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专题 10 锐角三角函数及其应用（45 题）
1．（2024·江西·中考真题）将图1所示的七巧板，拼成图2所示的四边形ABCD，连接AC，
则tan∠CAB= ．
1
【答案】 /0.5
2
【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，正方形的性质，勾股定理，三角函数，如图
1，设等腰直角△MNQ的直角边为a，利用图形的位置关系求出大正方形的边长和大等腰
直角三角形的直角边长，进而根据正切的定义即可求解，掌握等腰直角三角形和正方形的
性质是解题的关键．
【详解】解：如图1，设等腰直角△MNQ的直角边为a，则MQ=√2a，小正方形的边长为
a，
∴MP=2a，
∴EM=√(2a) 2+(2a) 2=2√2a，
∴MT=EM=2√2a，
∴QT=2√2a−√2a=√2a，
如图2，过点C作CH⊥AB的延长线于点H，则CH=BD，BH=CD，
由图（1）可得，AB=BD=2√2a，CD=√2a+√2a=2√2a，
∴CH=2√2a，BH=2√2a，
∴AH=2√2a+2√2a=4√2a，
CH 2√2a 1
∴tan∠CAB= = = ，
AH 4√2a 2
1
故答案为： ．
2
12．（2024·江西·中考真题）图1是世界第一“大碗”——景德镇昌南里文化艺术中心主体
建筑，其造型灵感来自于宋代湖田窑影青斗笠碗，寓意“万瓷之母”，如图2，“大碗”
的主视图由“大碗”主体ABCD和矩形碗底BEFC组成，已知AD∥EF，AM，DN是太
阳光线，AM⊥MN，DN⊥MN，点M，E，F，N在同一条直线上，经测量
ME=FN=20.0m，EF=40.0m，BE=2.4m，∠ABE=152°．（结果精确到0.1m）
(1)求“大碗”的口径AD的长；
(2)求“大碗”的高度AM的长．（参考数据：sin62°≈0.88，cos62°≈0.47，
tan62°≈1.88）
【答案】(1)“大碗”的口径AD的长为80.0m；
(2)“大碗”的高度AM的长为40.0m．
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确引出辅助线解决问题是解题的关键．
（1）证明四边形AMND是矩形，利用AD=ME+EF+FD，代入数据计算即可求解；
（2）延长EB交AD于点H，求得∠HAB=62°，利用正切函数的定义得到
BH
=tan62°≈1.88，求得BH的长，据此求解即可．
AH
【详解】（1）解：∵AD∥EF，AM⊥MN，DN⊥MN，
∴四边形AMND是矩形，
∴AD=ME+EF+FD=20.0+40.0+20.0=80.0(m)，
答：“大碗”的口径AD的长为80.0m；
（2）解：延长EB交AD于点H，如图，
∵矩形碗底BEFC，
∴EH⊥AD，
∴四边形AMEH是矩形，
∵∠ABE=152°，
∴∠ABH=180°−∠ABE=28°，∠HAB=90°−28°=62°，
2BH
∴ =tan62°≈1.88，
AH
∴BH=20.0×1.88≈37.6(m)，
∴AM=EH=BH+BE=37.6+2.4=40.0(m)，
答：“大碗”的高度AM的长为40.0m．
3．（2023·江西·中考真题）如图1是某红色文化主题公园内的雕塑，将其抽象成如图2所
示的示意图，已知点B，A，D，E均在同一直线上，AB=AC=AD，测得
∠B=55°，BC=1.8m，DE=2m．（结果保留小数点后一位）
(1)连接CD，求证：DC⊥BC；
(2)求雕塑的高（即点E到直线BC的距离）．
（参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43）
【答案】(1)见解析
(2)雕塑的高约为4.2米
【分析】（1）根据等边对等角得出∠B=∠ACB,∠ACD=∠ADC，根据三角形内角和
定理得出2(∠B+∠ADC)=180°，进而得出∠BCD=90°，即可得证；
（2）过点E作EF⊥BC，交BC的延长线于点F，在Rt△BDC中，得出
BC 1.8 1.8
AD= = ，则BE=AD+DE=2+ ，在Rt△EBF中，根据
cosB cos55° cos55°
EF=BE⋅sinB，即可求解．
【详解】（1）解：∵AB=AC=AD，
∴∠B=∠ACB,∠ACD=∠ADC
∵∠B+∠ADC+∠BCD=180°
即2(∠B+∠ADC)=180°
∴∠B+∠ADC=90°
即∠BCD=90°
∴DC⊥BC；
（2）如图所示，过点E作EF⊥BC，交BC的延长线于点F，
3在Rt△BDC中，∠B=55°，BC=1.8m，DE=2m
BC
∴cosB= ，
BD
BC 1.8
∴BD= =
cosB cos55°
1.8
∴BE=BD+DE=2+
cos55°
EF
在Rt△EBF中，sinB= ，
BE
∴EF=BE⋅sinB
( 1.8 )
= 2+ ×sin55°
cos55°
( 1.8 )
≈ 2+ ×0.82
0.57
≈4.2（米）．
答：雕塑的高约为4.2米．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，解直角三角形的应用，
熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．
4．（2023·江西·中考真题）（1）计算：√38+tan45°−30
（2）如图，AB=AD，AC平分∠BAD．求证：△ABC≌△ADC．
【答案】（1）2；（2）证明见解析
【分析】（1）先计算立方根，特殊角三角函数值和零指数幂，再计算加减法即可；
（2）先由角平分线的定义得到∠BAC=∠DAC，再利用SAS证明△ABC≌△ADC即可．
【详解】解：（1）原式=2+1−1
=2；
（2）∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠DAC，
4在△ABC和△ADC中，
¿，
∴△ABC≌△ADC(SAS)．
【点睛】本题主要考查了实数的运算，零指数幂，特殊角三角函数值，全等三角形的判定，
角平分线的定义等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
5．（2022·江西·中考真题）图1是某长征主题公园的雕塑，将其抽象成如图2所示的示意
图，已知AB∥CD∥FG，A，D，H，G四点在同一直线上，测得
∠FEC=∠A=72.9°,AD=1.6m,EF=6.2m．（结果保留小数点后一位）
(1)求证：四边形DEFG为平行四边形；
(2)求雕塑的高（即点G到AB的距离）．
（参考数据：sin72.9°≈0.96,cos72.9°≈0.29,tan72.9°≈3.25）
【答案】(1)见解析
(2)雕塑的高为7.5m，详见解析
【分析】（1）根据平行四边形的定义可得结论；
（2）过点G作GP AB于P，计算AG的长，利用 A的正弦可得结论．
【详解】（1）证明⊥： AB∥CD∥FG， ∠
CDG＝ A， ∵
∴∠FEC＝∠A，
∵∠FEC＝∠CDG，
∴ E∠F∥DG，∠
∴FG∥CD，
∵四边形DEFG为平行四边形；
∴（2）如图，过点G作GP AB于P，
四边形DEFG为平行四边⊥形，
∵DG＝EF＝6.2，
∴AD＝1.6，
∵AG＝DG+AD＝6.2+1.6＝7.8，
∴ PG
在Rt△APG中，sinA= ，
AG
5PG
=0.96，
7.8
∴
PG=7.8×0.96＝7.488≈7.5．
∴答：雕塑的高为7.5m.
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意，正确作辅助线构建直角三角形解
决问题．
6．（2021·江西·中考真题）图1是疫情期间测温员用“额温枪”对小红测温时的实景图，
图2是其侧面示意图，其中枪柄BC与手臂MC始终在同一直线上，枪身BA与额头保持垂
直量得胳膊MN=28cm，MB=42cm，肘关节M与枪身端点A之间的水平宽度为25.3cm
（即MP的长度），枪身BA=8.5cm．
图1
（1）求∠ABC的度数；
（2）测温时规定枪身端点A与额头距离范围为3~5cm．在图2中，若测得
∠BMN=68.6°，小红与测温员之间距离为50cm问此时枪身端点A与小红额头的距离是否
在规定范围内？并说明理由．（结果保留小数点后一位）
（参考数据：sin66.4°≈0.92，cos66.4°=0.40，sin23.6°≈0.40，√2≈1.414）
【答案】（1）∠ABC的度数为113.6°；（2）枪身端点A与小红额头的距离在规定范围内．
理由见解析
【分析】（1）过B作BK⊥MP于点K，在Rt BMK中，利用三角形函数的定义求得∠BMK
≈66.4°，即可求解； △
6（2）延长PM交FG于点H，∠NMH=45°，在Rt NMH中，利用三角形函数的定义即可
求得HM的长，比较即可判断． △
【详解】解：（1）过B作BK⊥MP于点K，由题意可知四边形ABKP为矩形，
∴MK=MP-AB=25.3-8.5=16.8(cm)，
在Rt BMK中，
△ MK 16.8
cos∠BMK= = =0.4，
MB 42
∴∠BMK≈66.4°，
∴∠MBK=90°-66.4°=23.6°，
∴∠ABC=23.6°+90°=113.6°，
答：∠ABC的度数为113.6°；
（2）延长PM交FG于点H，由题意得：∠NHM=90°，
∴∠BMN=68.6°，∠BMK=66.4°，
∴∠NMH=180°−68.6°−66.4°=45°，
在Rt NMH中，
△ HM HM
cos45°= = ，
MN 28
√2
∴HM=28× ≈19.796(cm)，
2
∴枪身端点A与小红额头的距离为50−19.796−16.8−8.5=4.904≈4.9(cm)，
∵3<4.9<5，
∴枪身端点A与小红额头的距离在规定范围内．
【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，熟记锐角三角函数的定义是解答此题的关
键．
一、填空题
7．（2025·江西抚州·二模）如图，在△ABC中，∠A=45°，AC=2√2，AB=6，则
7tanB= ．
1
【答案】 /0.5
2
【分析】本题考查了解直角三角形，过点C作CH⊥AB于点H，得到Rt△ACH，
Rt△BCH，解直角三角形求出AH=CH=2，求出BH=4，利用正切的定义即可求解．
【详解】解：如图，过点C作CH⊥AB于点H，
则△ACH，△BCH都是直角三角形，
∵∠A=45°，AC=2√2，
√2
∴AH=AC·cos∠A=2√2× =2，
2
√2
CH=AC⋅sin∠A=2√2× =2，
2
∵AB=6，
∴BH=AB−AH=4，
CH 1
∴tanB= = ，
BH 2
1
故答案为： ．
2
8．（2025·江西上饶·三模）圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定
节气的天文仪器，它包括一根直立的标杆（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放
的与标杆垂直的长尺（称为“圭”）．如图2，利用土圭之法记录了两个时刻长为6尺的
标杆的影长，发现第一时刻光线与标杆的夹角∠BAC和第二时刻光线与地面的夹角
∠ADB相等，测得第一时刻的影长为2.4尺，则第二时刻标杆的影长 尺．
8【答案】15
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用．根据题意得：AC=6尺，BC=2.4尺，
BC
∠C=90°，在Rt△ABC中，利用tan∠BAC= ，可求出tan∠BAC的值，即可求解．
AC
【详解】解：根据题意得：AC=6尺，BC=2.4尺，∠C=90°，
BC 2.4
∴tan∠BAC= = =0.4，
AC 6
∵∠BAC=∠ADB，
AC
∴tan∠ADB= =0.4，
CD
AC 6
∴CD= = =15尺．
0.4 0.4
即第二时刻标杆的影长15尺．
故答案为：15
9．（2025·江西新余·二模）如图，将图（1）所示的七巧板，拼成图（2）所示的四边形
ABCD，连接EF，则tan∠AEF= ．
2
【答案】
3
【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角函数．如图1，设等腰直角△MNQ的直
角边为a，利用图形的位置关系求出大正方形的边长和大等腰直角三角形的直角边长，进
而根据正切的定义即可求解．
【详解】解：如图1，设等腰直角△MNQ的直角边为a，则小正方形的边长为a，
∴MP=2a，
如图2，∠BAC=∠CAF=45°，AB=CD=4a，BE=a，AF=2a，
9∴∠EAF=90°，AE=AB−BE=3a，
AF 2a 2
∴tan∠AEF= = = ，
AE 3a 3
2
故答案为： ．
3
10．（2025·江西·二模）将图1所示的七巧板排成图2所示的矩形，则sin∠CAB的值为
．
√5
【答案】
5
【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，正方形的性质，求正弦值，设七巧板
排中小正方形的边长为x，则小等腰直角三角形的直角边长为x，进而求出
BC=x,AC=2x，由勾股定理求出AB=√5x，再利用正弦的定义即可求解．
【详解】解：设七巧板排中小正方形的边长为x，则小等腰直角三角形的直角边长为x，
∴BC=x,AC=2x，
∵ ∠ACB=90°，
∴AB=√BC2+AC2=√5x，
BC x √5
∴sin∠CAB= = = ，
AB √5x 5
√5
故答案为： ．
5
11．（2025·江西景德镇·一模）已知含30°角的三角板和直尺按如图所示的方式摆放，直角
顶点C在刻度尺示数5cm处，三角尺的斜边与刻度尺交于点B，示数为1cm，已知
∠α=60°，若将三角尺绕点C顺时针旋转30°，则此时AB的长为 cm．
10【答案】6
【分析】本题考查解直角三角形，由刻度尺度数可知，BC=4cm，求得∠ACB=30°，则
AB=BC=4cm，过点A作AE⊥BC，则在Rt△ABE中，
AE=AB⋅sin∠ABD=2√3cm，AC=2AE=4√3cm，将三角尺绕点C顺时针旋转30°，
此时点B为图中B′所示位置，则∠AC A′=30°，∠A′CD=60°，由旋转可知
A′C=AC=4√3cm，∠A′=∠A=30°，则在Rt△A′B′C中，
A′B′=A′C⋅cos∠A′=6cm，即可求解．作出图形，利用直角三角形的边角关系是解决
问题的关键．
【详解】解：由刻度尺度数可知，BC=4cm，
∵直尺的两边平行，
∴∠ABD=∠α=60°，
又∵∠A=30°，
∴∠ACB=30°，则AB=BC=4cm，
√3
过点A作AE⊥BC，则在Rt△ABE中，AE=AB⋅sin∠ABD=4× =2√3cm，
2
∴AC=2AE=4√3cm，
将三角尺绕点C顺时针旋转30°，此时点B为图中B′所示位置，则∠AC A′=30°，
∠A′CD=60°，
由旋转可知A′C=AC=4√3cm，∠A′=∠A=30°，
∴∠A′B′C=90°，
√3
则在Rt△A′B′C中，A′B′=A′C⋅cos∠A′=4√3× =6cm，
2
故答案为：6．
1112．（2025·江西景德镇·一模）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=4，D
是CB边上的点，将DB绕点D逆时针旋转120°，使得点B落在直线AB上的点E处．若DE
的垂直平分线l经过△ABC一边的中点，则BD的长为 ．
10√3
【答案】2√3或 或√3
3
【分析】先求出AB=8，BC=4√3，由旋转可知，BD=DE，∠BDE=120°，分三种情
况：①当DE的垂直平分线l经过AB的中点F时，②当DE的垂直平分线l经过AC的中点F
时，③当DE的垂直平分线l经过BC的中点F时，根据线段垂直平分线的性质和解直角三角
形求解即可．
【详解】解：∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=4，
AC 4
BC= = =4√3
∴ AB=2AC=8， tan30° 1 ，
√3
由旋转可知，BD=DE，∠BDE=120°，
①当DE的垂直平分线l经过AB的中点F时，连接DF，
1
∴ BF= AB=4，EF=DF，
2
∵ BD=DE，∠BDE=120°，
∴ ∠BED=∠B=30°，
∴ ∠BED=∠FDE=30°，
∴ ∠BDF=∠BDE−∠FDE=120°−30°=90°，
∵ ∠B=30°，BF=4，
√3
∴ BD=BF·cos30°=4× =2√3；
2
1
②当DE的垂直平分线l经过AC的中点F时，CF= AC=2，
2
∵ ∠BDE=120°，
∴ ∠CDF=180°−∠BDE=60°，
12CF 2 2√3
∴ CD= = = ，
tan60° √3 3
2√3 10√3
∴ BD=BC−CD=4√3− = ；
3 3
1
③当DE的垂直平分线l经过BC的中点F时，BF= BC=2√3，EF=DF，
2
∵ ∠BDE=120°，
∴ ∠EDF=180°−∠BDE=60°，
∴ △EDF是等边三角形，
∴ ED=EF=DF，
∵ BD=DE，
1
∴ BD=DF= BF=√3；
2
10√3
综上所述，BD的长为2√3或 或√3，
3
10√3
故答案为：2√3或 或√3．
3
【点睛】本题考查了解直角三角形，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定与性质，
旋转的性质，解题的关键是掌握相关知识并分类讨论．
二、解答题
13．（2025·江西鹰潭·二模）“垃圾入桶，保护环境，从我做起”．图1是一种摇盖垃圾
桶的实物图，图2是其侧面示意图，其盖子PAQ可整体绕点A所在的轴旋转．现测得
∠BAE=120°，∠ABC=∠AED=110°，AB=AE=46cm，BC=80cm，BE∥CD．
13(1)如图3，将PAQ整体绕点A逆时针旋转角α，当AQ∥BE时，求α的度数．
(2)求点A到CD的距离．（结果精确到0.1cm，参考数据：sin80°≈0.98，
cos80°≈0.17，tan80°≈5.67）
【答案】(1)30°
(2)101.4cm
【分析】本题考查解直角三角形的应用，等腰三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握解
直角三角形的应用是解题的关键；
（1）根据题意，可以求解∠ABE和∠AEB的度数，根据AQ∥BE，求得
∠QAE=∠AEB=30°，即可求解；
（2）过A点作AM⊥BE，垂足为M，过C点作CN⊥BE，垂足为N，根据AM平分BE，
求得AM，求得∠CBN的度数，进而求得CN的长度，从而求解；
【详解】（1）解：∵AB=AE，∠BAE=120°，
1
∴∠ABE=∠AEB=(180°−120°)× =30°，
2
∵AQ∥BE，
∴∠QAE=∠AEB=30°，
∴∠α=30°，
故α=30°；
（2）解：如图：过A点作AM⊥BE，垂足为M，过C点作CN⊥BE，垂足为N，
∵AM⊥BE AB=AE
， ，
∴AM平分BE，
而∠AEM=30°
1 1
∴在Rt△AEM中，AM= AE= ×46=23(cm)，
2 2
又∵CN⊥BE，
14∴∠BNC=90°，
∴在Rt△BCN中，∠ABC=110°，∠ABE=30°，
∴∠CBN=110°−30°=80°，
CN
∴sin∠CBN= ，
CB
∴CN=sin80°×CB=80×0.98=78.4(cm)，
∴AM+NC=23+78.4=101.4(cm)，
∴A到CD的距离为101.4cm；
14．（2025·江西·模拟预测）图1是总台蛇年春晚舞蹈《喜上枝头》的节目图片，节目汲
取“喜鹊登枝”的美好寓意，将整个舞台打造成一幅展开的宋画．节目使用了春晚有史以
来最大的道具，在画卷中搭建了一根长9.5米的“松枝”，松枝与喜鹊取“送喜”的吉祥
寓意．如图2是“松枝”的简化图，已知，BC∥HG，AB=1.62m，CD=4.92m，点D
到点C的垂直距离为3.15m，点D到点E的垂直距离为2.61m，∠ABC=134°，
∠EDC=160°．（结果精确到0.01m）
(1)求点A到点B的垂直距离；
(2)求道具“松枝”的高度．
（参考数据：sin46°≈0.72，cos46°≈0.70，tan46°≈1.04，sin20°≈0.34，
cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）
【答案】(1)点A到点B的垂直距离1.17m
(2)道具“松枝”的高度5.31m
【分析】本题主要考查解直角三角形和点与点的垂直距离，
（1）过点A作AI⊥BC交BC的延长线于点I，根据题意得∠ABI=180°−∠ABC，利
AI
用解直角三角形sin∠ABI= ，即可求得AI=AB·sin∠ABI；
AB
（2）过点D作DJ⊥BC的延长线于点J，过点D和点E作DK⊥EK相交于点K，根据题
意得DJ=3.15m和EK=2.61m，结合DJ+EK即可．
【详解】（1）解：如图，过点A作AI⊥BC交BC的延长线于点I，
15∵∠ABC=134°，
∴∠ABI=180°−∠ABC=180°−134°=46°，
∵AB=1.62m，
AI
∴sin∠ABI= ，即AI=AB·sin∠ABI≈1.62×0.72=1.17m，
AB
则点A到点B的垂直距离1.17m；
（2）解：过点D作DJ⊥BC的延长线于点J，过点D和点E作DK⊥EK相交于点K，
∵点D到点C的垂直距离为3.15m，
∴DJ=3.15m，
∵点D到点E的垂直距离为2.61m，
∴EK=2.61m，
则道具“松枝”的高度DJ+EK=3.15+2.16=5.31(m)．
15．（2025·江西上饶·模拟预测）滕王阁（图1）位于江西省南昌市东湖区沿江路，是南昌
市的地标性建筑，因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》而闻名于世．滕王阁与湖南岳阳楼、
湖北黄鹤楼并称为“江南三大名楼”，是中国古代四大名楼之一，世称“西江第一楼”．
如图2，在被誉为“西江第一楼”的滕王阁前，有一段风景优美的斜坡AB，斜坡AB的坡
度i=1:√3，全长恰好为12米．为了计算滕王阁的高度，游客们使用高科技测角设备，利
用测角仪在斜坡底的点B处测得塔尖点D处的仰角∠DBE为60°，在斜坡顶的点A处测得
塔尖点D的仰角为45°．
(1)求斜坡的高度AC；
16(2)求滕王阁的高度DE．
【答案】(1)6米；
(2)(18+12√3)米
【分析】本题主要考查解直角三角形的应用.
AC √3
（1）由题意得AC⊥BC，则 = ，在Rt△ABC中求得∠ABC=30°，即可列出
BC 3
AC 1
sin∠ABC= = ，求得AC；
AB 2
（2）过点A作AF⊥DE，垂足为点F，则AC=EF=6米，AF=CE，在Rt△ABC中求
得BC=AB·cos30°，设 BE=x 米，则AF=CE=BC+BE，在Rt△BED中求得
DE=BE·tan60°，在Rt△ADF中求得DF=AF·tan45°，根据DF+EF=DE解x，即可
知DE．
【详解】（1）解：由题意得AC⊥BC，
∵斜坡AB的坡度i=1:√3，
AC √3
∴ = ，
BC 3
√3
∵在Rt△ABC中， tan∠ABC= ，
3
∴∠ABC=30°，
AC 1
∴在Rt△ABC中， sin∠ABC= = ，
AB 2
1 1
∴AC=AB· =12× =6（米），
2 2
答：斜坡的高度AC为6米；
（2）解：如图，过点A作AF⊥DE，垂足为点F，
∵由题意得 AC=EF=6米，AF=CE，在Rt△ABC中，AB=12米，
∴BC=AB·cos30°=6√3（米），
设 BE=x 米，
∴AF=CE=BC+BE=(x+6√3)米，
∵在Rt△BED中，∠DBE=60°，
17∴DE=BE·tan60°=√3x（米），
∵在Rt△ADF中，∠DAF=45°，
∴DF=AF·tan45°=(x+6√3)米，
∵DF+EF=DE，
∴x+6√3+6=√3x，
解得x=12+6√3，
∴DE=√3x=(18+12√3)米，
答：滕王阁的高度DE为(18+12√3)米．
16．（2025·江西宜春·模拟预测）课本再现
a b c
（1）如图1，在锐角△ABC中，探究 ， ， 之间的关系．（提示：分别作
sinA sinB sinC
AB和BC边上的高）
迁移应用
（2）如图2，和合塔位于丰城市丰水湖公园内，由我国著名古塔研究专家张驭寰大师主持
设计，具有“明七层暗六层”的结构，共13层，展现了唐代古塔的风格．如图3，某数学
实践小组想测量和合塔的高度MN，他们在塔底N的正东方的点A处测得塔顶M的仰角为
30°，然后从点A处出发，沿着南偏西25°的方向行进了207m到达点B（A，B，N三点位
于同一水平面内），且点B在点N南偏东35°方向上．根据以上信息，求和合塔的高度
MN．（结果精确到0.1m；参考数据：sin55°≈0.82，sin65°≈0.91，√3≈1.73）
a b c
【答案】（1） = = ；（2）126.2m
sin A sinB sinC
【分析】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，仰角俯角．
（1）过A点作AD⊥BC于D点，过C作CE⊥AB于E点，如图1，根据正弦的定义得到
AD=c⋅sinB，AD=b⋅sin∠ACD，则c⋅sinB=b⋅sin∠ACD，所以
b c b a
= ，同理可得 = ，所以
sinB sin∠ACD sinB sin∠CAE
a b c
= = ；
sin∠CAE sin∠B sin∠ACD
18（2）如图3，根据题意，∠BAN=90°−25°=65°，∠BNA=90°−35°=55°，则
AN AB
∠B=60°，利用（1）的结论得 = ，则可计算出AN≈218.36(m)，然后
sinB sin∠BNA
在Rt△AMN中利用正切的定义计算出MN的长．
【详解】解：（1）过A点作AD⊥BC于D点，过C作CE⊥AB于E点，如图1，
AD
在Rt△ABD中，∵sinB= ，
AB
∴AD=c⋅sinB，
AD
在Rt△ACD中，∵sin∠ACD= ，
AC
∴AD=b⋅sin∠ACD，
∴c⋅sinB=b⋅sin∠ACD，
b c
∴ = ，
sinB sin∠ACD
CE
在Rt△BCE中，∵sinB= ，
BC
∴CE=a⋅sinB，
CE
在Rt△ACE中，∵sin∠CAE= ，
AC
∴CE=b⋅sin∠CAE，
∴a⋅sinB=b⋅sin∠CAE，
b a
∴ = ，
sinB sin∠CAE
a b c a b c
∴ = = 即 = = ；
sin∠CAE sin∠B sin∠ACD sin A sinB sinC
（2）如图3，
19根据题意，∠BAN=90°−25°=65°，∠BNA=90°−35°=55°，
∴∠B=180°−65°−55°=60°，
AN AB
由（1）的结论得 = ，
sinB sin∠BNA
AN 207
即 = ，
sin60° sin55°
√3
207×
∴ 2 ，
AN= ≈218.36(m)
0.82
MN
在Rt△AMN中，∵tan∠MAN= ，
AN
∴MN=218.36×tan30°≈126.2(m)．
答：和合塔的高度MN为126.2m．
17．（2025·江西新余·三模）图1为一折叠画板，图2为其侧面示意图，支撑架CD的端点
C固定在AB上，另一端点D可在BM上移动或固定，锁定杆EF的端点E也固定在AB上，
另一端点F可在CD上移动或固定．移动D点，当面板架AB与BM的夹角∠ABM调整到合
适的角度时，将F点固定，则画板架即可使用．经测量知BC=CE=8cm，EF=15cm，当
锁定杆EF与面板架AB互相垂直时，DF=3cm．
(1)求支撑架CD的长；
(2)如图3，小明绘画时为达到最佳舒适感，调节面板架AB与BM的夹角∠ABM，当
∠ABM=70°时，支撑架CD与BM的夹角为18°，求此时BD的长．（参考数据：
sin70°≈0.94，sin18°≈0.31，cos70°≈0.34，cos18°≈0.95）
【答案】(1)20cm
(2)21.72cm
【分析】本题考查了解直角三角形的应用．
（1）根据题意，EF⊥AB，利用勾股定理求得CF的长，据此即可求得支撑架CD的长；
（2）过点C作CH⊥BD，在Rt△CBH和Rt△CDH中，分别利用三角函数的定义求得
BH和DH的长，据此计算即可求解．
【详解】（1）解：根据题意，得EF⊥AB，
∴CF=√CE2+EF2=√82+152=17cm，
20∴CD=CF+DF=17+3=20cm；
（2）解：如图，过点C作CH⊥BD，垂足为H，
在Rt△CBH中，
BH=BC⋅cos∠CBH=8×cos70°≈2.72cm，
在Rt△CDH中，
DH=CD⋅cos∠CDH=20×cos18°≈19cm，
∴BD=BH+DH=2.72+19=21.72cm．
18．（2025·江西新余·三模）如图1，三湾改编纪念碑是为了纪念1927年9月29日至10月
3日毛泽东在我省永新县三湾村领导的三湾改编而建立的．某校数学实践小组利用无人机
测量三湾改编纪念碑的高度．如图2，无人机操控者在纪念碑正前方的A处操控无人机，
当无人机飞到离地面30m的点D处时，无人机测得与点A的俯角为30°，测得纪念碑BC最
高点B处的俯角为17.6°，又经过人工测量测得操控者A和纪念碑BC之间的距离AC为
85.5m，点A,B,C,D都在 同一平面上．
(1)求此时无人机D到纪念碑BC的距离（结果保留根号）
(2)求纪念碑BC的高度（结果精确到0.01m；参考数据：√3≈1.732，sin17.6°≈0.30，
cos17.6°≈0.95，tan17.6°≈0.32）．
【答案】(1)(85.5−30√3)m
(2)19.27m
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，正确作出辅助线
构造直角三角形是解题的关键。
（1）过点D作DE⊥AC于点E，解直角三角形求出AE的长即可得到答案；
（2）过点B作BF⊥DE，垂足为F，则四边形BCEF是矩形，则BF≈33.54m，解直角三
角形得到DF≈10.7328m，则BC=EF≈19.27m．
【详解】（1）解：如图，过点D作DE⊥AC于点E，
21由题意得DE=35m,∠DAC=30°，
DE 30
∴AE= = =30√3m，
tan∠DAE tan30°
∴CE=AC−AE=(85.5−30√3)(m)，
答：此时无人机D到纪念碑BC的距离为(85.5−30√3)m．
（2）解：如图，过点B作BF⊥DE，垂足为F，则四边形BCEF是矩形，
∴BF=CE=85.5−30√3≈85.5−30×1.732=33.54m，
∵∠DBF=17.6°，
∴DF=BF⋅tan∠DBF≈33.54×0.32=10.7328m，
∴BC=EF=30−10.7328=19.2672≈19.27m，
答：纪念碑BC的高度约为19.27m．
19．（2025·江西上饶·三模）某学校操场的主席台安装了如图1所示的遮阳棚，其截面示
意图如图2所示，其中四边形ABCD是矩形，主席台高AB为1米.上午某时刻，经过点E
的太阳光线恰好照射在AD上的点F处，测得∠EFD=58°，主席台受遮阳棚遮挡所形成
的阴影区域的宽度AF为2.6米.一段时间后，经过点E的太阳光线恰好照射在AD上的点G
处，测得∠EGD=71.6°，阴影区域的宽度AG为4.0米，点A，B，C，D，E，F，G均
在同一竖直平面内.（结果精确到0.1米，参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，
tan58°≈1.60，sin71.6°≈0.95，cos71.6°≈0.32，tan71.6°≈3.00）
(1)求点E距离地面BC的高度；
22(2)当太阳光线与地面夹角为71.6°时，若要使主席台受遮阳棚遮挡所形成的阴影区域宽度
AG为4.5米，点E需在原高度的基础上向上或向下移动多少米？
【答案】(1)5.8米
(2)向下移动1.5米
【分析】（1）过点E作EM⊥BC于点M，交AD于点H，则四边形CDHM为矩形，
5a a
∠FHE=90°,HM=CD=1米，设EH的长度为a米，则FH= ，GH= ．建立方程解
8 3
答即可；
b b
（2）设改变后EH的长度为b米，同理，GH= 米，根据题意4.5+ =5.6，解得b=3.3，
3 3
4.8−3.3=1.5，从而得到点E需在原高度的基础上向下移动1.5米．
本题考查了矩形的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握解直角三角形是解题的关键．
【详解】（1）解：过点E作EM⊥BC于点M，交AD于点H，
则四边形CDHM为矩形，∠FHE=90°,HM=CD=1米，
设EH的长度为a米，
EH
由题意得，在Rt△FHE中，∠FHE=90°，∠EFH=58°，tan∠EFH= ，
FH
EH a a 5a
∴FH= = ≈ = ．
tan∠EFH tan58° 1.60 8
EH
在Rt△GHE中，∠GHE=90°，∠EGH=71.6°，tan∠EGH= ，
GH
EH a a
∴GH= = ≈ ．
tan∠EGH tan71.6° 3
∵AF=2.6米，AG=4米，
∴FG=AG−AF=4−2.6=1.4米，
∴FH−GH=FG=1.4米，
5a a
即 − =1.4．
8 3
解得：a=4.8，
∴EM=EH+HM=4.8+1=5.8米．
答：点E距离地面BC的高度约为5.8米；
23（2）解：由（1）知a=4.8，
a
∴GH= =1.6米，
3
∴AH=AG+GH=4+1.6=5.6米，
设改变后EH的长度为b米，
b
同理，GH= 米，
3
∵AG为4.5米，
b
∴4.5+ =5.6，解得b=3.3，
3
4.8−3.3=1.5，
∴点E需在原高度的基础上向下移动1.5米．
20．（2025·江西萍乡·二模）如图1，这是一个绿道休息凉棚，其侧面示意图大致为图2，
点C、D、E在一条直线上，AB=DG=1m，BC=2.08m，∠CDG=110°，
CD=3DG=6DE，DG与地面平行，点B到AC所在直线的距离为0.8m．
(1)求A，C两点间的距离．
(2)求点C到地面的距离．（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75
）
【答案】(1)A，C两点间的距离为2.52m；
(2)点C到地面的距离为3.29m．
【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，掌握知识点的应用是解题的关键．
（1）连接AC，过B作BH⊥AC于点H，则有∠BHC=∠BHA=90°，BH=0.8m，通
过勾股定理求出CH、AC长，最后由线段和差即可求解；
（2）过C作CM⊥EF于点M，则求得∠CEM=70°，又AB=DG=1m，
CM
CD=3DG=6DE，故有DE=0.5m，CD=3m，在Rt△CME中，sin∠CEM= ，然
CE
后代入求值即可．
【详解】（1）解：如图，连接AC，过B作BH⊥AC于点H，
24∴∠BHC=∠BHA=90°，BH=0.8m，
∵AB=DG=1m，BC=2.08m，
∴CH=√BC2−BH2=√2.082−0.82=1.92(m)，AH=√AB2−BH2=√12−0.82=0.6(m)，
∴AC=CH+AC=1.92+0.6=2.52(m)，
∴A，C两点间的距离为2.52m；
（2）解：如图，过C作CM⊥EF于点M，
∵DG与地面平行，∠CDG=110°，
∴∠CDG=∠CEF=110°，
∴∠CEM=70°，
∵AB=DG=1m，CD=3DG=6DE，
∴DE=0.5m，CD=3m，
∴CE=CD+DE=3+0.5=3.5(m)，
CM
在Rt△CME中，sin∠CEM= ，
CE
CM
∴sin70°= ，
3.5
∴CM=3.5×sin70°≈3.5×0.94=3.29(m)，
∴点C到地面的距离为3.29m．
21．（2025·江西抚州·二模）如图1，是南昌之星摩天轮，它是南昌市标志性建筑．某校数
学兴趣小组把“如何测量南昌之星摩天轮的高度”作为一项课题活动，他们制定了测量方
案，并利用课余时间实地测量．
25课
如何测量南昌之星摩天轮的高度
题
测
量
测角仪，皮尺等
工
具
如图2，在点C处放置高为1m的测角仪CD，此时测得南昌
之星摩天轮顶端B的仰角为45°，再沿CA方向走53m到达
点E处，此时测得南昌之星摩天轮顶端B的仰角为56°．
说明：点A，
测 B，C，D，E，
量 F，在同一平面
方 内，点A，C，E
案 在同一水平线
上．
(1)∠DBF的度数为_____；
(2)请你根据表中信息帮助该数学兴趣小组求南昌之星摩天轮AB的高度．（结果保留整数，
参考数据：sin56°≈0.8，cos56°≈0.6，tan56°≈1.5）
【答案】(1)11°
(2)160m
【分析】本题考查了解直角三角形的相关应用，三角形外角性质，矩形的判定与性质，等
腰直角三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据三角形外角的性质进行列式计算，即可作答．
（2）先证明四边形AEFH，DCEF是矩形，得CE=DF=53m，CD=EF=AH=1m，证
BH 2
明△BDH是等腰直角三角形．则把数值代入tan∠BFH= ，得FH= x．即
FH 3
2
x− x=53，解得x的值，即可作答．
3
【详解】（1）解：依题意，∠BDF=45°,∠BFH=56°，
∴∠DBF=∠BFH−∠BDF=56°−45°=11°，
故答案为：11°．
（2）解：如图，延长DF交AB于点H，
则∠DHB=90°，
26∴∠BAC=∠FEA=∠DCE=∠DHB=90°，
∴四边形AEFH是矩形，
同理得四边形DCEF是矩形，
∴CE=DF=53m，CD=EF=AH=1m，
∵∠BDH=45°，∠BFH=56°，
∴△BDH是等腰直角三角形．
设BH=xm，
∴DH=BH=xm，
BH
在Rt△BFH中，∠BFH=56°，tan∠BFH= ，
FH
BH x 2
∴FH= = ≈ x．
tan56° tan56° 3
∴DH−FH=DF，
2
即x− x=53，
3
解得x=159，
∴BH=159m，
∴AB=BH+AH=160m，
∴南昌之星摩天轮AB的高度约为160m．
22．（2025·江西南昌·一模）“垃圾入桶，保护环境，从我做起”，图1是一种摇盖垃圾
桶的实物图，图2是其侧面示意图，其盖子PAQ可整体绕点A所在的轴旋转．现测得
∠BAE=120°，∠ABC=∠AED=110°，AB=AE=46cm，BC=78cm，BE∥CD．
(1)如图3，将PAQ整体绕点A逆时针旋转角α，当AQ∥BE时，求α的度数．
(2)求点A到CD的距离．（结果精确到0.1cm，参考数据sin80°≈0.98，cos80°≈0.17，
tan80°≈5.67）
【答案】(1)30°
(2)99.4cm
【分析】本题考查解直角三角形的应用，等腰三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握解
直角三角形的应用是解题的关键；
（1）根据题意，可以求解∠ABE和∠AEB的度数，根据AQ∥BE，求得
∠QAE=∠AEB=30°，即可求解；
27（2）过A点作AM⊥BE，垂足为M，过C点作CN⊥BE，垂足为N，根据AM平分BE，
求得AM，求得∠CBN的度数，进而求得CN的长度，从而求解；
【详解】（1）解：∵AB=AE，∠BAE=120°，
1
∴∠ABE=∠AEB=(180°−120°)× =30°，
2
∵AQ∥BE，
∴∠QAE=∠AEB=30°，
∴∠α=30°，
故α=30°；
（2）解：如图：过A点作AM⊥BE，垂足为M，过C点作CN⊥BE，垂足为N，
∵AM⊥BE AB=AE
， ，
∴AM平分BE，
而∠AEM=30°
1 1
∴在Rt△AEM中，AM= AE= ×46=23(cm)，
2 2
又∵CN⊥BE，
∴∠BNC=90°，
∴在Rt△BCN中，∠ABC=110°，∠ABE=30°，
∴∠CBN=110°−30°=80°，
CN
∴sin∠CBN= ，
CB
∴CN=sin80°×CB=78×0.98=76.44(cm)，
∴AM+NC=23+76.44=99.44(cm)，
∴A到CD的距离为99.4cm；
23．（2025·江西宜春·二模）以高安中学校门口广场上吴有训雕像为研究背景，某数学兴
趣小组的同学为了测量此雕像的高度AB（顶端A到水平地面BD的距离），分成了甲、乙
两组，他们分别设计了如下方案：
课题：测量雕像的高度
组别 甲组 乙组
28测量
示意
图
测量
如图②，组长小军在C处测得
方案 如图①，组长小红在点D处用1m高
∠ACB=45°，然后沿BC方向走了
与测 的测角仪测得雕像顶端A的仰角
1.2m，到达点D处，这时测得
量数 α=32°
∠ADB=37°
据
参考 sin32°≈0.53，cos32°≈0.85， sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，
数据 tan32°≈0.62 tan37°≈0.75
计算
雕像
… …
的高
度
(1)你认为哪组的测量方案存在问题？请提出修改建议．
(2)请你选择一个合理的测量方案计算雕像的高度AB．
【答案】(1)甲组的测量方案存在问题；建议：测量出测角仪与雕像之间的距离
(2)选择甲，3.6m
【分析】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，能够灵活运用直角三角形中边角的
关系是解题的关键．
（1）小红组测量数据缺少测角仪与雕像底部的距离，由此可判断存在问题的是小红的方案，
修改建议只要再测量出测角仪与雕像底部的距离即可；
（2）用AB表示出BD，BC，再利用BD−BC=CD列方程即可求出AB．
【详解】（1）解：甲组的测量方案存在问题
建议：测量出测角仪与雕像之间的距离；
（2）解：过点A作AB⊥BC于点B，
在Rt△ABD中，
∵∠ADB=37°，
AB AB
∴BD= ≈ ，
tan37° 0.75
在Rt△ABC中，
29∵∠ACB=45°，
∴∠BAC=∠ACB=45°
∴BC=AB，
∵CD=1.2米，BD−BC=CD，
AB
∴ −AB=1.2，
0.75
解得AB=3.6（米），
答：雕像的高度AB为3.6米．
24．（2025·江西新余·一模）图1是某红色文化主题公园内的雕塑，将其抽象成如图2所示
的示意图．测得AB⊥BC，DE⊥BC，∠BAM=52°，AB=2.37m，
DE=2CE=1.24m（结果都保留小数点后一位）．
(1)连接AE，交BC于点F，若AE⊥MN，求AE的长（即雕塑的高度）；
(2)求点D到MN的距离（参考数据：sin38°≈0.62，cos38°≈0.79，tan38°≈0.78）．
【答案】(1)3.8m
(2)2.8m
【分析】本题考查解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，熟练掌握三角函数的定义是
解题的关键．
（1）根据题意可得∠EAM=90°，∠ABF=∠ECF=90°，在Rt△ABF,Rt△ECF中，
解直角三角形，分别求出AF,EF，即可得出结果．
（2）先证明四边形AKDP是矩形，得AP=DK，把数值代入EP=DEcosE以及
DK=AP=AE−EP进行计算，即可作答．
【详解】（1）解：根据题意得：∠EAM=90°，∠ABF=∠ECF=90°，
∵ ∠BAM=52°，
∴∠BAF=38°，
∵ AB⊥BC，DE⊥BC，
∴AB∥DE，
∴∠CEF=∠BAF=38°，
在Rt△ABF中，AB=2.37m，
AB 2.37
∴AF= = =3.0(m)；
cos∠BAF 0.79
30∵ DE=2CE=1.24m，
∴ CE=0.62m，
在Rt△ECF中，CE=0.62m，
CE 0.62
∴EF= = =0.78m，
cos∠CEF cos38°
∴AE=3.0+0.78=3.78≈3.8(m)，
答：AE（即雕塑的高度）的长为3.8m．
（2）解：如图，过点D分别作DK⊥MN，DP⊥AE，
∴∠PAK=∠AKD=∠DPA=90°，
则四边形AKDP是矩形，
∴AP=DK．
∵DE=1.24m，且由（1）得∠CEF=38°
则在Rt△DEP中，EP=DE×cos∠CEF≈1.24×0.79≈0.98(m)
由（1）得AE=3.8m
∴DK=AP=AE−EP=3.8−0.98≈2.8(m)．
25．（2025·江西赣州·二模）坐落于赣州市阳明路与解放路交汇口的标准钟，曾是赣州唯
一精确报时建筑，于1953年5月1日落成，建成时为赣州最高建筑．标准钟由基础层、塔身
主体和顶部装饰层组成，总高度为a米．某数学学习小组的同学想知道顶部装饰层的具体
高度，分两小组各设计了一种方案：
课题 测量标准钟顶部装饰层AB的高度
测量
测角仪、皮尺及1.6m长的标杆MN
工具
测量
第一小组 第二小组
小组
测量
方案
示意
图
31顶部装饰层AB落在地面上的影长
测量 从标杆顶端M处测得B点的仰角为
EF=6.9m，此时标杆MN的影长
数据 ∠BMD=28.2°，CN=25m．
NG=2.4m．
(1)已知标准钟的总高度约为当前7层住宅楼的高，那么a的值应该是（ ）
A．12.6 B．19.6 C．36.6
(2)结合（1）中得到的数据，请你选择其中一个小组的方案，求出标准钟顶部装饰层AB的
高度．（参考数据：sin28.2°≈0.876，cos28.2°≈0.473，tan28.2°≈0.536）
【答案】(1)B
(2)4.6m
【分析】（1）如图1，延长MD交AC于H，可得四边形MHCN是矩形，即得
CH=MN=1.6m，MH=CN=25m，解Rt△BHM可得BH=MH·tan∠BMH=13.4m，
即得BC=15m，如图2，过点B作BT∥EF交AF于点T，则四边形BEFT是平行四边形，
AB MN
即得BT=EF=6.9m，利用平行投影的性质可得 = ，即得AB=4.6m，进而求出
BT NG
AC即可求解；
（2）如图2，过点B作BT∥EF交AF于点T，则四边形BEFT是平行四边形，即得
AB MN
BT=EF=6.9m，利用平行投影的性质可得 = ，据此即可求解；
BT NG
本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，平行投影，掌握锐角三角函数的定义及
平行投影的性质是解题的关键．
【详解】（1）解：如图1，延长MD交AC于H，则∠AHM=90°，四边形MHCN是矩
形，
∴CH=MN=1.6m，MH=CN=25m，
在Rt△BHM中，∠BMH=28.2°，
32∴BH=MH·tan∠BMH=25×0.536=13.4m，
∴BC=1.6+13.4=15m，
如图2，过点B作BT∥EF交AF于点T，则四边形BEFT是平行四边形，
∴BT=EF=6.9m，
AB MN
由平行投影可得， = ，
BT NG
AB 1.6
∴ = ，
6.9 2.4
解得AB=4.6m，
∴AC=AB+BC=4.6+15=19.6m，
即a=19.6，
故选：B；
（2）解：选择第二小组．
如图2，过点B作BT∥EF交AF于点T，则四边形BEFT是平行四边形，
∴BT=EF=6.9m，
AB MN
由平行投影可得， = ，
BT NG
AB 1.6
∴ = ，
6.9 2.4
解得AB=4.6m，
∴标准钟顶部装饰层AB的高度为4.6m．
26．（2025·江西新余·二模）如图1是广告展示牌，图2是广告展示牌的侧面示意图，点
F，A，B，D在同一直线上，点A，C，E在同一直线上，BC是连接杆．经测量，
DF=100cm,AD=AE=70cm，AB=AC=30cm,DE=42cm．
33(1)求连接杆BC的长度；
(2)求广告展示牌最高点F到DE的距离．（结果精确到0.1cm．参考数据：
sin72.54°≈0.9539，cos72.54°≈0.3000，tan72.54°≈3.1793）
【答案】(1)连接杆BC的长度为18cm；
(2)广告展示牌最高点F到DE的距离约为95.4cm．
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形，等腰三角形的性质等知识，
掌握相关知识是解题的关键．
AB BC
（1）证明△BAC∽△DAE，得到 = ，即可求解；
AD DE
（2）分别过点A，F作DE的垂线AG,FH，垂足分别为点G，H，求出DG=21(cm)，根
据解直角三角形即可求解．
【详解】（1）解：∵AD=AE=70cm，AB=AC=30cm，
AB AC 3
∴ = = ，
AD AE 7
∵∠BAC=∠DAE，
∴△BAC∽△DAE，
AB BC
∴ = ，
AD DE
AB 3
∴BC= ⋅DE= ×42=18(cm)．
AD 7
答：连接杆BC的长度为18cm．
（2）解：如图，分别过点A，F作DE的垂线AG,FH，垂足分别为点G，H，
34∵AD=AE，AG⊥DE，
1 1
∴DG= DE= ×42=21(cm)，
2 2
DG 21
在Rt△ADG中，cos∠D= = =0.3，
AD 70
∴∠D≈72.54°，
∴在Rt△FDH中，FH=DF·sin∠D=100×sin72.54°≈100×0.9539≈95.4(cm)．
答：广告展示牌最高点F到DE的距离约为95.4cm．
27．（2025·江西抚州·二模）如图1是钓鱼迷们的必备神器——多功能晴雨伞，其设计巧
妙地体现了轴对称之美．伞柄的支杆垂直于地面固定，仿佛一道无形的对称轴．使用者巧
妙地用绳索将伞拉直，固定在树干的点E处，使得A，C，E三点恰成一条直线，宛如自
然与智慧的完美结合．其中AB=AC=3m,DQ=4m．
(1)垂钓时打开“晴雨伞”，若∠α=60°，求遮蔽宽度BC（结果保留根号）；
(2)若由（1）中的位置收合“晴雨伞”，使得∠BAC=104°，求点E下降的高度（结果精
确到0.1m）．（参考数据：sin52°≈0.79，cos52°≈0.62，tan52°≈1.28，√3≈1.73
）
【答案】(1)遮蔽宽度BC为3√3m
(2)点E下降的高度约为0.8m
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确添加辅助线是解题的关键．
3
（1）根据正切的定义求出OC=AC⋅sinα=3×sin60°= √3(m)，得到
2
BC=2OC=3√3m；
35（2）过E作EF⊥D于点F，证明四边形EFDQ是矩形，得出EF=DQ=4m，分别求出
∠BAC=120°，∠BAC=104°时，AF对应的值，然后相减即可求解．
【详解】（1）解：由对称性可知BC=2OC，
∵ AB=AC=3m,∠AOC=90°．
在Rt△AOC中，∠OAC=∠α=60°，
OC
∴sinα= ，
AC
3
∴OC=AC⋅sinα=3×sin60°= √3(m)，
2
∴BC=2OC=3√3m．
答：遮蔽宽度BC为3√3m．
（2）解：如图，过点E作EF⊥AD于点F．
∵EF⊥AD AD⊥DQ EQ⊥DQ
， ， ，
∴∠EFD=∠FDQ=∠DQE=90°，
∴四边形EFDQ是矩形，
∴EF=DQ=4m，
EF
在Rt△AFE中，tanα= ，
AF
EF 4 4
当∠BAC=2∠α=120°时，AF= = = √3≈2.31(m)；
tan60° √3 3
EF 4
当∠BAC=2∠α=104°时，AF= ≈ =3.125(m)，
tan52° 1.28
3.125−2.31=0.815≈0.8(m)．
答：点E下降的高度约为0.8m．
28．（2025·江西南昌·二模）如图1是一款用于收集卡片的卡曼盒实物图，图2中的矩形
ABCD是其主视图．如图3所示，四边形AMND可绕点N旋转得到四边形AM ND，设
1
旋转角为α(α≥0°)，当C，N，M 三点共线时α最大．经测量BM=64mm，BC=42mm，
1
CN=78mm．
36(1)求MN的长度．
(2)①当α为何值时，点M 到边BC的距离最大，并求出最大距离；
1
②直接写出当α为何值时，点M 到边CN的距离等于42mm．
1
（参考数据：sin71.6°≈0.95，cos71.6°≈0.32，tan71.6°≈3）
【答案】(1)14√10mm
(2)①α=108.4°，最大距离为(78+14√10)mm；②0°或36.8°
【分析】本题考查了旋转的性质，解直角三角形，矩形的判定与性质，解题的关键是正确
作出辅助线．
（1）过点M作ME⊥CD于点E，∠MEC=∠MEN=90°，证明四边形BCEM是矩形，
得到CE=BM=64mm，ME=BC=42mm，得到EN=14mm，最后根据勾股定理即可求解；
（2）①由旋转可得：M N=MN=14√10mm，∠MN M =α，由（1）知，ME=42mm，
1 1
ME
EN=14mm，得到tan∠MNE= =3，推出∠MNE=71.6°，结合当C，N，M 三点
EN 1
共线时，点M 到边BC的距离最大，即可求解；②当α=0°，即点M与点M 重合时，点
1 1
M 到边CN的距离等于42mm；过点M 作M H⊥CD交CD的延长线于点H，则
1 1 1
M H=42mm，根据三角函数可推出∠M NH=∠MEN=71.6°，即可求解．
1 1
【详解】（1）解：如图，过点M作ME⊥CD于点E，∠MEC=∠MEN=90°，
∵在矩形ABCD中，∠B=∠C=90°，
∴ ∠B=∠C=∠MEC=90°，
∴四边形BCEM是矩形，
∴ CE=BM=64mm，ME=BC=42mm，
∴ EN=CN−CE=78−64=14mm，
∴ MN=√M E2+EN2=√422+142=14√10mm；
（2）由旋转可得：M N=MN=14√10mm，∠MN M =α，
1 1
①由（1）知，ME=42mm，EN=14mm，
ME 42
∴ tan∠MNE= = =3，
EN 14
∴ ∠MNE=71.6°，
当C，N，M 三点共线时，点M 到边BC的距离最大，此时
1 1
37α=180°−∠MNE=180°−71.6°=108.4°，
最大距离为CN+M N=(78+14√10)mm；
1
②∵ ME=BC=42mm，
∴当α=0°，即点M与点M 重合时，点M 到边CN的距离等于42mm；
1 1
过点M 作M H⊥CD交CD的延长线于点H，则M H=42mm，
1 1 1
M H ME
∴ sin∠M NH= 1 = ，
1 M N MN
1
∴ sin∠M NH=sin∠MEN，
1
∴ ∠M NH=∠MEN=71.6°，
1
∴ α=180°−∠MNE−∠M NH=36.8°；
1
综上所述，当α为0°或36.8°时，点M 到边CN的距离等于42mm．
1
29．（2025·江西九江·二模）图1所示是某地红色广场标牌，将其红色主体部分抽象为图
2，AD⊥CD，∠A=60°，∠C=110°，AB=2m，AD=4m．
(1)求∠B的度数；
(2)求BC的长．（结果精确到0.1m．参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，
tan70°≈2.75）
【答案】(1)100°
(2)3.2m
【分析】本题考查四边形内角和、含30度角直角三角形的性质、矩形的判定和性质和解直
角三角形的知识，掌握以上知识是解答本题的关键．
38（1）根据四边形内角和为360°即可求解；
（2）过点B作BF⊥DC，BE⊥AD，垂足分别为F，E，得到四边形BFDE为矩形，再
根据矩形的性质和30度角直角三角形的性质可得BF=3m，然后根据解直角三角形的知识
即可求解；
【详解】（1）解：∵在四边形ABCD中，∠A=60，∠C=110°，AD⊥CD，
∴∠B=360°−∠A−∠C−∠D=360°−60°−110°−90°=100°．
（2）解：如图，过点B作BF⊥DC，BE⊥AD，垂足分别为F，E．
∵AD⊥CD，
∴四边形BFDE为矩形，
∴BE=DF，BF=ED，
∵∠BCD=110°，
∴∠BCF=70°，
∵AB=2m，∠A=60°，
1
∴AE= AB=1m，
2
∴ED=BF=AD−AE=3m，
BF 3
∴BC= ≈ ≈3.2m，
sin70° 0.94
即BC的长约为3.2m；
30．（2025·江西抚州·一模）如图（1）是一个雕塑的示意图，将其抽象为图（2），测得
∠A=90°，∠B=142°，∠C=94°，∠AED=114°，AE=12m，AB=6m，求点B到
直线ED的距离．（结果精确到小数点后一位，参考数据：
sin66°≈0.914,cos66°≈0.407,tan66°≈2.246）
【答案】13.4m
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确作出辅助线是解答本题的关键．
39过点A作AM∥ED，再分别过点E，B作AM的垂线，垂足分别为点F，G，先
∠EAF=66°，∠ABG=66°，然后分别求出BG≈2.442，EF≈10.968，然后根据点B
到ED的距离为BG+EF求解即可．
【详解】解：如图，过点A作AM∥ED，再分别过点E，B作AM的垂线，垂足分别为点
F，G
∴∠AFE=90°,∠AGB=90°，
∴∠≝=90°．
∵∠AED=114°
∴∠AEF=24°，
∴∠EAF=66°
∵∠BAE=90°
∴∠BAM=24°
∴∠ABG=66°
∵AE=12m，AB=6m
∴BG=AB⋅cos∠ABG=AB⋅cos66°≈6×0.407=2.442
EF=AE⋅sin∠EAF=AE⋅sin66°≈12×0.914=10.968
∴点B到ED的距离为BG+EF=2.442+10.968≈13.4m．
31．（2025·江西九江·一模）图1是某路灯的实物图，图2是其平面示意图．某数学项目学
习小组要测量某路灯Q−P−M的顶部到地面的距离MN．已知该小组测得α=58°，
AB=1.6m，BN=2m．根据以上测量结果，请你帮助该小组计算路灯顶部到地面的距离
MN．（结果精确到0.1m，参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60
）
【答案】4.8m
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，过点A作AH⊥MN于点
40H，则AH=BN=2m，HN=AB=1.6m．先求出MH=AH⋅tan58°≈3.2(m)，再根据
MN=MH+HN即可求解．
【详解】解：如图，过点A作AH⊥MN于点H，则四边形ABNH是矩形，
∴AH=BN=2m，HN=AB=1.6m．
MH
在Rt△AMH中，tanα= ，
AH
∴MH=AH⋅tan58°≈2×1.60=3.2(m)，
∴MN=MH+HN=3.2+1.6=4.8(m)．
答：路灯顶部到地面的距离MN约为4.8m．
32．（2025·江西吉安·一模）如图（1）是一款桌面可调节的学习桌，其侧面示意图如图
（2）所示，AB为可调节桌面，其长度为40cm，桌面倾斜程度可以根据需求自由调节．
桌面的倾斜角为∠ABC，桌面最大倾斜角为60°，桌面平放时高度为DE为70cm．
(1)当桌面由平放调节到最大倾斜角60°时，求点A运动的路径长．（结果保留π）
(2)书写时桌面适宜的倾斜角∠ABC=20°，求点A到地面的高度．（结果保留一位小数，
参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）
40
【答案】(1) πcm
3
(2)83.6 cm
【分析】本题考查了弧长公式，解直三角形等知识，解题的关键是正确理解正弦函数的定
义式，将线段、角度代入，转化为待求线段的方程求解．
（1）利用弧长公式求解；
（2）利用正弦的定义式求解，代入已知线段和角度，转化为关于AF的方程求解，再利用
线段和求出点A到地面的高度．
41【详解】（1）解：∵当桌面由平放调节到最大倾斜角60°时，AB=40cm，
60×40π 40
∴点A运动的路径长为： = π(cm)．
180 3
（2）解：过点A作AF⊥BC于点F，
AF
∵在Rt△ABF中，sin∠ABC= ，AB=40cm，∠ABC=20°，
AB
AF
∴sin20°= ≈0.34，
40
解得：AF≈13.6(cm)，
∵DE=70cm，
∴点A到地面的高度为AF+DE=13.6+70=83.6(cm)．
33．（2025·江西赣州·模拟预测）如图所示，某款机械人的手臂由上臂、中臂和底座三部
分组成，其中上臂和中臂可自由转动，底座与水平地面垂直．在实际运用中要求三部分始
终处于同一平面内，其示意图如图1所示，经测量，上臂AB=12cm，中臂BC=8cm，底
座CD=4cm（计算的最后结果保留一位小数．）
(1)若上臂AB与水平面平行，∠ABC=60°．计算点A到地面的距离．
(2)如图2，在一次操作中，中臂与底座成135°夹角，上臂与中臂夹角为105°，计算这时
点A到地面的距离？（参考数据；√3≈1.73，√2≈1.41）
【答案】(1)点A到地面的距离为10.9cm
(2)3.6cm
CM √3
【分析】（1）过点C作CM⊥AB，垂足为M，在Rt△MCB中，由sinB= = ，
BC 2
即可得出CM的值，进而可得DM的值；
（2）过点B作BG垂直于地面，垂足为G，分别过点A，C作BG的垂线，垂足分别为E，
F，求出∠BCF=45°，∠CBF=45°，∠ABF=60°，根据三角函数的定义可求出
42BF=4√2cm，BE=6cm，求出点A到地面的距离BG的长，即可解决问题．
本题考查了解直角三角形的应用、含30°角的直角三角形的性质、等腰直角三角形的性质
等知识．熟练掌握三角函数的定义及特殊角的三角函数值是解题的关键．
【详解】（1）解：如图1，过点C作CM⊥AB，垂足为M，
CM
则在Rt△MCB中，sinB= ，
BC
∵∠ABC=60°，BC=8cm，
CM √3
∴ = ，
8 2
∴CM=4√3cm，
∴DM=CM+CD=(4+4√3)cm≈10.9cm，
∴点A到地面的距离为10.9cm；
（2）解：如图2，过点B作BG垂直于地面，垂足为G，分别过点A，C作BG的垂线，垂
足分别为E，F，
则四边形FCDG是矩形，
∴FG=CD=4，∠FCD=90°，
∵∠BCD=135° ∠ABC=105°
， ，
∴∠BCF=45°，∠CBF=45°，∠ABF=60°，
√2
∴BF=BCcos∠CBF=8× =4√2cm，
2
1
BE= AB=6cm，
2
∴点A到地面的距离为BF+FG−BE=4√2+4−6=(4√2−2)cm≈3.6cm．
34．（2025·江西·二模）某学校操场的主席台安装了如图1所示的遮阳棚，其截面示意图
如图2所示，其中四边形ABCD是矩形，主席台高AB为1米．上午某时刻，经过点E的太
阳光线恰好照射在AD上的点F处，测得∠EFD=58°，主席台受遮阳棚遮挡所形成的阴
43影区域的宽度AF为2.6米．一段时间后，经过点E的太阳光线恰好照射在AD上的点G处，
测得∠EGD=71.6°，阴影区域的宽度AG为4.0米，点A，B，C，D，E，F，G均在同一
竖直平面内．
(1)求点E距离地面BC的高度；
(2)当太阳光线与地面夹角为71.6°时，若要使主席台受遮阳棚遮挡所形成的阴影区域宽度
AG为4.5米，点E需在原高度的基础上向上或向下移动多少米？
（结果精确到0.1米，参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，
sin71.6°≈0.95，cos71.6°≈0.32，tan71.6°≈3.00）
【答案】(1)点E距离地面BC的高度约为5.8米；
(2)点E需在原高度的基础上向下移动1.5米．
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确添加辅助线构造图形是解题的关键．
（1）过点E作EM⊥BC于点M，交AD于点H，设EH的长度为a米，解Rt△FHE得到
5a a
FH= ，解Rt△GHE中得到，GH= ，而FG=1.4米，则FH−GH=1.4米，据此列
8 3
式计算即可求解；
（2）由（1）的结论求得AH的长，根据点E上下移动，AH的长不变，列式计算即可求解．
【详解】（1）解：过点E作EM⊥BC于点M，交AD于点H，
则四边形CDHM为矩形，∠FHE=90°,HM=CD=1米，
设EH的长度为a米，
EH
由题意得，在Rt△FHE中，∠FHE=90°，∠EFH=58°，tan∠EFH= ，
FH
EH a a 5a
∴FH= = ≈ = ．
tan∠EFH tan58° 1.60 8
44EH
在Rt△GHE中，∠GHE=90°，∠EGH=71.6°，tan∠EGH= ，
GH
EH a a
∴GH= = ≈ ．
tan∠EGH tan71.6° 3
∵AF=2.6米，AG=4米，
∴FG=AG−AF=4−2.6=1.4米，
∴FH−GH=FG=1.4米，
5a a
即 − =1.4．
8 3
解得：a=4.8，
∴EM=EH+HM=4.8+1=5.8米．
答：点E距离地面BC的高度约为5.8米；
（2）解：由（1）知a=4.8，
a
∴GH= =1.6米，
3
∴AH=AG+GH=4+1.6=5.6米，
设改变后EH的长度为b米，
b
同理，GH= 米，
3
∵AG为4.5米，
b
∴4.5+ =5.6，解得b=3.3，
3
4.8−3.3=1.5，
∴点E需在原高度的基础上向下移动1.5米．
35．（2025·江西·模拟预测）某种水龙头关闭时如图1所示，将其简画成图2，D，A，E
三点共线，E−A−B−C是水管，AE⊥台面MN．A−D−F是开关，可整体绕点A上
下旋转，且AD⊥DF，AE⊥AB，连接AF，∠FAD=71°，AE=14cm，AD=4cm．
(1)求AF的长度（结果保留整数）；
(2)如图3，当开关开到最大时，△ADF旋转到△AD′F′的位置上，旋转角∠F′ AF=41°，
求此时点F′到台面MN的距离（结果保留整数）．（参考数据：sin71°≈0.95，
45cos71°≈0.33，tan71°≈2.9，π取3.14，√2≈1.4，√3≈1.7）
【答案】(1)AF的长度约为12cm
(2)点F′到台面MN的距离约为24cm
【分析】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三
角形解决问题．
（1）在Rt△ADF中，利用余弦函数的定义求解即可；
（2）过点F′作F′H⊥MN，垂足为H，交AB于点G，在Rt△F′ AG中，利用正弦函数的
定义求F′G的长度，据此求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，在Rt△ADF中，∠FAD=71°，AD=4cm，
AD
cos∠FAD= ，
AF
4 4
∴AF= ≈ ≈12(cm)．
cos71∘ 0.33
∴AF的长度约为12cm；
（2）解：如图，过点F′作F′H⊥MN，垂足为H，交AB于点G，
∵AE⊥AB，
∴∠DAB=90°，
∵∠FAD=71°，
∴∠FAB=90°−71°=19°，
∴∠F′ AG=∠F′ AF+∠FAB=41°+19°=60°，
F′G
在Rt△F′ AG中，sin∠F′ AG= ，
AF′
√3
∴F′G≈12sin60°=12× =6√3(cm)，
2
∵AE=14cm，
∴F′H=F′G+GH≈6√3+14≈6×1.7+14≈24(cm)．
∴点F′到台面MN的距离约为24cm．
36．（2025·江西抚州·一模）如图，为助力乡付振兴，某乡镇帮助农户在一个坡度为
i=3:4的斜坡上点A处安装自动浇灌装置（其高度忽略不计），为坡地AB进行浇灌，点A
46处的自动浇灌装置喷出的水柱呈抛物线形，已知AB=15m，水柱在距出水口A的水平距离
为3m时，达到距离地面OB的竖直高度的最大值为12m．以OB所在的水平方向为x轴，
OA所在的竖直方向为y轴建立平面直角坐标系．
(1)求图中水柱所在抛物线的函数表达式；
(2)若该装置浇灌的最远点为AB上的点C处，求点C距出水口的水平距离．
1
【答案】(1)y=− (x−3) 2+12
3
33
(2) m
4
【分析】本题考查二次函数的实际运用，熟练掌握待定系数法求解析式和函数的交点问题
是解题的关键，
（1）根据坡比i=3:4，求出OA,OB的长，从而得到点A，点B坐标，再由题意设抛物线
的表达式为y=a(x−3) 2+12，代入即可求得抛物线的解析式；
（2）设直线AB的解析式为y=mx+n，由点A，点B坐标求得直线AB的解析式，再由点
C是直线AB和抛物线的交点，联立方程并求解，即可求出点C坐标．
【详解】（1）解：∵i=3:4，
OA 3
∴ = ，
OB 4
设OA=3t，则OB=4t．
∴AB=√OA2+OB2=5t，
∴5t=15，
解得t=3，
∴OA=3t=9,OB=4t=12，
∴点A的坐标为(0,9)，点B的坐标为(12,0)．
由条件可设抛物线的表达式为y=a(x−3) 2+12，
将(0,9)代入，可得9=a(0−3) 2+12，
1
解得a=− ，
3
471
∴水柱所在抛物线的函数表达式为y=− (x−3) 2+12；
3
（2）解：设直线AB的解析式为y=mx+n，
将点A(0,9)，点B(12,0)代入得：¿，
解得¿，
3
∴直线AB的解析式为y=− x+9．
4
联立¿，
1 11
得 x2− x=0，
3 4
33
解得x =0,x = ，
1 2 4
33
∴点C的横坐标为 ，
4
33
∴点C距出水口的水平距离为 m．
4
37．（2025·江西抚州·一模）如图1，这是某市的一个党建文化宣传栏，其主视图的一部分
如图2所示，在图2中∠A=67°，∠B=90°．
(1)若∠D−∠C=11°，则∠C的度数为_______；
(2)若AD=0.8m,AB=2.2m，求点D到BC的距离．（结果精确到0.1m，参考数据：
sin67°≈0.92，cos67°≈0.39,tan67°≈2.36）
【答案】(1)96°
(2)点D到BC的距离约为1.9m
【分析】本题主要考查四边形内角和，解直角三角形的应用，矩形的判定和性质，解题的
关键是熟练掌握三角函数定义，作出辅助线．
（1）根据四边形内角和进行求解即可；
（2）过点D分别作DE⊥AB于点E,DF⊥BC于点F，证明四边形DEBF是矩形，得出
DF=BE，解直角三角形求出AE=AD⋅cosA=0.8×cos67°≈0.8×0.39=0.312m，得
出BE=AB−AE=2.2−0.312=1.888≈1.9(m)，即可得出答案．
【详解】（1）解：∵四边形ABCD的内角和为360°，∠A=67°，∠B=90°，
∴∠D+∠C=360°−67°−90°=203°，
∵∠D−∠C=11°，
48∴∠D=107°，∠C=96°；
（2）解：如图，过点D分别作DE⊥AB于点E,DF⊥BC于点F，
∵∠DEB=∠B=∠DFB=90°，
∴四边形DEBF是矩形，
∴DF=BE，
在△ADE中，∠A=67°,∠AED=90°,AD=0.8m，
∴AE=AD⋅cosA=0.8×cos67°≈0.8×0.39=0.312m，
∴BE=AB−AE=2.2−0.312=1.888≈1.9(m)，
∴DF=BE=1.9m，
∴点D到BC的距离约为1.9m．
38．（2025·江西宜春·一模）八一广场，南昌这座英雄城市的重要地标！为了纪念1927年
8月1日发生的南昌起义，广场中央矗立着八一起义纪念塔，如图，纪念塔前有一斜坡
AB=5m，坡度i=3:4，在点B处看塔尖的仰角为72°，AE=20m．
(1)求点B到地面的垂直高度；
(2)求纪念塔的高度CE（结果保留整数）．（参考数据：sin72°≈0.951，
cos72°≈0.309，tan72°≈3.078）
【答案】(1)点B到地面的垂直高度为33m
(2)纪念塔的高度CE为52m
【分析】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题、坡度坡角问题，
BF 3
（1）如图，过点B作BF⊥AE交AE于点F．由i=3:4得到 = ，求出BF=3m即可
AF 4
得到答案；
CD
（2）首先求出BD=16m，然后利用tan∠CBD= ，求出CD，进而求解即可．
BD
【详解】（1）如图，过点B作BF⊥AE交AE于点F．
49∵AB=5m，坡度i=3:4，
BF 3
∴ = ，BF2+AF2=AB2，
AF 4
∴BF=3m，AF=4m．
答：点B到地面的垂直高度为3m．
（2）由（1）可知AF=4m．
∵AE=20m，
∴BD=FE=AE−AF=20−4=16(m)．
∵在点B处看塔尖的仰角为72°，
∴∠CBD=72°．
CD
∵tan∠CBD= ，
BD
∴CD=16⋅tan∠CBD≈16×3.078≈49(m)，
∴CE=CD+DE=CD+BF=49+3=52(m)．
答：纪念塔的高度CE为52m．
39．（2025·江西宜春·一模）水碓（duì）是中国古代利用水利驱动的舂捣工具，主要用于
谷物脱壳（如稻谷去壳成米）、粉碎药材或加工其他物料．水碓主要由水轮、碓体、碓臼
组成，当水轮转动时利用杠杆原理使得凸轮或齿轮带动碓杆上下运动，图1为为水碓的结
构简图，图2为碓体平面示意图．已知OE是垂直水平地面AF的支柱，碓杆AB可绕支点O
在竖直平面内转动，且AB垂直碓头CD于点B．若OE=0.3米，OA=0.6米，OB=1.8米，
BD=0.6米，当碓杆AB的一端点A接触到水平地面时，碓头顶点C抬升到最大高度．
(1)求碓头顶点C抬升到最高时，∠BAF的度数；
(2)当碓头顶点C抬升到最高时，求碓头点D到水平地面AF的距离（精确到0.1米，参考数
据：√3=1.73）．
【答案】(1)30°
50(2)0.7
【分析】本题主要考查了解直角三角形，特殊角的三角函数值，解题的关键是熟练掌握解
直角三角形的函数比和构造直角三角形．
OE 1
（1）根据题意，利用sin∠OAE= = 即可求得角的度数；
OA 2
（2）过点B作BM⊥AF于点M，过点D作DN⊥AF于点N，过点D作DG⊥BM于点
G，利用三角函数比依次求得BM、GB的长即可求解．
【详解】（1）解：在Rt△AOE中，OA=0.6，OE=0.3，
OE 1
∴sin∠OAE= = ，
OA 2
∴∠OAE=30°
即∠BAF的度数为30°；
（2）解：如图所示，过点B作BM⊥AF于点M，过点D作DN⊥AF于点N，过点D作
DG⊥BM于点G，
由图可知，四边形DGMN为矩形，
∴DN=GM，
在Rt△ABM中，AB=OA+OB=0.6+1.8=2.4,∠BAM=30°,
1
∴BM= AB=1.2,∠ABM=90°−∠BAM=60°,
2
∴∠GBD=90°−∠ABM=30°，
在Rt△BDG中，BD=0.6，
GB √3
∴cos∠GBD=cos30°= = ，
BD 2
3√3
∴GB= ，
10
3√3
∴GM=BM−GB=1.2− ≈0.7（米），
10
所以，点D到水平地面AF的距离为0.7米．
40．（2025·江西南昌·一模）图1是一款展示支架，图2是它的侧面示意图，AB可以在一
定范围内伸缩且A，D，B三点共线，经测量，∠ADC=140°，∠C=58°.
51(1)求∠B的度数；
(2)若110cm≤AB≤197cm，求展示支架的高（点A到BC的距离）的取值范围.
（参考数据：sin8°≈0.14，cos8°≈0.99，tan8°≈0.14，结果精确到小数点后一位）
【答案】(1)82°
(2)108.9cm≤AE≤195.0cm.
【分析】本题主要考查了三角形外角的性质、解直角三角形的应用等知识点，正确作出辅
助线、运用解直角三角形的知识解决实际问题成为解题的关键。
（1）根据三角形外角的性质列式计算即可；
（2）如图：过A作AE⊥BC，垂足为E.先求得∠EAB=90°−82°=8°，再解直角三角
形可得AE=AB⋅cos8°≈0.99AB，然后根据AB的边界点求得AE的取值范围即可解答。
【详解】（1）解：∵∠ADC是△BCD的外角，∠ADC=140°，∠C=58°，
∴∠B=∠ADC−∠C.
∴∠B=140°−58°=82°.
（2）解：如图：过A作AE⊥BC，垂足为E.
∴∠EAB=90°−82°=8°.
AE
在RtΔAEB中，cos8°=
.
AB
∴AE=AB⋅cos8°≈0.99AB.
当AB=110cm时，AE≈108.9cm.
当AB=197cm时，AE≈195.0cm.
52答：展示支架的高的取值范围为108.9cm≤AE≤195.0cm.
41．（2025·江西·模拟预测）如图1，在一次物理光学实验中，激光笔MN发射一束红光，
容器中不装水时，光线沿直线传播后恰好经过点B，加水至EF处时，光线经过折射后经过
点C．图2是示意图，四边形ABFE为矩形，DG为法线（法线DG与液面EF互相垂直），
4 3 4
DF=48cm，BF=36cm．（参考数据：sin53°≈ ,cos53°≈ ,tan53°≈ ）
5 5 3
(1)求入射角∠PDG的度数；
(2)若测得BC=21cm，求 C，D两点间的距离．
【答案】(1)53°
(2)45cm
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，熟练三角函数求角度是解题的关键．
（1）求得tan∠DBF，再利用平行线的性质可得∠PDG；
（2）延长GD，与AB相交于点H，求得CH，利用勾股定理即可解答．
【详解】（1）解：∵DF=48cm，BF=36cm，
DF 48 4
∴tan∠DBF= = =
BF 36 3
4
∵tan53°≈ ，
3
∴∠DBF≈53°，
根据题意得DG∥BF，
∴∠PDG=∠DBF≈53°；
（2）解：如图，延长GD，与AB相交于点H，
可得四边形BFDH为矩形，
∴∠DHC=90°，BH=DF=48cm，DH=BF=36cm，
∴HC=BH−BC=48cm−21cm=27cm，
在Rt△DHC中，CD=√DH2+HC2=45cm，
53故 C，D 两点间的距离是45cm．
42．（2025·江西景德镇·一模）如图①，是液体过滤的实验装置，图②是其侧面示意图，
已知底座高度AB=3cm，烧杯高度EF=12cm，漏斗的一端紧贴烧杯内壁，漏斗的锥形部
分MN=GH=8cm，且∠MNH=∠GHN=60°，漏斗管位于烧杯的上方部分FG=6cm，
2
玻璃棒斜靠在三层滤纸的点P处，PG= GH，玻璃棒PQ长度为30cm．
3
（结果精确到0.1cm）
(1)求漏斗口处点N到底座AD的高度；
(2)某次过滤时，玻璃棒与水平方向的夹角为53°，求此时玻璃棒顶端Q点到桌面的距离．
（参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33，√3≈1.73）
【答案】(1)24.9cm
(2)49.6cm
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅
助线是解题的关键．
（1）由题意可知NH∥AD，FE⊥AD，延长FG交NH，则¿⊥NH，在Rt△THG中，
TG=GH⋅cos∠GHN=4√3cm，根据题意可知点N到底座AD的高度等于
TE=TG+FG+EF，即可求解；
（2）过点P作PK∥FG，交NH于I，过点Q作QK⊥PK，由题意可知，∠PQK=53°，
1 8
在Rt△PQK中，PK=PQ⋅sin∠PQK≈24cm，由题意可知PH= GH= cm，在
3 3
4√3
Rt△PHI中，PI=PH⋅sin∠GHN cm，此时玻璃棒顶端Q点到桌面的距离为
3
PK−PI+TE+AB，由此即可求解．
【详解】（1）解：由题意可知NH∥AD，FE⊥AD，
延长FG交NH，则¿⊥NH，
√3
在Rt△THG中，∠GHN=60°，则TG=GH⋅sin∠GHN=8× =4√3cm，
2
∴TE=TG+FG+EF=4√3+6+12≈24.9cm，
54∴点N到底座AD的高度24.9cm；
（2）过点P作PK∥FG，交NH于I，过点Q作QK⊥PK，
由题意可知，∠PQK=53°，
在Rt△PQK中，PK=PQ⋅sin∠PQK=PQ⋅sin53°≈30×0.8≈24cm，
2
∵GH=8cm，PG= GH，
3
1 8
∴PH= GH= cm，
3 3
8 √3 4√3
在Rt△PHI中，PI=PH⋅sin∠GHN= × = cm，
3 2 3
4√3
此时玻璃棒顶端Q点到桌面的距离为PK−PI+TE+AB=24− +24.9+3≈49.6cm，
3
即玻璃棒顶端Q点到桌面的距离为49.6cm．
43．（2025·江西景德镇·一模）小轩家有一个如图1所示的正方体家用医药箱，其侧面是
如图2所示的正方形ABCD，在打开医药箱的过程中，矩形AEFD（箱盖）可以绕点E逆
时针旋转，落在A′EF′D′的位置，且AD=40cm，CF=30cm．
(1)如图2，当旋转角为60°时，求点D与点D′之间的距离．
(2)若矩形AEFD在旋转过程中，可旋转的最大角度是70°，求点F′到BC的最大距离．
（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）
【答案】(1)10√17cm
55(2)67.6cm
【分析】（1）根据矩形和正方形的性质可得：AD=EF=CD=40cm，∠EFD=90°，进
而得到DF=10cm，根据勾股定理求出DE，由旋转可得：ED=ED′，∠DED′=60°，
可推出△DED′是等边三角形，根据等边三角形的性质即可求解；
（2）过点F′作F′H⊥BC于点，交EF于G点，推出四边形CFGH是矩形，得到
GH=CF=30cm，F′G⊥EF，由题意可知，∠FEF′=70°，EF=EF'=40cm，根据
F′G=sin∠FEF′·EF′求出F′G，最后根据F′到BC的最大距离为F′G+GH，即可求解．
【详解】（1）解：如图，连接ED、ED′、DD′，
∵四边形ABCD是正方形，四边形AEFD是矩形，
∴ AD=EF=CD=40cm，∠EFD=90°，
∵ CF=30cm，
∴ DF=CD−CF=40−30=10cm，
∴ DE=√EF2+DF2=√402+102=10√17cm，
由旋转可得：ED=ED′，∠DED′=60°，
∴ △DED′是等边三角形，
∴ DD'=DE=10√17cm，
即点D与点D′之间的距离为10√17cm；
（2）过点F′作F′H⊥BC于点，交EF于G点，
∵四边形ABCD是正方形，四边形AEFD是矩形，
∴ AD=EF=CD=40cm，∠C=∠CFE=90°，
∴四边形CFGH是矩形，
∴ GH=CF=30cm，F′G⊥EF，
由旋转可得：EF=EF'=40cm，矩形AEFD在旋转过程中，可旋转的最大角度是70°，
∴ ∠FEF′=70°，
∴ F'G=sin∠FEF'·EF'=0.94×40=37.6cm，
∴ F′到BC的最大距离为F'G+GH=37.6+30=67.6cm．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，正方形的性质，旋转的性质，等边三角形的判定
与性质，三角函数的应用，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识．
5644．（2025·江西·一模）图1是一种柜厢可收纳的货车，图2，图3是其柜厢横截面简化示
意图，忽略柜厢板的厚度，由上、下厢板EF，AB，可对折侧厢板
AC，EC，BD，FD组成，已知AB=220cm．当厢板收起时，EF恰好与AB重合，点
C，D重合均落在AB中点处，当厢板升起过程中，有∠CAB=∠DBA．
(1)如图2，当上厢板EF从重合到完全升起到∠CAB=90°时，求点C，D在此过程中运动
的路程总长；
(2)如图3，当上厢板EF升起到∠CAB=70°时，求此时点C，D之间的距离．
（参考数据：π≈3.14，sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，结果保留整
数）
【答案】(1)345cm
(2)145cm
【分析】本题主要考查了弧长公式、全等三角形的判定与性质、解直角三角形等知识点，
正确作出辅助线成为解题的关键．
1
（1）根据题意可得AC=BD= AB=110cm，然后根据弧长公式求解即可；
2
（2）如图（2），分别过点C，D作CM⊥AB,DN⊥AB，垂足分别为点M，N．由(1)
知AC=DB=110cm，易证.△CAM≌△DBN(AAS)可得AM=BN，再解直角三角形可得
AM=37.4cm，最后根据点C，D之间的距离为AB−2AM求解即可．
【详解】（1）解：如图（1）：当厢板收起时EF恰好与AB重合，点C，D重合均落在AB
中点处，AB=220cm，
1
∴AC=BD= AB=110cm，
2
1
∴点C，D在此过程中运动的路径的总长度为 ×2π×110=110π≈345cm．
2
（2）解：如图（2），分别过点C，D作CM⊥AB,DN⊥AB，垂足分别为点M，N．由
57(1)知AC=DB=110cm，
又∵∠CAB=∠DBA=70°,∠CMA=∠DNB=90°
∴.△CAM≌△DBN(AAS)，
∴AM=BN，
AM
在Rt△CAM中，cos∠CAM= ，
AC
∴AM=AC⋅cos∠CAM≈110×0.34=37.4cm，
∴点C，D之间的距离为AB−2AM=220−37.4×2≈145cm．
45．（2025·江西新余·一模）绿色出行，健康出行，“你我同行”．某地为了方便市民绿
色出行，推出了共享单车服务．图1是共享单车放在水平场地的实物图，图2是其示意图，
其中AB，CD都与地面平行，∠1=58°，∠BCD=58°，已知车轮的半径为20cm，
BC=90cm．（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）
(1)求证：AM∥BC；
(2)求横杆AB到地面的距离（结果精确到1cm）．
【答案】(1)见解析
(2)87cm
【分析】（1）根据AB，CD都与地面平行，得AB∥CD，结合∠BCD=58°，得到
∠ABC=∠BCD=58°，结合∠1=58°，得到∠ABC=∠1，于是可证AM∥BC．
（2）过点C作CE⊥AB于点E，交地面于点F，过点D作DG⊥FG交地面于点G，
则四边形CDGF是矩形，根据正弦函数解答即可．
【详解】（1）证明：∵AB，CD都与地面平行，
∴AB∥CD，
∵∠BCD=58°，
∴∠ABC=∠BCD=58°，
∵∠1=58°，
58∴∠ABC=∠1，
∴AM∥BC．
（2）解：过点C作CE⊥AB于点E，交地面于点F，过点D作DG⊥FG交地面于点G，
则四边形CDGF是矩形，
∴CF=DG，
∵车轮的半径为20cm，
∴CF=DG=10cm，
∵BC=90cm，∠ABC=58°，
∴CE=BCsin∠ABC≈76.5cm，
∴EF=CE+CF=86.5cm≈87(cm)，
答：横杆AB到地面的距离约为87cm．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，正弦函数的应用，矩形的判定和性质，圆的性
质，熟练掌握矩形的判定和性质，正弦函数的应用是解题的关键．
59
