文档内容
第 3 章变量之间的关系（压轴 30 题专练）
一．选择题（共11小题）
1．（2021春•德阳期末）某游客为爬上3千米高的山顶看日出，先用1小时爬了2千米，休息0.
5小时后，再用1小时爬上山顶．游客爬山所用时间t与山高h间的函数关系用图形表示是（
）
A． B．
C． D．
【分析】根据题意，第1小时高度上升至2千米，1到1.5小时，高度不变，应为平行于t轴的
线段，1.5小时之后1小时到达山顶，时间为2.5小时，高度为3千米．所以图象应是三条线
段，结合图象选取即可．
【解答】解：根据题意，先用1小时爬了2千米，是经过（0，0）到（1，1）的线段，
休息0.5小时，高度不变，是平行于t轴的线段，
用3小时爬上山顶，是经过（1.5，1），（2.5，3）的线段．
只有D选项符合．
故选：D．
【点评】本题考查了实际问题的函数图象，弄清楚游客爬山的具体过程是解本题的关键．
2．（2021•武昌区模拟）如图，某电信公司提供了A，B两种方案的移动通讯费用y（元）与通
话时间x（分）之间的关系，则下列结论中正确的有（ ）
（1）若通话时间少于120分，则A方案比B方案便宜20元；
（2）若通话时间超过200分，则B方案比A方案便宜12元；
（3）若通讯费用为60元，则B方案比A方案的通话时间多；
（4）若两种方案通讯费用相差10元，则通话时间是145分或185分．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据图象知道：在通话170分钟收费一样，在通话120时A收费30元，B收费50元，
其中A超过120分钟后每分钟加收0.4元，B超过200分钟加收每分钟0.4元，由此即可确定
有几个正确．
【解答】解：依题意得
A：（1）当0≤x≤120，y ＝30，
A
（2）当x＞120，y ＝30+（x﹣120）×[（50﹣30）÷（170﹣120）]＝0.4x﹣18；
A
B：（1）当0≤x＜200，y ＝50，
B
当x＞200，y ＝50+[（70﹣50）÷（250﹣200）]（x﹣200）＝0.4x﹣30，
B
所以当x≤120时，A方案比B方案便宜20元，故（1）正确；
当x≥200时，B方案比A方案便宜12元，故（2）正确；
当y＝60时，A：60＝0.4x﹣18，∴x＝195，
B：60＝0.4x﹣30，∴x＝225，故（3）正确；
当B方案为50元，A方案是40元或者60元时，两种方案通讯费用相差10元，
将y ＝40或60代入，得x＝145分或195分，故（4）错误；
A
故选：C．
【点评】此题主要考查了函数图象和性质，解题的关键是从图象中找出隐含的信息解决问题．
3．（2021•娄星区模拟）如图是小明在物理实验课上用量筒和水测量铁块A的体积实验，小明在
匀速向上将铁块提起，直至铁块完全露出水面一定高度的过程中，则下图能反映液面高度h
与铁块被提起的时间t之间的函数关系的大致图象是（ ）
A． B．C． D．
【分析】根据题意，在实验中有3个阶段，①、铁块在液面以下，②、铁块的一部分露出液
面，但未完全露出时，③、铁块完全露出时，分析液面得变化，结合选项，可得答案．
【解答】解：根据题意，在实验中有3个阶段，
①、铁块在液面以下，液面得高度不变；
②、铁块的一部分露出液面，但未完全露出时，液面高度降低；
③、铁块在液面以上，完全露出时，液面高度又维持不变；
分析可得，B符合描述；
故选：B．
【点评】解决此类问题，注意将过程分成几个阶段，依次分析各个阶段得变化情况，进而得
到整体得变化情况．
4．（2020•苍溪县模拟）如图，△ABC和△DEF是两个形状大小完全相同的等腰直角三角形，
∠ACB＝∠DFE＝90°，点C落在DE的中点处，且AB的中点M与C、F三点共线，现在让
△ABC在直线MF上向右作匀速移动，而△DEF不动，设两个三角形重合部分的面积为y，向
右水平移动的距离为x，则y与x的函数关系的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】注意分析y随x的变化而变化的趋势，而不一定要通过求解析式来解决．
【解答】解：本题的运动过程应分两部分，从开始到两三角形重合，另一部分是从重合到分
离；
在第一部分，三角形ABC在直线MF上向右作匀速运动，则重合部分面积的增加速度不断变
快；而另一部分面积的减小速度越来越小．
故选：C．【点评】本题考查了动点问题的函数图象．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得
出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．
5．（2020•淮南二模）如图，矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，点P从点B出发，沿B→C→D向
终点D匀速运动，设点P走过的路程为x，△ABP的面积为S，能正确反映S与x之间函数关
系的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】要找出准确反映s与x之间对应关系的图象，需分析在不同阶段中s随x变化的情况．
【解答】解：由题意知，点P从点B出发，沿B→C→D向终点D匀速运动，则
当0＜x≤2，s＝ ，
当2＜x≤3，s＝1，
由以上分析可知，这个分段函数的图象开始是直线一部分，最后为水平直线的一部分．
故选：C．
【点评】本题以动态的形式考查了分类讨论的思想，函数的知识和等腰直角三角形，具有很
强的综合性．
6．（2021•达拉特旗一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点P以每秒一
个单位的速度沿着B﹣C﹣A运动， P始终与AB相切，设点P运动的时间为t， P的面积
为y，则y与t之间的函数关系图象大致是（ ）
⊙ ⊙A． B．
C． D．
【分析】利用勾股定理求出AB的长度，再分点P在BC上与在AC上两种情况，根据相似三
角形对应边成比例求出 P的半径，然后根据圆的面积公式写出y、t的函数关系式，再根据
二次函数的图象即可得解．
⊙
【解答】解：∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝ ＝ ＝5，
如图，过点P作PD⊥AB，
∵ P始终与AB相切，
∴PD为 P的半径，
⊙
⊙
①当点P在BC上时，sinB＝ ＝ ，
即 ＝ ，
解得PD＝ t，
所以，y＝ •PD2＝ t2，（0＜t≤4）
π π
②当点P在AC上时，sinA＝ ＝ ，
即 ＝ ，
解得PD＝ （7﹣t），
所以，y＝ •PD2＝ （7﹣t）2，（4≤t＜7）
因此，y与t之间的函数关系图象为两段二次函数图象，
π π
纵观各选项，只有B选项图象符合．故选：B．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，根据题意分别求出点P在BC、AC上的函数解析
式是解题的关键，也是本题的难点．
7．（2020•武汉模拟）如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，点P是BC边上的一个动点（点P
不与点B、C重合），现将△PCD沿直线PD折叠，使点C落到点C′处；作∠BPC′的角平
分线交AB于点E．设BP＝x，BE＝y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是
（ ）
A． B．
C． D．
【分析】连接DE，根据折叠的性质可得∠CPD＝∠C′PD，再根据角平分线的定义可得
∠BPE＝∠C′PE，然后证明∠DPE＝90°，从而得到△DPE是直角三角形，再分别表示出AE、
CP的长度，然后利用勾股定理进行列式整理即可得到y与x的函数关系式，根据函数所对应
的图象即可得解．
【解答】解：如图，连接DE，∵△PC′D是△PCD沿PD折叠得到，
∴∠CPD＝∠C′PD，
∵PE平分∠BPC′，
∴∠BPE＝∠C′PE，
∴∠EPC′+∠DPC′＝ ×180°＝90°，
∴△DPE是直角三角形，
∵BP＝x，BE＝y，AB＝3，BC＝5，
∴AE＝AB﹣BE＝3﹣y，CP＝BC﹣BP＝5﹣x，在Rt△BEP中，PE2＝BP2+BE2＝x2+y2，
在Rt△ADE中，DE2＝AE2+AD2＝（3﹣y）2+52，
在Rt△PCD中，PD2＝PC2+CD2＝（5﹣x）2+32，
在Rt△PDE中，DE2＝PE2+PD2，
则（3﹣y）2+52＝x2+y2+（5﹣x）2+32，
整理得，﹣6y＝2x2﹣10x，
所以y＝﹣ x2+ x（0＜x＜5），
纵观各选项，只有D选项符合．
解法二：可以证明△BPE∽△CDP，利用相似三角形的性质求解．
故选：D．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，勾股定理的应用，作出辅助线并证明得到直角三
角形，然后在多个直角三角形应用勾股定理是解题的关键．
8．（2020•江汉区校级自主招生）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，动点
P从点A 出发，以每秒1cm的速度，沿A→B→C的方向运动，到达点C时停止．设y＝PC2，
运动时间为t秒，则能反映y与t之间函数关系的大致图象是（ ）
A． B．C． D．
【分析】连接PC，作PD⊥BC于D，构造直角三角形后利用相似三角形用t表示出PD、CD
的长，利用勾股定理表示出y，即可确定其图象．
【解答】解：①连接PC，作PD⊥BC于D，
∵∠ACB＝90°，
∴△BPD∽△BAC，
∴ ，
∵AP＝t，AB＝5cm，BC＝3cm，
∴BP＝5﹣t，AC＝4cm，
∴ ，
解得：PD＝4﹣ ，BD＝3﹣ ，
∴DC＝ ，
∵y＝PC2＝PD2+DC2＝（4﹣ ）2+（ ）2＝t2﹣ +16（t＜5），
②当5≤t≤8时，
PC2＝（8﹣t）2＝t2﹣16t+64．
故选：A．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，解决本题的关键是正确的构造直角三角形并利用
相似三角形的知识表示出PC的平方．
9．（2020•武威模拟）已知如图，等腰三角形ABC的直角边长为a，正方形MNPQ的边为b （a
＜b），C、M、A、N在同一条直线上，开始时点A与点M重合，让△ABC向右移动，最后点
C与点N重合．设三角形与正方形的重合面积为y，点A移动的距离为x，则y关于x的大致
图象是（ ）A． B．
C． D．
【分析】根据题目提供的条件可以求出函数的解析式，根据解析式判断函数的图象的形状．
【解答】解：设三角形与正方形的重合面积为y，点A移动的距离为x，
∴y关于x的函数关系式为：y＝ x2，
①当x＜a时，重合部分的面积的y随x的增大而增大，
②当a＜x＜b时，重合部分的面积等于直角三角形的面积，且保持不变，
③第三部分函数关系式为y＝﹣ + 当x＞b时，重合部分的面积随x的增大而减
小．
故选：B．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，此类题目的图象往往是几个函数的组合体．
10．（2020•丹东一模）如图，线段AB＝1，点P是线段AB上一个动点（不包括A、B）在AB同
侧作Rt△PAC，Rt△PBD，∠A＝∠D＝30°，∠APC＝∠BPD＝90°，M、N分别是AC、BD的
中点，连接MN，设AP＝x，MN2＝y，则y关于x的函数图象为（ ）A． B．
C． D．
【分析】连接PM、PN，则PM、PN分别为Rt△PAC，Rt△PBD的中线，则∠A＝∠D＝30°，
则∠MPA＝∠A＝30°，则PM＝ ＝ ，PN＝ ＝1﹣x，即可求解．
【解答】解：连接PM、PN，则PM、PN分别为Rt△PAC，Rt△PBD的中线，
∵∠A＝∠D＝30°，则∠MPA＝∠A＝30°，
则PM＝ ＝ ，
同理PN＝ ＝1﹣x，
y＝MN2＝（PM）2+（PN）2＝ x2﹣2x+1，
函数的对称轴x＝﹣ ，
故选：B．
【点评】本题考查的是动点的函数图象，主要考查的是直角三角形的中线定理、二次函数基
本知识等，本题的关键是中线定理的运用．
11．（2021•高明区二模）如图，Rt△ABC中，AB＝4，BC＝2，正方形ADEF的边长为2，F、A、
B在同一直线上，正方形ADEF向右平移到点F与B重合，点F的平移距离为x，平移过程中
两图重叠部分的面积为y，则y与x的关系的函数图象表示正确的是（ ）A． B．
C． D．
【分析】分三种情况分析：当0＜x≤2时，平移过程中两图重叠部分为Rt△AA'M；当2＜
x≤4时，平移过程中两图重叠部分为梯形F'A'MN；当4＜x≤6时，平移过程中两图重叠部分
为梯形F'BCN．分别写出每一部分的函数解析式，结合排除法，问题可解．
【解答】解：当0＜x≤2时，平移过程中两图重叠部分为Rt△AA'M，
∵Rt△ABC中，AB＝4，BC＝2，正方形ADEF的边长为2
∴tan∠CAB＝ ＝
∴A'M＝ x
其面积y＝ x• x＝ x2
故此时y为x的二次函数，排除选项D．
当2＜x≤4时，平移过程中两图重叠部分为梯形F'A'MN
其面积y＝ x• x﹣ （x﹣2）• （x﹣2）＝x﹣1
故此时y为x的一次函数，故排除选项C．
当4＜x≤6时，平移过程中两图重叠部分为梯形F'BCNAF'＝x﹣2，F'N＝ （x﹣2），F'B＝4﹣（x﹣2）＝6﹣x，BC＝2
其面积y＝ [ （x﹣2）+2]×（6﹣x）＝﹣ x2+x+3
故此时y为x的二次函数，其开口方向向下，故排除A
综上，只有B符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，数形结合并运用排除法，是解答本题的关键．
二．填空题（共10小题）
12．（2013•新疆）某书定价25元，如果一次购买20本以上，超过20本的部分打八折，试写出
付款金额y（单位：元）与购书数量x（单位：本）之间的函数关系 y ＝
．
【分析】本题采取分段收费，根据20本及以下单价为25元，20本以上，超过20本的部分打
八折分别求出付款金额y与购书数x的函数关系式，再进行整理即可得出答案．
【解答】解：根据题意得：
y＝ ，
整理得： ；
则付款金额y（单位：元）与购书数量x（单位：本）之间的函数关系是y＝
；
故答案为：y＝ ．
【点评】此题考查了分段函数，理解分段收费的意义，明确每一段购书数量及相应的购书单
价是解题的关键，要注意x的取值范围．
13．（2012•宁德）五一节某超市搞促销活动：①一次性购物不超过150元不享受优惠；②一次
性购物超过150元但不超过500元一律九折；③一次性购物超过500元一律八折．王宁两次
购物分别付款120元、432元，若王宁一次性购买以上两次相同的商品，则应付款 48 0 元或
528 元．
【分析】首先计算出两次购买应该付款的数额，然后根据优惠方案即可求解．
【解答】解：一次性购物超过150元，但不超过500元一律9折则在这个范围内最低付款135
元，因而第一次付款120元，没有优惠；
第二次购物时：是第二种优惠，可得出原价是432÷0.9＝480（符合超过150不高于500）．
则两次共付款：120+480＝600元，超过500元，则一次性购买应付款：600×0.8＝480元；
当第二次付款是超过500元时：可得出原价是 432÷0.8＝540（符合超过500元），则两次共应付款：120+540＝660元，则一次性购买应付款：660×0.8＝528元．
则一次性购买应付款：480元或528元．
故答案是：480元或528．
【点评】本题考查了分段函数，确定第二次购物时享受了哪种优惠方案，从而确定第二次购
物时应付款数是关键．
14．（2018•溧水区一模）小高从家门口骑车去单位上班，先走平路到达点A，再走上坡路到达
点B，最后走下坡路到达工作单位，所用的时间与路程的关系如图所示．下班后，如果他沿原
路返回，且走平路、上坡路、下坡路的速度分别保持和去上班时一致，那么他从单位到家门
口需要的时间是 1 5 分钟．
【分析】依据图象分别求出平路、上坡路和下坡路的速度，然后根据路程，求出时间即可．
【解答】解：先算出平路、上坡路和下坡路的速度分别为 、 和 （千米/分），
所以他从单位到家门口需要的时间是 （分钟）．
故答案为：15．
【点评】本题主要考查函数的图象的知识点，通过考查一次函数的应用来考查从图象上获取
信息的能力．
15．（2013•成都模拟）如图，l ，l 分别表示A步行与B骑车在同一路上行驶的路程S与时间t
A B
的关系．
（1）B出发时与A相距 1 0 千米．
（2）走了一段路后，自行车发生故障，进行修理，所用的时间是 1 小时．
（3）B出发后 3 小时与A相遇．
（4）若B的自行车不发生故障，保持出发时的速度前进， 小时与A相遇．
【分析】（1）还没出发时两人之间的距离也就是B出发时与A的距离；
（2）发生故障时行驶的路程不发生变化，求出两时间的差即可；（3）根据图象，3小时时两人的路程相同，即为相遇点；
（4）先求出两人的速度，再根据相遇时B比A多走10千米列出方程求解即可．
【解答】解：（1）由图可知，B出发时与A相距10千米；
（2）B修理自行车所用的时间为：1.5﹣0.5＝1小时；
（3）3小时时两人的路程都是22.5千米，
所以，B出发后3小时与A相遇；
（4）出发时A的速度为： ＝ 千米/时，
B的速度为： ＝15千米/时，
设若B的自行车不发生故障，保持出发时的速度前进，x小时与A相遇，
根据题意得，15x﹣ x＝10，
解得x＝ ．
故答案为：（1）10；（2）1；（3）3；（4） ．
【点评】本题考查了利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，
理解问题的过程，以及追击问题的等量关系是解题的关键．
16．（2013•武汉模拟）已知A、B两地相距4千米．上午8：00，甲从A地出发步行到B地，8：
20乙从B地出发骑自行车到A地，甲、乙两人离A地的距离（千米）与甲所用的时间（分）
之间的关系如图所示．由图中的信息可知，乙到达A地的时间为 8 ： 4 0 ．
【分析】根据甲60分走完全程4千米，求出甲的速度，再由图中两图象的交点可知，两人在
走了2千米时相遇，从而可求出甲此时用了0.5小时，则乙用了（0.5﹣ ）小时，所以乙的速
度为：2÷ ，求出乙走完全程需要时间，此时的时间应加上乙先前迟出发的20分，即可求出
答案．
【解答】解：因为甲60分走完全程4千米，所以甲的速度是4千米/时，
由图中看出两人在走了2千米时相遇，那么甲此时用了0.5小时，则乙用了（0.5﹣ ）小时，
所以乙的速度为：2÷ ＝12，所以乙走完全程需要时间为：4÷12＝ （时）＝20分，此时的
时间应加上乙先前迟出发的20分，现在的时间为8点40．【点评】本题主要考查了函数图象的应用．做题过程中应根据实际情况和具体数据进行分析．
本题应注意乙用的时间和具体时间之间的关联．
17．（2012•荆州）如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P、Q同时从点B出
发，点P沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C时停止，它们运动
的速度都是1cm/秒．设P、Q同发t秒时，△BPQ的面积为ycm2．已知y与t的函数关系图象
如图（2）（曲线OM为抛物线的一部分），则下列结论：①AD＝BE＝5；②cos∠ABE＝ ；
③当0＜t≤5时，y＝ t2；④当t＝ 秒时，△ABE∽△QBP；其中正确的结论是
①③④ （填序号）．
【分析】根据图（2）可以判断三角形的面积变化分为三段，可以判断出当点P到达点E时点
Q到达点C，从而得到BC、BE的长度，再根据M、N是从5秒到7秒，可得ED的长度，然
后表示出AE的长度，根据勾股定理求出AB的长度，然后针对各小题分析解答即可．
【解答】解：根据图（2）可得，当点P到达点E时点Q到达点C，
∵点P、Q的运动的速度都是1cm/秒，
∴BC＝BE＝5，
∴AD＝BE＝5，故①正确；
又∵从M到N的变化是2，
∴ED＝2，
∴AE＝AD﹣ED＝5﹣2＝3，
在Rt△ABE中，AB＝ ＝ ＝4，
∴cos∠ABE＝ ＝ ，故②错误；
过点P作PF⊥BC于点F，
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠PBF，
∴sin∠PBF＝sin∠AEB＝ ＝ ，
∴PF＝PBsin∠PBF＝ t，∴当0＜t≤5时，y＝ BQ•PF＝ t• t＝ t2，故③正确；
当t＝ 秒时，点P在CD上，此时，PD＝ ﹣BE﹣ED＝ ﹣5﹣2＝ ，
PQ＝CD﹣PD＝4﹣ ＝ ，
∵ ＝ ， ＝ ＝ ，
∴ ＝ ，
又∵∠A＝∠Q＝90°，
∴△ABE∽△QBP，故④正确．
综上所述，正确的有①③④．
故答案为：①③④．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，根据图（2）判断出点P到达点E时点Q到达点C
是解题的关键，也是本题的突破口．
18．（2014•徐州）如图①，在正方形ABCD中，点P沿边DA从点D开始向点A以1cm/s的速
度移动；同时，点Q沿边AB、BC从点A开始向点C以2cm/s的速度移动．当点P移动到点A
时，P、Q同时停止移动．设点P出发xs时，△PAQ的面积为ycm2，y与x的函数图象如图
②，则线段EF所在的直线对应的函数关系式为 y ＝﹣ 3 x +1 8 ．【分析】根据从图②可以看出当Q点到B点时的面积为9，求出正方形的边长，再利用三角
形的面积公式得出EF所在的直线对应的函数关系式．
【解答】解：∵点P沿边DA从点D开始向点A以1cm/s的速度移动；点Q沿边AB、BC从点
A开始向点C以2cm/s的速度移动．
∴当Q到达B点，P在AD的中点时，△PAQ的面积最大是9cm2，设正方形的边长为acm，
∴ × a×a＝9，
解得a＝6，即正方形的边长为6，
当Q点在BC上时，AP＝6﹣x，△APQ的高为AB，
∴y＝ （6﹣x）×6，即y＝﹣3x+18．
故答案为：y＝﹣3x+18．
【点评】本题主要考查了动点函数的图象，解决本题的关键是求出正方形的边长．
19．（2013•尤溪县质检）如图所示，已知正方形ABCD的边长为4，E是BC边上的一个动点，
AE⊥EF，EF交DC于点F，设BE＝x，FC＝y，则当点E从点B运动到点C时，y关于x的函
数图象是 ① （填序号）
【分析】通过设出BE＝x，FC＝y，且△AEF为直角三角形，运用勾股定理得出y与x的关系，
在判断出函数图象．
【解答】解法一：设BE＝x，FC＝y，则AE2＝x2+42，EF2＝（4﹣x）2+y2，AF2＝（4﹣y）2+42．
又∵△AEF为直角三角形，
∴根据勾股定理得到AE2+EF2＝AF2．即x2+42+（4﹣x）2+y2＝（4﹣y）2+42
化简得：y＝﹣ x2+x＝﹣ （x﹣2）2+1，即y＝（x﹣2）2+1，
此时，该函数图象是以（2，1）为顶点的抛物线．
很明显，y关于x的函数图象是①．
解法二：易证△ABE∽△ECF，则BE：CF＝AB：EC，即x：y＝4：（4﹣x）y，
整理，得y＝﹣ （x﹣2）2+1，
此时，该函数图象是以（2，1）为顶点的抛物线．
很明显，y关于x的函数图象是①．
故填：①．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，解题的关键是列出动点的函数关系式，根据函数
关系式来判定其函数图象．
20．（2013•咸宁）“龟兔首次赛跑”之后，输了比赛的兔子没有气馁，总结反思后，和乌龟约
定再赛一场．图中的函数图象刻画了“龟兔再次赛跑”的故事（x表示乌龟从起点出发所行的
时间，y 表示乌龟所行的路程，y 表示兔子所行的路程）．有下列说法：
1 2
①“龟兔再次赛跑”的路程为1000米；
②兔子和乌龟同时从起点出发；
③乌龟在途中休息了10分钟；
④兔子在途中750米处追上乌龟．
其中正确的说法是 ①③④ ．（把你认为正确说法的序号都填上）
【分析】结合函数图象及选项说法进行判断即可．
【解答】解：根据图象可知：
龟兔再次赛跑的路程为1000米，故①正确；
兔子在乌龟跑了40分钟之后开始跑，故②错误；
乌龟在30﹣﹣40分钟时的路程为0，故这10分钟乌龟没有跑在休息，故③正确；
y ＝20x﹣200（40≤x≤60），y ＝100x﹣4000（40≤x≤50），当y ＝y 时，兔子追上乌龟，
1 2 1 2
此时20x﹣200＝100x﹣4000，解得：x＝47.5，
y ＝y ＝750米，即兔子在途中750米处追上乌龟，故④正确．
1 2
综上可得①③④正确．
故答案为：①③④．
【点评】本题考查了函数的图象，读函数的图象时首先要理解横纵坐标表示的含义，理解问
题叙述的过程，有一定难度．
21．（2012•高邮市一模）如图，A、B、C、D是 O四等分点，动点P沿O﹣C﹣D﹣O路线作
匀速运动，设运动时间为xs，∠APB＝y°，右图表示y与x之间函数关系，则点M的横坐标为
⊙
．
【分析】通过函数图象可以得到函数随自变量的变化规律，通过规律结合图象可以求出关键
点C、D的坐标值，根据速度相等列出等式，求出在 上运动的时间，从而求出M横坐标的
值．
【解答】解：根据题意，点P从O点运动到C点的时间为1s，
设点P在 上的运动时间为t，
∵A、B、C、D是 O四等分点，点P作匀速运动，
⊙
∴ ，即 ，得
t＝ ，
则点P沿O﹣C﹣D﹣O路线从O点到D点的时间（即M点所对应的时间）为（ +1）s，
故答案为： +1．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，根据速度、路程、时间的关系求出点P在CD弧上
运动的时间是解题的关键，有一定难度．
三．解答题（共9小题）
22．（2007•辽宁）星期天，小明与小刚骑自行车去距家50千米的某地旅游，匀速行驶1.5小时
的时候，其中一辆自行车出故障，因此二人在自行车修理点修车，用了半个小时，然后以原
速继续前行，行驶1小时到达目的地．请在右面的平面直角坐标系中，画出符合他们行驶的
路程S（千米）与行驶时间t（时）之间的函数图象．【分析】分析题意可知，2.5个小时走完全程50千米，所以1.5小时走了30千米，休息0.5小
时后1小时走了20千米，由此作图即可．
【解答】解： ．
【点评】主要考查了函数图象的画图能力．要能根据题中的数据分析得出函数的类型和所需
要的条件，利用描点法准确的画出图象．
23．如图1，△ABC各顶点的坐标分别为A（0，4）、B（﹣4，0）、C（2，0），点D是AB上
一点，将△CDB沿x轴的正方向以每秒m个单位的速度向右运动，得到△C′D′B′，当点
B′与点C重合停止运动，设△C′D′B′与△AOC重叠部分的面积为S，运动时间为t（S），
S关于t的部分函数图象如图2所示（其中0＜t≤1，1＜t≤a，…，函数的解析式不同）
（1）点D的坐标为 （﹣ 1 ， 3 ） ；m的值为 1 ；
（2）求S与t的函数关系式，并注明t的取值范围．
【分析】（1）根据x＝0时，S＝2，先计算D的坐标，说明D为一定点，由x＝1时，D'在y
轴上，可得速度m＝1；
（2）分四种情形①如图5中，当0＜t≤1时，重叠部分是四边形MOCN．②如图6中，当1
＜t≤ 时，重叠部分是五边形OCND′M．③如图7中，当 ＜t≤4时，重叠部分是四边形
OCNM．④如图8中，当4＜t≤6时，重叠部分是三角形CNB′．分别求解即可；
【解答】解：（1）∵A（0，4）、B（﹣4，0）、C（2，0），∴OA＝OB＝4，OC＝2，
由图2知：当x＝0时，S＝2，
如图3，S△EOC ＝2，
OE•OC＝2，
×2×OE＝2，
∴OE＝2，
∴△EOC是等腰直角三角形，
∴∠ECO＝45°，
∵OA＝OB＝4，∠AOB＝90°，
∴△AOB是等腰三角形，
∴∠ABO＝45°，
∴DB＝DC，
如图3中，过D作DF⊥BC于F，
∴BF＝FC＝ BC＝3，
∴DF＝BF＝3，OF＝4﹣3＝1，
∴D（﹣1，3）；
由图2得：x＝1时，D'在y轴上，如图4，
∴m＝1，
故答案为：（﹣1，3），1；
（2）①如图5中，当0＜t≤1时，重叠部分是四边形MOCN．易知直线AC的解析式为y＝﹣2x+4，直线C′D′的解析式为y＝﹣x+t+2，
由 解得 ，
∴N（2﹣t，2t），
∴S＝S△OMC′ ﹣S△CNC′ ＝ •（2+t）2﹣ •t•2t＝﹣ t2+2t+2．
②如图6中，当1＜t≤ 时，重叠部分是五边形OCND′M．
S＝S△B′C′D′ ﹣S△CC′N ﹣S△OMB′ ＝ ×6×3﹣ •t•2t﹣ •（4﹣t）2＝﹣ t2+4t+1．
③如图7中，当 ＜t≤4时，重叠部分是四边形OCNM．S＝S△B′CN ﹣S△OMB′ ＝ •（6﹣t）• （6﹣t））﹣ •（4﹣t）2＝﹣ t2+4．
④如图8中，当4＜t≤6时，重叠部分是三角形CNB′．
S＝ •（6﹣t）• （6﹣t）＝ t2﹣4t+12．
综上所述，S＝ ．
【点评】本题考查动点问题函数图象、平移变换、多边形的面积等知识，解题的关键是学会
用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
24．（2019春•高新区校级期中）2018年5月14日，川航3U863航班挡风玻璃在高空爆裂，机
组临危不乱，果断应对，正确处置，顺利返航，避免了一场灾难的发生，创造了世界航空史
上的奇迹!下表给出了距离地面高度与所在位置的温度之间的大致关系．根据下表，请回答以
下几个问题：距离地面高度（千 0 1 2 3 4 5
米）
所在位置的温度 20 14 8 2 ﹣4
（℃）
（1）上表反映的两个变量中， 距离地面高度 是自变量， 所在位置的温度 是因变量？
（2）若用h表示距离地面的高度，用y表示表示温度，则y与h的之间的关系式是： y ＝ 2 0
﹣ 6 h ；当距离地面高度5千米时，所在位置的温度为： ﹣ 1 0 ℃．
如图是当日飞机下降过程中海拔高度与玻璃爆裂后立即返回地面所用时间关系图．根据图象
回答以下问题：
（3）返回途中飞机再2千米高空水平大约盘旋了几分钟？
（4）飞机发生事故时所在高空的温度是多少？
【分析】（1）根据函数的定义即可求解；
（2）由题意得：y＝20﹣6h，当x＝5时，y＝﹣10，即可求解；
（3）从图象上看，h＝2时，持续的时间为2分钟，即可求解；
（4）h＝9.8时，求出y的值，即可求解．
【解答】解：（1）根据函数的定义：距离地面高度是自变量，所在位置的温度是因变量，
故答案为：距离地面高度，所在位置的温度；
（2）由题意得：y＝20﹣6h，
当x＝5时，y＝﹣10，
故答案为：y＝20﹣6h，﹣10；
（3）从图象上看，h＝2时，持续的时间为2分钟，
即返回途中飞机在2千米高空水平大约盘旋了2分钟；
（4）在9.8千米处发生事故，h＝9.8时，t＝20﹣6×9.8＝﹣38.8（℃），
即飞机发生事故时所在高空的温度是﹣38.8度．
【点评】主要考查了函数图象的读图能力．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得
出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．
25．（2019春•江汉区期末）已知函数y＝|x﹣4|（1）在平面直角坐标系中画出函数图象；
（2）函数图象与x轴交于点A，与y轴交于点B．已知P（x，y）是图象上一个动点，若
△OPA的面积为6，求P点坐标；
（3）已知直线y＝kx+1（k≠0）与该函数图象有两个交点，求k的取值范围．
【分析】（1）当x≥4时，y＝x﹣4，当x＜4时，y＝4﹣x，即可求解；
（2）设点P（m，m﹣4），m≥4，△OPA的面积＝ AO×y ，即可求解；
P
（3）设直线y＝kx+1（k≠0）与y轴交于点C（0，1），当直线在m、n之间时，直线y＝
kx+1（k≠0）与该函数图象有两个交点，即可求解
【解答】解：（1）当x≥4时，y＝x﹣4，当x＜4时，y＝4﹣x，
按照一次函数画出函数如下图象．
（2）如上图所示，点P只可能在点A右侧的图象上，
设点P（m，m﹣4），m≥4
△OPA的面积＝ AO×y ＝6，
P
则y ＝3＝m﹣4，
P
解得：m＝7，
故点P（7，3）或（1，3）；
（3）设直线y＝kx+1（k≠0）与y轴交于点C（0，1），
当直线在m、n之间时，直线y＝kx+1（k≠0）与该函数图象有两个交点，①直线m过点C、A，将点A的坐标代入直线方程得：
0＝4k+1，解得：k＝﹣ ；
②直线n与直线AP平行，在k＝1，
故﹣ ＜k＜1且k≠0．
【点评】本题考查的是动点图象问题，涉及到一次函数、图形的面积计算等知识，其中（3）
确定临界点直线的方程，是解题的关键．
26．（2019春•海淀区校级月考）如图1，在△ABC中，点D是线段BC上的动点，将线段AD绕
点D逆时针旋转90°得到线段DE，连接BE．若已知BC＝8cm，设B，D两点间的距离为xcm，
A，D两点间的距离为y cm，B，E两点距离为y cm．小明根据学习函数的经验，分别对函数
1 2
y ，y 随x的变化而变化的规律进行了探究，请补充完整．下面是小明的探究过程的几组对应
1 2
值．
（1）按照下表中自变量x的值进行取点画图，测量分别得到了与x的几组对应值如下表：
（说明补全表格时相关数值保留一位小数）
x/cm 0 1 2 3 4 5 6 7 8
y /cm 7.03 6.20 5.44 4.76 4.21 3.85 3.73 3.87 4.26
1
y /cm a 5.66 4.32 b 1.97 1.59 2.27 3.43 4.73
2（2）在同一平面直角坐标系xoy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y ），（x，
1
y ），并画出函数y ，y 的图象；
2 1 2
（3）结合函数图象（如图2），解决问题：
①当E在线段BC上时，BD的长约为 6 cm；
②当△BDE为等腰三角形时，BD的长x约为 3. 1 或 4. 1 或 7. 5 cm．
【分析】（1）当x＝0时，a＝AD＝7.03≈7.0，
则b＝7.03﹣3 ≈2.8，即可求解；
（2）描点即可；
（3）①当E在线段BC上时，即：x＝y +y ；②分BE＝DE、BE＝BD、DE＝BE三种情况，
1 2
分别求解即可．
【解答】解：（1）当x＝0时，a＝AD＝7.03≈7.0，b＝3.0；
（2）描绘后表格如下图：
（3）①当E在线段BC上时，即：x＝y +y ，
1 2
从图象可以看出，当x＝6时，y +y ＝6，
1 2
故答案为6；
②当BE＝DE时，即：y ＝y ，此时x＝7.5或0，
1 2
故x＝7.5；
当BE＝BD时，即：y ＝x，在图上画出直线y＝x，
2此时x≈3.1；
当DE＝BE时，即：y ＝x，
1
从上图可以看出x≈4.1；
故答案为：3.1或4.1或7.5．
【点评】本题考查的是动点函数图象，此类题目通常在补全表格后，画出函数图象，依据图
象求解相关问题，通常从图上上查阅的数值为近视值．
27．（2012•徐州）如图1，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AD＝4cm，AB＝dcm．动点E、F
分别从点D、B出发，点E以1cm/s的速度沿边DA向点A移动，点F以1cm/s的速度沿边BC
向点C移动，点F移动到点C时，两点同时停止移动．以EF为边作正方形EFGH，点F出发
xs时，正方形EFGH的面积为ycm2．已知y与x的函数图象是抛物线的一部分，如图2所示．
请根据图中信息，解答下列问题：
（1）自变量x的取值范围是 0 ≤ x ≤ 4 ；
（2）d＝ 3 ，m＝ 2 ，n＝ 2 5 ；
（3）F出发多少秒时，正方形EFGH的面积为16cm2？
【分析】（1）根据矩形的对边相等求出BC的长，然后利用路程、速度、时间的关系求解即
可；
（2）根据点的运动可知，当点E、F分别运动到AD、BC的中点时，正方形的面积最小，求出d、m的值，再根据开始于结束时正方形的面积最大，利用勾股定理求出BD的平方，即为
最大值n；
（3）过点E作EI⊥BC垂足为点I，则四边形DEIC为矩形，然后表示出EI、IF，再利用勾股
定理表示出EF2，根据正方形的面积得到y与x的函数关系式，然后把y＝16代入求出x的值，
即可得到时间．
【解答】解：（1）∵BC＝AD＝4，4÷1＝4，
∴0≤x≤4；
故答案为：0≤x≤4；
（2）根据题意，当点E、F分别运动到AD、BC的中点时，
EF＝AB最小，所以正方形EFGH的面积最小，
此时，d2＝9，m＝4÷2＝2，
所以，d＝3，
根据勾股定理，n＝BD2＝AD2+AB2＝42+32＝25，
故答案为：3，2，25；
（3）如图，过点E作EI⊥BC垂足为点I．则四边形DEIC为矩形，
∴EI＝DC＝3，CI＝DE＝x，
∵BF＝x，
∴IF＝4﹣2x，
在Rt△EFI中，EF2＝EI2+IF2＝32+（4﹣2x）2，
∵y是以EF为边长的正方形EFGH的面积，
∴y＝32+（4﹣2x）2，
当y＝16时，32+（4﹣2x）2＝16，
整理得，4x2﹣16x+9＝0，
解得，x ＝ ，x ＝ ，
1 2
∵点F的速度是1cm/s，
∴F出发 或 秒时，正方形EFGH的面积为16cm2．【点评】本题考查了动点问题的函数图象，（2）根据点的移动，结合二次函数图象找出当
EF＝AB时正方形的面积为最小值是解题的关键，（3）求出正方形EFGH的面积的表达式是
解题的关键．
28．（2019春•西岗区期末）在正方形ABCD中（如图1），O是AD的中点，点P从A点出发沿
A→B→C→D的路线移动到点D时停止，出发时以a单位/秒匀速运动：同时点Q从D出发沿
D→C→B→A的路线匀速运动，移动到点A时停止，出发时以b单位/秒运动：两点相遇后点
P运动速度变为c单位/秒运动，点Q运动速度变为d单位/秒运动；图2是射线OP随P点运
动在正方形ABCD中扫过的图形的面积y 与时间t的函数图象，图3是射线OQ随Q点运动在
1
正方形ABCD中扫过的图的面积y 与时间t的函数图象，
2
（1）正方形ABCD的边长是 6 ．
（2）求P，Q相遇后∠POQ在正方形中所夹图形面积S与时间t的函数关系式．
【分析】（1）由图象知，6秒时，PQ相遇，此时OP扫过的面积图象中间变化1次，而OQ
的没有变化，故P、Q在点C相遇，由图3知，S△OCD（Q） ＝9，即可求解；
（2）分点Q在BC、BA段两种情况，分别求解即可．
【解答】解：（1）由图象知，6秒时，PQ相遇，
此时OP扫过的面积图象中间变化1次，而OQ的没有变化，故P、Q在点C相遇，
设正方形的边长为2x，则OD＝OA＝x
由图3知，S△OCD（Q） ＝ ×OD×OC＝x2＝9，解得：x＝3，
故答案为6；
（2）由图2知，相遇后点P6秒走了CD的长度即6个单位，则c＝1，
同理d＝12÷（10﹣6）＝3，
当点Q在BC段时，如下图，设：△OPD的面积为S ，梯形ABQO的面积为S ，
1 2
则正方形ABCD的面积为36，
则S ＝ OD×PD＝ ×3×（6﹣t+6）＝ （12﹣t）
1
同理S ＝ ×6×[3+6﹣3（t﹣6）]＝3（27﹣3t），
2
当点Q在BA段时，
同理S
3
＝S△OQA ＝ ×3[6﹣3（t﹣8）]＝ （30﹣3t）；
当6≤t≤8时，
S＝36﹣S ﹣S ＝ t﹣63；
1 2
当8＜t≤10时，
S＝36﹣S ﹣S ＝6t﹣27；
1 3
（2）10＜t≤12
同理可得：S＝18+ ；
综上，S＝ ．
【点评】本题考查的是动点图象问题，涉及到一次函数、图象面积的计算等知识，此类问题
关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．
29．（2019•兰州）如图，在△ABC中，AB＝AC＝6cm，BC＝8cm，点D为BC的中点，BE＝DE，
将∠BDE绕点D顺时针旋转 度（0≤ ≤83°），角的两边分别交直线AB于M、N两点，设
B、M两点间的距离为xcm，M，N两点间的距离为ycm．
α α
小涛根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．
下面是小涛的探究过程，请补充完整．
（1）列表：下表的已知数据是B，M两点间的距离x进行取点、画图、测量，分别得到了y
与x的几组对应值：x/cm 0 0.30 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00 3.50 3.68 3.81 3.90 3.93 4.10
y/cm 3 2.88 2.81 2.69 2.67 2.80 3.15 3.85 5.24 6.01 6.71 7.27 7.44 8.87
请你通过计算，补全表格；
（2）描点、连线，在平面直角坐标系xOy中，描出表格中各组数值所对应的点（x，y），并
画出函数y关于x的图象．
（3）探究性质：随着自变量x的不断增大，函数y的变化趋势： 0 ≤ x ≤ 1.6 5 时， y 随 x 增大
而减小，
当 1.6 5 ＜ x ≤ 4.1 0 时， y 随 x 增大而增大 ．
（4）解决问题：当MN＝2BM时，BM的长度大约是 1.3 3 或 4.0 0 cm．（保留两位小数）．
【分析】（1）①当x＝BM＝0时，则y＝MN＝BE＝3；
②MD2＝HD2+MH2＝ ，则y＝MN＝MDtan ，即可求解；
（2）描点出如下图象，从图象可以看出：随着自变量x的不断增大，函数y的变化趋势；
β
（3）方法一：MN＝2BM，即y＝2x，在上图中作直线y＝2x，即可求解；方法二：证明
△MDB∽△DHC、△HAN∽△DEN，即可额求解．
【解答】解：（1）①当x＝BM＝0时，
ED是三角形ABC的中位线，则ED＝ AC＝3＝BE＝MN；②x＝BM＝ ，
在△MBD中，BD＝4，BM＝ ，
cos∠B＝ ，
设∠B＝ ，tan ＝ ，
过点M作MH⊥BD于点H，
β β
则BH＝BMcos ＝ ，则MH＝ ，
β
MD2＝HD2+MH2＝ ，
则BD2＝BM2+MD2，
故∠BMD＝90°，
则y＝MN＝MDtan ＝（DBsin ）tan ＝ ；
β β β
故：答案为3， ；
（2）描点出如下图象，
（3）从图象可以看出：0≤x≤1.65时，y随x增大而减小，
当1.65＜x≤4.10时，y随x增大而增大（数值是估值，不唯一）；（4）方法一：
MN＝2BM，即y＝2x，
在上图中作直线y＝2x，
直线与曲线交点的横坐标1.33和4.00，
故答案为：1.33或4.00．
方法二：
如图3，DN与CA的延长线交于点H．
设BM＝x，MN＝2x
EN＝3x﹣3，AN＝6﹣3x
∵∠NDB＝∠H+∠C（外角的性质）
∠NDB＝∠MDB+∠NDM
∴∠MDB+∠NDM＝∠H+∠C
∴∠MDB＝∠H，∠B＝∠C
∴△MDB∽△DHC
∴ ＝
∴ ，CH＝ ，HA＝HC﹣AC＝ ﹣6
又∵△HAN∽△DEN
∴ ＝
∴ ＝
解得x ＝4，x ＝ ．
1 2
故答案为：1.33或4.00．
【点评】本题为动点问题的函数图象，涉及到解直角三角形、函数作图等，此类题目难点于，
弄懂x、y代表的意义，估计或计算解出表格空出的数据．
30．（2015•大连）如图1，在△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，且CD＞DA，DA＝2，点P，
Q同时从点D出发，以相同的速度分别沿射线DC、射线DA运动，过点Q作AC的垂线段QR，使QR＝PQ，连接PR，当点Q到达点A时，点P，Q同时停止运动．设PQ＝x，△PQR与
△ABC重叠部分的面积为S，S关于x的函数图象如图2所示（其中0＜x≤ ， ＜x≤m时，
函数的解析式不同）．
（1）填空：n的值为 ；
（2）求S关于x的函数关系式，并写出x的取值范围．
【分析】（1）当x＝ 时，△PQR与△ABC重叠部分的面积就是△PQR的面积，然后根据
PQ＝ ，QR＝PQ，求出n的值是多少即可．
（2）首先根据S关于x的函数图象，可得S关于x的函数表达式有两种情况：当0＜x≤ 时，
S＝ ×PQ×RQ＝ x2，判断出当点Q点运动到点A时，x＝2AD＝4，据此求出m＝4；然后求
出当 ＜x≤4时，S关于x的函数关系式即可．
【解答】解：（1）如图1，
，
当x＝ 时，△PQR与△ABC重叠部分的面积就是△PQR的面积，
∵PQ＝ ，QR＝PQ，
∴QR＝ ，
∴n＝S＝ ×（ ）2＝ × ＝ ．故答案为： ．
（2）如图2，
，
根据S关于x的函数图象，可得S关于x的函数表达式有两种情况：
当0＜x≤ 时，
S＝ ×PQ×RQ＝ x2，
当点Q点运动到点A时，
x＝2AD＝4，
∴m＝4．
当 ＜x≤4时，
S＝S△APF ﹣S△AQE ＝ AP•FG﹣ AQ•EQ，
AP＝2+ ，AQ＝2﹣ ，
∵△AQE∽△AQ R ， ，
1 1
∴QE＝ ，
设FG＝PG＝a，
∵△AGF∽△AQ R ， ，
1 1
∴AG＝2+ ﹣a，∴a＝ ，
∴S＝S△APF ﹣S△AQE
＝ AP•FG﹣ AQ•EQ
＝ （2 ） （2 ）﹣ （2﹣ ）• （2 ）
＝﹣ x2+
∴S＝﹣ x2+ ．
综上，可得
S＝
【点评】此题主要考查了动点问题的函数图象，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：图
象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问
题、解决问题的能力．用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．
