文档内容
第 2 章相交线与平行线（单元提升卷）
（满分100分，完卷时间90分钟）
考生注意：
1．本试卷含三个大题，共26题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，
在草稿纸、本试卷上答题一律无效．
2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出解题的
主要步骤．
一．选择题（共10小题）
1．（2019•海淀区二模）如图，两条直线AB，CD交于点O，射线OM是∠AOC的平分线，若
∠BOD＝80°，则∠BOM等于（ ）
A．140° B．120° C．100° D．80°
【分析】先根据对顶角相等得出∠AOC﹣80°，再根据角平分线的定义得出∠COM，最后解答
即可．
【解答】解：∵∠BOD＝80°，
∴∠AOC＝80°，∠COB＝100°，
∵射线OM是∠AOC的平分线，
∴∠COM＝40°，
∴∠BOM＝40°+100°＝140°，
故选：A．
【点评】此题考查对顶角和角平分线的定义，关键是得出对顶角相等．
2．（2019秋•兰考县期末）如图，∠1与∠2是同位角的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，
并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．
【解答】解：这四个图中，∠1与∠2有一条边在同一条直线上，另一条边在被截线的同一方，
是同位角．
故选：D．【点评】本题考查了同位角、内错角、同旁内角．解答此类题确定三线八角是关键，可直接
从截线入手．对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确
理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义．
3．（2021春•青龙县期末）在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是（ ）
A．平行 B．相交
C．平行或相交 D．平行、相交或垂直
【分析】根据直线的位置关系解答．
【解答】解：在同一平面内，不重合的两条直线只有两种位置关系，是平行或相交，
所以在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是：平行或相交．
故选：C．
【点评】本题考查了两直线的位置关系，需要特别注意，垂直是相交特殊形式，在同一平面
内，不重合的两条直线只有平行或相交两种位置关系．
4．（2019•潮南区三模）如图，直线a∥b，直角三角形如图放置，∠DCB＝90°，若∠1+∠B＝
65°，则∠2的度数为（ ）
A．20° B．25° C．30° D．35°
【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠3＝∠1+∠B，再根据
两直线平行，同旁内角互补列式计算即可得解．
【解答】解：由三角形的外角性质可得，∠3＝∠1+∠B＝65°，
∵a∥b，∠DCB＝90°，
∴∠2＝180°﹣∠3﹣90°＝180°﹣65°﹣90°＝25°．
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性
质，熟记性质并准确识图是解题的关键．
5．（2019春•杏花岭区校级期中）如图，AB是一条河流，要铺设管道将河水引到两个用水点C
和D，现有两种铺设管道的方案；
方案一：分别过C、D作AB的垂线，垂足为E、F，沿CE、DF铺设管道；方案二：连接CD交AB于点P，沿PC，PD铺设管道．
下列说法正确的是（ ）
A．方案一比方案二省钱，因为垂线段最短
B．方案二比方案一省钱，因为两点之间，线段最短
C．方案一与方案二一样省钱，因为管道长度一样
D．方案一与方案二都不是最省钱的方案
【分析】根据垂线段最短可得答案．
【解答】解：A、方案一比方案二省钱，因为垂线段最短，说法正确；
B、方案二比方案一省钱，因为两点之间，线段最短，说法错误；
C、方案一与方案二一样省钱，因为管道长度一样，说法错误；
D、方案一与方案二都不是最省钱的方案，说法错误；
故选：A．
【点评】此题主要考查了垂线段的性质，关键是掌握垂线段最短．
6．（2021春•五常市期末）如图所示，点E在AC的延长线上，下列条件中能判断AB∥CD（
）
A．∠1＝∠2 B．∠3＝∠4
C．∠D＝∠DCE D．∠D+∠ACD＝180°
【分析】根据平行线的判定分别进行分析可得答案．
【解答】解：A、根据内错角相等，两直线平行可得AB∥CD，故此选项正确；
B、根据内错角相等，两直线平行可得BD∥AC，故此选项错误；
C、根据内错角相等，两直线平行可得BD∥AC，故此选项错误；
D、根据同旁内角互补，两直线平行可得BD∥AC，故此选项错误；
故选：A．
【点评】此题主要考查了平行线的判定，解答此类要判定两直线平行的题，可围绕截线找同
位角、内错角和同旁内角．
7．（2019•毕节市）如图，△ABC中，CD是AB边上的高，CM是AB边上的中线，点C到边AB
所在直线的距离是（ ）A．线段CA的长度 B．线段CM的长度
C．线段CD的长度 D．线段CB的长度
【分析】根据点C到边AB所在直线的距离是点C到直线AB的垂线段的长度可解．
【解答】解：点C到边AB所在直线的距离是点C到直线AB的垂线段的长度，而CD是点C
到直线AB的垂线段，
故选：C．
【点评】本题考查的是点到直线的距离的定义，选项中都有长度二字，只要知道是垂线段就
比较好解．
8．（2019春•邱县期末）如图所示，下列结论中不正确的是（ ）
A．∠1和∠2是同位角 B．∠2和∠3是同旁内角
C．∠1和∠4是同位角 D．∠2和∠4是内错角
【分析】根据同位角，内错角，同旁内角以及对顶角的定义进行解答．
【解答】解：A、∠1和∠2是同旁内角，故本选项错误，符合题意；
B、∠2和∠3是同旁内角，故本选项正确，不符合题意；
C、∠1和∠4是同位角，故本选项正确，不符合题意；
D、∠2和∠4是内错角，故本选项正确，不符合题意；
故选：A．
【点评】考查了同位角，内错角，同旁内角以及对顶角的定义．解答此类题确定三线八角是
关键，可直接从截线入手．对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做
到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义．
9．（2020•始兴县一模）如图，AB∥DE，∠CED＝31°，∠ABC＝70°．∠C的度数是（ ）A．28° B．31° C．39° D．42°
【分析】根据两直线平行，同位角相等可得∠CFD，再根据三角形的外角的性质，可求出∠C
的度数，做出选择即可．
【解答】解：∵AB∥DE，
∴∠CFD＝∠CBA＝70°，
∵∠CFD＝∠CED+∠C，
∴∠C＝∠CFD﹣∠CED＝70°﹣31°＝39°，
故选：C．
【点评】考查平行线的性质，三角形内角和定理及推论等知识，合理的转化是解决问题的前
提．
10．（2020•郫都区模拟）如图，把三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1＝32°，则∠2的
度数为（ ）
A．68° B．58° C．48° D．32°
【分析】因直尺和三角板得AD∥FE，∠BAC＝90°；再由AD∥FE得∠2＝∠3；平角构建
∠1+∠BAC+∠3＝180°得∠1+∠3＝90°，已知∠1＝32°可求出∠3＝58°，即∠2＝58°．
【解答】解：如图所示：
∵AD∥FE，
∴∠2＝∠3，
又∵∠1+∠BAC+∠3＝180°，∠BAC＝90°，
∴∠1+∠3＝90°，
又∵∠1＝32°，
∴∠3＝58°，
∴∠2＝58°，
故选：B．
【点评】本题综合考查了平行线的性质，直角，平角和角的和差相关知识的应用，重点是平
行线的性质．
二．填空题（共8小题）
11．（2018春•大冶市期末）如图，直线AB，CD相交于O，OE⊥AB，O为垂足，∠COE＝34°，
则∠BOD＝ 5 6 度．【分析】由OE⊥AB，∠COE＝34°，利用互余关系可求∠BOD．
【解答】解：∵OE⊥AB，∠COE＝34°，
∴∠BOD＝90°﹣∠COE＝90°﹣34°＝56°．
故答案为：56．
【点评】此题考查的知识点是垂线，关键是利用垂直的定义及余角的定义求解．
12．（2019秋•沛县期末）如图，已知AC⊥BC，CD⊥AB，AC＝3，BC＝4，AB＝5，则点B到
直线AC的距离等于 4 ．
【分析】根据“从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．”“从直
线外一点作直线的垂线，这一点与垂足之间的线段，叫做垂线段．”即可得出结论．
【解答】解：根据垂线段、点到直线距离的定义可知，点B到直线AC的距离等于BC的长度，
即为4．
故答案为：4．
【点评】此题主要考查了垂线段、点到直线距离的定义．此题主要考查了垂线段、点到直线
距离的定义．
13．（2019秋•金湖县期末）如图，点C在直线AB上，（A、C、B三点在一条直线上，）若
CE⊥CD，已知∠1＝50°，则∠2＝ 4 0 °．
【分析】根据平角的定义和垂直的定义即可得到结论．
【解答】解：∵CE⊥CD，
∴∠DOE＝90°，
∵∠50°，
∴∠2＝180°﹣90°﹣50°＝40°，
故答案为：40．
【点评】本题考查了垂线，余角的性质，熟练掌握余角的性质是解题的关键．
14．（2021•柳南区校级模拟）如图，下列条件中：①∠B+∠BCD＝180°；②∠1＝∠2；③∠3＝∠4；④∠B＝∠5；
则一定能判定AB∥CD的条件有 ①③④ （填写所有正确的序号）．
【分析】根据平行线的判定方法：同旁内角互补，两直线平行可得①能判定AB∥CD；
根据内错角相等，两直线平行可得③能判定AB∥CD；
根据同位角相等，两直线平行可得④能判定AB∥CD．
【解答】解：①∵∠B+∠BCD＝180°，
∴AB∥CD；
②∵∠1＝∠2，
∴AD∥CB；
③∵∠3＝∠4，
∴AB∥CD；
④∵∠B＝∠5，
∴AB∥CD，
故答案为：①③④．
【点评】此题主要考查了平行线的判定，关键是熟练掌握平行线的判定定理．
15．（2021春•郾城区期末）如图，直线AB，CD相交于O，若∠EOC：∠EOD＝4：5，OA平
分∠EOC，则∠BOE＝ 140 ° ．
【分析】直接利用平角的定义得出：∠COE＝80°，∠EOD＝100°，进而结合角平分线的定义
得出∠AOC＝∠BOD，进而得出答案．
【解答】解：∵∠EOC：∠EOD＝4：5，
∴设∠EOC＝4x，∠EOD＝5x，
故4x+5x＝180°，
解得：x＝20°，
可得：∠COE＝80°，∠EOD＝100°，
∵OA平分∠EOC，
∴∠COA＝∠AOE＝40°，
∴∠BOE＝180°﹣∠AOE＝140°．
故答案为：140°【点评】此题主要考查了角平分线的定义以及邻补角，正确把握相关定义是解题关键
16．（2019春•无棣县期末）在一平面中，两条直线相交有一个交点；三条直线两两相交最多有
3个交点；四条直线两两相交最多有6个交点……当相交直线的条数从2至n变化时，最多可
有的交点数P与直线条数n之间的关系如下表：
直线条数n/条 2 3 4 5 6 7 8 …
最多交点个数p/个 1 3 6 10 … … … …
则n与p的关系式为： p ＝ n （ n ﹣ 1 ） ．
【分析】根据题意，3条直线相交最多有3个交点，4条直线相交最多有6个交点，5条直线
相交最多有10个交点．而3＝1+2，6＝1+2+3，10＝1+2+3+4，故可猜想，n条直线相交，最
多有1+2+3+…+（n﹣1）＝ n（n﹣1）个交点．
【解答】解：∵3条直线相交最多有3个交点，4条直线相交最多有6个交点．
而3＝1+2，6＝1+2+3，10＝1+2+3+4，
∴可猜想，n条直线相交，最多有1+2+3+…+（n﹣1）＝ n（n﹣1）个交点．
即p＝ n（n﹣1），
故答案为：p＝ n（n﹣1）．
【点评】本题主要考查了相交线，此题着重培养学生的观察、实验和猜想、归纳能力，掌握
从特殊向一般猜想的方法．
17．（2019春•义安区期末）如图，现给出下列条件：①∠1＝∠2，②∠B＝∠5，③∠3＝∠4，
④∠5＝∠D，⑤∠B+∠BCD＝180°，其中能够得到AD∥BC的条件是 ①④ ．（填序
号）
能够得到AB∥CD的条件是 ②③⑤ ．（填序号）
【分析】同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，
据此进行判断即可．
【解答】解：∵①∠1＝∠2，
∴AD∥BC；
②∵∠B＝∠5，
∴AB∥DC；
③∵∠3＝∠4，∴AB∥CD；
④∵∠5＝∠D，
∴AD∥BC；
⑤∵∠B+∠BCD＝180°，
∴AB∥CD，
∴能够得到AD∥BC的条件是①④，能够得到AB∥CD的条件是②③⑤，
故答案为：①④，②③⑤．
【点评】本题主要考查了平行线的判定，解题时注意：同位角相等，两直线平行；内错角相
等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．
18．（2019•丹东模拟）将一张矩形纸片ABCD沿直线EF折成如图所示的形状，若∠HED＝50°，
则∠EFG＝ 65 ° ．
【分析】设∠EFG＝ ，则由折叠可得∠BFE＝ ，再根据平行线的性质，即可得出∠DEF＝
∠BFE＝ ，∠FEH＝ +50°，依据∠AED＝180°，可得 +50°+ ＝180°，进而得出∠EFG＝65°．
α α
【解答】解：设∠EFG＝ ，则由折叠可得∠BFE＝ ，
α α α α
∵AD∥BC，
α α
∴∠DEF＝∠BFE＝ ，∠FEH＝ +50°，
由折叠可得∠AEF＝∠HEF＝ +50°，
α α
又∵∠AED＝180°，
α
∴ +50°+ ＝180°，
解得 ＝65°，
α α
∴∠EFG＝65°，
α
故答案为：65°．
【点评】本题考查了矩形的性质、平行线的性质、折叠的性质等知识；熟练掌握矩形的性质
和折叠的性质是解决问题的关键．
三．解答题（共8小题）
19．（2021秋•无锡期末）如图，直线AB和CD相交于点O，OE把∠AOC分成两部分，且
∠AOE：∠EOC＝2：3，OF平分∠BOE．
（1）若∠BOD＝65°，求∠BOE．
（2）若∠AOE＝ ∠BOF﹣10°，求∠COE．【分析】（1）根据对顶角的定义，由∠AOC与∠BOD是对顶角，得∠AOC＝∠BOD＝65°．
由∠AOE：∠EOC＝2：3，求得∠AOE＝ ＝26°．根据邻补角的定义，得∠BOE＝
180°﹣∠AOE＝154°．
（2）设∠AOE＝2x，∠EOC＝3x．由∠AOE＝ ∠BOF﹣10°，得∠BOF＝4x+20°．根据角平
分线的定义，由OF平分∠BOE，得∠BOE＝2∠BOF＝8x+40°．根据邻补角的定义，得
∠AOE+∠BOE＝2x+8x+40°＝180°，进而解决此题．
【解答】解：（1）∵∠AOC与∠BOD是对顶角，
∴∠AOC＝∠BOD＝65°．
∵∠AOE：∠EOC＝2：3，
∴∠AOE＝ ＝26°．
∴∠BOE＝180°﹣∠AOE＝180°﹣26°＝154°．
（2）设∠AOE＝2x，∠EOC＝3x．
∵∠AOE＝ ∠BOF﹣10°，
∴∠BOF＝4x+20°．
∵OF平分∠BOE，
∴∠BOE＝2∠BOF＝8x+40°．
∴∠AOE+∠BOE＝2x+8x+40°＝180°．
∴x＝14°．
∴∠COE＝3x＝42°．
【点评】本题主要考查对顶角、邻补角、角平分线，熟练掌握对顶角、邻补角、角平分线的
定义是解决本题的关键．
20．（2021秋•宁德期末）如图，已知△ABC，点D，E分别在AB，AC上，EF平分∠DEC交
BC于点F．
（1）如图1，当DE∥BC，且∠AED＝58°时，求∠EFC；
（2）如图2，连接BE，当DE＝DB时，完成以下问题：
①若∠AED＝64°，且∠A＝62°，求∠BEF；
②判断∠BEF与∠A的数量关系，并说明理由．【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠CEF＝ DEC＝61°，根据平行线的性质得到∠C
＝∠AED＝58°，于是得到∠EFC＝180°﹣∠C﹣∠CEF＝61°；
（2）①根据三角形的内角和定理得到∠ADE＝180°﹣∠A﹣∠AED＝52°，根据等腰三角形的
性质得到∠DBE＝∠DEB，根据三角形外角的性质得到∠DEB＝ ∠ADE＝26°，根据角平分
线的定义即可得到结论；
②设∠AED＝ ，∠A＝ ，根据三角形内角和定理得到∠ADE＝180°﹣∠A﹣∠AED＝180°﹣
α β
﹣ ，根据三角形外角的性质得到∠DEB＝ ∠ADE＝90°﹣ （ + ），根据角平分线的定
α β α β
义得到∠DEF＝ DEC＝ （180°﹣ ）＝90°﹣ ，于是得到结论．
【解答】解：（1）∵∠AED＝58°，
α
∴∠DEC＝180°﹣∠AED＝122°，
∵EF平分∠DEC，
∴∠CEF＝ DEC＝61°，
∵DE∥BC，
∴∠C＝∠AED＝58°，
∴∠EFC＝180°﹣∠C﹣∠CEF＝61°；
（2）①∵∠AED＝64°，∠A＝62°，
∴∠ADE＝180°﹣∠A﹣∠AED＝54°，
∵BD＝DE，
∴∠DBE＝∠DEB，
∵∠ADE＝∠DBE+∠DEB，
∴∠DEB＝ ∠ADE＝27°，
∵∠DEC＝180°﹣∠AED＝180°﹣64°＝116°，
∵EF平分∠DEC，
∴∠DEF＝ DEC＝ 116°＝58°，∴∠BEF＝∠DEF﹣∠DEB＝58°﹣27°＝31°；
②∠BEF＝ ∠A，
理由：设∠AED＝ ，∠A＝ ，
∴∠ADE＝180°﹣∠A﹣∠AED＝180°﹣ ﹣ ，
α β
∵BD＝DE，
α β
∴∠DBE＝∠DEB，
∵∠ADE＝∠DBE+∠DEB，
∴∠DEB＝ ∠ADE＝90°﹣ （ + ），
∵∠DEC＝180°﹣∠AED＝180°﹣ ，
α β
∵EF平分∠DEC，
α
∴∠DEF＝ DEC＝ （180°﹣ ）＝90°﹣ ，
α
∴∠BEF＝∠DEF﹣∠DEB＝90°﹣ ﹣[90°﹣ （ + ）]＝ ，
α β β
即∠BEF＝ ∠A．
【点评】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形的没结婚的了，熟练掌握平行
线的性质是解题的关键．
21．（2021秋•沙坪坝区期末）如图，AB∥CD，点E是AB上一点，连结CE．
（1）如图1，若CE平分∠ACD，过点E作EM⊥CE交CD于点M，试说明∠A＝2∠CME；
（2）如图2，若AF平分∠CAB，CF平分∠DCE，且∠F＝70°，求∠ACE的度数；
（3）如图3，过点E作EM⊥CE交∠DCE的平分线于点M，MN⊥CM交AB于点N，
CH⊥AB，垂足为H．若∠ACH＝ ∠ECH，请直接写出∠MNB与∠A之间的数量关系．
【分析】（1）利用平行线的性质和角平分线的定义分别计算∠A与∠CME，即可得出结论；
（2）过点F作FM∥AB，利用平行线的性质和角平分线的定义和（1）的结论解答即可；
（3）延长CM交AN的延长线于点F，设∠ACH＝x，则∠ECH＝2x，ECM＝∠DCM＝y，利
用垂直的定义得到x+y＝45°；利用三角形的内角和定理分别用x，y的代数式表示出∠MNB与
∠A，计算∠MNB+∠A即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵EM⊥CE，∴∠CEM＝90°．
∵∠AEC+∠CEM+∠BEM＝180°，
∴∠AEC+∠BEM＝90°．
∵AB∥CD，
∴∠AEC＝∠ECD，∠CME＝∠BEM．
∴∠ECD+∠CME＝90°．
∴2∠ECD+2∠CME＝180°．
∵CE平分∠ACD，
∴ACD＝2∠ECD．
∴∠ACD+2∠CME＝180°．
∵AB∥CD，
∴∠ACD+∠A＝180°．
∴∠A＝2∠CME．
（2）解：过点F作FM∥AB，如图，
∵AB∥CD，
∴FM∥AB∥CD．
∴∠AFM＝∠BAF，∠CFM＝∠DCF．
∴∠AFM+∠CFM＝∠BAF+∠DCF．
即∠AFC＝∠BAF+∠DCF．
∵AF平分∠CAB，CF平分∠DCE，
∴∠CAB＝2∠BAF，∠DCE＝2∠DCF．
∴∠CAB+∠DCE＝2（∠BAF+∠DCF）＝2∠AFC．
∵∠AFC＝70°，
∴∠CAB+∠DCE＝140°．
∵AB∥CD，
∴∠CAB+∠ACE+∠DCE＝180°．
∴∠ACE＝180°﹣（∠CAB+∠DCE）
＝180°﹣140°
＝40°．
（3）∠MNB与∠A之间的数量关系是：∠MNB＝135°﹣∠A．
延长CM交AN的延长线于点F，如图，∵MN⊥CM，
∴∠NMF＝90°．
∴∠MNB＝90°﹣∠F．
同理：∠HCF＝90°﹣∠F．
∴∠MNB＝∠HCF．
∵∠ACH＝ ∠ECH，
∴设∠ACH＝x，则∠ECH＝2x．
∵CM平分∠DCE，
∴设∠ECM＝∠DCM＝y．
∴∠MNB＝∠HCF＝2x+y．
∵AB∥CD，CH⊥AB，
∴CH⊥CD．
∴∠HCD＝90°．
∴∠ECH+∠ECD＝90°．
∴2x+2y＝90°．
∴x+y＝45°．
∵CH⊥AB，
∴∠A＝90°﹣∠ACH＝90°﹣x．
∴∠A+∠MNB＝90°﹣x+2x+y＝90°+x+y＝135°．
∴∠MNB＝135°﹣∠A．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，垂线的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定
义，平角的意义，过点F作FM∥AB是解题的关键．
22．（2021秋•黔江区期末）（1）如图1，已知AB∥CD，则∠AEC＝∠BAE+∠DCE成立吗？请
说明理由；
（2）如图2，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE、DE所在直线交于点E，
若∠FAD＝60°，∠ABC＝40°，求∠BED的度数；
（3）如图3，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE、DE所在直线交于点E，
若∠FAD＝ ，∠ABC＝ ，请你求出∠BED的度数（用含 ， 的式子表示）．
α β α β【分析】（1）过点E作EF∥AB，从而得EF∥CD，由平行线的性质可得∠1＝∠BAE，∠2＝
∠DCE，从而可求解；
（2）过点E作EH//AB，由平行线的性质可得∠FAD＝∠ADC＝60°，再由角平分线的定义得
∠EDC＝30°，从而可求∠ABE＝20°，则可求∠BED的度数；
（3）过点E作EG//AB，由角平分线的定义得 ，
，再由平行线的性质得到AB//CD//EG，从而可求得∠BED．
【解答】解：（1）成立，
理由：如图1中，作EF//AB，则有EF//CD，
∴∠1＝∠BAE，∠2＝∠DCE，
∴∠AEC＝∠1+∠2＝∠BAE+∠DCE；
（2）如图2，过点E作EH//AB，
∵AB//CD，∠FAD＝60°，
∴∠FAD＝∠ADC＝60°，
∵DE平分∠ADC，∠ADC＝60°，
∴ ，
∵BE平分∠ABC，∠ABC＝40°，
∴ ，
∵AB//CD，
∴AB//CD//EH，
∴∠ABE＝∠BEH＝20°，∠CDE＝∠DEH＝30°，
∴∠BED＝∠BEH+∠DEH＝50°．
（3）如图3，过点E作EG//AB，
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝ ，∠ADC＝∠FAD＝ ，
β α
∴ ， ，
∵AB//CD，
∴AB//CD//EG，∴ ， ，
∴ ．
【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质并灵活运用．
23．（2021秋•济阳区期末）如图，AB∥CD，定点E，F分别在直线AB，CD上，在平行线AB，
CD之间有一个动点P，满足0°＜∠EPF＜180°．
（1）试问：∠AEP，∠CFP，∠EPF满足怎样的数量关系？
解：由于点P是平行线AB，CD之间一动点，因此需对点P的位置进行分类讨论．
①如图1，当点P在EF的左侧时，猜想∠AEP，∠CFP，∠EPF满足的数量关系，并说明理
由；
②如图2，当点P在EF的右侧时，直接写出∠AEP，∠CFP，∠EPF满足的数量关系为
∠ AEP + ∠ EPF + ∠ PFC ＝ 360 ° ．
（2）如图3，QE，QF分别平分∠PEB，∠PFD，且点P在EF左侧．
①若∠EPF＝100°，则∠EQF的度数为 130 ° ；
②猜想∠EPF与∠EQF的数量关系，并说明理由．【分析】（1）①过点P作PH∥AB，利用平行线的性质即可求解；②过点P作PH∥AB，利
用平行线的性质即可求解；
（2）①根据（1）的结论，结合角平分线的定义可求解；
②设：∠BEQ＝∠QEP＝ ，∠QFD＝∠PFQ＝ ，则可求∠P，∠Q，即可求解．
【解答】解：（1）①如图1，当点P在EF的左侧时，过点P作PH∥AB，则PH∥CD，
α β
∴∠AEP＝∠EPH，∠FPH＝∠CFP，
∴∠EPF＝∠EPH+∠FPH＝∠AEP+∠CFP，
当点P在EF的右侧时，过点P作PM∥AB，则PM∥CD，
∴∠AEP+∠EPM＝180°，∠PFC+∠MPF＝180°，
∴∠AEP+∠EPM+∠PFC+∠MPF＝360°，
即，∠AEP+∠EPF+∠PFC＝360°；
故答案为：∠AEP+∠EPF+∠PFC＝360°；
（2）①∠EPF＝100°，则∠EQF＝130°，
由（1）知∠PEA+∠PFC＝∠EPF＝100°，∵QE，QF分别平分∠PEB和∠PFD，
∴∠PFC+2∠DFQ＝180°，∠PEA+2∠BEQ＝180°，
故∠DFQ+∠BEQ＝130°＝∠EQF，
故答案为130°；
②∠EPF+2∠EQF＝360°．
理由：如图3，QE，QF分别平分∠PEB和∠PFD，
设：∠BEQ＝∠QEP＝ ，∠QFD＝∠PFQ＝ ，
则∠P＝180°﹣2 +180°﹣2 ＝360°﹣2（ + ），
α β
∠Q＝ + ，
α β α β
即：∠EPF+2∠EQF＝360°．
α β
【点评】本题主要考查了平行线的性质，平行公理和及推论等知识点，作辅助线后能求出各
个角的度数，是解此题的关键．
24．（2021秋•朝阳区校级期末）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图1方式
叠放在一起，其中∠A＝60°，∠D＝30°，∠E＝∠B＝45°．
（1）若∠1＝25°，则∠2的度数为 65 ° ；
（2）直接写出∠1与∠3的数量关系： ∠ 1 ＝∠ 3 ；
（3）直接写出∠2与∠ACB的数量关系： ∠ 2+ ∠ ACB ＝ 180 ° ；
（4）如图2，当∠ACE＜180°且点E在直线AC的上方时，将三角尺ACD固定不动，改变三
角尺BCE的位置，但始终保持两个三角尺的顶点C重合，这两块三角尺是否存在一组边互相
平行？请直接写出∠ACE角度所有可能的值 30 ° 或 45 ° 或 120 ° 或 135 ° 或 165 ° ．
【分析】（1）结合图可知∠1+∠2＝90°，从而可求解；
（2）利用∠ACD＝∠BCE＝90°，从而可求得∠1＝∠3；
（3）结合图形可得∠ACB＝∠1+∠2+∠3，则可求解；
（4）分5种情况进行讨论：①BC∥AD；②BE∥AC；③AD∥CE；④BE∥CD；
⑤BE∥AD，结合平行线的判定与性质进行求解即可．
【解答】解：（1）∵∠1＝25°，∠ACD＝90°，
∴∠2＝∠ACD﹣∠1＝65°，
故答案为：65°；（2）∵∠1+∠2＝∠ACD＝90°，∠2+∠3＝∠BCE＝90°，
∴∠1+∠2＝∠2+∠3，
∴∠1＝∠3，
故答案为：∠1＝∠3；
（3）∵∠ACD＝∠BCE＝90°，
∴∠ACB+∠2
＝∠1+∠2+∠3+∠2
＝∠ACD+∠BCE
＝180°，
即∠2+∠ACB＝180°，
故答案为：∠2+∠ACB＝180°；
（4）存在，
①当BC∥AD时，
∵BC∥AD，
∴∠BCD＝∠D＝30°，
∴∠ACB＝90°+30°＝120°，
∴∠ACE＝∠ACB﹣∠BCE＝120°﹣90°＝30°；
②当BE∥AC时，如图，
∵BE∥AC，
∴∠ACE＝∠E＝45°；
③当AD∥CE时，如图，
∵AD∥CE，
∴∠DCE＝∠D＝30°，∴∠ACE＝90°+30°＝120°；
④当BE∥CD时，如图，
∵BE∥CD，
∴∠DCE＝∠E＝45°，
∴∠ACE＝∠ACD+∠DCE＝135°；
⑤当BE∥AD时，如图，
过点C作CF∥AD，
∵BE∥AD，CF∥AD，
∴BE∥AD∥CF，
∴∠ECF＝∠E＝45°，∠DCF＝∠D＝30°，
∴∠DCE＝30°+45°＝75°，
∴∠ACE＝90°+75°＝165°．
综上所述：当∠ACE＝30°或45°或120°或135°或165°时，有一组边互相平行．
故答案为：30°或45°或120°或135°或165°．
【点评】本题考查的是平行线的判定与性质等知识，解题的关键是熟练掌握平行线的判定与
性质，注意利用两角互余的性质，角的和差进行计算．
25．（2020秋•建湖县期末）已知直线AB和CD交于点O，∠AOC＝ ，∠BOE＝90°，OF平分
∠AOD．
α
（1）当 ＝30°时，则∠EOC＝ 6 0 °；∠FOD＝ 7 5 °．
（2）当 ＝60°时，射线OE′从OE开始以12°/秒的速度绕点O逆时针转动，同时射线OF′
α
α从OF开始以8°/秒的速度绕点O顺时针转动，当射线OE′转动一周时射线OF′也停止转动，
求经过多少秒射线OE′与射线OF′第一次重合？
（3）在（2）的条件下，射线OE′在转动一周的过程中，当∠E′OF′＝90°时，请直接写
出射线OE′转动的时间为 3 或 1 2 或 2 1 或 3 0 秒．
【分析】（1）利用互余和互补的定义可得：∠EOC与∠FOD的度数．
（2）先根据 ＝60°，求∠EOF＝150°，则射线OE'、OF'第一次重合时，其OE'运动的度数
+OF'运动的度数＝150，列式解出即可；
α
（3）分两种情况：在直线OE的左边和右边，根据其夹角列4个方程可得时间．
【解答】解：（1）∵∠BOE＝90°，
∴∠AOE＝90°，
∵∠AOC＝ ＝30°，
∴∠EOC＝90°﹣30°＝60°，
α
∠AOD＝180°﹣30°＝150°，
∵OF平分∠AOD，
∴∠FOD＝ ∠AOD＝ ＝75°；
故答案为：60，75；
（2）当 ＝60°，∠EOF＝90°+60°＝150°
设当射线OE'与射线OF'重合时至少需要t秒，
α
12t+8t＝90+（180﹣60）× ＝150，
t＝7.5，
答：当射线OE'与射线OF'重合时至少需要7.5秒；
（3）设射线OE'转动的时间为t秒，
由题意得：12t+90+8t＝150或12t+8t＝150+90或360﹣12t＝8t﹣150+90或360﹣12t+360﹣
8t+90＝360﹣150，
t＝3或12或21或30．
故射线OE'转动的时间为3或12或21或30秒．
故答案为：3或12或21或30．
【点评】本题考查了对顶角相等，邻补角互补的定义，角平分线的定义，角的计算，第三问有难度，熟记性质是解题的关键，难点在于要分情况讨论．
26．（2020秋•北仑区期末）如图1，点O在直线AB上，过点O引一条射线OC，使∠AOC＝
50°，将一个直角三角尺的直角顶点放在点O处，直角边OM在射线OB上，另一边ON在直
线AB的下方．
【操作一】：将图1中的三角尺绕着点O以每秒15°的速度按顺时针方向旋转．当它完成旋转
一周时停止，设旋转的时间为t秒．
（1）∠BOC的度数是 130 ° ，图1中与它互补的角是 ∠ AOC ．
（2）三角尺旋转的度数可表示为 1 5 t 度或 15 ° t （用含t的代数式表示）：当t＝ 或
时，MO⊥OC．
【操作二】：如图2将一把直尺的一端点也放在点O处，另一端点E在射线OC上．如图3，
在三角尺绕着点O以每秒15°的速度按顺时针方向旋转的同时，直尺也绕着点O以每秒5°的
速度按顺时针方向旋转，当一方完成旋转一周时停止，另一方也停止旋转，设旋转的时间为t
秒．
（3）当t为何值时，OM⊥OE，并说明理由？
（4）试探索：在三角尺与直尺旋转的过程中，当0≤t≤ ，是否存在某个时刻，使得
∠COM与∠COE中其中一个角是另一个角的两倍？若存在，请求出所有满足题意的t的值；
若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用邻补角的定义解答即可；
（2）利用旋转的角度等于每秒旋转的角度数乘以旋转的时间就是即可；分两种情况令旋转的
角度为40°或220°即可求得结论；
（3）分两种情况：①当OM在OE左侧时，②当OM在OE右侧时，分别用含t的代数式表
示出OM，OE旋转的度数，利用∠MOE＝90°列出方程，解方程即可求得结论；
（4）利用分类讨论的思想方法分两种情况：①当OM在OC左侧时，②当OM在OC右侧时，分别用含t的代数式表示出∠COM与∠COE的度数，利用∠COM：∠COE＝2或∠COM：
∠COE＝ ，列出方程，解方程即可求得结论．
【解答】解：（1）∵∠AOC＝50°，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝130°；
∵∠AOC与∠BOC为邻补角，
∴图1中于∠BOC互补的角为∠AOC．
故答案为：130°；∠AOC；
（2）∵三角尺旋转的度数等于每秒旋转的角度数乘以旋转的时间，
∴三角尺旋转的度数可用15t度或15°t表示，
故答案为：15t度或15°t；
若MO⊥OC，则OM需旋转40°或220°，
∴15t＝40或15t＝220，
解得：t＝ 或t＝ ．
故答案为： 或t＝ ．
（3）①如图①当OM在OE左侧时，∠BOE＝（130+5t）度，∠BOM＝15t度．
∵OM⊥OE，
∴∠MOE＝90°．
由题意得：130+5t＝90+15t，
解得：t＝4．
②如图②当OM在OE右侧时，三角尺旋转的角度为15t度，直尺旋转的角度为5t度．
∵OM⊥OE，
∴∠MOE＝90°．由题意得：130+5t+90＝15t，
解得：t＝22．
综上所述，当t＝4或22时，OM⊥OE．
（4）当OM在OC左侧时，
（ⅰ）∠COM：∠COE＝2：1，如图，
由题意得：2×5t＝130﹣15t，
解得： ．
（ⅱ）∠COM：∠COE＝1：2，如图，
由题意得：5t＝2（130﹣15t），
解得： ．
②当OM在OC右侧时，
（ⅰ）∠COM：∠COE＝1：2，如图，
由题意得：15t＝2（15t﹣130），
解得： ．
（ⅱ）∠COM：∠COE＝2：1，因为 ，所以不存在．
∴综上所述，当 或 或 时两个角其中一个是另一个的两倍．
【点评】本题主要考查了余角和补角的性质，角平分线的定义，垂直的性质，图象的旋转，
由题意用含t的代数式表示出相应角度的值是解题的关键．
