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北师大版八年级下学期期中考试培优卷
（范围：三角形的证明、一元一次不等式和一元一次不等式组、图形的平移与旋转，时间：120分钟，满分：120分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的.
1．二次根式 在实数范围内有意义，则实数a的值可以是（ ）
A． B．0 C．2 D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次根式的定义，形如 的式子叫二次根式，二次根式中的被开方数必须是
非负数，否则二次根式无意义．根据被开方数是非负数列式求解即可．
【详解】解：由题意，得 ，
∴ ，
∴实数a的值可以是2．
故选C．
2．下列图形是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可：把一个图形
绕着某一个点旋转 ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这
个点就是它的对称中心．
【详解】解：A．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C．是中心对称图形，故此选项符合题意；
D．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选：C．
3．下列判断不正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
1C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】D
【分析】本题考查了不等式的性质：①把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；②
不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号
的方向改变．根据不等式的性质逐项分析即可．
【详解】解：A．若 ，则 ，正确，不符合题意；
B．若 ，则 ，正确，不符合题意；
C．若 ，则 ，正确，不符合题意；
D．若 ，则当 时， ，故不正确，符合题意；
故选D．
4．在 中， 的对边分别是a，b，c，下列条件中，不能判断 为直角三角形的是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了直角三角形的判定，涉及勾股定理的逆定理、三角形的内角和等知识，熟练掌握知识
点是解题的关键．根据所给的条件，结合勾股定理逆定理、三角形内角和定理逐项判断即可作答．
【详解】解：A． ，
，
是直角三角形，故A选项不符合题意；
B． ，
即 ，
是直角三角形，故B选项不符合题意；
C． ， ，
， ，
是直角三角形，故C选项不符合题意；
D． ， ，
2，
不是直角三角形，故D选项符合题意；
故选：D．
5．已知点 和点 ，将线段 平移至 ，点 与点A对应．若点 的坐标为 ，则点
的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了坐标与图形的变化——平移，根据平移的性质，以及点 ， 的坐标，可知点 的横
坐标加上了 ，纵坐标减小了 ，所以平移方法是：先向右平移 个单位，再向下平移 个单位，根据点
的平移方法与 点相同，即可得到答案．解决问题的关键是运用平移中点的变化规律：横坐标右移加，左
移减；纵坐标上移加，下移减．
【详解】解：∵ 平移后对应点 的坐标为 ，
∴A点的平移方法是：先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，
∴B点的平移方法与A点的平移方法是相同的，
∴ 平移后 的坐标是： ．
故选：B．
6．关于x一元一次不等式 的解集在数轴上的表示如图所示，则m的值为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】C
【分析】本题考查了解不等式，在数轴上表示不等式的解集，解题的关键是掌握在数轴上表示不等式解集
的方法．先求出 ，根据数轴得出 ，则 ，即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
由图可知，该不等式的解集为 ，
∴ ，
解得： ，
故选：C．
37．如图，政府计划在 三个村庄附近建立一所小学，且小学到三个村庄的距离相等，则小学应建在
（ ）
A． 三边垂直平分线的交点 B． 三条角平分线的交点
C． 三条高所在直线的交点 D． 三条中线的交点
【答案】A
【分析】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．
【详解】∵小学到三个村庄的距离相等，
∴小学应该修建在 的三边的垂直平分线的交点，
故选：A．
8．如图，在平面直角坐标系 中，直线 经过点 ，过点 作 轴于点 ，将 绕点
顺时针旋转 得到 ，若点 的纵坐标为 ，则点C的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质和判定，解直角三角形，一次函数图象上点的坐标特
征等知识点，解直角三角形求出 和 ，根据旋转的性质得出 ， ，求出
轴，求出 ，即可求出答案．
【详解】解：过 作 轴于 ，
4轴于点 ，点 的纵坐标为 ，
，
点 的坐标为 ， ，
点 的坐标为 ，
， ，
由勾股定理得， ，
， ，
绕点 顺时针旋转 得到 ，
， ， ，
是等边三角形，
， ， ，
轴，
在 中，由勾股定理得： ，
点 的横坐标是 ，纵坐标是 ，
即点 的坐标为 ．
故选：A．
9．对实数x，y定义一种新的运算F，规定 若关于正数x的不等式组 恰
好有 3 个整数解，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是一元一次不等式组的解法和一元一次不等式组的整数解的确定，掌握一元一次不等
5式组的解法是解题的关键．
分 和 两种情况，由 得到关于x的不等式组，解之得出x的取值范围，再根据不
等式组整数解的个数可得m的取值
【详解】 若关于正数x的不等式组 恰好有 3 个整数解，
①若 ，由 得， ，
解 ，得： ，与 不符，舍去；
②若 ，由 得，
解得 ，
不等式组恰好有3个整数解，
，
解得： ，
故选：C．
10．如图， 为等腰直角三角形， ，以斜边 为直角边作等腰直角三角形 ，再以
为直角边作等腰直角三角形 ，…，按此规律作下去，则 的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查等腰直角三角形性质、勾股定理，以及根据图形找规律，利用等腰直角三角形性质得出
6、 、 、 根据其体现出来的规律，表示出 ，即可解题．
【详解】解： 为等腰直角三角形， ，
，
再依次斜边为直角边作等腰直角三角形，则同理可得，
，
，
，
故 ，
故选：B．
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分.
11．“ 与4的和是正数”，用不等式表示为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了列一元一次不等式．根据正数大于0列出不等式即可．
【详解】解：根据题意得：用不等式表示为 ．
故答案为：
12．平面直角坐标系中，一点 关于原点的对称点 的坐标是 ．
【答案】
【分析】本题考查关于原点对称的点坐标的关系，是需要识记的基本问题．记忆方法是结合平面直角坐标
系的图形记忆．平面直角坐标系中任意一点 ，关于原点的对称点是 ，从而可得出答案．
【详解】解：根据中心对称的性质，得点 关于原点对称点 的坐标是 ．
故答案为： ．
13．在平面直角坐标系中，一次函数 （ 是常数， ）的图象如图所示，则关于 的不等式
7的解集是 ， 的解集是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了一次函数图像与一元一次不等式的知识，结合函数图像即可求出答案．
【详解】解：根据函数图像可知：当 时， ，
当 时， ，
故答案为： ， ．
14．如图，在 中，以点 为圆心，适当的长度为半径画弧分别交 、 边于点 、 ，再分别以
点 、 为圆心，以大于 为半径画弧，两弧交于点 ，连接 并延长交 于点 ，过点 做
交 于点 ，若 ， ，则 的周长为 ．
【答案】10
【分析】本题考查了作角平分线，平行线的性质，等腰三角形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键．
根据作图得出 ，根据平行线的性质得出 ，等量代换得出 ，进
而根据等角对等边得出 ，进而代入数据即可求解．
【详解】解：由题意得： ，
，
，
，
，
，
故答案为：10．
815．如图，直线 与x轴、y轴分别交于A、B两点，把 绕点A顺时针旋转 后得到
，则点 的坐标是 ．
【答案】
【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，坐标与图形变化—旋转，利用一次函数图象上点的坐标
特征及旋转的性质，找出点 的坐标是解题的关键．利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A，B的
坐标，进而可得出 ， 的长，利用旋转的性质可得出 ， 的长，再结合图中点 的位置，即
可得出点 的坐标．
【详解】解：当 时， ，
∴点B的坐标为 ，
∴ ．
当 时， ，
解得： ，
∴点A的坐标为 ，
∴ ．
由旋转可知： ， ，
∴点 的坐标为 ，即 ．
故答案为： ．
16．将两个直角三角板如图摆放，点C在 上， 经过点D．已知 ， ．
， ．若点C在线段 上运动（不与E，F重合），在运动的过程中， 始终经过点
D，当 的长为整数时，则B，D之间的距离为 ．
9【答案】 或 或
【分析】本题考查勾股定理，垂线段最短，含 的直角三角形的性质，由题意可知， ，过点
作 ，利用含 的直角三角形可得 ，进而可知 ，再根据 的长为整
数，可知 或 或 ，求出此时 的长，利用勾股定理即可求解，根据垂线段最短，得
是解决问题的关键．
【详解】解：∵ ， ， ，
∴ ，则 ，
过点 作 ，连接 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 的长为整数，
∴ 或 或 ，
当 时， ，则 ；
10当 时， ，则 ；
当 时， ，则 ；
综上， ， 之间的距离为 或 或 ，
故答案为： 或 或 ．
三、解答题（一）：本大题共4小题，每小题6分，共24分.
17．解不等式组： 并将不等式组的解集在数轴上表示出来．
【答案】 ，数轴见解析
【分析】本题考查解一元一次不等式（组），解题的关键是分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同
大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，最后在数轴上表示出来即可．
【详解】解：
解不等式①，得： ，
解不等式②，得： ，
∴不等式组的解集为 ，
将解集表示在数轴上如下：
18．在 中 ， 是 的平分线， 是线段 的垂直平分线．
(1)求 的大小；
11(2)求证： ．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】本题考查了角平分线的性质定理，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质．
（1）由角平分线的意义，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，可得 ，再由
互余关系即可求得结果；
（2）由角平分线的性质定理得 ，在 中，由含 角直角三角形的性质即可证明．
【详解】（1）解： ，
，
，
平分 ，
，
是 垂直平分线，
，
，
，
的度数为 ；
（2）证明：在 中， ，
，
平分 ， ， ，
，
，
．
19．如图是2×3的正方形网格， 的顶点都在格点上，按下列要求画图．
(1)在图1中画 ，使 与 关于某条直线成轴对称；
(2)在图2中画 ，使 与 关于某点成中心对称．
12【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了作图—旋转变换，熟练掌握轴对称的性质和中心对称的性质是解题的关键．
（1）分别作出点A、B、C关于直线 的对称点E、F、D，继而作出 即可；
（2）先找到对称中心点O，再分别作出点A、B、C关于点O的对称点E、F、D，继而作出 即可．
【详解】（1）如图， 即为所求；
（2）如图， 即为所求．
20．已知关于x， y的方程组 的解满足 和 的值都是正数．
(1)求m的取值范围；
(2)化简：
【答案】(1)
(2)－2m
【分析】此题主要考查了解二元一次方程组和解不等式组；
（1）利用加减消元法表示出 和 的值，再列不等式组，最后求解即可；
（2）根据m的取值范围去绝对值后化简即可．
【详解】（1）
①＋②得 ，
①－②得 ．
13∵ 和 的的值都是正数，
∴ ，即 ，
解得： ，
所以m的取值范围是 ；
（2）由（1）得 ，
∴ ，
∴ ．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题8分，共24分.
21．如图，在四边形 中，已知 ， ， ， ， ．
(1)求证： 是直角三角形；
(2)求四边形 的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了勾股定理，含 角直角三角形的特征，勾股定理的逆定理，三角形的面积，熟练掌
握勾股定理的逆定理是解题的关键．
（1）根据直角三角形的性质得到 ，根据跟勾股定理的逆定理即可得到结论；
（2）根据勾股定理得到 ，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】（1）证明：在 中， ， ， ，
，
在 中， ， ，
，即 ，
14，即 是直角三角形；
（2）在 中， ， ， ， ，
，
的面积为： ，
又 的面积为： ，
四边形 的面积为： ．
22．随着“双减”政策的逐步落实，某校为了加强学生的体育锻炼，准备从某体育用品商店一次性购买若
干个篮球和排球，两种球的售价分别为篮球每个160元，排球每个120元．
(1)若学校从该商店一次性购买篮球和排球共 60个，总费用不超过8640元，那么学校最多可以购买多少个
篮球？
(2)若该商店到厂家批发购进篮球和排球共100个，按售价全部售出，厂家批发价分别为篮球每个130元，
排球每个100元，要使商店的利润不低于2580元，且购进排球数量不少于篮球数量的 ，商店有哪几种进
货方案？
【答案】(1)36个
(2)商店有三种进货方案：①购进篮球58个，排球42个；②购进篮球59个，排球41个；③购进篮球60个，
排球40个
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用、一元一次不等式组的应用，理解题意，找准不等关系，正确
列出不等式以及不等式组是解此题的关键．
（1）设学校购买篮球 个，排球 个，根据“总费用不超过8640元”列出一元一次不等式，解不等
式即可得出答案；
（2）设商店到厂家购进篮球 个，则排球是 个，根据“商店的利润不低于2580元，且购进排球
数量不少于篮球数量的 ”列出一元一次不等式组，解不等式组得出 ，再根据 为整数，即可
得出答案．
15【详解】（1）解：设学校购买篮球 个，排球 个，
依题意得： ，
解得 ，
答：学校最多可购买篮球36个．
（2）解：设商店到厂家购进篮球 个，则排球是 个，
依题意得： ，
解得： ，
因为 为整数，
所以 ，59，60，
所以商店有三种进货方案：①购进篮球58个，排球42个；②购进篮球59个，排球41个；③购进篮球60
个，排球40个．
23．如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，
的顶点都在格点上．
(1) 的面积为______________；
(2)将 向右平移4个单位长度得到 ，请画出 ；
(3)画出 关于点O的中心对称图形 ；
16(4)若将 绕某一点旋转可得到 ，旋转中心的坐标为______________．
【答案】(1)4
(2)见解析
(3)见解析
(4)
【分析】（1）利用长方形的面积减去3个直角三角形的面积即可求解；
（2）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点 ， ， 即可；
（3）利用中心对称变换的性质分别作出 ， ， 的对应点 ， ， 即可；
（4）对应点连线的交点即为旋转中心．
【详解】（1）解： ，
∴ 的面积为 ，
故答案为： ；
（2）解：如图， 即为所求；
；
（3）解：如图， 即为所求；
（4）解：根据图形可知：
旋转中心的坐标为： ，
故答案为： ．
17【点睛】本题考查的是求三角形的面积，画平移图形，画关于原点对称的图形，坐标与图形，掌握旋转的
性质进行画图是解本题的关键．
五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分.
24．（1）如图1， 中， ， 平分 交 于 ，过 点作 的垂
线交 的垂直平分线于M，连AM，N在 的延长线上．求证： 平分 ；
（2）把（1）中的“ 平分 交 手 ”换成“ 平分 的外角 交直线 于D”，
其他条件不变，请在图2中补全图形，并直接写出 的度数______；（用含 的式子表示）
（3）在（1）的条件下；若 （如图3），且 ，作 于 ，求 的长度．
【答案】（1）见解析；（2）补全图形见解析， （3）2.5
【分析】本题考查的是三角形全等的判定和性质、角平分线的性质、三角形内角和定理．
（1）根据垂直的定义得到 ，根据角平分线的定义得到 ，得到
；
（2）连接 ，过点M作 于E， 交CA的延长线于H，根据题意得到
，证明 ，得到 ，根据等腰三角形的性质计算，得到
答案；
（3）连接 ，过点M作 交 的延长线于E，根据角平分线的性质得到 ，证明
，得到 ，根据题意列式计算即可．
【详解】解：（1）证明：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，即 平分 ；
（2）解：如图2，连接 ，过点M作 于E， 交CA的延长线于H，
18则 ，
由（1）可知： ，
∵ ，
∴ ，
∵点M在 的垂直平分线上，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ；
（3）解：如图3，连接 ，过点M作 交 的延长线于E，
∵ ， 平分 ，
∴ ，
19∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ．
25．【问题初探】
（1）综合与实践数学活动课上，张老师给出了一个问题：如图1，在 中， ， ，
点D，E在BC边上，且 ，求证： ．
①小明同学经过分析后，将 绕点A逆时针旋转 得到 ，连接 ，如图2，根据三角形全
等和勾股定理知识得到线段 ， ， 之间的数量关系；
②小强同学经过分析后，将 ， 分别沿 ， 进行翻折，得到 和 ，如图3，
根据三角形全等和勾股定理知识也得到了线段 ， ， 之间的数量关系．
请你选择一名同学的分析，写出证明过程．
【类比分析】
（2）张老师发现两名同学分别从旋转和轴对称的角度分析、解决问题，张老师将前面问题进行变式，请
你解答：如图4，在 中， ， ，点D在 边上，点E在 的延长线上，且
，用等式表示线段 ， ， 之间的数量关系，并证明．
【学以致用】
（3）如图5，在四边形ABCD中， ， ， ．若 ， ，
，求 的长．
20【答案】（1） ，理由见解析；（2） ，理由见解析；（3）
【分析】本题属于四边形综合题，主要考查全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，旋转变换，翻折
变换，解题的关键是学会利用旋转法构造全等三角形．
（1）①利用旋转的性质，证明 即可；
②根据翻折的性质得 ， ， ， ，再利用勾股定理即可
解决问题；
（2）作 ，使 ，连接 ， ．证明 ，得出 ， ，
证明 ，得 ，再利用勾股定理即可解决问题；
（3）如图5中，在 上取一点G，使得 ，证明 ，推出 ，
，证明 ，推出 ，设 ，则 ， ，
，在 中，根据 ，构建方程求出x即可解决问题．
【详解】解：（1） ．
①理由如下：
， ，
，
如图2，将 绕点A逆时针旋转 得到 ，连接 ，
则 ，
， ，
21，
，
， ，
，
， ，
，
，
，
；
②如图3，根据题意可知： ， ， ， ，
，
，
；
（2） ．
作 ，使 ，连接 ， ．
则 ．
∵ ，
∴ ．
在 和 中，
， ， ，
∴ ．
∴ ， ．
∴ ．
∴ ．
．
在 和 中，
22， ， ，
∴ ．
∴ ．
在 中，根据勾股定理， ，即 ．
（3）如图5，在 上取一点G，使得 ，
，
，
又 ，
，
， ，
，
， ，
，
，
，
，
， ，
，
，
， ， ，
，则 ，
，
，
在 中，
，
23，
，
．
24
