期末检测卷
一、选择题(本大题共10小题,每题3分,共30分)
2
1.点P(-2,a)是反比例函数y= 的图象上的一点,则a= ( )
x
A.-2 B.2 C.1 D.-1
【答案】D
【解析】 由题意得,-2×a=2,解得a=-1.故选D.
2.三本相同的书本叠成如图所示的几何体,它的主视图是( )
【答案】B
3.为了估计湖中有多少条鱼,先从湖中捕捞50条鱼作记号,然后放回湖里,经过一段时间,等带
记号的鱼完全混于鱼群中后,再捕捞200条,其中有10条鱼带记号,则估计湖里鱼的数量为
( )
A.500 B.1 000 C.1 500 D.2 000
【答案】B
【解析】 由题意知,共有50条鱼带记号.第二次捕捞的200条中,有10条鱼带记号,所以捕
10 50 10
捞到带记号的鱼的概率约为 .设湖中约有x条鱼,则有 = ,解得x=1 000,经检验,x=1
200 x 200
000是原方程的根.故估计湖里有1 000条鱼.故选B.
4.如果△ABC∽△DEF,点A,B的对应点分别为点D,E,且AB∶DE=1∶2,那么下列等式一定成立的
是 ( )
A.BC∶DE=1∶2
B.△ABC的面积∶△DEF的面积=1∶2
C.∠A∶∠D =1∶2
D.△ABC的周长∶△DEF的周长=1∶2
【答案】D
【解析】 由题意,知BC与EF是对应边,所以BC∶DE=1∶2不一定成立,故A项不合题意;
△ABC的面积∶△DEF的面积=1∶4,故B项不合题意;∠A=∠D,故C项不合题意;△ABD的周
长∶△DEF的周长=AB∶DE=1∶2,故D项符合题意.故选D.5.若(a+c)2>a2+c2,则关于x的一元二次方程ax2+x-c=0的根的情况是 ( )
A.没有实数根
B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根
D.无法判断
【答案】C
【解析】 由(a+c)2>a2+c2,得a2+2ac+c2>a2+c2,所以ac>0,所以Δ=1+4ac>0,所以方程有两个
不相等的实数根.故选C.
6.如图所示的两个转盘中均有5个数字,同时旋转两个转盘,指针落在某一个数上的机会均等,
那么两个指针同时落在奇数上的概率是 ( )
4 6
A. B.
25 25
2 19
C. D.
5 25
【答案】A
【解析】 画树状图如下:
由树状图可知,共有25种等可能的结果,两个指针同时落在奇数上的结果有4种,所以两个指
4
针同时落在奇数上的概率是 .故选A.
25
7.如图,两个含有30°角的完全相同的三角尺ABC和DEF沿直线l滑动,连接AF,CD,则下列说
法错误的是 ( )
A.四边形ACDF是平行四边形
B.当点E为BC的中点时,四边形ACDF是矩形
C.当点B与点E重合时,四边形ACDF是菱形
D.四边形ACDF不可能是正方形
【答案】B
【解析】 因为∠ACB=∠EFD=30°,所以AC∥DF.因为AC=DF,所以四边形ACDF是平行四
边形,故A项说法正确;当点E是BC的中点时,无法证明∠ACD=90°,故B项说法错误;当点B与点E重合时,易证FA=FD,因为四边形ACDF是平行四边形,所以四边形ACDF是菱形,故C
项说法正确;当四边形ACDF四边相等时,∠AFC=∠ACB=30°,所以∠FAC=120°,所以四边形
ACDF不可能是正方形,故D项说法正确.故选B.
k
8.在同一平面直角坐标系中,函数y=x-k与y= (k为常数且k≠0)的图象可能为 ( )
x
【答案】C
【解析】 当k>0时,反比例函数图象经过第一、三象限,直线与y轴交于负半轴,经过第一、
三、四象限;当k<0时,反比例函数图象经过第二、四象限,直线与y轴交于正半轴,经过第一、
二、三象限.故选C.
9.如图,正方形ABCD中,AB=12,点E在边BC上,BE=EC,将△DCE沿DE对折至△DFE,延长
EF交边AB于点G,连接DG,BF,给出以下结论:①△DAG
≌△DFG;②EG=10;③BG=2AG;④△EBF∽△DEG.其中正确结论的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】C
【解析】 由折叠可知,DF=DC=DA,∠DFE=∠C=90°,∴∠DFG=∠A=90°,在Rt△ADG和
Rt△FDG中,AD=DF,DG=DG,∴Rt△ADG≌Rt△FDG,故①正确;
∵AB=12,∴BE=EC=EF=6.∵Rt△ADG≌Rt△FDG,∴AG=FG.设AG=FG=x,则EG=x+6,BG=12-x,
由勾股定理得EG2=BE2+BG2,即(x+6)2=62+(12-x)2,解得
x=4,∴AG=GF=4,BG=8,∴BG=2AG,EG=10,故②③正确;∵BE=EF=6,∴△BEF是等腰三角形,易
知△GED不是等腰三角形,故④错误.故选C.
10.如图,把菱形ABCD沿着它的对角线AC方向平移1 cm,得到菱形EFGH,若AC=4 cm,则图
中阴影部分的面积与四边形ENCM的面积之比为 ( )
A.14∶9 B.3∶2C.4∶3 D.17∶9
【答案】A
【解析】 由题意可知,四边形ENCM为菱形,菱形ENCM∽菱形ABCD,相似比为
CE∶CA=3∶4,所以这两个菱形的面积比等于相似比的平方,即9∶16,所以菱形ABCD中的阴影部
分的面积∶菱形ENCM的面积=7∶9,故图中阴影部分的面积与四边形ENCM的面积之比为
14∶9.故选A.
二、填空题(本大题共8小题,每题3分,共24分)
11.一元二次方程(m-2)x2-3x+m2-4=0的一个根为0,则m的值为 .
【答案】-2
【解析】 将x=0代入原方程得m2-4=0,解得m=2或m=-2.因为m-2≠0,所以m≠2,所以m=-2.
a b c
12.若 = = ,且a-b+c=8,则a= .
5 3 2
【答案】10
a b c
【解析】 设 = = =k,则a=5k,b=3k,c=2k.∵a-b+c=8,∴5k-3k+2k=8,解得k=2,∴a=5k=10.
5 3 2
k
13.直线y=k x+b与双曲线y= 2在同一平面直角坐标系中的图象如图所示,则关于x的不等
1
x
k
式 2>k x+b的解集为 .
x 1
【答案】x<-2或0<x<3
k
【解析】 不等式 2>k x+b的解集,即双曲线在直线上方部分对应的x的值,由题中图象可
x 1
知,解集为x<-2或0<x<3.
14.如图,物理课上张明做小孔成像试验,已知蜡烛与成像板之间的距离为24 cm,要使烛焰的
像A'B'是烛焰AB的2倍,则蜡烛与成像板之间的小孔纸板应放在离蜡烛 cm的地方.
【答案】8【解析】 设蜡烛与小孔纸板的距离为x cm,则小孔纸板与成像板之间的距离为(24-x)cm,由
题意可得△AOB∽△A'OB',所以x∶(24-x)=1∶2,解得x=8.
15.一个几何体是由一些大小相同的小立方块摆成的,其主视图与左视图如图所示,则组成这
个几何体的小立方块最少有 个.
【答案】5
【解析】 结合题中的主视图和左视图知,这个几何体有两层,底层最少有3个小立方块,第
二层有2个小立方块,因此组成这个几何体的小立方块最少有5个.
16.在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点的坐标分别为A(2,2),B(4,2),C(6,4),以原点O为位
似中心,将△ABC缩小,使变换后得到的△DEF与△ABC的相似比为1∶2,则变换后点B的对应
点的坐标为 .
【答案】(2,1)或(-2,-1)
17.已知实数x满足(x2+3x)2+2(x2+3x)-3=0,那么x2+3x的值为 .
【答案】1
【解析】 设y=x2+3x,则y2+2y-3=0,解得y=-3,y=1.当x2+3x=-3时,Δ=32-3×4=-3<0,不合题
1 2
意;当x2+3x=1时,Δ=32-4×(-1)=13>0,符合题意.
18.如图,在矩形ABCD中,AD=4,AB=10,点E为边DC上的一个动点(不与D,C重合).把△ADE
沿AE折叠,点D的对应点为点D',若∠D'AB=30°,则DD'的长为 .
【答案】4或4√3
【解析】 ①当点D'落在矩形ABCD的内部时,如图1,连接
DD',∵∠D'AB=30°,∠DAB=90°,∴∠DAD'=60°.又∵AD=AD',∴△ADD'是等边三角形,
∴DD'=AD=4.②当点D'落在矩形ABCD的外部时,如图2,连接DD',交AE于点H.易知
1
∠DAD'=120°,∴∠ADH=30°.由折叠的性质可知DD'=2DH,DD'⊥AE.在Rt△ADH中,AH=
2
AD=2,∴DH=2√3,∴DD'=2DH=4√3.综合①②,DD'的长为4或4√3.图1 图2
三、解答题(本大题共6小题,共66分)
19.(8分)甲、乙、丙、丁四位同学进行一次乒乓球单打比赛,要从中选出两位同学打第一场
比赛.
(1)请用画树状图或列表的方法,求恰好选中甲、乙两位同学的概率;
(2)若已确定甲打第一场,再从其余三位同学中随机选取一位,求恰好选中乙同学的概率.
【解析】 (1)画树状图如下:
由树状图可知,所有可能出现的情况有12种,每种结果出现的可能性相同,其中甲、乙两位同
学组合的情况有2种,
2 1
所以P(恰好选中甲、乙两位同学)= = .
12 6
(2)若已确定甲打第一场,再从其余三位同学中随机选取一位,共有3种情况,选中乙的情况有
1
1种,所以P(恰好选中乙同学)= .
3
20.(10分)如图1,在平行四边形纸片ABCD中,AD=5,S
平行四边形ABCD
=15,过点A作AE⊥BC,垂足
为E,沿AE剪下△ABE,将它平移至△DCE'的位置,拼成四边形AEE'D.
(1)四边形AEE'D的形状为 ( )
A.平行四边形 B.菱形 C.矩形 D.正方形
(2)如图2,在图1中的四边形纸片AEE'D中,在EE'上取一点F,使EF=4,剪下△AEF,将它平移
至△DE'F'的位置,拼成四边形AFF'D.
①求证:四边形AFF'D是菱形;②求四边形AFF'D的两条对角线的长.
图1 图2
【解析】 (1)C
由平移,可得AE∥DE',AE=DE',∴四边形AEE'D是平行四边形,∵∠AEE'=90°,∴四边形AEE'D
是矩形.故选C.
(2)①由平移,可得AF∥DF',AF=DF',
∴四边形AFF'D是平行四边形.
∵AD=5,S =15,∴AE=3.
平行四边形ABCD
又∵在Rt△AEF中,EF=4,
∴AF=5,∴AD=AF,
∴四边形AFF'D是菱形.
②如图,连接AF',DF,
在Rt△DE'F中,∵E'F=E'E-EF=5-4=1,DE'=3,
∴DF= = .
√DE'2+E'F2 √10
在Rt△AEF'中,∵EF'=E'E+E'F'=5+4=9,AE=3,
∴AF'= = =3 .
√AE2+EF'2 √32+92 √10
21.(10分)百货商场服装专区的某品牌童装平均每天可售出20件,每件盈利40元.为了迎接
“六一”国际儿童节,商场决定采取适当的降价措施,提升销售量,减少库存,增加盈利.经市场
调查发现:如果每件童装降价1元,那么平均每天可多售出2件.
(1)要想平均每天销售这种童装盈利1 200元,那么每件童装应降价多少元?
(2)是否有可能平均每天销售这种童装盈利达到1 800元?【解析】 (1)设每件童装应降价x元,
根据题意,得(40-x)(20+2x)=1 200,解得x=20,x=10,
1 2
因为当x=20时,卖出的多,库存比x=10时少,
所以要想平均每天销售这种童装盈利1 200元,每件童装应降价20元.
(2)假设平均每天销售这种童装盈利能达到1 800元.设每件童装应降价n元,
根据题意,得(40-n)(20+2n)=1 800,
整理,得n2-30n+500=0,
因为b2-4ac=(-30)2-4×1×500=900-2 000=-1 100<0,
所以原方程无解,
所以不可能平均每天销售这种童装盈利达到1 800元.
22.(12分)如图,将直角边长为4的等腰直角三角形ABC放置在平面直角坐标系中,
∠ACB=90°,AC在x轴上,点C的坐标为(3,0).
(1)点A的坐标为 ;点B的坐标为 ;
k
(2)反比例函数y= 的图象在第一象限内与AB,BC分别交于点D,E,连接DE,若△BDE
x
∽△BCA,求点E的坐标和反比例函数的表达式.
【解析】 (1)(-1,0) (3,4)
(2)如图,过点D作DF⊥BC,垂足为点F,设DF=a,
∵△BDE∽△BCA,∴△BDE为等腰直角三角形,
∴EF=BF=DF=a.
∵C(3,0),B(3,4),
∴D(3-a,4-a),E(3,4-2a).
∵点D,E均在反比例函数图象上,
∴(3-a)×(4-a)=3×(4-2a),
解得a=1,a=0(舍去),
1 2
6
∴E(3,2),反比例函数的表达式为y= .
x23.(12分)如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6 cm,BC=8 cm,动点P从点B出发,在BA边上以5
cm/s的速度向点A匀速运动,同时动点Q从点C出发,在CB边上以4 cm/s的速度向点B匀速
运动,运动时间为t s(0<t<2).
(1)如图1,连接PQ,若△BPQ与△ABC相似,求t的值;
(2)如图2,连接AQ,CP,若AQ⊥CP,求t的值.
图1 图2
【解析】 (1)由题意知,BP=5t cm,CQ=4t cm,∴BQ=(8-4t)cm,
易知AB= =10(cm).
√62+82
BP BQ 5t 8−4t
当△PBQ∽△ABC时,有 = ,∴ = ,解得t=1;
AB BC 10 8
BQ BP 8−4t 5t 32
当△QBP∽△ABC时,有 = ,∴ = ,解得t= .
AB BC 10 8 41
32
∴△BPQ与△ABC相似时,t=1或t= .
41
(2)如图,过点P作PD⊥BC于点D,则∠PDC=90°.
依题意,得BP=5t cm,CQ=4t cm,
易得DP=3t cm,BD=4t cm,CD=(8-4t)cm.
∵AQ⊥CP,∠ACB=90°,
∴∠CAQ+∠ACP=90°,∠ACP+∠DCP=90°,∴∠CAQ=∠DCP.
又∵∠ACB=∠PDC=90°,
∴△ACQ∽△CDP,
CQ DP 4t 3t
∴ = ,∴ = ,
AC CD 6 8−4t
7
∴t= ,t=0(舍去).
1 2
8
7
∴t的值为 .
8
24.(14分)[操作]如图1,正方形ABCD中,AB=a,点E是CD边上的一个动点,在AD上截取
AG=DE,连接EG,过正方形的中心O作OF⊥EG交AD边于F,连接OE,OG,EF,AC.
[探究]在点E的运动过程中:
(1)猜想线段OE与OG的数量关系,并证明你的结论;
(2)∠EOF的度数会发生变化吗?若不会,求出其度数;若会,请说明理由.
[应用](3)当a=6时,试求△DEF的周长,并写出DE的取值范围.
(4)当a的值不确定时:
AF 36 OF
①若 = ,试求 的值;
CE 25 OE
②在图1中,过点E作EH⊥AB于H,过点F作FG⊥CB于G,EH与FG相交于点M;将图1简化
得到图2,记矩形MHBG的面积为S,试用含a的代数式表示出S,并说明理由.
图1 图2
【解析】 (1)OE=OG.证明如下:
如图,连接OD,
在正方形ABCD中,易知点O在AC上,
∵点O是正方形的中心,∴OD=OA,∠ODE=∠OAG=45°.
又∵DE=AG,∴△ODE≌△OAG,
∴OE=OG.
(2)不会发生变化.
由(1)可知,△ODE≌△OAG,
∴∠DOE=∠AOG.
∵∠AOG+∠DOG=90°,
∴∠EOG=∠DOE+∠DOG=90°.
1
∵OE=OG,OF⊥EG,∴∠EOF= ∠EOG=45°.
2
∴∠EOF的度数不会发生变化,为45°.
(3)∵OE=OG,OF⊥EG,
∴OF垂直平分EG,∴EF=FG,
∴△DEF的周长为DE+DF+EF=AG+DF+FG=AD=6,0<DE<3.
(4)①由(2)知∠EOF=45°,∴∠COE+∠AOF=135°,
∵∠OAF=45°,∴∠AFO+∠AOF=135°,
∴∠COE=∠AFO,∴△AOF∽△CEO,
∴ S △AOF =(OF)2.
S OE
△CEO
∵点O到AF和CE的距离相等,
∴ S △AOF =AF,
S CE
△CEO
OF AF 36 OF 6
∴( )2= = ,∴ = .
OE CE 25 OE 5
1
②S= a2,理由如下:
2
由①可知,△AOF∽△CEO,
AF AO
∴ = ,∴AF×CE=AO×CO,
CO CE
1
∴S=MH×MG=AF×CE=AO×CO= a2.
2
