文档内容
第 08 讲 函数模型及其应用
（模拟精练+真题演练）
1．（2023·河南郑州·洛宁县第一高级中学校联考模拟预测）水雾喷头布置的基本原则是：保护对象的水雾
喷头数量应根据设计喷雾强度、保护面积和水雾喷头特性，按水雾喷头流量q（单位：L/min）计算公式为
和保护对象的水雾喷头数量N计算公式为 计算确定，其中P为水雾喷头的工作压力
（单位：MPa），K为水雾喷头的流量系数（其值由喷头制造商提供），S为保护对象的保护面积，W为
保护对象的设计喷雾强度（单位：L/min·m2），水雾喷头的布置应使水雾直接喷射和完全覆盖保护对象，
如不能满足要求时应增加水雾喷头的数量.当水雾喷头的工作压力P为0.35MPa，水雾喷头的流量系数K为
24.96，保护对象的保护面积S为14m2，保护对象的设计喷雾强度W为20L/min·m2时，保护对象的水雾喷
头的数量N约为（ ）（参考数据： ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
【答案】C
【解析】由水雾喷头的工作压力P为0.35MPa，水雾喷头的流量系数K为24.96，
得 ，
再由保护对象的保护面积S为14m2，保护对象的设计喷雾强度W为20L/min·m2，
得 ，
即保护对象的水雾喷头的数量N约为 个.
故选：C.
2．（2023·浙江·校联考二模）提丢斯一波得定则，简称“波得定律”，是表示各行星与太阳平均距离的一
种经验规则.它是在1766年德国的一位中学教师戴维·提丢斯发现的.后来被柏林天文台的台长波得归纳成了
一个如下经验公式来表示：记太阳到地球的平均距离为1，若某行星的编号为n，则该行星到太阳的平均距
离表示为 ，那么编号为9的行星用该公式推得的平均距离位于（ ）
金 土
行星 星 地球 火星 谷神星 木星 星 天王星 海王星
编号 1 2 3 4 5 6 7 8
公式推得值 0.7 1 1.6 2.8 5.2 10 19.6 38.8
实测值 0.72 1 1.52 2.9 5.2 9.54 19.18 30.06
A． B． C． D．
【答案】D
学科网（北京）股份有限公司 1【解析】由表格可得 ，
故选：D
3．（2023·四川内江·四川省内江市第六中学校考模拟预测）英国物理学家和数学家牛顿曾提出物体在常温
环境下温度变化的冷却模型．如果物体的初始温度是 ，环境温度是 ，则经过 物体的温度 将满足
，其中k是一个随着物体与空气的接触情况而定的正常数．现有 的物体，若放在
的空气中冷却，经过 物体的温度为 ，则若使物体的温度为 ，需要冷却（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意得 ， ， ， 代入，
，即 ，
所以 ，
所以 ，
由题意得 ， ， 代入，
即 ，得 ，
即 ， 解得 ，
即若使物体的温度为 ，需要冷却 ，
故选：C．
4．（2023·福建福州·统考模拟预测）为落实党的二十大提出的“加快建设农业强国，扎实推动乡村振兴”
的目标，银行拟在乡村开展小额贷款业务.根据调查的数据，建立了实际还款比例 关于贷款人的年收入
（单位：万元）的Logistic，模型： ，已知当贷款人的年收入为8万元时，其实际还款
比例为50%.若银行希望实际还款比例为40%，则贷款人的年收入为（ ）（精确到0.01万元，参考数据：
， ）
A．4.65万元 B．5.63万元 C．6.40万元 D．10.00万元
【答案】A
【解析】由题意 ， 即 ，得 ，所以
.
学科网（北京）股份有限公司 2令 ，
得 ，
得 ，
得
得 .
故选：A.
5．（2023·江苏南通·统考模拟预测）为了贯彻落实《中共中央国务院关于深入打好污染防治攻坚战的意
见》，某造纸企业的污染治理科研小组积极探索改良工艺，使排放的污水中含有的污染物数量逐渐减少.已
知改良工艺前所排放废水中含有的污染物数量为 ，首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数
量为 ，第n次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量 满足函数模型
，其中 为改良工艺前所排放的废水中含有的污染物数量， 为首次改
良工艺后所排放的废水中含有的污染物数量，n为改良工艺的次数.假设废水中含有的污染物数量不超过
时符合废水排放标准，若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少要（ ）（参
考数据： ， ）
A．14次 B．15次 C．16次 D．17次
【答案】C
【解析】依题意， ， ，当 时， ，即 ，可得 ，
于是 ，由 ，得 ，即 ，
则 ，又 ，因此 ，
所以若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少要16次．
故选：C
6．（2023·江西·校联考二模）草莓中有多种氨基酸、微量元素、维生素，能够调节免疫功能，增强机体免
疫力.草莓味甘、性凉，有润肺生津，健脾养胃等功效，受到众人的喜爱.根据草莓单果的重量，可将其从
小到大依次分为 个等级，其等级 （ ）与其对应等级的市场销售单价 单位：元 千克 近似
满足函数关系式 .若花同样的钱买到的 级草莓比 级草莓多 倍，且 级草莓的市场销售单价为
元 千克，则 级草莓的市场销售单价最接近（ ）（参考数据： ， ）
A． 元 千克 B． 元 千克 C． 元 千克 D． 元 千克
【答案】C
学科网（北京）股份有限公司 3【解析】由题可知 ，由 则
.
故选：C.
7．（2023·重庆·统考模拟预测）中华人民共和国国家标准《居室空气中甲醛的卫生标准》规定：居室空气
中甲醛的最高容许浓度为：一类建筑 ，二类建筑 ．二类建筑室内甲醛浓度小于等于
为安全范围，已知某学校教学楼（二类建筑）施工过程中使用了甲醛喷剂，处于良好的通风环
境下时，竣工2周后室内甲醛浓度为 ，4周后室内甲醛浓度为 ，且室内甲醛浓度
（单位： ）与竣工后保持良好通风的时间 （单位：周）近似满足函数关系式
，则该教学楼竣工后的甲醛浓度若要达到安全开放标准，至少需要放置的时间为（ ）
A．5周 B．6周 C．7周 D．8周
【答案】B
【解析】由题意可得： ，解得 ，
所以 ，
令 ，整理得 ，
因为 ，
故 ，则 ，所以至少需要放置6周.
故选：B.
8．（2023·山西朔州·怀仁市第一中学校校考模拟预测）为研究每平方米平均建筑费用与楼层数的关系，某
开发商收集了一栋住宅楼在建筑过程中，建筑费用的相关信息，将总楼层数 与每平米平均建筑成本
（单位：万元）的数据整理成如图所示的散点图：
则下面四个回归方程类型中最适宜作为每平米平均建筑费用 和楼层数 的回归方程类型的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
学科网（北京）股份有限公司 4【解析】观察散点图，可知是一个单调递减的曲线图，结合选项函数的类型可得回归方程类型是反比例类
型，故C正确.
故选：C.
9．（多选题）（2023·辽宁大连·统考三模）甲乙两队进行比赛，若双方实力随时间的变化遵循兰彻斯特模
型：
其中正实数 分别为甲､乙两方初始实力， 为比赛时间；
分别为甲､乙两方 时刻的实力；正实数 分别为甲对乙､乙对甲的比赛效果系数.规定当甲､乙两
方任何一方实力为0时比赛结束，另一方获得比赛胜利，并记比赛持续时长为 .则下列结论正确的是
（ ）
A．若 且 ，则
B．若 且 ，则
C．若 ，则甲比赛胜利
D．若 ，则甲比赛胜利
【答案】ABD
【解析】对选项A：若 且 ，则 ，
所以 ，由 可得 ，正确；
对选项B：当 时根据A中的结论可知 ，所以乙方实力先为0，
即 ，化简可得 ，
即 ，两边同时取对数可得 ，
即 ，即 ，正确；
对选项C：，若甲方获得比赛胜利，则甲方可比赛时间大于乙方即可，
学科网（北京）股份有限公司 5设甲方实力为0时所用时间为 ，乙方实力为0时所用时间为 ，
即 ，可得 ，
同理可得 ，即 ，解得 ，
又因为 都为正实数，所以可得 ，甲方获得比赛胜利，错误；
对选项D：根据C知正确；
故答案为： .
10．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）如图所示为某池塘中野生水葫芦的面积与时间的函数关系的
图象，假设其函数关系为指数函数，现给出下列说法，其中正确的说法有（ ）
A．野生水葫芦的面积每月增长量相等
B．野生水葫芦从 蔓延到 历时超过1个月
C．设野生水葫芦蔓延到 ， ， 所需的时间分别为 ， ， ，则有
D．野生水葫芦在第1个月到第3个月之间蔓延的平均速度等于在第2个月到第4个月之间蔓延的平均速度
【答案】BC
【解析】由图可知野生水葫芦第一个月增长面积为 ，第二个月增长面积为 ，A错误；
由图可知野生水葫芦从 蔓延到 历时超过1个月，B正确；
野生水葫芦的面积与时间的函数关系为 ， ， ，
， ，所以 ，C正确；
野生水葫芦在第1个月到第3个月之间蔓延的平均速度为
野生水葫芦在第2个月到第4个月之间蔓延的平均速度为 ，D错误.
学科网（北京）股份有限公司 6故选：BC
11．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）牛顿曾提出了物体在常温环境下温度变化的冷却模型：若物
体初始温度是 （单位：℃），环境温度是 （单位：℃），其中 、则经过t分钟后物体的温度
将满足 （ 且 ）．现有一杯 的热红茶置于 的房间里，根据这一
模型研究红茶冷却情况，下列结论正确的是（ ）（参考数值 ）
A．若 ，则
B．若 ，则红茶下降到 所需时间大约为6分钟
C．5分钟后物体的温度是 ，k约为0.22
D．红茶温度从 下降到 所需的时间比从 下降到 所需的时间多
【答案】AC
【解析】由题知 ，
A选项：若 ，即 ，所以 ，则
，A正确；
B选项：若 ，则 ，则 ，两边同时取对数得 ，所以
，所以红茶下降到 所需时间大约为7分钟，B错误；
C选项：5分钟后物体的温度是 ，即 ，则 ，得 ，所以
，故C正确；
D选项： 为指数型函数，如图，可得红茶温度从 下降到 所需的时间（ ）比从 下降
到 所需的时间（ ）少，故D错误．
故选：AC．
12．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）某地下车库在排气扇发生故障的情况下测得空气中一氧化碳
含量达到了危险状态，经抢修排气扇恢复正常，排气4分钟后测得车库内的一氧化碳浓度为64 ppm，继续
学科网（北京）股份有限公司 7排气4分钟后又测得浓度为32 ppm.由检验知该地下车库一氧化碳浓度y（单位：ppm）与排气时间t（单位：
分）之间满足函数关系y＝f（t），其中 （R为常数）．若空气中一氧化碳浓度不高于0.5 ppm，
人就可以安全进入车库了，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．排气12分钟后，人可以安全进入车库
D．排气32分钟后，人可以安全进入车库
【答案】BD
【解析】因为 ，所以 符合要求．
又
解得 ，a＝128，故B正确，A错误．
，
当 时，即 ，得 ，
所以 ，即 ，所以排气32分钟后，人可以安全进入车库，故D正确，C
错误，
故选：BD.
13．（2023·北京朝阳·统考一模）某军区红、蓝两方进行战斗演习，假设双方兵力（战斗单位数）随时间
的变化遵循兰彻斯特模型： ，其中正实数 ， 分别为红、蓝两
方初始兵力，t为战斗时间； ， 分别为红、蓝两方t时刻的兵力;正实数a，b分别为红方对蓝方、
蓝方对红方的战斗效果系数； 和 分别为双曲余弦函数和双曲正弦函数．规定当
红、蓝两方任何一方兵力为0时战斗演习结束，另一方获得战斗演习胜利，并记战斗持续时长为T．给出
下列四个结论：
①若 且 ，则 ；
②若 且 ，则 ；
学科网（北京）股份有限公司 8③若 ，则红方获得战斗演习胜利；
④若 ，则红方获得战斗演习胜利．
其中所有正确结论的序号是________．
【答案】①②④
【解析】对于①，若 且 ，则 ，
即 ，所以 ，
由 可得 ，即①正确；
对于②，当 时根据①中的结论可知 ，所以蓝方兵力先为0，
即 ，化简可得 ，
即 ，两边同时取对数可得 ，
即 ，所以战斗持续时长为 ，
所以②正确；
对于③，若红方获得战斗演习胜利，则红方可战斗时间大于蓝方即可，
设红方兵力为0时所用时间为 ，蓝方兵力为0时所用时间为 ，
即 ，可得
同理可得
即 ，解得
又因为 都为正实数，所以可得 ，红方获得战斗演习胜利；
学科网（北京）股份有限公司 9所以可得③错误，④正确.
故答案为：①②④.
14．（2023·陕西西安·统考一模）我们可以用下面的方法在线段上构造出一个特殊的点集：如图，取一条
长度为1的线段，第1次操作，将该线段三等分，去掉中间一段，留下两段；第2次操作，将留下的两段
分别三等分，各去掉中间一段，留下四段；按照这种规律一直操作下去.若经过 次这样的操作后，去掉的
所有线段的长度总和大于 ，则 的最小值为__________.（参考数据： ）
【答案】12
【解析】设每次操作留下的长度为 ，
则 ， ，且每次操作留下的长度均为上一次操作留下长度的 ，
所以 为等比数列，公比为 ，首项为 ，故 ，
所以经过 次这样的操作后，去掉的所有线段长度总和为 ，
故 ，即 ，
两边取对数得： ，
因为 ，所以 ，则n的最小值为12.
故答案为：12
15．（2023·上海长宁·统考一模）研究发现，某昆虫释放信息素t秒后，在距释放处x米的地方测得的信息
素浓度y满足 ，其中 为非零常数；已知释放1秒后，在距释放处2米的地方测得
信息素浓度为m，则释放信息素4秒后，距释放处的___________米的位置，信息素浓度为 .
【答案】4
【解析】因为释放1秒后，在距释放处2米的地方测得信息素浓度为m，
所以 ，所以 ，即
当 时， ，
学科网（北京）股份有限公司 10整理得 即 ，
所以 ，因为 ，所以 .
故答案为:4.
16．（2023·全国·长郡中学校联考模拟预测）2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月
球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就．实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地
面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日
点的轨道运行． 点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M ，月球质量为M ，地月
１ ２
距离为R， 点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：
．设 ，由于 的值很小，因此在近似计算中 ，则r的
近似值为_________．
【答案】
【解析】由 ，得 ，
由 ，得 ，
将 代入，得 ，
有 ，
所以 ，则 ，
所以 .
故答案为： .
1．（2021•北京）某一时段内，从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗漏、流失而在水平面上积聚的
深度，称为这个时段的降雨量（单位： ．24 降雨量的等级划分如下：
学科网（北京）股份有限公司 11等级
降雨量（精确到
小雨
中雨
大雨
暴雨
在综合实践活动中，某小组自制了一个底面直径为 ，高为 的圆锥形雨量器．若一次降雨过
程中，该雨量器收集的 的雨水高度是 如图所示），则这 降雨量的等级是
A．小雨 B．中雨 C．大雨 D．暴雨
【答案】
【解析】圆锥的体积为 ，
因为圆锥内积水的高度是圆锥总高度的一半，
所以圆锥内积水部分的半径为 ，
将 ， 代入公式可得 ，
图上定义的是平地上积水的厚度，即平地上积水的高，
平底上积水的体积为 ，且对于这一块平地的面积，即为圆锥底面圆的面积，
所以 ，
则平地上积水的厚度 ，
因为 ，
由题意可知，这一天的雨水属于中雨．
故选： ．
2．（2021•甲卷）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和
小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据 和小数记录法的数据 满足 ．已知某同学视力
学科网（北京）股份有限公司 12的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为
A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6
【答案】
【解析】在 中， ，所以 ，即 ，
解得 ，
所以其视力的小数记录法的数据约为0.8．
故选： ．
3．（2020•山东）基本再生数 与世代间隔 是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者
传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模
型： 描述累计感染病例数 随时间 （单位：天）的变化规律，指数增长率 与 ， 近似满足
．有学者基于已有数据估计出 ， ．据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病
例数增加1倍需要的时间约为
A．1.2天 B．1.8天 C．2.5天 D．3.5天
【答案】
【解析】把 ， 代入 ，可得 ， ，
当 时， ，则 ，
两边取对数得 ，解得 ．
故选： ．
4．（2019•新课标Ⅱ）2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航
天事业取得又一重大成就．实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．
为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日 点的轨道运行． 点是
平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为 ，月球质量为 ，地月距离为 ， 点到月球的距
离为 ，根据牛顿运动定律和万有引力定律， 满足方程： ．
设 ．由于 的值很小，因此在近似计算中 ，则 的近似值为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】 ． ，
学科网（北京）股份有限公司 13满足方程： ．
，
把 代入，得： ，
，
，
．
故选： ．
5．（多选题）（2023•新高考Ⅰ）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压
级 ，其中常数 是听觉下限阈值， 是实际声压．下表为不同声源的声压级：
声源 与声源的 声压级
距离
燃油汽车 10
混合动力汽 10
车
电动汽车 10 40
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车 处测得实际声压分别为 ， ， ，则
A． B． C． D．
【答案】
【解析】由题意得， ， ，
， ，
， ，
可得 ， 正确；
， 错误；
， 正确；
学科网（北京）股份有限公司 14， ， 正确．
故选： ．
6．（2018•浙江）我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，
值钱三；鸡雏三，值钱一．凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁，鸡母，鸡雏个数分别
为 ， ， ，则 ，当 时， ．
【答案】8；11
【解析】 ，当 时，化为： ，
解得 ， ．
故答案为：8；11．
7．（2019·北京·高考真题）李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、
桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次
购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的
80%．
①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；
②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为
__________．
【答案】 130. 15.
【解析】(1) ,顾客一次购买草莓和西瓜各一盒,需要支付 元.
(2)设顾客一次购买水果的促销前总价为 元,
元时,李明得到的金额为 ,符合要求.
元时,有 恒成立,即 ,即 元.
所以 的最大值为 .
学科网（北京）股份有限公司 15
