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2021-2022学年七年级数学下册尖子生同步培优题典【北师大版】
专题4.6用尺规作三角形
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑
色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
1．（2020•亭湖区二模）过点P画AB的垂线，三角尺的放法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据垂线的定义判断即可．
【解答】解：根据垂线的定义，选项C符合题意．
故选：C．
2．（2021秋•讷河市期末）在△ABC中，作BC边上的高，以下作图正确的是（ ）
A．
B．
C．D．
【分析】根据三角形高线的定义：过三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的
高线解答
【解答】解：BC边上的高应从点A向BC引垂线，
只有选项D符合条件，
故选：D．
3．（2021•罗湖区校级模拟）如图，一位同学用直尺和圆规作出了△ABC中BC边上的高AD，则一定有（
）
A．PA＝PC B．PA＝PQ C．PQ＝PC D．∠QPC＝90°
【分析】利用基本作法，作了线段CQ的垂直平分线，则根据线段垂直平分线的性质可对各选项进行判
断．
【解答】解：由作法得AD垂直平分CQ，
所以PQ＝PC．
故选：C．
4．（2019秋•唐县期末）已知∠AOB，求作射线OC，使OC平分∠AOB作法的合理顺序是（ ）
①作射线OC；②在OA和OB上分别截取OD，OE，使OD＝OE；
③分别以D，E为圆心，大于 DE的长为半径作弧，在∠AOB内，两弧交于C．
A．①②③ B．②①③ C．②③① D．③②①
【分析】找出依据即可依此画出．
【解答】解：角平分线的作法是：在OA和OB上分别截取OD，OE，使OD＝OE；
分别以D，E为圆心，大于 DE的长为半径作弧，在∠AOB内，两弧交于C；
作射线OC．
故其顺序为②③①．故选：C．
5．（2019秋•肥城市期末）下列关于用尺规作图的结论错误的是（ ）
A．已知一个三角形的两角与一边，那么这个三角形一定可以作出
B．已知一个三角形的两边与一角，那么这个三角形一定可以作出
C．已知一个直角三角形的二条边，那么这个三角形一定可以作出
D．已知一个三角形的三条边，那么这个三角形一定可以作出
【分析】A．根据一个三角形的两角与一边，AAS或ASA，这个三角形一定可以作出；
B．已知一个三角形的两边与一角，这个三角形不一定能作出；
C．一个直角三角形的二条边，HL或SAS，这个三角形一定可以作出；
D．已知一个三角形的三条边，SSS，那么这个三角形一定可以作出．
【解答】解：A．根据一个三角形的两角与一边，AAS或ASA，这个三角形一定可以作出；
所以A选项不符合题意；
B．已知一个三角形的两边与一角，不一定作出这个三角形，
所以B选项符合题意；
C．已知一个直角三角形的二条边，这个三角形一定可以作出；
所以C选项不符合题意；
D．已知一个三角形的三条边，这个三角形一定可以作出．
所以D选项不符合题意．
故选：B．
6．（2018•双清区模拟）如图，点C在∠AOB的边OB上，用尺规作出了∠BCN＝∠AOC，作图痕迹中，
弧FG是（ ）
A．以点C为圆心，OD为半径的弧
B．以点C为圆心，DM为半径的弧
C．以点E为圆心，OD为半径的弧
D．以点E为圆心，DM为半径的弧
【分析】运用作一个角等于已知角可得答案．
【解答】解：根据作一个角等于已知角可得弧FG是以点E为圆心，DM为半径的弧．故选：D．
7．（2018春•太子河区期末）用尺规作图，已知三边作三角形，用到的基本作图是（ ）
A．作一个角等于已知角
B．作一条线段等于已知线段
C．作已知直线的垂线
D．作角的平分线
【分析】根据作一条线段等于已知线段即可解决问题；
【解答】解：已知三边作三角形，用到的基本作图是作一条线段等于已知线段，
故选：B．
8．（2020•河北）如图1，已知∠ABC，用尺规作它的角平分线．
如图2，步骤如下，
第一步：以B为圆心，以a为半径画弧，分别交射线BA，BC于点D，E；
第二步：分别以D，E为圆心，以b为半径画弧，两弧在∠ABC内部交于点P；
第三步：画射线BP．射线BP即为所求．
下列正确的是（ ）
A．a，b均无限制 B．a＞0，b＞ DE的长
C．a有最小限制，b无限制 D．a≥0，b＜ DE的长
【分析】根据角平分线的画法判断即可．
【解答】解：以B为圆心画弧时，半径a必须大于0，分别以D，E为圆心，以b为半径画弧时，b必须
大于 DE，否则没有交点，
故选：B．
9．（2020秋•滦南县期末）如图，在△ABC中．∠C＝90°，∠CAB＝60°，按以下步骤作图：①以点A为
圆心，小于AC长为半径画弧，分别交AB，AC于点E、F；②分别以点E、F为圆心，大于 EF长为半径画弧，两弧交于点G；③作射线AG，交BC边于点D，则∠ADC的度数为（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
【分析】根据作图过程可得AD是∠CAB的平分线，进而可得结果．
【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，∠CAB＝60°，
根据作图过程可知：
AD是∠CAB的平分线，
∴∠DAC＝∠DAB＝ CAB＝30°，
∵∠C＝90°，
∴∠ADC＝60°．
故选：C．
10．（2020秋•涪城区期末）根据下列条件，能画出唯一△ABC的是（ ）
A．AB＝3，BC＝4，CA＝7 B．AC＝4，BC＝3.5，∠A＝60°
C．∠A＝45°，∠B＝60°，∠C＝75° D．AB＝5，BC＝4，∠C＝90°
【分析】根据全等三角形的判定，三角形的三边关系一一判断即可．
【解答】解：A、不满足三边关系，本选项不符合题意．
B、边边角三角形不能唯一确定．本选项不符合题意．
C、没有边的条件，三角形不能唯一确定．本选项不符合题意．
D、斜边直角边三角形唯一确定．本选项符合题意．
故选：D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2019秋•朝阳区校级期中）阅读下面材料：数学课上，老师提出如下问题：尺规作图：作一角等于
已知角．已知：∠AOB（图1）求作：∠FBE，使得∠FBE＝∠AOB，小明解答如图2所示：老师说：
“小明作法正确．”
请回答：小明的作图依据是 三边对应相等的两个三角形全等，全等三角形的对应角相等 ．【分析】根据作图痕迹知OC＝OD＝BE＝BF，CD＝EF，证△OCD≌△BEF得∠FBE＝∠AOB，从而得
出答案．
【解答】解：连接CD、EF，
由小明的作图知，
OC＝OD＝BE＝BF，CD＝EF，
在△OCD和△BEF中，
，
∴△OCD≌△BEF（SSS），
∴∠FBE＝∠AOB，
故答案为：三边对应相等的两个三角形全等，全等三角形的对应角相等．
12．（2020春•海淀区校级期末）为作∠AOB的平分线OM，小齐利用尺规作图，作法如下：
①以O为圆心，任意长为半径作弧，分别交OA、OB于点P、Q；
②分别以点P、Q为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点M．
则射线OM为∠AOB的平分线．OM为∠AOB的平分线的原理是 SS S ．
【分析】根据SSS判断三角形全等即可．【解答】解：如图，连接PM，PQ．
∵OP＝OQ，PM＝QM，OM＝OM，
∴△POM≌△QOM（SSS），
∴∠POM＝∠QOM，即OM是∠AOB的角平分线．
故答案为SSS．
13．（2019春•海淀区校级期末）阅读下面材料．
数学课上，老师提出如下问题：
小明解答如图所示，其中他所画的弧MN是以E为圆心，以CD长为半径的弧
老师说：“小明作法正确．”
请回答小明的作图依据是： SS S
【分析】利用“SSS“可证明△BEF≌△OCD，从而可得到∠EBF＝∠COD．
【解答】解：由作法得OC＝OD＝BE＝BF，EF＝CD，
所以△BEF≌△OCD（SSS）．
所以∠EBF＝∠COD，
故答案为SSS．
14．（2020秋•鼓楼区校级月考）如图，在△ABC与△A′B′C′中，AC＝A′C′，BC＝B′C′，∠B＝
∠B′，且∠B和∠B′都是钝角，那么能否证明△ABC与△A′B′C′全等？ 能 ．（填“能”或
“否”）【分析】根据题目中的图形，作CD⊥AB，交AB的延长线于点D，作C′D′⊥A′B′，交A′B′的
延长线于点D′，然后根据全等三角形的判定和性质，可以证明△ABC≌△A'B'C'．
【解答】解：能证明△ABC与△A′B′C′全等．
证明：作CD⊥AB，交AB的延长线于点D，作C′D′⊥A′B′，交A′B′的延长线于点D′，
则∠CDB＝∠C′D′B′＝90°，
∵∠CBA＝∠C′B′A′，
∴∠CBD＝∠C′B′D′，
在△CBD和△C′B′D′中，
，
∴△CBD≌△C′B′D′（AAS），
∴CD＝C′D′，BD＝B′D′，
∵∠CDB＝∠C′D′B′＝90°，
∴在Rt△CDA和Rt△C′D′A′中，
，
∴Rt△CDA≌Rt△C′D′A′（HL），
∴∠A＝∠A′，AD＝A′D′，
又∵BD＝B′D′，
∴AB＝A′B′，
在△ABC和△A′B′C′中，
，
∴△ABC≌△A′B′C′（SAS）．
故答案为：能．
15．（2020秋•沂源县期中）如图，把长短确定的两根木棍 AB、AC的一端固定在A处，和第三根木棍BM
摆出△ABC，木棍AB固定，木棍AC绕A转动，得到△ABD，这个实验说明 有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等 ．
【分析】根据全等三角形的判定方法即可判断．
【解答】解：由题意可知：AB＝AB，AC＝AD，∠ABC＝∠ABD，
满足有两边和其中一边的对角分别相等，但是△ABC与△ABD不全等，
所以这个实验说明有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等；
故答案为：有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等．
16．（2021春•汝州市期末）如图，为了测量B点到河对面的目标A之间的距离，在B点同侧选择了一点
C，测得∠ABC＝65°，∠ACB＝35°，然后在M处立了标杆，使∠MBC＝65°，∠MCB＝35°，得到
△MBC≌△ABC，所以测得MB的长就是A，B两点间的距离，这里得到△MBC≌△ABC的依据是
ASA ．
【分析】利用全等三角形的判定方法进行分析即可．
【解答】解：在△ABC和△MBC中，
，
∴△MBC≌△ABC（ASA），
故答案为：ASA．
17．（2020春•彭州市期末）两个全等的直角三角尺如图所示放置在∠AOB的两边上，其中直角三角尺的
短直角边分别在∠AOB的两边上，两个直角三角尺的长直角边交于点P，连接OP，且OM＝ON，若
∠AOB＝60°，OM＝6cm，则线段OP＝ 4 cm．【分析】由“HL”可证Rt△OMP≌Rt△ONP，可得∠MOP＝∠NOP＝30°，由直角三角形的性质可求解．
【解答】解：在Rt△OMP和Rt△ONP中，OM＝ON，OP＝OP，
∴Rt△OMP≌Rt△ONP（HL），
∴∠MOP＝∠NOP，
∵∠AOB＝60°，
∴∠MOP＝∠NOP＝30°，
∵∠OMP＝90°，
∴OP＝2MP，OM＝ MP＝6cm，
∴MP＝2 cm，
∴OP＝4 cm，
故答案为：4 ．
18．（2021秋•桓台县期末）如图，课间小明拿着老师的等腰三角板玩，不小心掉到两条凳子之间（凳子
与地面垂直）．已知DC＝3，CE＝4．则两条凳子的高度之和为 7 ．
【分析】利用等腰三角形的性质结合全等三角形的判定方法得出即可．
【解答】解：由题意可得：∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠DAC＝90°，
则∠DAC＝∠BCE，
在△ACD和△CBE中，
，
∴△ACD≌△CBE（AAS），
故DC＝BE＝3，AD＝CE＝4，则两条凳子的高度之和为：3+4＝7．
故答案为：7．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2020•陕西）如图，已知△ABC，M是边BC延长线上一定点，请用尺规作图法，在边AC的延长线
上求作一点P，使∠CPM＝∠B．（保留作图痕迹，不写作法）
【分析】作∠BMT＝∠A，射线MT交AC于点P，点P即为所求．
【解答】解：如图，点P即为所求．
20．（2019秋•川汇区期末）如图，已知锐角△ABC，AB＞BC．
（1）尺规作图：求作△ABC的角平分线BD；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）点E在AB边上，当BE满足什么条件时？∠BED＝∠C．并说明理由．
【分析】（1）利用尺规作出∠ABC的角平分线即可．
（2）利用全等三角形的判定和性质解决问题即可．
【解答】解：（1）如图，线段BD即为所求．（2）结论：BE＝BC．
理由：∵BD平分∠ABC，
∴∠EBD＝∠CBD，
∵BE＝BC，BD＝BD，
∴△BDE≌△BDC（SAS），
∴∠BED＝∠C．
21．（2020春•碑林区期末）如图，已知线段OA，OB，∠AOB．求作∠FBO，使得∠FBO＝∠AOB，且点
F在OB下方．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
【分析】根据要求利用尺规作∠BOF＝∠AOB即可．
【解答】解：如图，∠OBF即为所求．
22．（2018•江川区模拟）如图，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在AC边上，∠1＝∠2，AE和BD相交于点
O．
（1）求证：△AEC≌△BED；
（2）若∠1＝40°，求∠BDE的度数．【分析】（1）根据全等三角形的判定即可判断△AEC≌△BED；
（2）由（1）可知：EC＝ED，∠C＝∠BDE，根据等腰三角形的性质即可知∠C的度数，从而可求出
∠BDE的度数．
【解答】证明：（1）∵AE和BD相交于点O，
∴∠AOD＝∠BOE．
在△AOD和△BOE中，
∠A＝∠B，∴∠BEO＝∠2．
又∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠BEO，
∴∠AEC＝∠BED．
在△AEC和△BED中，
，
∴△AEC≌△BED（ASA）．
（2）∵△AEC≌△BED，
∴EC＝ED，∠C＝∠BDE．
在△EDC中，
∵EC＝ED，∠1＝40°，
∴∠C＝∠EDC＝70°，
∴∠BDE＝∠C＝70°．
23．（2021秋•农安县期末）如图，AE与BD相交于点C，AC＝EC，BC＝DC，AB＝4cm，点P从点A出
发，沿A→B→A方向以3cm/s的速度运动，点Q从点D出发，沿D→E方向以1cm/s的速度运动，P、Q
两点同时出发．当点P到达点A时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t（s）．
（1）求证：AB∥DE．
（2）写出线段AP的长（用含t的式子表示）．（3）连接PQ，当线段PQ经过点C时，求t的值．
【分析】（1）由SAS证明△ABC≌△EDC（SAS），得∠A＝∠E，即可得出结论；
（2）分两种情况计算即可；
（3）先证△ACP≌△ECQ（ASA），得AP＝EQ，再分两种情况，当0≤t≤ 时，3t＝4﹣t，解得t＝
1；当 ＜t≤ 时，8﹣3t＝4﹣t，解得t＝2即可．
【解答】（1）证明：在△ABC和△EDC中，
，
∴△ABC≌△EDC（SAS），
∴∠A＝∠E，
∴AB∥DE．
（2）当0≤t≤ 时，AP＝3tcm；
当 ＜t≤ 时，BP＝（3t﹣4）cm，
则AP＝4﹣（3t﹣4）＝（8﹣3t）cm；
综上所述，线段AP的长为3tcm或（8﹣3t）cm；
（3）由（1）得：∠A＝∠E，ED＝AB＝4cm，
在△ACP和△ECQ中，
，
∴△ACP≌△ECQ（ASA），
∴AP＝EQ，
当0≤t≤ 时，3t＝4﹣t，解得：t＝1；
当 ＜t≤ 时，8﹣3t＝4﹣t，
解得：t＝2；
综上所述，当线段PQ经过点C时，t的值为1s或2s．
24．（2020秋•齐河县期末）沛沛沿一段笔直的人行道行走，边走边欣赏风景，在由 C走到D的过程中，
通过隔离带的空隙 P，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的一条标语．具体信息如下：如图，
AB∥PM∥CD，相邻两平行线间的距离相等．AC，BD相交于P，PD⊥CD垂足为D．已知CD＝16米．
请根据上述信息求标语AB的长度．
【分析】由AB∥CD，利用平行线的性质可得∠ABP＝∠CDP，利用ASA定理可得，△ABP≌△CDP，
由全等三角形的性质可得结果．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠ABP＝∠CDP，
∵PD⊥CD，
∴∠CDP＝90°，
∴∠ABP＝90°，即PB⊥AB，
∵相邻两平行线间的距离相等，
∴PD＝PB，
在△ABP与△CDP中，
，∴△ABP≌△CDP（ASA），
∴CD＝AB＝16米．
