状，并说明理由；
②当AB=2时，求AD， AC与 围成阴影部分的面积．
【答案】（1）见解析；（2）四边形ABCO是菱形，理由见解析；（3）阴影部分的面积为
．
【分析】（1）利用圆内接四边形的性质证得∠D=∠EBC，再利用圆周角的性质证得
∠D+∠CAD= ，即可证明∠CAD=∠ECB；
（2）①利用切线的性质得到OC⊥EC，从而证明OC∥AE，再证明∠BAO=∠EBC =60°，推
出BC∥AO，即可证明四边形ABCO是菱形；②先计算 ，再利用扇形的面积公式
计算 ，即可求得阴影部分的面积．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠D+∠ABC= ，
∵∠EBC+∠ABC= ，
∴∠D=∠EBC，
∵AD为⊙O直径，
∴∠ACD= ，
∴∠D+∠CAD= ，
∵CE⊥AB，
∴∠ECB+∠EBC= ，
∴∠CAD=∠ECB；
（2）①四边形ABCO是菱形，理由如下：
∵CE是⊙O的切线，
∴OC⊥EC，
∵AB⊥EC，
∴∠OCE=∠E= ，
∴∠OCE+∠E=18 ，
∴OC∥AE，
∴∠ACO=∠BAC，
∵OA=OC，
∴∠ACO=∠CAD，
9∴∠BAC=∠CAD，
∵∠CAD=∠ECB，∠CAD=30°，
∴∠EBC=90°-30°=60°，
∴∠BAO=∠EBC =60°，
∴BC∥AO，
∴四边形ABCO是平行四边形，
∵OA=OC，
∴四边形ABCO是菱形；
②∵四边形ABCO是菱形，
∴AO=AB=2，AD=4，
∵∠CAD=30°，
∴CD= AD=2，AC=2 ，
过点C作CF⊥AD于点F，
∴CF= ，
∴ ，
∵OC∥AE，
∴∠DOC=∠BAO=60°，
∴ ，
∴阴影部分的面积为 ．
【点睛】本题主要考查了切线的性质、菱形的判定和性质以及扇形面积的求法，熟练掌握
切线的性质定理以及扇形面积的求法是解答此题的关键．
一、单选题
108．（2025·江西萍乡·二模）如图，正六边形 的边长是 ，连接 ， 是 上
的动点，连接 ， ．若 的值是整数，则点 的位置有（ ）
A．3处 B．5处 C．7处 D．9处
【答案】A
【分析】本题考查了正多边形，轴对称的性质，勾股定理等知识的综合，掌握正多边形，
勾股定理的运用是关键．
根据正多边形的性质，轴对称的性质得到点 从 运动时 ， 的取值范围为
，由此即可求解．
【详解】解：∵六边形 是正六边形，
∴ ，点 关于 的对称点为点 ，每个内角的度数为
，
如图所示，连接 ，交 于点 ，连接 ，设 交于点 ，
∴ ， ，
，
∴ ， ，
∴ ， ， ，
∴ ， ，
当点 三点共线时， 的值最小，最小值为 ，
点 从 运动时 ， 的取值范围为 ，
11∵ ，
∴整数值为 ，共3个，
故选：A ．
9．（2025·江西抚州·二模）如图，边长为4的正方形 中，半径为1的⊙ 在正方形
内平移（⊙ 可以与该正方形 的边相切），设点 到⊙ 上的点的距离为 ，
且 是整数，则 的值所有情况有（ ）
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
【答案】C
【分析】本题主要考查了切线的性质，正方形的性质，直线和圆的位置关系，勾股定理，
解题的关键是利用分类讨论的思想进行求解；当 与AB，BC相切时，连接 ，证明出
是正方形，利用性质求解；当 与 ， 相切时，切点分别为G，H，连接
， ，利用同样的方法进行求解即可．
【详解】解：如图1，当 与 ， 相切时，切点分别为E，F，连接 ．
由题意易得四边形 是正方形， ．
的半径为1， ，
∴点 到 上的点的距离的最小值为 ．
如图2，当 与 ， 相切时，切点分别为G，H，连接 ， ，
由题意易得四边形 是正方形， ． ，
∴点B，O，D三点共线．
的半径为1，
∴ ，
12，
∴点 到 上的点的距离的最大值为 ．
， ，
∴x的取值可能是1，2，3，4，5，共有5种，
故选：C．
10．（2025·江西赣州·二模）阿基米德不仅是物理学家，还是伟大的数学家，阿基米德折
弦定理就是圆中关于弦的一个定理，其条件大致如下：如图， ， 为 的两条弦
，点 是 的中点，过点 作 于点 ，根据以上条件，下列说法错
误的是（ ）
A．
B．连接 、 ，则
C．
D．作射线 交 于点 ，则 平分
【答案】B
【分析】本题考查了圆周角定理、弦与弧的关系、三角形全等的判定与性质、等腰三角形
的三线合一等知识，熟练掌握圆周角定理是解题关键．先求出 ，再根据
即可判断A正确；连接 ， ， ，先证出 ，再根据三角形的
三边关系可得 ，由此即可判断B错误；在 上截取点 ，使得 ，
连接 ， ， ， ，先证出 ，根据全等三角形的性质可得 ，
再根据等腰三角形的三线合一可得 ，由此即可判断C正确；先求出 ，再
根据圆周角定理可得 ，由此即可判断D正确．
【详解】解：∵点 是 的中点，
13∴ ，
∵ ，
∴ ，则选项A正确；
如图，连接 ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，则选项B错误；
如图，在 上截取点 ，使得 ，连接 ， ， ， ，
由圆周角定理得： ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，则选项C正确；
由题意，画出图形如下：
14∵ 是 的直径，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 平分 ，则选项D正确；
故选：B．
11．（2025·江西宜春·一模）一张直径为 的半圆形卡纸，过直径的两端点剪掉一个三
角形，以下四种裁剪图中，所标数据（单位： ）长度不合理的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了圆的基本性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，构成三角
形的条件，三线合一定理，如选项A中图实所示，过点C作 于D，设直线 与
半圆交于E，连接 ，设 ，则 ，由勾股定理可得方程
，解方程求出 ， ， ；再证明
，得到 ，则可证明 ，则此时满足点C在圆
内，据此可判断A；同理可判断B、D；如选项C中图所示，过点C作 于D，利
用勾股定理求出 的长，可证明 ，则点C在圆外，据此可判断C．
【详解】解：如选项A中图实所示，过点C作 于D，设直线 与半圆交于E，
连接 ，
15设 ，则 ，
由勾股定理得 ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
∴ ， ；
∵ 是半圆的直径，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴此时满足点C在圆内，故A不符合题意；
同理可得B、D两个选项中图形的裁剪合理；
如选项C中图所示，过点C作 于D，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴点C在圆外，故C选项中长度不合理，符合题意；
故选：C．
1612．（2025·江西南昌·一模）如图，点 ， ，半径为 的 经过点 ，
，则点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查矩形的判定与性质，垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理及其应用
是解题的关键．连接 ，过点 作 于点 ， 轴于点 ，可得四边形
是矩形，得出 ， ，利用 ， ，可得 ，
， ，利用垂径定理可得 ，则可得 ，利用勾股定理可得
，即可得．
【详解】解：如图，连接 ，过点 作 于点 ， 轴于点 ，
又∵ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 的半径为 ，
17∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：D．
二、填空题
13．（2025·江西九江·一模）如图， 内接于 ， 是 的直径， ，
则 的度数为 ．
【答案】 /69度
【分析】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，三角形内角
和定理，由直径所对的圆周角是直角得到 ，则由三角形内角和定理可得
，则可得到 ．
【详解】解：∵ 是 的直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故答案为： ．
14．（2025·江西新余·三模）如图，在矩形 中， ．点 在边 上，
且 ， 分别是边 ， 上的点，且 ， 是线段 上的动点，当
是直角三角形时， 的长为 ．
18【答案】 或 或
【分析】先证明 ， ，①如图1，过点 作 交 于点 ，
连接 ，证明四边形 为矩形，②如图2，过点 作 交 于点 ，此时
是直角三角形，过点 作 于点 ，则 ，③如图3，以 为直径
作圆，与 交于点 ，此时 是直角三角形，过点 构造矩形 ，
且 与 交于点 ，则 为等腰直角三角形，可得 ，
设 ，则 ，再进一步解答即可.
【详解】解：∵在矩形 中， ，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
①如图1，过点 作 交 于点 ，连接 ，
∵ 是直角三角形时，
∴
∵
∴四边形 为矩形，
∴ ， ， 为等腰直角三角形，
∴ 是直角三角形， ，
∴ ，
②如图2，过点 作 交 于点 ，
19此时 是直角三角形，过点 作 于点 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，而 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，解得 ，
∴ ．
③如图3，以 为直径作圆，与 交于点 ，此时 是直角三角形，
过点 构造矩形 ，且 与 交于点 ，则 为等腰直角三角形，
∴ ，设 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
同理可得： ，而 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
20∴ ，
综上所述，当 是直角三角形时， 的长为 或 或 ．
故答案为： 或 或
【点睛】本题考查的是矩形的判定与性质，勾股定理的应用，圆周角定理的应用，全等三
角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，画出图形，清晰的分类讨论是解本题的关
键.
15．（2025·江西南昌·二模）在 中， ，以点B为圆心，
的长为半径画弧，交 于点D，连接 ，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】
【分析】此题考查了扇形面积公式、等腰三角形的判定和性质等知识．求出 ，
作 于点H，则 得到 ，根据扇形面积减
去三角形面积即可得到答案．
【详解】解：∵ 中，
∴ ，
∵以点B为圆心， 的长为半径画弧，交 于点D，连接 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
作 于点H，则
∴ 是等腰直角三角形，
21∴
∴图中阴影部分的面积为 ，
故答案为：
16．（2025·江西抚州·二模）如图，以 为边作等腰三角形 ， ，若 的
半径为 ，弦 的长为 ，点D在 上，若 ，则 的长为
．
【答案】 或 或
【分析】首先确定点 共有两个位置，当在 处时，连接 ，易知 ；当在 处
时，此时分两种情况，①当点 在直线 下方时，连接 ，过点 作 于
点 ，首先证明 ，结合勾股定理解得 ，再证明 ，由
直角三角形的性质可得 ；②当点 在直线 上方时，如图，连接 ，
交 于点 ，在 上取一点 ，使得 ，连接 ，然后计算 的值．
【详解】解：如下图，过点 作 于点 ，连接 ，
∵ 的半径为 ，弦 的长为 ，
∴ ， ，
22∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即点 其中一个位置与点 重合，
延长 交 于点 ，连接 ，
则有 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴以 为边作等腰三角形 ， ，点 共有两个位置，如图 ，
当在 处时，连接 ，则 ；
当在 处时，此时分两种情况，
①当点 在直线 下方时，如图，连接 ，过点 作 于点 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，即 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
23②当点 在直线 上方时，如图，连接 ，交 于点 ，
则 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 上取一点 ，使得 ，连接 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 垂直平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
综上所述， 的长为 或 或 ．
故答案为： 或 或 ．
【点睛】本题主要考查了垂径定理、圆周角、勾股定理、含30度角的直角三角形的性质、
等腰三角形的判定与性质、解直角三角形等知识，难度较大，综合性较强，正确作出辅助
线并分类讨论是解题关键．
2417．（2025·江西新余·二模）如图，以 为边作等腰三角形 ， ，若 的
半径为 ，弦 的长为 ，点D在 上，若 ，则 的长为
．
【答案】 或 或
【分析】首先确定点 共有两个位置，当在 处时，连接 ，易知 ；当在 处
时，此时分两种情况，①当点 在直线 下方时，连接 ，过点 作 于
点 ，首先证明 ，结合勾股定理解得 ，再证明 ，由
直角三角形的性质可得 ；②当点 在直线 上方时，如图，连接 ，
交 于点 ，在 上取一点 ，使得 ，连接 ，然后计算 的值．
【详解】解：如下图，过点 作 于点 ，连接 ，
∵ 的半径为 ，弦 的长为 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
25即点 其中一个位置与点 重合，
延长 交 于点 ，连接 ，
则有 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴以 为边作等腰三角形 ， ，点 共有两个位置，如图 ，
当在 处时，连接 ，则 ，即 ；
当在 处时，此时分两种情况，
①当点 在直线 下方时，如图，连接 ，过点 作 于点 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，即 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
②当点 在直线 上方时，如图，连接 ，交 于点 ，
则 ，
∴ ，
∵ ，
26∴ ，
在 上取一点 ，使得 ，连接 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 垂直平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
综上所述， 的长为 或 或 ．
故答案为： 或 或 ．
【点睛】本题主要考查了垂径定理、圆周角、勾股定理、含30度角的直角三角形的性质、
等腰三角形的判定与性质、解直角三角形等知识，难度较大，综合性较强，正确作出辅助
线并分类讨论是解题关键．
18．（2025·江西宜春·一模）如图，在平面直角坐标系 中， 与x轴交于B，C两点，
与y轴交于点A，且 ，则圆的半径为 ．
27【答案】5
【分析】本题主要考查了勾股定理，圆的基本性质，坐标与图形，连接 ，设
，则 ，由勾股定理得 ，解方程即可得到答
案．
【详解】解：如图所示，连接 ，
设 ，则 ，
在 中，由勾股定理得 ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
∴圆的半径为5，
故答案为：5．
三、解答题
19．（2025·江西南昌·三模）在正方形网格中，圆经过格点A，B，请仅用无刻度的直尺作
图：
28(1)在图1中，作圆的直径 ；
(2)在图2中，在圆上找一点D，使 ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查网格中作图，涉及圆周角定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形
的判定，利用转化的思想得到作图依据是解答的关键．
（1）利用90度的圆周角（即 ）所对的弦是直径可画出直径 ；
（2）取格点C、T，连接 延长交圆于点D，连接 ，证明 ，得到
，根据等腰三角形的判定可得 ．
【详解】（1）解：如图1中，直径 即为所求；
（2）解：如图2中，点D即为所求．
20．（2025·江西南昌·三模）如图， 在 中， 以 为直径作 ， 交 于点 P，
是 的切线， 且 ，垂足为点 D．
(1)求证： ；
(2)若 ， 求 的半径．
29【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接 ，如图，先根据切线的性质得到 ，则可判断 ，所
以 ，然后利用 可得到结论；
（2）连接 ，先利用勾股定理计算出 ，再根据圆周角定理得到 ，
接着证明 ，则利用相似三角形对应边成比例可计算出 ，然后利用
得到 ，从而得到 的半径．
【详解】（1）证明：连接 ，如图，
是 的切线，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：连接 ，如图，
在 中，
，则 ，
，
为直径，
，
， ，
，
，
30∴ ，即 ，
解得 ，
，
，
的半径为5．
【点睛】本题考查了勾股定理、圆周角定理和相似三角形的判定与性质等知识．解题的关
键是学会添加常用辅助线解决问题；
21．（2025·江西新余·模拟预测）如图，在 中，O为 上一点，以O为圆心，
长为半径作圆，与 相切于点C，过点A作 ，交 的延长线于点D，且
．
(1)求证： 为 的切线；
(2)若 ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查切线的判定与性质，解题的关键是掌握切线的判定、切线长定理、
全等与相似三角形的判定与性质及解直角三角形的应用．
（1） 作 ， 先由 求得 ， 再由
及 求得 ， 最后证 得 ，依
据切线的判定可得；
（2）先求得 ， 在 中求得 、 ， 由切线长定理知
、 、 ， 继而得 ，再证 ，根据对应边成
比例解答即可．
【详解】（1）证明：过点 作 边上的垂线，并交 于点 ，
31，
，
， ，
，
，
又∵ 是 的切线，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ 是 的切线；
（2）∵ ，
，
又∵ ，
， ，
∵ ，
，
，
，
32，
，
即 的半径为 ，
，
， ，
∵ ， ，
，
，
．
22．（2025·江西新余·三模）如图，在 中， 是 的直径， 是 上的一点，
是 的中点，连接 并延长至点 ，连接 ，且 ．
(1)求证： 为 的切线．
(2)若 的半径为4， ，连接 ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）证明 ，可得 ，证明 ，进一步可得
结论；
（2）先求解 ，证明 ，可得 ，即
，再进一步求解即可．
【详解】（1）证明：∵ 是 的中点， 是 的中点，
∴ ，
∴ ，
33∵ 是 的直径，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，而 为 的半径，
∴ 为 的切线；
（2）解：∵ 的半径为4， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，即 ，
解得 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查的是圆周角定理的应用，垂径定理的应用，勾股定理的应用，相似三角
形的判定与性质，圆的切线的判定，熟练的证明切线与相似三角形是解本题的关键.
23．（2025·江西九江·三模）如图， 是 的直径，四边形 是平行四边形，请仅
用无刻度的直尺按要求完成以下作图（不写作法，保留作图痕迹）．
(1)在图1中，点 与点 重合，请作出 的中点 ．
(2)在图2中，请作出 的中点 ．
【答案】(1)见解析
34(2)见解析
【分析】本题考查了复杂作图，涉及到平行四边形的性质、垂径定理，熟练掌握相关知识
的性质是作图的关键．
（1）连接 并延长交 于 ，连接 交 于M，则根据平行四边形的对角线互相
平分可得到 ，根据平分弦（不是直径）的直径且垂直于弦,平分弦所对的两条弧
可得 平分 ；
（2）由（1）可作 的中点 ，由中位线定理的圆周角定理定理得到 ，同
（1）理．
【详解】（1）解：如图1，点 即为 的中点；
（2）解：如图2，点 即 的中点．
24．（2025·江西萍乡·二模）追本溯源
题（1）来自课本中的练习，请你完成解答，并完成变式训练题（2）．
(1)如图1， 与 相切于点 ．若 的直径为 ，求 的
长．
(2)如图2， 与 相切于点 ．若 的直径为 ，求
35的长．
【答案】(1) ；
(2) ．
【分析】本题考查了切线的性质，勾股定理，解直角三角形．
（1）连接 ，利用切线的性质求得 ，利用等腰三角形的性质求得 ，最后
利用勾股定理求解即可；
（2）连接 ，作 于点 ，利用等腰三角形的性质求得 ，得到
，求得 ，利用勾股定理求得 ，利用等腰三角形的性
质求得 ，再由 ，结合勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：连接 ，
∵ 与 相切于点 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 的直径为 ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：连接 ，作 于点 ，
∵ 的直径为 ，
∴ ，
∵ 与 相切于点 ，
36∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
25．（2025·江西萍乡·二模）如图，在 中， 为锐角，其顶点 ， 都在 上，
请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．
(1)在图 中， 的顶点 在 上，作顶点为 的 的余角．
(2)在图 中， 的顶点 在 内，作顶点在直线 上的 的余角．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析．
【分析】本题考查了无刻度直尺画图，圆周角定理，互余定义，掌握知识点的应用是解题
的关键．
（ ）根据圆周角定理画图即可；
（ ）根据圆周角定理画图即可．
【详解】（1）解：如图，连接 延长 交 上于点 ，连接 ，所以 即为
所求；
37理由：∵ 为 直径，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故 即为所求；
（2）解：如图，连接 ，延长 交 上于点 ，连接 ，所以 即为所求；
理由：∵ 为 直径，
∴ ，
∴ ，
故 即为所求．
26．（2025·江西抚州·二模）如图是 的正方形网格，网格边长为1， 的顶点均在
格点上．已知 的外接圆，请仅用无刻度的直尺在给定的网格中完成作图，保留作图
痕迹．
(1)作 的外接圆的直径 ；
(2)过点B作 的外接圆的切线 ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了无刻度直尺作图，三角形的外接圆，圆周角定理，切线的性质，
38解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（1）根据直径所对圆周角为 ，结合网格的特征，取格点 ，则 ，即
交圆于点D，连接 即可；
（2）由（1）知 为 的外接圆的直径，利用网格的特征，取 中点 ，即为
的外接圆的圆心，连接 ，再利用网格的特征，取格点E，作直线 ，可得
，即可解答．
【详解】（1）解：如图，直径 即为所求．
（2）解：如图，切线 即为所求．
AI
27．（2025·江西抚州·二模）如图，在 中，以 为直径的 交 于点 ，连接
．
(1)如图1，若 ， ，求证： 为 的切线；
(2)如图2，若 为 的切线， ， ，求阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了切线的判定和性质，扇形面积，圆周角定理，等边三角形的判定和性
质，三勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．
（1）由圆周角定理求出 ，再根据三角形内角和定理即可求出 ，结
合 时半径即可证明；
（2）过点 作 于点 ，求出 ，由圆周角定理求出 ，易
39证 为等边三角形，求出 ，利用 即可求解．
【详解】（1）解： ，
，
，
，
．
是 的直径，
为 的切线；
（2）解：如图，过点 作 于点 ．
为 的切线，
，
，
．
，
为等边三角形，
，
．
28．（2025·江西新余·三模）如图， 是 的一条弦，将 平移后得一线段 （A，
B的对应点分别为 ， ），且 ， 两点落在 上． 为 的中点， ．
40(1)求证：四边形 是矩形；
(2)若 ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查圆的性质、矩形的判定以及弧长的计算，解题的关键是利用圆中弦、弧、
角的关系以及矩形的判定条件进行推理计算．
（1）通过平移性质得到四边形 是平行四边形，再利用圆的性质和已知平行关系证明
有一个角是直角，从而证得矩形；
（2）先证明四边形 为平行四边形，得到 ，再利用圆的半径关系求出圆心角
，再利用弧长公式计算弧长．
【详解】（1）证明：根据题意可得， ， ，
四边形 为平行四边形，
，
又 ，
，
四边形 是矩形；
（2） 为 的中点，
，
，
又 ，
四边形 为平行四边形，
，
如图，连接 ，
41，
为等边三角形，
，
的长为 ．
29．（2025·江西新余·一模）如图1， 是 的外接圆， 是 的直径，
于点 ， 是 延长线上一点，且 ．
(1)求证： 是 的切线．
(2)如图2，连接 ，若 ， ，求 的半径．
【答案】(1)见解析
(2)4
【分析】（1）如图，连接 ．根据 ，得出 ．根据 得出
，等量代换得出 ，结合 ，即可得
，即可证明．
（2）如图，连接 ，根据垂径定理得出 ， ， ，
结合 ，得出 ，即可得 ，求出 ，
．在 中，解直角三角形求出 ，即可得出 的半径长．
【详解】（1）证明：如图，连接 ．
42，
．
于点 ，
，
，
．
，
，
．
是 的半径，
是 的切线．
（2）解：如图，连接 ，
， ，
， ，
，
又 ，
，
．
，
，
，
，
，
∵ ，
．
43在 中， ，
的半径长为4．
【点睛】该题考查了切线的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，垂径定理，解直角三
角形，三角形内角和定理等知识点，解题的关键是掌握以上知识点．
30．（2025·江西赣州·二模）如图，已知半圆 的直径 的长为6， 、 是半圆 的三
等分点，点 在 上，以 为直径作 ．
(1)设 的弧长为 ，半圆 （即 ）的弧长为 ，若 ，判断 与 的大小关系，
并说明理由；
(2)连接 ，若 与 相切，请求出 的长．
【答案】(1) ，理由见解析
(2)4.5
【分析】本题考查了切线的性质，弧、圆心角的关系，弧长公式等知识，解题的关键是：
（1）连接 ， 弧、圆心角的关系可得出 ，然后根据弧长公式求出 和 即
可；
（2）根据切线的性质得出 ，根据含 的直角三角形的性质得出 ，
求出 ，即可求解．
【详解】（1）解： ．
理由：连接 ，
、 是半圆 的三等分点，
，
，
44，
．
（2）解：连接 ，
与 相切，
，
由（1）知 ，
， ，
，即 ，
31．（2025·江西宜春·一模）如图， 是 的一条对角线，且 ， 的
外接圆 与 边交于点 ．连结 ．
(1)求证： 是 的切线；
(2)求证： ；
(3)若 的半径为5，且 ，求 的长．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
(3)6
【分析】（1）连接 、 ，连接 并延长交 于点 ，可得 垂直平分 ，则
，由三角形内角和定理得出 ，由等边对等角
以及圆周角定理得出 ，再根据平行四边形的性质得出 ，
进而得出 ，进一步即可得出 是 的切线．
（2）由等边对等角，平行四边形的性质，圆内接四边形的性质得出
，即可证明 ．
（3）连接 过点B作 于点F，由等腰三角形三线合一的性质可知 ，
由 ，设 ， ，得出 ，最后根据勾股求解即可．
【详解】（1）证明：连接 、 ，连接 并延长交 于点 ，
45∵ ， ，
∴ 垂直平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∵ 为 的半径，
∴ 是 的切线．
（2）证明：∵ ，
∴ ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
又∵四边形 是 内接四边形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∴ ；
（3）解：连接 、 ，连接 并延长交 于点 ，
46由（1）可知， 垂直平分 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴设 ， ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
即 ，
解得： （舍去）或 ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，平行四边形的性质，正切的
定义，相似三角的判定，圆切线的判定，等腰三角形三线合一等知识，掌握这些性质是解
题的关键．
32．（2025·江西南昌·二模）如图，点 在以 为直径的 上， 平分 交
于点 ，过点 作 ，垂足为 ．
(1)求证： 为 的切线；
(2)若 ，求 的半径．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查切线的判定和性质，矩形的判定和性质、垂径定理、勾股定理等知识，
解题的关键是记住切线的判定方法；
47（1）根据角平分线、等边对等角得出 ，证明 ，结合 ，
即可得证；
（2）过点 作 ，垂足为 ．可得四边形 为矩形．进而求得 ．
设 的半径为 ，在直角三角形 中，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解．
【详解】（1）解：连接 ．
平分 ，
．
，
．
．
．
，
．
．
为 的切线．
（2）过点 作 ，垂足为 ．
四边形 为矩形．
．设 的半径为 ．
，
．
在直角三角形 中， ，
∴ ，
解得 ，
48的半径为 ．
33．（2025·江西吉安·一模）如图， 为 的直径，C为 上一点，弦 的延长线与
过点C 的直线互相垂直，垂足为D，连接 ，且 ．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接 ，则 ，所以 ，而 ，则
，由 为 的直径，得 ，可推导出 ，
即可证明 是 的切线；
（2）连接 ，由 ， ，求得 ， ，而
，所以 ，则 ，即可根据弧长
公式求得 的长是 ．
【详解】（1）证明：连接 ．
是 的直径，
．
，
，
，
49，
又 ，
，即 ，
为 上一点，
是 的切线．
（2）解：如上图，连接 ．
，
，
，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
的半径为1，
的长为 ．
【点睛】此题重点考查等腰三角形的性质、切线的判定、直角三角形的两个锐角互余、圆
周角定理、弧长公式等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
34．（2025·江西新余·二模）如图，是 的弦（非直径），点C是半径 上的一个动点
（不与线段 两端点重合），过点C作 的垂线，交 于点D，交 于点E，交
的垂直平分线 于点F，连接 ．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若点E是 的中点，且点C是 的中点， ，求 的长．
【答案】(1)见解析
50(2)
【分析】此题考查了切线的判定、垂径定理、含 角的直角三角形的性质等知识，熟练
掌握切线的判定、垂径定理是关键．
（1）连接 ，证明 ．即可证明结论成立；
（2）连接 ，交 于点H．证明 ， ，得到
，在 中， ，根据含 角的直角三角形的性质即可
得到答案．
【详解】（1）解：证明：如图1，连接 ，则 ．
∵ 垂直平分 ，
∴
∴ ．
∵
∴ ，
∵ ，
∴
∴ ，即 ．
∵ 是 的半径，
∴ 是 的切线．
（2）如图2，连接 ，交 于点H．
51∵点E是 的中点，
∴ 垂直平分 ，
∵ 垂直平分 ，
∴ ，
∵点C是 的中点， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵
∴ ，
∴ ，
∴在 中， ，
∴ ．
35．（2025·江西抚州·一模）如图， 是 的直径， 为圆上两点， ，垂
足为点 ，连接 并延长到点 ，连接 ， ．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ， ，求 的长．
【答案】(1)详见解析
(2)
【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，垂径定理，直角三角形的性质，解直角三
角形，弧长公式，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
（1）利用圆周角定理得到 ，得出 ，即可得到结论；
（2）连结 ，得到 ，求出 ，
求出 的长 ．
【详解】（1）证明： ， ，
52，
，
是 的直径，
是 的切线；
（2）解：连结 ，
∵AB是 的直径，
垂直平分CD
，
，
，
，
，
的长 ．
36．（2025·江西九江·二模）如图，在 中， ，点 ， 分别在边 ，
上，以 为半径作 ，交 于点 ．
(1)判断 与 的位置关系，并证明；
(2)当 是 的中点时，
若 ，求 的长．
当 满足什么条件时，四边形 是正方形？请直接写出来．
【答案】(1) 与 相切，见解析；
(2) ； ．
【分析】本题主要考查了直角三角形的性质、正方形的性质、切线的判定和性质．
53连接 ，根据等边对等角可得： 、 ，根据直角三角形的
两个锐角互余，可得： ，从而可得 ，所以可知 与
相切；
当 是 的中点时，可知 是 的直径，所以 ，根据
，可得 ，从而可知 ，根据直角三角形斜边上
的中线等于线段的一半可知 ；
根据正方形的性质可知 ， ，又因为 ，所以可知 ，
所以可得 ．
【详解】（1）解： 与 相切，
证明：如下图所示，连接 ，
，
，
，
，
，
，
，
，
即 ，
又 是 的半径，
与 相切；
（2）解：如下图所示，
由题意得 是 的直径，
，
，
54，
，
，
，
，
，
．
四边形 是正方形，
， ，
又 ，
，
，
，
当 满足 时，四边形 是正方形．
37．（2025·江西新余·二模）如图， 内接于 ， 是 的直径，交 于点 ，
的切线 交 的延长线于点 ， ，连接 ．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2) ．
【分析】（1）根据 是 的切线，得到 ，再根据 ，得到 ，
根据 是 的直径，得到 ，得到 是 的垂直平分线，即可解答；
（2）证明 ，根据三角形相似的性质可求出 的长，再利用等腰三角形三线
合一的性质得出 ，最后证明 ，根据三角形相似的性质，即可解
答．
【详解】（1）证明：∵ 是 的切线，
∴ ，
∵ ，
55∴ ，
∵ 是 的直径，
∴ ，
∴ 是 的垂直平分线，
∴ ；
（2）解：∵ ， ， ，
，
∵ 是 的直径，
∴
∴
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的切线， 是 的直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即： ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了切线的性质，垂径定理，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的判定
和性质，相似三角形的判定及性质，综合性强，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题
的关键．
38．（2025·江西吉安·一模）如图， 是三角形 的外接圆， 是 的直径，点
是 延长线上一点，过点 作 的切线 交 的延长线于点 ，且满足
．
56(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ， ，求 的半径．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查切线的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握切线的判
定与性质是解题的关键．
（1）连接 ，根据 ，得出 ，从而可证得 ，再由
切线的性质得出 ，则 ，从而可得 ，即可由切线的
判定定理得出结论；
（2）设 的半径为 ，则 ， ，然后在 中，
由勾股定理，得 ，即 ，求解即可．
【详解】（1）证明：连接 ，
，
，
，
，
，
是 的切线，
，
，
，
，
又 是 的半径，
是 的切线．
57（2）解：设 的半径为 ，则 ，
又 ， ，
，
在 中，由勾股定理，得
，即 ，
解得： ，
的半径为 ．
39．（2025·江西吉安·一模）如图， 内接于 ， 是 的直径， ，
是 的角平分线，请仅用无刻度的直尺按要求作图（保留画图痕迹，不写作法）．
(1)在图（1）中，过点 作 的平行线；
(2)在图（2）中，当点 作 的垂线．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查基本作图、圆周角定理、平行线的判定、三角形的内角和定理等知识，
利用圆周角定理正确作出图形是解答的关键．
（1）延长 交 于M，连接 ，由直径所对的圆周角是直角可得 ，进而
可得 ，再根据圆周角定理得到
，则可得 ；
（2）延长 交 于M，连接 并延长交 于N，连接 ，由
， 可得 ．
【详解】（1）解：如图1，直线 即为所求作；
（2）解：如图2，直线 即为所求作：
5840．（2025·江西抚州·一模）如图，菱形 的边长 是 的直径， 与 交于
点 是 上一点，且 ，连接 ．
(1)求证： 是 的切线；
(2)连接 ，若 ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）先由圆周角定理得 ，再结合菱形的性质证明
，则 ，又因为 是 的直径，故 是 的
切线．
（2）先设 ，再得 ，运用勾股定理列式 ，
代入数值计算，得 ，再结合 ，得 ，则
，即可作答．
【详解】（1）证明：如图，连接 ．
59是 的直径，
．
四边形 是菱形，
．
．
在 和 中，
，
．
，
．
又 是 的直径，
是 的切线．
（2）解：设 ，
．
由（1）可知 ，
．
在 中，由勾股定理得， ，
即 ，
解得 ，
．
，
，
60．
【点睛】本题考查了菱形的性质，圆周角定理，切线的判定与性质，勾股定理，全等三角
形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
41．（2025·江西·二模）如图， 是 的直径，直线 与 相切于点 ， 是
上的一点， ，延长 ，交 的延长线于点 ．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ，求图中阴影部分的面积．（结果保留 ）
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】此题考查了切线判定和性质、扇形面积等知识，熟练掌握切线的判定是解题的关
键．
（1）连接 ， ，证明 ，推出 ，即可证明结
论成立；
（2）作 于点F，连接 ，证明 是等边三角形，得到 ，求出
， ，则 ， ，据此计算即可求出答案．
【详解】（1）证明：连接 ， ，
∵ 为 的切线，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∵点B在 上，
∴ 是 的切线；
61（2）解；如图，作 于点F，连接 ， ，
由 可得： 是 斜边的中线，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ．
42．（2025·江西·一模）如图， 内接于 ， 为直径，点D在 上，过点D作
切线与 的延长线交于点E， ，连接 交 于点F．
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了切线的性质、平行线的性质和判定、勾股定理、锐角三角函数等
知识点，正确的作出辅助线、构造直角三角形或平行线是解题的关键．
（1）如图：连接 ，由 为 的切线，根据切线的性质得到 ，由 为
的直径，得到 ，根据平行线的判定和性质可得，又因为 得到
，最后根据等量代换即可证明结论；
（2）如图：连接 ，则 ，由勾股定理得到 ，根据三
62角函数的定义得到 ，由 求解即可．
【详解】（1）解：如图：连接 ，
∵ 为 的切线，
∴ ，
∵ 为 的直径，
∴ ，
∵ ，
，
∴ ，
，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
（2）解：如图：连接 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 中， ．
43．（2025·江西宜春·一模）如图是由小正方形构成的 网格，每个小正方形的顶点叫
63格点， 经过 、 两个格点．以及格线上的点 ，仅用无刻度直尺在给定的网格中按
要求画图．
(1)如图1，过点 作 的垂线；
(2)如图2，过点 作弦 ．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
【分析】本题考查作图——应用与设计，平行线分线段成比例定理，等腰三角形三线合一
的性质，圆周角定理，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运
用所学知识解决问题．
（1）根据网格，取 与格线的交点 ，作直线 即可；
（2）连接 ，交 于 ，连接 并延长，交 于 ，连接 即可．
【详解】（1）解：取 与格线的交点 ，作直线 ，直线 即为求作的；
理由：取格点 ， ，连接 ， ，
，
，
，
，
；
（2）解：连接 ，交 于 ，连接 并延长，交 于 ，连接 ， 即为所求
作的；
64理由： 直线 是 的对称轴，点 在 上，
，
，
，
，
．
44．（2025·江西上饶·一模）如图，这是 的方格，每个小正方形的顶点称为格点，
的顶点A，B，C均在格点上，并画出了 的外接圆，请仅用无刻度的直尺在给
定的方格中按下列要求作图（保留作图痕迹）．
(1)在图1中的 上作点D，使得 ．
(2)在图2中的 上作点E，使得 ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了勾股定理 ，锐角三角函数等知识，解题的关键是∶
（1）取格点D，连接 即可；
（2）取格点M，连接 交 于点 即可．
【详解】（1）解∶如图，点D即为所求，
65根据勾股定理得， ， ， ，
∴ ， ， ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ；
（2）解∶如图，点E即为所求，
根据勾股定理得， ， ， ，
∴ ， ， ，
∴ 是直角三角形，
∴ ．
45．（2025·江西上饶·一模）如图， 内接于 ， ，AD是 的直径，交
BC于点E，过点D作 ，交AB的延长线于点F，连接BD．
(1)求证：DF是 的切线．
(2)若 ， ，求BD的长．
66【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查了切线的判定，圆周角定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与
性质；熟练掌握切线的判定和相似三角形的判定与性质是解题的关键．
（1）由圆周角定理得 ，即 ，再由等腰三角形的性质和圆
周角定理得 ， ，则 ，然后由平行线的性质得
，则 ，即 ，即可得出结论；
（2）证 ，得 ，则 ，即可求解．
【详解】（1）证明： 是 的直径，
，
即 ，
，
，
，
，
，
，
，
即 ，
，
又 是 的半径，
是 的切线；
（2）∵ 是 的切线；
∴ ，
是 的直径，
，
，
，
∴
， ，
，
∴
，
67．
46．（2025·江西南昌·一模）如图，四边形 是菱形， 是对角线 上一点，以点
为圆心， 为半径画圆交 于点 ，边 与 相切于点 ．
(1)①判断点 和 的位置关系，并说明理由；
②求证： 是 的切线；
(2)若 ，求图中阴影部分的周长．
【答案】(1)①点 在 上，理由见解析；②见解析
(2)
【分析】（1）①连接 ， ，根据菱形的性质得到三角形全等，利用全等三角形的性
质求解；
②根据全等三角形的性质和切线的判定来求解；
（2）根据菱形的性质和圆周角定理求出 ，再利用含 角的直角三角形性质
求出 ，由勾股定理求出 的长度，利用弧长公式求解．
【详解】（1）解：①点 在 上，理由如下：
连接 ， ，
在菱形 中，
，
∴ ，
∴ ．
又 是半径，
∴点 在 上；
②∵ ，
68∴ ．
又 与 相切，切点为 ，
∴ ， 是半径，
∴ ，
∴ ，
∴ 是 的切线．
（2）解：∵ ，
∴ ，
在菱形 中， ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
，
，
即 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴弧 长 ，
∴ ．
【点晴】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，点和圆的位置关系，切线的
判定和性质，含 角的直角三角形性质，勾股定理，弧长公式，理解相关知识是解答关
键．
47．（2025·江西宜春·一模）如图， 是 的直径．四边形 内接于 ，
，对角线 与 交于点E，在 的延长线上取一点F，使 ，连接 ．
69(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ，求 的值．
【答案】(1)见解析
(2)2
【分析】（1）由 ， ，证明 得
，然后求出 即可证明 是 的切线；
（2）连接 ， ，先证明 得 ，
，证明 是等边三角形得 ，再证明 是等边三角形得
，然后证明 ，再根据相似三角形的性质即可得出 的值．
【详解】（1）证明：∵ 是 的直径，
∴ ，
∴ ， ．
又∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∵ 是 的直径，
∴ 是 的切线．
（2）解：如图，连接 ， ．
70由（1）可知 ， ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】此题考查了切线的判定，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的
判定和性质，等边三角形的判定与性质，理解圆周角定理，熟练掌握切线的判定，相似三
角形的判定和性质是解决问题的关键．
48．（2025·江西新余·一模）如图， 是 的直径， 为 的弦， 于点
E，连接 并延长到点M，连接 ， ， ．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的长．
71【答案】(1)见解析
(2)3
【分析】（1）根据圆周角定理，得 ，结合 ，可以证明
，于是 即可得证 ；
（2）根据 ， ， ，得 ，
，根据 ，解答即可．
【详解】（1）证明：根据圆周角定理，得 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
（2）解：∵ ， ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，三角形内角和定理，余弦函数的应用，熟练
掌握定理是解题的关键．
49．（2025·江西景德镇·一模）请仅用无刻度直尺按下列要求作图，并保留作图痕迹．
(1)在图①中，已知矩形 的顶点 在圆上，请找出圆心 ．
(2)在图②中，弦 上两点 满足 ，以 为斜边作等腰直角三角形 ，直
角顶点 在圆上，请找出圆心 ．
72【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）延长 交圆于 两点， 交于点O，根据矩形的性质结合直
径所对圆周角为 ，即可得到点O为所求；
（2）延长 交圆于 两点，连接 交于点G，连接 ，作射线 交 于
点P，根据全等三角形的性质结合直径所对圆周角为 ，即可得到点P为所求；
【详解】（1）解：如图所示，圆心 为所求：
（2）解：如图所示，点P为所求：
理由：连接 ，
∵ 是等腰直角三角形，且 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴
∴
∴
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等腰直角三角形， 为圆的直径，
73∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即
∴ ，
∵
∴ ，即
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴点P为圆心．
【点睛】本题考查无刻度直尺作图，圆周角定理，全等三角形的判定与性质，等腰直角三
角形的判定与性质，矩形的性质，整我圆周角定理是解题的关键．
50．（2025·江西景德镇·一模）如图，四边形 内接于 ，对角线 是直径，延长
边 ， 交于点 ，过点 作 于点 ，已知 ；
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ， ，求 的半径．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查切线的判定，圆周角定理，解直角三角形等知识点，理解并掌握相关图
形的性质是解决问题的关键．
（1）连接 ，由 ， ，得 ，可知 ，根据
，可知 ，即可证明结论；
（2）根据直径所对圆周角为直角可知 ，由 ，可知
，进而可得 ，解直角三角形得 ，即可求解．
【详解】（1）证明：连接 ，
∵ ， ，
74∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，而 为半径，
∴ 是 的切线；
（2）解：∵ 为直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ 的半径为 ．
51．（2025·江西鹰潭·一模）如图，已知 是 的直径， 为 的内接三角形，
为 延长线上一点，连接 于点 ，交 于点 ．
(1)求证： 是 的切线．
(2)若 ，求 的长．
【答案】(1)详见解析
(2)2
【分析】本题考查了切线的证明和解直角三角形，解题关键是熟练运用切线的判定定理进
行证明，利用圆的性质得出等边三角形，运用三角函数求解；
（1）连接 ，根据 和 证明 即可；
75（2）根据 得出 ，得出 是等边三角形，再根据三角
函数求解即可．
【详解】（1）证明：如图，连接 ，
，
，
，
，
∴
是 的半径，
是 的切线；．
（2）解：在 中， ，
，
是等边三角形，
，
是直径，
，
在 中， ．
52．（2025·江西景德镇·一模）如图，在 中， ， ，延长 至点 ，
连接 ， ， 为 的中点，连接 ．
76(1)求证： 是 的切线．
(2)若 ， 的半径为 ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接 ，由 可得 ，推出
，结合 ，可得 ，推出
，得到 ，推出 ，得到 ，进而得到 ，由
， ，可推出 是 的直径，即可得证；
（2）由（1）可知， 是 的直径， ，得到 ，
，设 ， ，在 中，根据勾股定理列方程求出
，即可求解．
【详解】（1）证明：如图，连接 ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
77为 的中点，
，
，
，即 ，
， ，
，
为半圆弧，
是 的直径，
，
是 的切线；
（2）解：由（1）可知， 是 的直径， ，
， ，
的半径为 ，
，
，
设 ， ，
在 中， ，即 ，
解得： ，
．
【点睛】本题考查了切线的判定，等腰三角形的判定与性质，三角函数，勾股定理，圆周
角定理，平行线的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识．
53．（2025·江西南昌·一模）如图， 内接于 ， 是直径， 是 的中点．请
仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．
(1)在图1中作出边 上的中线 ．
(2)在图2中作出等腰三角形 ，使得 ．
78【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查作图 复杂作图、全等三角形的判定与性质、圆周角定理及其推论、三
角形的中线、等腰三角形的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（1）连接 ， ，相交于点 ，连接 并延长，交 于点 ，利用重心可知 即
为所求．
（2）在（1）的基础上，连接 并延长，交 于点 ，连接 并延长，交 的延长
线于点 ，结合圆周角定理及其推论、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定可知，
即为所求．
【详解】（1）解：如图，连接 ， ，相交于点 ，连接 并延长，交 于点 ，
∵ 是 的中点， 是 的中点，
∴点 是 的重心，
∴ 为 的边 上的中线，
即为所求作；
（2）解：如图，在（1）的基础上，连接 并延长，交 于点 ，连接 并延长，交
的延长线于点 ，连接 ，
可知 为 的边 上的中线，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∵ 为 的直径，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 为等腰三角形．
即等腰三角形 为所求．
7954．（2025·江西·模拟预测）图1是某城市一座造型独特的桥梁，该桥因索塔为圆形而被
称为“戒指桥”，图2是该桥索塔示意图，已知桥面在圆形索塔上的部分 ， 为
的中点， 为圆心，连接 ．
(1)求证： ；
(2)经测量， 到 的距离为 ，求该 的半径．
【答案】(1)见解析
(2) 的半径为
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，解题的关键是掌握吹经定理．
（1）设 与 交于点 ，由 为 的中点，可得 ，推出 ，即可证
明；
（2）连接 ，由题意可得： ，根据垂径定理可得 ，设 的
半径为 ，则 ，在 中，根据勾股定理求解即可．
【详解】（1）证明：设 与 交于点 ，
为 的中点，
，
，
；
80（2）连接 ，
由题意可得： ，
，
，
设 的半径为 ，则 ， ，
在 中，由勾股定理可得： ，即 ，
解得： ，
的半径为 ．
55．（2025·江西南昌·模拟预测）如图， 是 的直径，C是 的中点，过点C作
的垂线，垂足为点E．请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（不写作法，保留作图痕
迹）．
(1)如图1，过点 作 的一条平行线；
(2)如图2，作一条直线把阴影部分分为面积相等的两部分．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了垂径定理及三角形的重心．
81（1）连接 ，证明 ，可得 ；
（2）连接 ，连接 交 于点 ，交 于点 ，连接 交 于点 ，作直线
，则直线 即为所作，利用三角形重心的性质和垂径定理即可得证．
【详解】（1）解：如图， 即为所作，
∵ ，
∴ ，
∵点 是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：如图，直线 即为所作，
∵点 是 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴点 是三角形的重心，
∴点 是 的中点，
∴直线 是 的垂直平分线，
∴直线 把阴影部分分为面积相等的两部分．
82
