文档内容
第 3 章变量之间的关系（单元基础卷）
（满分100分，完卷时间90分钟）
考生注意：
1．本试卷含三个大题，共24题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，
在草稿纸、本试卷上答题一律无效．
2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出解题的
主要步骤．
一、仔细选一选（本题共10题，每小题3分，共30分。每小题给出的四个选项中，只有一个是
正确的，请选出正确的选项。注意可以用多种不同的方法来选取正确的答案）
1．如图所示，有一个容器水平放置，往此容器内注水，注满为止．若用h（单位：cm）表示容
器底面到水面的高度，用V（单位：cm3）表示注入容器内的水量，则表示V与h的函数关系
的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据V与h不成一次函数关系，故图象没有直线部分排除CD选项，再根据越往上体
积越小排除A即可．
【解答】解：由题知，随高度的增加上底面越来越小，故V与h函数图象不会出现直线，排
除CD选项，
随着高度的增加h越大体积变化越缓慢，故排除A选项，
故选：B．
【点评】本题主要考查函数图象的知识，根据V与h的变化规律排除不合适的选项是解题的
关键．
2．在实验课上，小亮利用同一块木板测得小车从不同高度（h）与下滑的时间（t）的关系如下
表：
支撑物高h 10 20 30 40 50 …（cm）
下滑时间t（s） 3.25 3.01 2.81 2.66 2.56 …
以下结论错误的是（ ）
A．当h＝40时，t约2.66秒
B．随高度增加，下滑时间越来越短
C．估计当h＝80cm时，t一定小于2.56秒
D．高度每增加了10cm，时间就会减少0.24秒
【分析】根据表格中数量的变化情况，分别进行判断即可．
【解答】解：当支撑物高度从10cm升高到20cm，下滑时间的减少0.24s，
从20cm升高到30cm时，下滑时间就减少0.2s，
从30cm升高到40cm时，下滑时间就减少0.15s，
从40cm升高到50cm时，下滑时间就减少0.1s，
因此，“高度每增加了10cm，时间就会减少0.24秒”是错误的，
故选：D．
【点评】本题考查变量之间的关系，理解表格中两个变量之间的变化关系是正确判断的前提．
3．水中涟漪（圆形水波）不断扩大，记它的半径为r，圆周长为C，圆周率（圆周长与半径之
比）为 ．则这个问题的变量是（ ）
A． B．r C．C D．r，C
π
【分析】根据函数的定义：函数中的每个值x，变量y按照一定的法则有一个确定的值y与之
π
对应来解答．
【解答】解：自变量是圆的半径r，因变量是圆的周长C，
故选：D．
【点评】本题考查了函数的定义：设x和y是两个变量，若对于每个值x，变量y按照一定的
法则有一个确定的值y与之对应，称变量y为变量x的函数；
变量：在一程序变化过程中随时可以变化的量．
常量：在一程序变化过程中此量的数值始终是不变的．
因变量：在一程序变化过程中随自变量变化的量．
4．某油箱容量为60升的汽车，加满汽油后行驶了100千米时，油箱中的汽油大约消耗了 ，如
果加满汽油后汽车行驶的路程为x千米，油箱中剩余油量为y升，则y与x之间的函数关系式
是（ ）
A．y＝0.12x B．y＝60+0.12x
C．y＝﹣60+0.12x D．y＝60﹣0.12x
【分析】先求出1千米的耗油量，再求行驶x千米的耗油量，最后求油箱中剩余的油量即可．
【解答】解：∵60× ÷100＝0.12（升/千米），
∴y＝60﹣0.12x，故选：D．
【点评】本题考查了函数关系式，求出1千米的耗油量是解题的关键．
5．根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入x的值为1，则输出y的值为2；若输入x的值
为﹣2，则输出y的值为（ ）
A．﹣8 B．﹣4 C．4 D．8
【分析】根据x的范围选择程序，进行计算即可．
【解答】解：∵由题意得：
把x＝1，y＝2，代入y＝ax2+2bx中可得：
a+2b＝2，
把x＝﹣2入y＝﹣ax2+4bx中可得：
y＝﹣4a﹣8b
＝﹣4（a+2b）
＝﹣4×2
＝﹣8，
故选：A．
【点评】本题考查了函数值，根据x的范围选择程序，进行计算是解题的关键．
6．为了节约水资源，自来水公司按分段收费标准收费，如图所示反映的是每月收取水费y（元）
与用水量x（吨）之间的函数关系．按照分段收费标准，小颖家三、四月份分别交水费29元
和19.8元，则四月份比三月份节约用水（ ）
A．2吨 B．2.5吨 C．3吨 D．3.5吨
【分析】先设函数解析式，然后看图将对应值代入其中求出常数项，即可得到函数解析式，
根据函数解析式求出四月份的水量，三月份水量可直接求，那么四月份比三月份节约用水多
少可求出．
【解答】解：当x＜10时，设y＝mx，
将点（10，22）代入可得：22＝10k，
解得：k＝2.2，
即可得：y＝2.2x，当x≥10时，设y与x的函数关系式为：y＝kx+b（k≠0），
当x＝10时，y＝22，当x＝20时，y＝57，
将它们分别代入y＝kx+b中得： ，
解得： ，
那么y与x的函数关系式为：y＝3.5x﹣13，
综上可得：y＝ ，
当y＝29时，知道x＞10，将y＝29代入得29＝3.5x﹣13，
解得x＝12，
当y＝19.8时，知道x＜10，将y＝19.8代入得19.8＝2.2x，
解得：x＝9，
即可得四月份比三月份节约用水：12﹣9＝3（吨）．
故选：C．
【点评】本题考查了识别函数图象的能力，是一道较为简单的题，观察图象提供的信息，再
分析10吨水以内和超过10吨水价格的不同分别求出解析式．
7．如图，李爷爷要围一个长方形菜园ABCD，菜园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成的另外
三边的总长恰好为24m，设边BC的长为xm，边AB的长为ym（x＞y）．则y与x之间的函数
表达式为（ ）
A．y＝﹣2x+24（0＜x＜12） B．y＝﹣ x+12（8＜x＜24）
C．y＝2x﹣24（0＜x＜12） D．y＝ x﹣12（8＜x＜24）
【分析】根据菜园的三边的和为24m，进而得出一个x与y的关系式即可．
【解答】解：根据题意得，菜园三边长度的和为24m，
即2y+x＝24，
所以y＝﹣ x+12，
由y＞0得，﹣ x+12＞0，即x＜24，
当x＞y时，即x＞﹣ x+12，解得x＞8，所以8＜x＜24，
故选：B．
【点评】本题考查函数的关系式，理解题目中的数量关系，即菜园三边的长度和为24m是解
决问题的前提．
8．下列图象中表示y是x的函数的有几个（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据函数的概念，对应x的每一个值，y都有唯一的值与它对应判断即可．
【解答】解：根据函数的概念，可知：
图1和图4不能表示y是x的函数，图2和图3能表示y是x的函数，
∴上列图象中表示y是x的函数的有2个，
故选：B．
【点评】本题考查了函数的概念，熟练掌握函数的概念，对应x的每一个值，y都有唯一的值
与它对应是解题的关键．
9．函数y＝ 中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x＞﹣3 B．x≥﹣3且x≠2 C．x≠2 D．x＞﹣3且x≠2
【分析】根据分母不为0，被开方数大于等于0进行计算即可．
【解答】解：由题意得：
x+3≥0且x﹣2≠0，
∴x≥﹣3且x≠2，
故选：B．
【点评】本题考查了自变量的取值范围，熟练掌握此函数关系式中分母不为0，被开方数大于
等于0是解题的关键．
10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8，E是△ABC边上一动点，沿
A→C→B的路径移动，过点E作ED⊥AB，垂足为D．设AD＝x，△ADE的面积为y，则下列
能大致反映y与x函数关系的图象是（ ）A． B．
C． D．
【分析】由勾股定理可得BC＝6，根据点E的运动，需要分段讨论：当点E在AC上时，0≤
≤8，即0≤x≤6.4，易证△ADE∽△ACB，由AD＝x，可得AE＝ ，DE＝ x；根据三
角形面积公式得到；当点E在BC上时，6.4＜x≤10，根据三角形面积公式得到y与x的关系，
再结合选项判断即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8，
由勾股定理可得BC＝6，
根据点E的运动，需要分段讨论：
①当点E在AC上时，如图，
∵DE⊥AB，
∴∠ADE＝∠C＝90°，
∵∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ACB，
∴AD：DE：AE＝AC：BC：AB＝4：3：5，
∵AD＝x，
∴AE＝ ，DE＝ x；
此时0≤ ≤8，即0≤x≤6.4，
∴y＝ •x• x＝ x2；是开口向上的一段抛物线；排除A，B，
当点E在BC上时，6.4＜x≤10，如图，
∵∠BDE＝∠ACB＝90°，∠B＝∠B，
∴△BDE∽△BCA，
∴DE：BD：BE＝AC：BC：AB＝4：3：5，
∵AD＝x，
∴BD＝10﹣x，∴
∴DE＝ （10﹣x），∴y＝ • （10﹣x）•x＝﹣ x2+ x，开口向下的抛物线，
故选：D．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象：函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，
通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能
力．解决本题的关键是利用分类讨论的思想求出y与x的函数关系式．
二、认真填一填（本题有8个小题，每小题3分，共24分。注意认真看清题目的条件和要填写
的内容，尽量完整地填写答案）
11．在函数y＝ 中，自变量x的取值范围是 x ≥ 3 ．
【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．
【解答】解：根据题意得：x﹣3≥0且x﹣2≠0，
解得x≥3
∴自变量x的取值范围是x≥3．
故答案为：x≥3．
【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
12．已知f（x）＝ ，那么f（ ）＝ ．
【分析】将x＝ 代入函数表达式，化简即可．
【解答】解：由题意将x＝ 代入函数表达式，
则有： ．
故答案为： ．
【点评】本题考查函数求值问题，只需将自变量的取值代入函数表达式．13．已知函数y＝ ，若y＝2，则x＝ 2 ．
【分析】根据题意，进行分类解答，即可求值．
【解答】解：∵y＝2．
∴当x2＝2时，x＝ ．
∵0≤x＜1．
∴x＝ （舍去）．
当2x﹣2＝2时，x＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查根据函数值，求自变量的值．关键在于求出自变量的值一定要符合取值范
围．
14．某工程队为教学楼贴瓷砖，已知楼体外表面积为5×103m2．所需的瓷砖块数n与每块瓷砖的
面积S（单位：m2）的函数关系式为 n ＝ ．
【分析】根据“总面积除以每块瓷砖的面积等于瓷砖的块数”可得出关系式．
【解答】解：由总面积除以每块瓷砖的面积等于瓷砖的块数可得，
n＝ ＝ ，
故答案为：n＝ ．
【点评】本题考查函数关系式，理解题目中的数量关系是解决问题的关键．
15．如图所示：是一个运算程序示意图，若第一次输入1，则输出的结果是 1 1 ．
【分析】第一次输入x的值为1，计算出y＝6，选择否的程序；第二次输入x的值为2，计算
出y＝11，选择是的程序，输出即可．
【解答】解：当x＝1时，y＝1+2+3＝6，
∵6＜9，
∴选择否的程序，
当x＝2时，y＝4+4+3＝11，
∵11＞9，
∴选择是的程序，
故答案为：11．
【点评】本题考查了函数值，体现了分类讨论的数学思想，看懂程序图是解题的关键，注意第2次输入的x为2．
16．函数的主要表示方法有 列表法 、 图象法 、 解析式法 三种．
【分析】根据函数的三种表示法解答即可．
【解答】解：函数表示两个变量的变化关系，有三种方式：列表法、图象法、解析式法．
故答案为列表法、图象法、解析式法．
【点评】本题考查了函数的表示方法，不论何种形式，符合函数定义即可，函数的定义：设x
和y是两个变量，D是实数集的某个子集，若对于D中的每个值x，变量y按照一定的法则有
一个确定的值y与之对应，称变量y为变量x的函数，记作y＝f（x）．
17．某市出租车白天的收费起步价为7元，即路程不超过3千米时收费7元，超过部分每千米收
费1.2元，如果乘客白天乘坐出租车的路程为x（x＞3）千米，乘车费为y元，那么y与x之间
的关系为 y ＝ 1. 2 x +3. 4 ．
【分析】根据乘车费用＝起步价+超过3千米的费用即可得出．
【解答】解：依据题意得：y＝7+1.2（x﹣3）＝1.2x+3.4，
故答案为：y＝1.2x+3.4，
【点评】本题考查了根据实际问题列一次函数关系式．理解题意，找到等量关系是本题关键．
18．如图，在正方形ABCD中，AB＝2，点E在边BC上，点F在边AD的延长线上，AF＝EF，
设BE＝x，AF＝y，当0＜x＜2时，y关于x的函数解析式为 y ＝ （ 0 ＜ x ＜ 2 ） ．
【分析】由勾股定理表示AE，通过作垂线构造直角三角形，由等腰三角形的性质得出AM＝
ME，分别用含有x、y的代数式表示AM，AE，再根据相似三角形对应边成比例即可得出y与
x之间的函数关系式．
【解答】解：过点F作FM⊥AE，垂足为M，
∵AF＝EF，
∴AM＝ME，
在Rt△ABE中，
AE＝ ＝ ，
∴AM＝ ，
∵∠B＝∠AMF＝90°，∠FAM＝∠AEB，
∴△ABE∽△FMA，∴ ＝ ，
即 ＝ ，
∴xy＝ ，
即y＝ （0＜x＜2），
故答案为：y＝ （0＜x＜2）．
【点评】本题考查函数关系式，掌握等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质是解决问
题的关键．
三、全面答一答（本题有7个小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤。如
果觉得有的题目有点难，那么把自己能写出的解答写出一部分也可以）
19．为了解某种车的耗油量，我们对这种车在高速公路上做了耗油试验，并把试验的数据记录下
来，制成如表：
汽车行驶时间t（小时） 0 1 2 3 …
油箱剩余油量Q（升） 100 94 88 82 …
（1）如表反映的两个变量中，自变量是 汽车行驶时间 t ，因变量是 汽车油箱的剩余油
量 Q ．
（2）根据表可知，汽车行驶3小时时，该车油箱的剩余油量为 8 2 升，汽车每小时耗油
6 升．
（3）请直接写出两个变量之间的关系式（用t来表示Q）．
【分析】（1）根据变量的定义即可判断．
（2）当t＝0时，此时油箱剩余油量即为油箱大小，根据表格可知，1小时共耗油6升．
（3）根据（2）即可求出Q的关系式．
【解答】解：（ 1 ）由题意可知，自变量为汽车行驶时间t，因变量为汽车油箱的剩余油量
Q．
故答案为：汽车行驶时间t，汽车油箱的剩余油量Q．（ 2 ）由表格可知，当行驶3小时的时候，汽车油箱的剩余油量为82升，且汽车每行驶一小
时，耗油量为6升．
故答案为82，6．
（ 3 ）由表格可知，汽车一开始的油量为100升，每行驶一小时汽车耗油6升，则汽车油箱
刺余油量和汽车行驶时间的关系为Q＝100﹣6t．
故答案为Q＝100﹣6t．
【点评】本题考查函数关系，解题的关键是正确理解变量与常量，本题属于基础题型．
20．为了体验大学校园文化，小华利用周末骑电动车从家出发去西安交大，当他骑了一段路时，
想起要帮在交大读书的张浩买一本书，于是原路返回到刚经过的新华书店，买到书后继续前
往交大，如图是他离家的距离与时间的关系示意图，请根据图中提供的信息回答下列问题：
（1）小华家离西安交大的距离是多少？
（2）小华在新华书店停留了多长时间？
（3）买到书后，小华从新华书店到西安交大骑车的平均速度是多少？
（4）本次去西安交大途中，小华一共行驶了多少米？
【分析】（1）根据函数图象，可知小华家离西安交大的距离是4800米；
（2）由函数图象可知，16～24分钟的路程没变，所以小华在新华书店停留了
（3）小华从新华书店去西安交大的路程为4800﹣3000＝1800米，所用时间为28﹣24＝4分钟，
根据速度＝路程÷时间，即可解答；
（4）根据函数图象，可知本次去西安交大途中，小华一共行驶的路程．
【解答】解：（1）根据函数图象，可知小华家离西安交大的距离是4800米；
（2）24﹣16＝8（分钟）．
所以小华在新华书店停留了8分钟；
（3）小华从新华书店去西安交大的路程为4800﹣3000＝1800米，所用时间为28﹣24＝4分钟，
小华从新华书店到西安交大骑车的平均速度是：1800÷4＝450（米/分）；
（4）根据函数图象，小华一共行驶了4800+2×（4000﹣3000）＝6800（米）．
【点评】本题主要考查了函数图象的读图能力，要理解横纵坐标表示的含义以及小华的运动
过程是解题的关键．
21．“十一”期间，小明和父母一起开车到距家200千米的景点旅游，出发前，汽车油箱内储油
45升，当行驶150千米时，发现油箱余油量为30升（假设行驶过程中汽车的耗油量是均匀的）．
（1）求该车平均每千米的耗油量，并写出行驶路程x（千米）与剩余油量Q（升）的关系式；
（2）当x＝280（千米）时，求剩余油量Q的值；
（3）当油箱中剩余油量低于3升时，汽车将自动报警，如果往返途中不加油，他们能否在汽
车报警前回到家？请说明理由．
【分析】（1）根据平均每千米的耗油量＝总耗油量÷行驶路程即可得出该车平均每千米的耗
油量，再根据剩余油量＝总油量﹣平均每千米的耗油量×行驶路程即可得出Q关于x的函数关
系式；
（2）代入x＝280求出Q值即可；
（3）根据行驶的路程＝耗油量÷平均每千米的耗油量即可求出报警前能行驶的路程，与景点
的往返路程比较后即可得出结论．
【解答】解：（1）该车平均每千米的耗油量为（45﹣30）÷150＝0.1（升/千米），
行驶路程x（千米）与剩余油量Q（升）的关系式为Q＝45﹣0.1x；
（2）当x＝280时，Q＝45﹣0.1×280＝17（L）．
答：当x＝280（千米）时，剩余油量Q的值为17L．
（3）（45﹣3）÷0.1＝420（千米），
∵420＞400，
∴他们能在汽车报警前回到家．
【点评】本题考查了函数的关系式以及一次函数图象上点的坐标特征，根据数量关系列出函
数关系式是解题的关键．
22．“十一”期间，小明和父母一起开车到距家200km的景点旅游，出发前，汽车油箱内储油
45L，当行驶150km时，发现油箱余油量为30L．（假设行驶过程中汽车的耗油量是均匀的）
（1）求该车平均每千米的耗油量，并写出行驶路程x（km）与剩余油量Q（L）的关系式；
（2）当x＝280时，求剩余油量Q．
【分析】根据平均每千米的耗油量＝总耗油量÷行驶路程求解．
【解答】解：（1）该车平均每千米的耗油量为（45﹣30）÷150＝0.1（L/km），
行驶路程x（km）与剩余油量Q（L）的关系式为Q＝45﹣0.1x．
（2）当x＝280时，Q＝45﹣0.1×280＝17．
故当x＝280时，剩余油量Q为17L．
故答案为：（1）Q＝45﹣0.1x．（2）当x＝280时，剩余油量Q为17L．
【点评】本题考查一次函数的实际应用，根据数量关系列出解析式为解题关键．
23．如图，正方形ABCD的边长为6cm，动点P从A点出发，在正方形的边上由A→B→C→D运
动，设运动的时间为t（s），△APD的面积为S（cm2），S与t的函数图象如图所示（1）求点P在BC上运动的时间范围；
（2）当t为何值时，△APD的面积为10cm2．
【分析】（1）根据图象即可得出结果；
（2）分别求出点P在AB上时，△APD的面积为S＝3t；点P在BC时，△APD的面积为18；
点P在CD上时，△APD的面积为90﹣6t，根据题意得出方程求出t的值即可．
【解答】解：（1）根据图象得：点P在BC上运动的时间范围为6≤t≤12；
（2）点P在AB上时，△APD的面积S＝ ×6×t＝3t；
点P在BC时，△APD的面积＝ ×6×6＝18；
点P在CD上时，PD＝6﹣2（t﹣12）＝30﹣2t，△APD的面积S＝ AD•PD＝ ×6×（30﹣
2t）＝90﹣6t；
∴当0≤t≤6时，S＝3t，△APD的面积为10cm2，即S＝10时，
3t＝10，t＝ ，
当12≤t≤15时，90﹣6t＝10，t＝ ，
∴当t为 s或 s时，△APD的面积为10cm2．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象以及正方形的性质；解题的关键是要分析题意根据
实际意义求解．注意要把所有的情况都考虑进去，分情况讨论问题是解决实际问题的基本能
力．
24．下面的图象反映的过程是小明从家去菜地浇水，又去玉米地锄草，然后回家．其中x表示时
间，y表示小明离家的距离．根据图象回答问题：
（1）菜地离小明家多远？小明走到菜地用了多少时间？
（2）小明给菜地浇水用了多少时间？
（3）菜地离玉米地多远？小明从菜地到玉米地用了多少时间？
（4）小明给玉米锄草用了多少时间？
（5）玉米地离小明家多远？小明从玉米地走回家的平均速度是多少？【分析】（1）根据函数图象中的数据可以解答本题；
（2）根据函数图象中的数据可以解答本题；
（3）根据函数图象中的数据可以解答本题；
（4）根据函数图象中的数据可以解答本题；
（5）根据函数图象中的数据可以解答本题．
【解答】解：（1）由图象可得，
菜地离小明家1.1千米，小明走到菜地用了15分钟；
（2）小明给菜地浇水用了：25﹣15＝10分钟；
（3）菜地离玉米地：2﹣1.1＝0.9千米，小明从菜地到玉米地用了37﹣25＝12分钟；
（4）小明给玉米锄草用了55﹣37＝18分钟；
（5）玉米地离小明家2千米，小明从玉米地走回家的平均速度是2÷（80﹣55）＝0.08千
米/分钟．
【点评】本题考查函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合思想解答．
