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2022-2023 学年九年级数学上册第一单元检测卷（B 卷）
（考试时间：60分钟 试卷满分：100分）
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）。
1．两条对角线相等的平行四边形一定是（ ）
A．矩形 B．菱形
C．矩形或正方形 D．正方形
【答案】A
【解答】解：因为对角线相等的平行四边形是矩形．
故选：A．
2．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB＝60°，AO＝4，则AB的长是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
【答案】A
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO＝OC，BO＝OD，AC＝BD，
∴OA＝OB，
∵∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝AO＝4，
故选：A．
3．在菱形ABCD中，AC、BD为对角线，若AC＝4，BD＝8，则菱形ABCD的面积是（ ）
A．12 B．16 C．24 D．32
【答案】B
【解答】解：∵菱形ABCD的面积＝ AC×BD
∴菱形ABCD的面积＝ ×4×8＝16
故选：B．
4．在平行四边形ABCD中添加下列条件，不能判定四边形ABCD是菱形的是（ ）A．AB＝BC B．AC⊥BD C．AC＝BD D．∠ABD＝∠CBD
【答案】C
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴A、当AB＝BC时，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可得 ABCD是菱形，故本选项
正确，不符合题意；
▱
B、当AC⊥BD时，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可得 ABCD是菱形，故本选项正
确，不符合题意；
▱
C、当AC＝BD时，根据对角线互相相等的平行四边形是矩形，可得 ABCD是矩形，故本选项错
误，符合题意；
▱
D、∠ABD＝∠CBD，得AB＝AD，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可得 ABCD是菱形，
故本选项正确，不符合题意；
▱
故选：C．
5．如图，四边形ABCD是边长为5cm的菱形，其中对角线BD与AC交于点O，BD＝6cm，则对角线
AC的长度是（ ）
A．8cm B．4cm C．3cm D．6cm
【答案】A
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴BO＝DO，AC⊥DB，AO＝CO，
∵BD＝6cm，
∴BO＝3cm，
∵AB＝5cm，
∴AO＝ ＝4（cm），
∴AC＝8cm．
故选：A．
6．顺次连接一个四边形的各边中点，得到了一个矩形，则下列四边形满足条件的是（ ）
①平行四边形；②菱形；③对角线相等的四边形；④对角线互相垂直的四边形．
A．①③ B．②③ C．③④ D．②④
【答案】D
【解答】解：如图点E，F，G，H分别是四边形ABCD各边的中点，且四边形EFGH是矩形．∵点E，F，G，H分别是四边形各边的中点，且四边形EFGH是矩形．
∴∠FEH＝90°，EF∥BD∥HG，FG∥AC∥EH，EF≠GH．
∴AC⊥BD，即对角线互相垂直的四边形其中点四边形是矩形，
①平行四边形的对角线不一定互相垂直，故①错误；
②菱形的对角线互相垂直，故②正确；
③对角线相等的四边形，故③错误；
④对角线互相垂直的四边形，故④正确．
综上所述，正确的结论是：②④．
故选：D．
7．在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，P是AD上的动点，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，则PE+PF的
值为（ ）
A． B．2 C． D．1
【答案】A
【解答】解：设AP＝x，PD＝4﹣x．
∵∠EAP＝∠EAP，∠AEP＝∠ADC；
∴△AEP∽△ADC，故 ＝ ①；
同理可得△DFP∽△DAB，故 ＝ ②．
①+②得 ＝ ，
∴PE+PF＝ ．故选：A．
8．如图，在△ABC中，BD，CE分别是边AC，AB上的中线，BD⊥CE于点O，点M，N分别OB，
OC的中点，若OB＝8，OC＝6，则四边形DEMN的周长是（ ）A．14 B．20 C．22 D．28
【答案】B
【解答】解：∵BD和CE分别是△ABC的中线，
∴DE＝ BC，DE∥BC，
∵M和N分别是OB和OC的中点，OB＝8，OC＝6，
∴MN＝ BC，MN∥BC，OM＝ OB＝4，ON＝ OC＝3，
∴四边形MNDE为平行四边形，
∵BD⊥CE，
∴平行四边形MNDE为菱形，
∴BC＝ ＝10，
∴DE＝MN＝EM＝DN＝5，
∴四边形MNDE的周长为20，
故选：B．
9．如图，将矩形纸片ABCD折叠，AE、EF为折痕，点C落在AD边上的G处，并且点B落在EG边
的H处，若AB＝ ，∠BAE＝30°，则BC边的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【解答】解：连接CC ．
1
Rt△ABE中，∠BAE＝30°，AB＝ ，∴BE＝AB×tan30°＝1，AE＝2，∠AEB ＝∠AEB＝60°，
1
由AD∥BC，那么∠C AE＝∠AEB＝60°，
1
所以△AEC 为等边三角形，
1
那么△CC E也为等边三角形，
1
那么EC＝EC ＝AE＝2，
1
∴BC＝BE+EC＝3．
故选：A．
10．在平面直角坐标系中，正方形A B C D 、D E E B 、A B C D 、D E E B 、A B C D …按如图所
1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 3 4 3 3 3 3 3
示的方式放置，其中点B 在y轴上，点C 、E 、E 、C 、E 、E 、C …在x轴上，已知正方形
1 1 1 2 2 3 4 3
A B C D 的边长为1，∠B C O＝60°，B C ∥B C ∥B C …则正方形A B C D 的边长是（
1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 3 3 2015 2015 2015 2015
）
A．（ ）2014 B．（ ）2015 C．（ ）2015 D．（ ）2014
【答案】D
【解答】方法一：
解：如图所示：∵正方形A B C D 的边长为1，∠B C O＝60°，B C ∥B C ∥B C …
1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 3 3
∴D E ＝B E ，D E ＝B E ，∠D C E ＝∠C B E ＝∠C B E ＝30°，
1 1 2 2 2 3 3 4 1 1 1 2 2 2 3 3 4
∴D E ＝C D sin30°＝ ，则B C ＝（ ）1，
1 1 1 1 2 2
同理可得：B C ＝ ＝（ ）2，
3 3故正方形A B D 的边长是：（ ）n﹣1．
n n n n
∁
则正方形A B C D 的边长是：（ ）2014．
2015 2015 2015 2015
故选：D．
方法二：
∵正方形A B C D 的边长为1，
1 1 1 1
∠B C O＝60°，
1 1
∴D E ＝B E ＝ ，
1 1 2 2
∵B C ∥B C ∥B C …
1 1 2 2 3 3
∴∠E B C ＝60°，
2 2 2
∴B C ＝ ，
2 2
同理：
B C ＝ × ＝ …
3 3
∴a ＝1，∴正方形A B C D 的边长＝1× ．
1 2015 2015 2015 2015
q＝ ，
二、填空题(本题共6题，每小题3分，共18分）。
11．已知菱形两条对角线的长分别为5cm和8cm，则这个菱形的面积是 cm2．
【答案】20
【解答】解：由已知得，菱形面积＝ ×5×8＝20cm2．
故答案为20．
12．菱形的周长为20cm，一条对角线长为8cm，则菱形的面积为 cm2．
【答案】24
【解答】解：菱形的周长为20cm，则边长为5cm，
∵菱形的对角线互相垂直平分，
根据勾股定理可得另一对角线的一半为3cm，
则另一对角线长6cm，则菱形的面积为6×8× ＝24cm2．
故答案为24．
13．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，若∠AOD＝120°，AB＝2，则AD＝ ．
【答案】2
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OB．
∵∠AOD＝120°，
∴∠AOB＝60°．
∴△AOB为等边三角形．
∵AC＝BD，
∴AO＝BO＝AB＝2．
∴AC＝2AO＝4．
∴AD2＝AC2﹣DC2＝16﹣4，
∴AD＝2 ，
故答案为 ．
14．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠BED的度数是 ．
【答案】45°
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°．
∵等边三角形ADE，
∴AD＝AE，∠DAE＝∠AED＝60°．
∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝90°+60°＝150°，
AB＝AE，
∠AEB＝∠ABE＝（180°﹣∠BAE）÷2＝15°，∠BED＝∠DEA﹣∠AEB＝60°﹣15°＝45°．
故答案为：45°．
15．如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E．若∠CBF＝20°，则∠AED等
于 度．
【答案】65
【解答】解：∵正方形ABCD，
∴AB＝AD，∠BAE＝∠DAE，
在△ABE与△ADE中，
，
∴△ABE≌△ADE（SAS），
∴∠AEB＝∠AED，∠ABE＝∠ADE，
∵∠CBF＝20°，
∴∠ABE＝70°，
∴∠AED＝∠AEB＝180°﹣45°﹣70°＝65°，
故答案为：65
16．如图，正方形ABCD的边长为2，E是CD的中点，在对角线AC上有一点P，则PD+PE的最小值
是 ．
【答案】
【解答】解：连接BE，
∵四边形ABCD是正方形，E是CD的中点，
∴点B、D关于直线AC对称，CE＝ CD＝1，∴BE即是PD+PE的最小值，
∴BE＝ ＝ ＝ ．
故答案为： ．
三、解答题（本题共6题，17、18题8分，19-22题10分）。
17．已知：如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，BD平分∠ABC，∠A＝∠C．
求证：四边形ABCD为菱形．
【解答】证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
在△ABD和△CBD中
，
∴△ABD≌△CBD（AAS），
∴AB＝BC，AD＝DC，
∵AB＝AD，
∴AB＝BC＝DC＝AD，
∴四边形ABCD是菱形
18．如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△OAB是等边三角形，AB＝4．
（1）求证： ABCD是矩形；
▱
（2）求AD的长．
▱
【解答】（1）证明：∵△AOB为等边三角形，
∴∠BAO＝∠AOB＝60°，OA＝OB，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD＝ BD，OA＝OC＝ AC，
∴BD＝AC，
∴ ABCD是矩形；
（2）解：∵ ABCD是矩形，
▱
∴∠BAD＝90°，
▱
∵∠ABO＝60°，
∴∠ADB＝90°﹣60°＝30°，
∴AD＝ AB＝4 ．
19.如图，在△ABC中，AB＝AC，点D（不与点B重合）在BC上，点E是AB的中点，过点A作
AF∥BC交DE延长线于点F，连接AD，BF．
（1）求证：△AEF≌△BED．
（2）若BD＝CD，求证：四边形AFBD是矩形．
【解答】证明：（1）∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠EDB，
∵E为AB的中点，
∴EA＝EB，
在△AEF和△BED中，
，
∴△AEF≌△BED（ASA）；
（2）∵△AEF≌△BED，
∴AF＝BD，
∵AF∥BD，
∴四边形AFBD是平行四边形，∵AB＝AC，BD＝CD，
∴AD⊥BD，
∴四边形AFBD是矩形．
20．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，
CE⊥AN，垂足为点N．
（1）求证：四边形ADCE为矩形；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE为正方形？给出证明．
【解答】（1）证明：在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠BAD＝∠DAC，
∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，
∴∠MAE＝∠CAE，
∴∠DAE＝∠DAC+∠CAE＝ 180°＝90°，
又∵AD⊥BC，CE⊥AN，
∴∠ADC＝∠CEA＝90°，
∴四边形ADCE为矩形．
（2）当△ABC满足∠BAC＝90°时，四边形ADCE是一个正方形．
理由：∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠B＝45°，
∵AD⊥BC，
∴∠CAD＝∠ACD＝45°，
∴DC＝AD，
∵四边形ADCE为矩形，
∴矩形ADCE是正方形．
∴当∠BAC＝90°时，四边形ADCE是一个正方形．
21．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长
线于点F．
（1）证明四边形ADCF是菱形；（2）若AC＝4，AB＝5，求菱形ADCF的面积．
【解答】（1）证明：如图，∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE，
∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线，
∴AE＝DE，BD＝CD，
在△AFE和△DBE中，
，
∴△AFE≌△DBE（AAS）；
∴AF＝DB．
∵DB＝DC，
∴AF＝CD，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，
∴AD＝DC＝ BC，
∴四边形ADCF是菱形；
（2）解：连接DF，
∵AF∥BC，AF＝BD，
∴四边形ABDF是平行四边形，
∴DF＝AB＝5，
∵四边形ADCF是菱形，
∴S＝ AC•DF＝10．
22．已知，如图1，BD是边长为1的正方形ABCD的对角线，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC
到点F，使CF＝CE，连接DF，交BE的延长线于点G．
（1）求证：△BCE≌△DCF；
（2）求CF的长；
（3）如图2，在AB上取一点H，且BH＝CF，若以BC为x轴，AB为y轴建立直角坐标系，问在直线BD上是否存在点P，使得以B、H、P为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，直接写出所有
符合条件的P点坐标；若不存在，说明理由．
【解答】（1）证明：如图1，
在△BCE和△DCF中，
，
∴△BCE≌△DCF（SAS）；
（2）证明：如图1，
∵BE平分∠DBC，OD是正方形ABCD的对角线，
∴∠EBC＝ ∠DBC＝22.5°，
由（1）知△BCE≌△DCF，
∴∠EBC＝∠FDC＝22.5°（全等三角形的对应角相等）；
∴∠BGD＝90°（三角形内角和定理），
∴∠BGF＝90°；
在△DBG和△FBG中，
，
∴△DBG≌△FBG（ASA），
∴BD＝BF，DG＝FG（全等三角形的对应边相等），
∵BD＝ ＝ ，
∴BF＝ ，
∴CF＝BF﹣BC＝ ﹣1；
（3）解：如图2，∵CF＝ ﹣1，BH＝CF
∴BH＝ ﹣1，①当BH＝BP时，则BP＝ ﹣1，
∵∠PBC＝45°，
设P（x，x），
∴2x2＝（ ﹣1）2，
解得x＝1﹣ 或﹣1+ ，
∴P（1﹣ ，1﹣ ）或（﹣1+ ，﹣1+ ）；
②当BH＝HP时，则HP＝PB＝ ﹣1，
∵∠ABD＝45°，
∴△PBH是等腰直角三角形，
∴P（ ﹣1， ﹣1）；
③当PH＝PB时，∵∠ABD＝45°，
∴△PBH是等腰直角三角形，
∴P（ ， ），
综上，在直线BD上是否存在点P，使得以B、H、P为顶点的三角形为等腰三角形，所有符合条件
的P点坐标为（1﹣ ，1﹣ ）或（﹣1+ ，﹣1+ ）或（ ﹣1， ﹣1）或（ ，
）．
