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2025 年中考第一次模拟考试（重庆卷）
（考试时间120分钟 满分150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上．
2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效．
3．考试结束后，将答题卡交回．
参考公式：抛物线 的顶点坐标为 ，对称轴为 ．
一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、
C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．
1．在下列四个数中： ， ， ， 中，属于无理数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了无理数的定义，根据无理数的三种形式： 开方开不尽的数， 无限不循环小数，
含有 的有些数，结合所给数据进行判断即可，解题的关键是掌握无理数的几种形式．
【详解】 、 是有理数，不符合题意；
、 是有理数，不符合题意；
、 是有理数，不符合题意；
、 是无理数，符合题意；
故选： ．
2． 年巴黎奥运会项目图标设计，不仅注重刻画运动员运动状态，更注重项目本身的展示．下列项目
图标既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形．把一个图形绕某一个点旋转 后，可以与原图形重合，
这个图形就是中心对称图形；把一个图形沿某直线折叠，直线两旁的部分可以完全重合，这个图形就是轴
对称图形．解决本题的关键是根据中心对称图形和轴对称图形的定义进行判断．
【详解】解：A选项：是中心对称图形，不是轴对称图形，故A选项不符合题意；
B选项：既是中心对称图形，又是轴对称图形，故B选项符合题意；
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学科网（北京）股份有限公司C选项：既不是中心对称图形，又不是轴对称图形，故C选项不符合题意；
D选项：是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项不符合题意．
故选：B．
3．若 ，则下列各式中一定成立的是（ ）
A． B． C． D．20≤n<25
【答案】B
【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，根据不等式的基本性质逐项判断即可．
【详解】由 ，
根据不等式的基本性质1，两边都减去2，得 ，所以A不正确；
由 ，
根据不等式的基本性质3，两边都乘以 ，得 ，
再根据不等式的基本性质1，两边都加上1，得 ，所以B正确；
由 ，
根据不等式的基本性质2，两边都乘以 ，得 ，所以C不正确；
由 ，
根据不等式的基本性质1，两边都加上5，得 ，所以D不正确．
故选：B．
4．若正比例函数 与反比例函数 的图象交于 两点，则反比例函数的解析式为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，根据反比例函数图象的中心对称性确定交点坐标是解题的
关键．
根据题意得出 ， ，再把 代入 即可得到答案．
【详解】解： 正比例函数 与反比例函数 的图象交于 两点，
两点关于原点对称，
， ，
把 代入 得 ，
，
反比例函数的解析式为 ，故选：C ．
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学科网（北京）股份有限公司5．对于命题“若 ，则 ”，下面四组关于 的值中，能说明这个命题是假命题的是（
）
A． ， B． ， C． ， D． ，
【答案】B
【分析】本题主要考查命题真假的判定，说明命题是假命题时，只要举出反例即可：即符合命题的条件，
但不符合命题的结论；掌握举反例的方法是解题的关键．根据题意，将各个选项验证即可．
【详解】解：A、 ， ，且 ，满足“若 ，则 ”，故A选项不符合题意；
B、 ， ，且 ，此时虽然满足 ，但 不成立，故B选项符合题意；
C、 ， ，且 ，满足“若 ，则 ”，故C选项不符合题意；
D、 ， ，此时不满足 ，故D选项不符合题意．
故选：B．
6．若 的整数部分为 ，小数部分为 ，则代数式 的值为（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了估算无理数．解题关键是熟练掌握如何估算无理数．
先估算 的大小，再根据不等式的基本性质判断 的大小，从而求出 ，最后代入所求式子，利用
平方差公式进行计算即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ 的整数部分为 ，小数部分为 ，
∴
，故选：A．
7．如图，边长为2的正方形 面积记为 ，以 为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的
一条直角边为边向外作正方形，其面积记为 ，…按照此规律继续下去，则 的值为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理、规律型以及等腰直角三角形等知识，熟练掌握勾股定理和等腰直角三角形
的定义，找出规律是解题的关键．先根据题意求得前几个正方形的面积，再求出第 ．个正方形的边长为
则 即可解决问题．
【详解】解：由题意可知，第一个正方形的边长为2，
是等腰直角三角形，
第二个正方形的边长为 ，
同理：第三个正方形的边长为 ，
第四个正方形的边长为 ，
第 个正方形的边长为
故选：B．
8．如图，在平行四边形 中， ， ，以点 为圆心、 为半径画弧交 于点
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学科网（北京）股份有限公司，连接 ，若 ，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查平行四边形性质、扇形面积公式、三角形面积公式、以及解直角三角形，过点 作
于点 ，根据解直角三角形求得 ，从而求得 ，最后根据 列式
求解，即可解题．
【详解】解：过点 作 于点 ，
， ， ，
，
，
，
，
，
，
，故选：B．
9．如图，在菱形 中，对角线 、 交于点 ， ，垂足为点 ， 分别交 、
及 的延长线于点 、 、 ，且 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】B
【分析】本题主要考查了菱形的性质，相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判断，先由菱形的
性质得到 ， ， ，再证明 ，进而证明四边形 是平行四边形，得
到 ，由 ，推出 ，得到 ，由 ，推出 ，
即可解答．
【详解】解：∵四边形 是菱形，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴四边形 是平行 四边形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故选：B．
10．定义：已知 是关于x的一元二次方程 的两个实数根，若 ，且
，则称这个方程为“限根方程”．如：一元二次方程 的两根为 ，
且 ，所以一元二次方程 为“限根方程”．关于x的一元二次方程
，有下列两个结论：①当 时，该方程是“限根方程”；②若该方程是“限根方
程”，则m有且只有一个整数解．对于这两个结论判断正确的是（ ）
A．①②都正确 B．①②都错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确
【答案】C
【分析】本题主要考查了新定义——“限根方程”．熟练掌握新定义，解一元二次方程，一元二次方程根
的判别式，分类讨论，是解题关键．
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学科网（北京）股份有限公司①当 时，该方程是 ；得到方程的根为 ， ，得到 ，该方
程是“限根方程”， ①正确；②解该一元二次方程，得出 ， ，或 ， ．再根据
此方程为“限根方程”，即此方程有两个不相等的实数根，结合一元二次方程根的判别式即可得出 ，
当 ， 时，根据 ，得到 ，整数m不存在；当 ， 时，得到
，整数m不存在．②错误．
【详解】解：①当 时，原方程为： ，
解得 ， ，
∴ ，
∵ ，
∴该方程是“限根方程”；
∴ ①正确；
②∵ ，
∴ ，
∴ 或 ，
∴ ， ，或 ， ．
∵此方程为“限根方程”，
∴此方程有两个不相等的实数根，
∴ ，
∴ ．
当 ， 时，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
∵m只是一个整数，
∴m值不存在；
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学科网（北京）股份有限公司当 ， 时， ，
解得： ，
∴m值不存在．
综上所述，m的值不存在．
∴②错误．
∴①正确，②错误．
故选：C．
二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线
上．）
11．计算： ___________．
【答案】
【分析】本题考查了零指数幂、负整数指数幂．先根据零指数幂、负整数指数幂的运算法则计算，再根据
有理数的加法法则计算即可．
【详解】解： ，故答案为： ．
12．如图，随机闭合开关 中的两个，则能让小灯泡 同时发光的概率为___________．
【答案】
【分析】本题考查了列表法与树状图法，找出随机闭合开关 中的两个的情况数以及能让两盏灯泡
同时发光的情况数，即可求出所求概率，弄清题中的电路图是解本题的关键．
【详解】解：画树状图，如图所示：
由图知，随机闭合开关 中的两个有六种情况，能让两盏灯泡 同时发光的有两种情况：闭合
，闭合 ，
则P（能让两盏灯泡 同时发光） ．故答案为： ．
13．如图，在 中， ， 于点 ， 为 上一点，连结 并延长，交边
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学科网（北京）股份有限公司于点 ，且 ，过点 作 交 的延长线于点 ．若 ， ，则 的长为
___________．
【答案】
【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，等面积法，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先求出
，运用等面积法求出 ，结合勾股定理得 ， ，然后在
中， ，则在 中， ，即可作答．
【详解】解：∵ ， ， ，
∴ ，
∵ 于点 ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
则 ，解得 ，
依题意，设 ，
∴ ，
在 中，
，解得 ，
∴ ，
在 中，
∵ ， ，
则在 中， ，
∴ ，故答案为： ．
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学科网（北京）股份有限公司14．若关于x的一元一次不等式组 有且仅有 个偶数解，且关于 的分式方程
的解是正数，则所有满足条件的整数 的值之和是___________．
【答案】
【分析】此题考查了分式方程的解，解分式方程，一元一次不等式组的整数解，不等式组整理后，根据恰
有 个偶数解，确定出 的范围，再由分式方程的解为正数，确定出满足题意的整数 的值，求出这些整
数 的和即可．熟练掌握各自的解法是解、题的关键．
【详解】解：不等式组整理得 ，解得： ，
∵不等式组恰有 个偶数解，
∴ ，解得： ，
∵关于 的分式方程 的解是正数，
∴ 且 ，解得： 且 ，
∴ 且 ，
∴满足条件的整数 的值有 ， , ， ， ，
∴ ，
∴所有满足条件的整数 的值之和是 ．故答案为： ．
15．如图，在 中， ， ，点 为 边上一点且 ，点 为 边上的动
点，过点 作⊙O的两条切线，切点分别为 ，若 的半径为 ，则四边形 面积的最小值是
___________．
【答案】
【分析】根据切线的性质可得 ， ，则有
，当 的值最小时，四边形 面积有最小值，由勾股定理可得
，则有 最小时， 的值最小，根据 时， 的值最小，由含
角的直角三角形的性质即可求解．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】解：如图所示，连接 ，
∵ 是 的切线，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ 的半径为 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴当 的值最小时，四边形 面积有最小值，
在 中， ，
∴ ，
∴ 最小时， 的值最小，
∴当 时， 的值最小，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ （负值舍去），
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了切线的性质，全等三角形的判定和性质，含 角的直角三角形的性质，垂线段最短
等知识的综合，掌握切线的性质得到 ，当 的值最小时，四边形 面积有最小
值， 最小时， 的值最小是解题的关键．
16．若一个五位数 的百位数字和千位数字都不为0，且满足 ， ，则称该五
位数为“差倍数”．规定： ， ．例如：42152，满足 ， ，且
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学科网（北京）股份有限公司，所以42152是“差倍数”， ， ．若 是一
个“差倍数”， ，则 的最大值为_________；若“差倍数” （
， ， ， ， ， 均为整数），且 能被11整除，则满足条件的
的值的和为___________．
【答案】 84293 63285
【分析】本题考查了整式的加减计算，解不定方程，数的整除，难度较大，正确理解题意是解题的关键．
①由 ，结合条件得到 ，继而得到
， ，继而可求解；
②先将S表示为 ，由新定义得满足 ，则
，表示出 ， ，则
，问题化为 需要被11整除即可，再分类讨论枚举
即可．
【详解】解：① ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵若一个五位数 的百位数字和千位数字都不为0，且满足 ，
∴ 最大为4，则 最大为8，
∴ ，
∵ ，
∴ 最大为9，则 ，
∴ 的最大值为 ；
②∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵五位数 的百位数字和千位数字都不为0，满足 ，
∴ ，
∴ ，
∴
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学科网（北京）股份有限公司，
，
∴
，
∴ 需要被11整除，
∵ ， ，
∴ ，
∴ 可取 ，
当 ，则 ，
∴ ，则
∴ ；
当 ，则 ，
∴ ，则 （舍）；
当 ，则 （舍）；
当 ，则 （舍）；
当 ，则 ，
∴ ，则 ，
∴ ，
当 ，则 （舍），
∴满足条件的 的值的和为 ，
故答案为： ， ．
三、解答题：（本大题共8个小题，第17题16分，其余每题10分，共86分）解答时每小题必须给出必
要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将答题过程书写在答题卡中对应位置上．
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学科网（北京）股份有限公司17．（1）先化简，再求值： ，其中 ， ．
【答案】 ，3
【分析】本题主要考查了整式的混合运算-化简求值，平方差公式，完全平方公式等知识点，先利用平方差
公式，完全平方公式计算括号里，再算括号外，然后把 , 的值代入化简后的式子进行计算，即可解答，
准确熟练地进行计算是解答此题的关键．
【详解】解： ，
=
，
当 时，原式 ．
（2）先化简， ，然后从 范围内选取一个合适的整数作为 的值代入求
值．
【答案】 ，
【分析】本题考查分式的化简求值，先把分子分母因式分解和除法运算转化为乘法运算，再约分，接着根
据乘法的分配律计算得到原式 ，然后根据分式有意义的条件，把 代入计算即可，解题时可根
据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的
各分式都有意义，且除数不能为0．
【详解】解：
，
； ， 当 时，原式 ．
18．习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气，”某校响
应号召，鼓励师生利用课余时间广泛阅读，该校文学社为了解学生课外阅读情况，抽样调查了20名学生每
天用于课外阅读的时间，以下是部分数据和不完整的统计图表：阅读时间在 范围内的数据：
40，50，45，50，40，55，45，40不完整的统计图表：
课外阅读时间 等级 人数
D 3
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学科网（北京）股份有限公司C
B 8
A 4
结合以上信息回答下列问题：
(1)统计表中的 ________；统计图中B组对应扇形的圆心角为______度；
(2)阅读时间在 范围内的数据的众数是____________；根据调查结果，请你估计全校600名同学
课外阅读时间不少于 的人数有______人；
(3)A等级学生中有两名男生和两名女生，从A等级学生中选两名学生对全校学生作读书的收获和体会的报
告，用列举法或树状图法求恰好选择一名男生和一名女生的概率．
【答案】(1)5；144；(2)40；360；(3)
【分析】本题考查了列表法与树状图法以及频数分布表和扇形统计图等知识，树状图法可以不重不漏的列
举出所有可能发生的情况，适合于两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回
试验．用到的知识点为：概率 所求情况数与总情况数之比．
（1）由调查的学生的总人数减去其他组的人数得出 的值，再由 乘以 组所占的比例即可；
（2）由众数的定义得出众数，再用样本估计总体列式计算即可；
（3）画树状图，共有12种等可能的情况，其中恰好选择一名男生和一名女生的情况有8种，再由概率公
式求解即可．
【详解】（1）解：统计表中的 ，
统计图中 组对应扇形的圆心角为： ，
故答案为：5，144；
（2）解：阅读时间在 范围内的数据的众数是40，
估计全校600名同学课外阅读时间不少于 的人数为： （人 ，
故答案为：40，360；
（3）解：画树状图如下：
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学科网（北京）股份有限公司共有12种等可能的情况，其中恰好选择一名男生和一名女生的情况有8种，
恰好选择一名男生和一名女生的概率为 ．
19．【探究与证明】
(1)【教材再探】下面是某教材的一道问题：“如图1，在正方形 中， ，求证： ”．
请完成解答过程：
证明：设 与 交于点 ，
∵四边形 是正方形，
__________，
，
，
__________ ，
，
∵∠CDF=∠BCE
（__________）填判定依据，用字母表示
(2)【类比探究】如图2，在矩形 中， ，点 分别在边 上，且 ，请
问（1）中的结论还成立吗？请说明理由；
(3)【拓展探究】如图3，在 中， ，点 为 的三等分点，过点 作
交 于 ，请直接写出 的长．
【答案】(1) ，90， ；(2)不成立，理由见解析；(3) 或
【分析】（1）利用正方形的性质，证明 即可．
（2）根据矩形的性质，证明 即可．
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学科网（北京）股份有限公司（3）利用三角形相似的性质计算即可．
【详解】（1）解：设 与 交于点
四边形 是正方形，
，
，
，
，
，
∵∠CDF=∠BCE，
，
．
故答案为： ，90， ．
（2）解：不成立，理由如下：设 与 交于点 ，
证明： 四边形 是矩形，
，
，
，
，
，
，
．
（3）补齐矩形 ，由于线段 的三等分点有两个，故分类解答：
如图3-1， ．
同（2）得 ，且相似比为 ，
BCE中，
△
中， ，
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学科网（北京）股份有限公司，
∴
，
；
如图3-2，同理可得 ．
综上所述 或 ．
【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形和性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理，熟练掌握正方形
的判定和性质，三角形相似的判定和性质是解题的关键．
20．某蔬菜基地有甲、乙两个用于灌溉的水池，它们的最大容量均为 ，原有水量分别为 ，
，现向甲、乙同时注水，直至两个水池均注满为止．已知每分钟向甲、乙的注水量之和恒定为
，若其中某一水池注满，则停止向该水池注水，改为向另一水池单独注水．
(1)若每分钟向甲注水 ，则哪个水池先注满水？为什么？
(2)若每分钟向甲注水 ，注水多少分钟时，两个水池里的水量成2倍关系？
(3)若每分钟向甲注水 ，则甲比乙提前 注满，直接写出a的值．
【答案】(1)两个水池同时注满水，见解析
(2)注水 分钟或30分钟，两个水池里的水量成2倍关系
(3)a的值为40
【分析】本题主要考查了列方程解应用题，能根据两水池注水速度之间的关系，分别表示出两水池中的水
量是解题的关键．
（1）根据题意，分别求出注满甲、乙水池所需的时间即可解决问题．
（2）根据题意建立方程，结合分类讨论的数学思想即可解决问题．
（3）根据题意得出当甲注满时，乙池的水量为 ，据此建立分式方程即可解决问题．
【详解】（1）解：同时注满，理由如下：
因为每分钟向甲注水 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以每分钟向乙注水 ．
则 （分钟）， ．
因为 ，
所以两个水池同时注满水．
（2）解：因为每分钟向甲注水 ，
所以每分钟向乙注水 ．
设注水x分钟时，两个水池里的水量成2倍关系，
当甲是乙的两倍时，
，解得 ．
当乙是甲的两倍时，
，解得 ，
此时乙注满，甲正好是一半．
综上所述，注水 分钟或30分钟，两个水池里的水量成2倍关系．
（3）解：因为甲比乙提前 注满，
所以当甲注满水时，乙中的水量为 ．
根据题意得，
，解得 ，
经检验， 是原方程的解且符合题意，所以a的值为40．
21．【阅读材料】：
解方程： 时，先两边同乘以x，得 ，解之得 ， ，经检验无
增根，所以原方程的解为 ， ．
【模仿练习】
（1）解方程 ；
【拓展应用】
（2）如图1，等腰直角 的直角顶点 的坐标为 ，B，C两点在反比例函数 的图象上，点
的坐标是 ，且 ，求 的值；
19 / 33
学科网（北京）股份有限公司（3）如图2在双曲线 有 ， 两点，如果 ， ，那么 是
否为定值，若存在请求出，不存在请说明理由．
【答案】（1） ， ；（2） ；（3）是定值，
【分析】本题考查阅读理解，反比例函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些
性质解决问题是解题的关键．
（1）根据阅读材料，进行计算，即可；
（2）过点 作 轴于点 ，过点 作 轴于点 ，则 ，根据 是等腰
直角三角形，则 ， ；根据 ， ，等量代换，
全等三角形的判定和性质，则 ， ， ，最后根据反比例函数
的图象和性质，即可；
（3）过点 作 轴的平行线交 轴于点 ，作 轴交直线 于点 ，同理证明 ，
得 ， ；求得 ，根据点在函数图象上，则∵ ， 在反比例
函数图象上， ，推出 ，解得 ，即可．
【详解】（1）
解：先两边同乘以 ，得 ，
解得： ， ，经检验无增根，
∴原方程的解为 ， ；
（2）过点 作 轴于点 ，过点 作 轴于点 ，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司∵△ABC是等腰直角三角形，
∴ ， ；
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ 点坐标是 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ 点在反比例函数图像上，
∴ ，
由（1）可知 ， ，
∵ ，
∴ ．
（3）是定值，理由如下：
过点 作 轴的平行线交 轴于点 ，作 轴交直线 于点 ，
∴
∵
∴
∵
∴
∵
∴
∵ ， ，
21 / 33
学科网（北京）股份有限公司∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ， 在反比例函数图象上，
∴ ，
∴ ，解得 ，
∴ ．
22．某数学小组在郊外的水平空地上对无人机进行测高实验，如图，两台测角仪分别放在A、B位置，且
离地面高均为1米（即 米），两台测角仪相距60米（即 米），在某一时刻无人机位于
点C（点C与点A、B在同一平面内），A处测得其仰角为 ，B处测得其仰角为 ．
【参考数据： ， ， ， ， 】
(1)求该时刻无人机的离地高度；（单位：米，结果保留整数）
(2)无人机沿水平方向向左飞行2秒后到达点F（点F与点A、B、C在同一平面内），此时A处测得无人机
的仰角为 ，求无人机水平飞行的平均速度．（单位：米/秒，结果保留整数）
【答案】(1)23米；(2)6米/秒
【分析】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，
（1）连接 ，过点C作 ，垂足为G，根据题意可得： ，设 米，则
米，然后分别在 和 中，利用锐角三角函数的定义求出 的长，从而列出
关于x的方程，进行计算即可解答；
（2）过点F作 ，垂足为H，根据题意可得： 米， ，然后在
中，利用锐角三角函数的定义求出 的长，再利用（1）的结论求出 的长，从而利用线段
的和差关系求出 米，最后进行计算即可解答．
【详解】（1）解：连接 ，过点C作 ，垂足为G，
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学科网（北京）股份有限公司由题意得： ，
设 米，
∵ 米，
∴ 米，
在 中， ，
∴ （米），
在 中， ，
∴ 米，
∴ ，解得： ，
∴ 米，
∵ 米，
∴ （米），
∴该时刻无人机的离地高度约为23米；
（2）过点F作 ，垂足为H，
由题意得： 米， ，
在 中， ，
∴ （米），
∵ 米， 米，
∴ 米，
∴ （米），
∴ （米/秒），
∴无人机水平飞行的平均速度为6米/秒．
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学科网（北京）股份有限公司23．如图，抛物线 经过 ， ， 三点，连接 ．
(1)求抛物线的解析式：
(2)作直线 ，l交抛物线于E、F两点（点E在点F的左侧），已知 ，
①求直线l的解析式；
②点P是抛物线上的动点，作 ，垂足为点K，是否存在点P，使得以P、E、K为顶点的三角形与
相似？若存在，请写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ；(2)① ；②点 的坐标为 或 或 ．
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）①作 于点 ，作 于点 ，证明 ，求得 ，即
，设直线 的解析式为 ，联立得 ，利用根与系数的关系，列方
程求解即可；
②分三种情况讨论，画出图形，同①法求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线 经过 ， ，
∴设抛物线的解析式为 ，
把 代入得 ，解得 ，
∴抛物线的解析式为 ；
（2）解：① ， ， ，
∴ ， ， ，∴ ，
作 于点 ，作 于点 ，如图，
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学科网（北京）股份有限公司∵直线 ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
设直线 的解析式为 ，
∴ ，解得 ，
∴直线 的解析式为 ，
∵直线 ，
∴设直线 的解析式为 ，
联立得 ，
整理得 ，
∴ ， ，
∴ ，
即 ，解得 ，
∴直线 的解析式为 ；
②∵ ， ， ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴△ABC是直角三角形，且 ，
∴ ，
作 轴交抛物线于点 ，
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学科网（北京）股份有限公司∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴点 符合题意，
∵ ，即 ，
整理得 ，
解得 或 ，
当 时， ，
∴ ，
∴点 的纵坐标为 ，
解方程 得 或 ，
∴点 的坐标为 ；
作点 关于直线 的对称点 ，连接 交延长交抛物线于点 ，
此时 ，
∴ ，
∴点 符合题意，
∵ ，直线 ，又 ，
∴ ，
同理，直线 的解析式为 ，
同理，直线 的解析式为 ，
联立得 ，
解得 ， ，
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学科网（北京）股份有限公司即点 的坐标为 ，
∵点 与点 关于直线 对称，
∴点 的坐标为 ，
同理，直线 的解析式为 ，
联立 ，
解得 或 ，
当 时， ，
∴点 的坐标为 ；
过点作 交 轴于点 ，交抛物线于点 ，
∴ ，
∴ ，
∴点 符合题意，
作 轴于点 ，
设直线 交 轴于点 ，
令 ， ，解得 ，
∴点 的坐标为 ，
∴ ，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴点 的坐标为 ，
同理，直线 的解析式为 ，
联立得 ，解得 或 ，
当 时， ，
∴点 的坐标为 ；
综上，点 的坐标为 或 或 ．
【点睛】本题考查了是二次函数的综合问题，相似三角形的判定和性质．正确引出辅助线解决问题是解题
的关键．
24．【问题提出】
唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有
趣的数学问题——将军饮马问题：
（1）如图1，△ABC中， ，E是 的中点，P是 边上的一动点，则
的最小值为___________；
【问题探究】
（2）如图2，已知△ABC和△DEF都是等腰直角三角形， ． ， 在
直线 上运动时，求 的最小值；
【拓展应用】
（3）如图3，是某公园的示意图， 是三处栅栏， 是该公园附近的一条道路（宽度不计），
半圆 及其内部是一个带舞台的广场．已知 ， 所对的圆心角为 ， 与
所在的圆相切于点C，点E、G在 上，点F、H在 上，点M在 上，矩形 是一条河流在该
公园内的一段（ ），其中半圆 的直径为 ， ，河岸 离
的距离为 ，河宽 为 ，为方便运输设备，现计划垂直于河岸造桥 ，使得 与
之和最短，求出此时 的长．（结果保留根号）
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学科网（北京）股份有限公司【答案】（1） ；（2） ；（3）
【分析】（1）如图所示，过点E作 于D，作点A关于 的对称点 ，连接 ，则
， ，故当 三点共线时， 最小，即此时 最小，最小值为
的长，证明 ，求出 ，则 ， ，则由勾股定
理可得 ，即 的最小值为 ；
（2）如图所示，连接 ，过点D作 于G， 交直线 于 ，先得到
；可证明四边形 是平行四边形，得到 ， ，
则 ；再证明点D在与 平行，且与 之间的距离为 的直线上，过点D作 分别交
直线 于M、N，则点D在直线 上运动，证明四边形 是平行四边形，得到 ，
则 ；如图所示，作点B关于直线 的对称点 ，连接 ，则 ，
，可得 ，当 三点共线时， 最小，即此时 最小，最小
值为 ，即可得到 的最小值为 ；
（3）如图所示，过点M作 于R，则四边形 是矩形，可得
，将点P沿着垂直于 的方向平移到 ，使得
，则四边形 是平行四边形，可得 ；如图所示，以 为直径画圆，圆
心设为O，连接 ，可得四边形 是平行四边形，则 ， ，即可
证明四边形 是平行四边形，得到 ；过点C作 交 延长线于I，在 上取
一点 使得 ，则 即为 所在圆圆心，证明四边形 是矩形，得到 ，
解直角三角形得到 ；如图所示，连接 ，可得当 最小时， 最小，进而推出
当 五点共线时 有最小值，最小值为 ；过点O作 于K，
则四边形 是矩形，则 ， ， ，得到
，则 的最小值为 米．设此时 与
交于V， 与 交于W，证明 ，可得 ，则 ，即
．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】解：（1）如图所示，过点E作 于D，作点A关于 的对称点 ，连接 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴当 三点共线时， 最小，即此时 最小，最小值为 的长，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵E是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的最小值为 ，
故答案为： ；
（2）如图所示，连接 ，过点D作 于G， 交直线 于 ，
∵△ABC和 都是等腰直角三角形， ． ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∴ ；
∵ ，即点D到直线 的距离为定值 ，
∴点D在与 平行，且与 之间的距离为 的直线上，
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学科网（北京）股份有限公司过点D作 分别交直线 于M、N，则点D在直线 上运动，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
如图所示，作点B关于直线 的对称点 ，连接 ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴当 三点共线时， 最小，即此时 最小，最小值为 ，
∴ 的最小值为 ；
（3）如图所示，过点M作 于R，则四边形 是矩形，
∴ ，
将点P沿着垂直于 的方向平移到 ，使得 ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ；
如图所示，以 为直径画圆，圆心设为O，连接 ，
∴ ，
又∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ；
过点C作 交 延长线于I，在 上取一点 使得 ，
∵ 与 所在的圆相切与点C，
∴ 的圆心在射线 上，
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学科网（北京）股份有限公司又∵ 所对的圆心角为 ，
∴ 即为 所在圆圆心，
∵ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
设 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
如图所示，连接 ，
∵ ，
∴当 最小时， 最小，
∵ ， ，
∴ ，
∴当 五点共线时 有最小值，最小值为 ；
过点O作 于K，则四边形 是矩形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的最小值为 米．
设此时 与 交于V， 与 交于W，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
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学科网（北京）股份有限公司【点睛】本题主要考查了矩形的性质与判定，一点到圆上一点距离的最值问题，平行四边形的性质与判定，
勾股定理，解直角三角形，轴对称的性质，相似三角形的性质与判定等等，解题的关键在于构造将军饮马
模型，确定取得最值的情形．
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