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第一章 特殊平行四边形
一、选择题(本大题共10小题,每题3分,共30分)
1.下列命题中正确的是 ( )
A.对角线相等的四边形是矩形
B.对角线互相垂直的四边形是菱形
C.对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形
D.一组对边相等,另一组对边平行的四边形是平行四边形
【答案】C
【解析】 对角线相等的平行四边形是矩形,所以A选项错误;对角线互相垂直的平行四
边形是菱形,所以B选项错误;对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形,所以C选项正
确;一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,所以D选项错误.故选C.
2．如图，矩形ABCD的对角线AC＝8 cm，∠AOD＝120°，则AB的长为( )
A. cm B．2 cm C．2 cm D．4 cm
【答案】D
3.矩形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示,其各顶点的坐标分别为
A(0,0),B(2,0),C(2,1),D(0,1),固定点B并将此矩形按顺时针方向旋转,若旋转后点C的对应点
的坐标为(3,0),则旋转后点D的对应点的坐标为 ( )
A.(3,2) B.(2,3) C.(3,3) D.(2,2)
【答案】A
【解析】 由旋转后点C的对应点的坐标为(3,0)可知,旋转后点C的对应点在x轴上,因
为CD=2,所以旋转后点D的对应点的坐标为(3,2).故选A.
4．如图，在边长为1的正方形网格中，格点四边形ABCD是菱形，则此四边形的周长
等于 ( )A．6 B．12 C．4 D．24
【答案】C
5.若顺次连接四边形的各边中点所得的四边形是菱形,则该四边形一定是 ( )
A.矩形
B.平行四边形
C.对角线相等的四边形
D.对角线互相垂直的四边形
【答案】C
【解析】 如图,根据题意得四边形EFGH是菱形,点E,F,G,H分别是边AD,AB,BC,CD
的点,∴EF=FG=GH=EH,BD=2EF,AC=2FG,∴BD=AC,∴原四边形一定是对角线相等的四边形.
故选C.
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，四边形ADEF为菱形，S ＝8，则S 等于(
△ABC 菱形ADEF
)
A．4 B．4 C．4 D．28
【答案】C
7.如图,在给定的一张平行四边形ABCD纸片上作一个菱形,甲、乙两人的作法如下:
甲:连接AC,作AC的垂直平分线MN,分别交AD,AC,BC于点M,O,N,连接AN,CM,则四边
形ANCM是菱形.
乙:分别作∠BAD,∠ABC的平分线AE,BF,分别交BC,AD于点E,F,连接EF,则四边形
ABEF是菱形.
根据两人的作法可判断( )A.甲正确,乙错误 B.甲、乙均正确
C.乙正确,甲错误 D.甲、乙均错误
【答案】B
【解析】 对于甲的作法,∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,∴∠MAC=∠NCA.∵MN是AC的垂直平分线,
∴∠AOM=∠CON=90°,AO=CO,∴△AOM≌△CON,∴MO=NO,∴四边形ANCM是平行四边形.又
∵AC⊥MN,∴四边形ANCM是菱形,故甲的作法正确.对于乙的作法,∵四边形ABCD是平行四
边形,∴AD∥BC,∴∠AFB=∠EBF,∠FAE=∠BEA.∵BF平分∠ABC,AE平分
∠BAD,∴∠FBE=∠FBA,∠BAE=∠FAE,∴∠AFB=∠ABF,∠BAE=∠BEA,∴AB=AF,AB=BE,∴AF=
BE.∵AF∥BE,∴四边形ABEF是平行四边形.又∵AB=AF,∴四边形ABEF是菱形,故乙的作法正
确.故选B.
8．若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是菱形，则四边形ABCD一定是(
)
A．菱形
B．对角线互相垂直的四边形
C．矩形
D．对角线相等的四边形
【答案】D
9.如图,点E在正方形ABCD的对角线AC上,且EC=2AE,Rt△FEG的两直角边EF,EG分
别交BC,DC于点M,N.若正方形ABCD的边长为a,则重叠部分四边形EMCN的面积为( )
2 1 5 4
A. a2 B. a2 C. a2 D. a2
3 4 9 9
【答案】D
【解析】 如图,过点E作EP⊥BC于点P,EQ⊥CD于点Q,∵四边形ABCD是正方形,
∴∠BCD=90°,又∵∠EPM=∠EQN=90°,∴∠PEQ=90°,∴∠PEM+∠MEQ=90°,四边形PCQE为矩形.在Rt△FEG中,∠NEF=∠QEN+∠MEQ=90°,∴∠PEM=∠QEN.∵CA平分
∠BCD,∠EPC=∠EQC=90°,∴EP=EQ,∴四边形PCQE是正方形.在△EPM和△EQN中,
{∠PEM=∠QEN,
EP=EQ, ∴△EPM≌△EQN,∴S =S ,∴四边形EMCN的面积等于正方形
△EQN △EPM
∠EPM=∠EQN,
2√2 2
PCQE的面积.∵正方形ABCD的边长为a,∴AC=√2a,又∵EC=2AE,∴EC= a,∴EP=PC=
3 3
2 2 4 4
a,∴正方形PCQE的面积为 a× a= a2,∴四边形EMCN的面积为 a2.故选D.
3 3 9 9
10．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，△AEF是等边三角形，
连接AC交EF于点G，下列结论：①BE＝DF；②∠DAF＝15°；③AC垂直平分EF；
④BE＋DF＝EF；⑤S ＝2S .其中正确的个数为( )
△CEF △ABE
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
二、填空题(本大题共6小题,每题3分,共18分)
11.已知菱形的周长为20 cm,两邻角的比为2∶1,则较短的对角线长为 cm.
【答案】5
【解析】 因为两邻角的比为2∶1,所以菱形的较小角为60°,所以较短的对角线与菱形的
两邻边构成等边三角形,所以较短的对角线的长为20÷4=5(cm).
12．已知菱形的两条对角线长分别为2 cm，3 cm，则它的周长是________．
【答案】2 cm
13.如图,若将四根木条钉成的矩形木框变形为平行四边形ABCD的形状,并使其面积为
矩形面积的一半(木条宽度忽略不计),则这个平行四边形的最小内角的度数为 .
【答案】30°1
【解析】 如图,过点A作AE⊥BC于点E,由题意知,当AE= AB时,符合要求,此时
2
∠B=30°,所以这个平行四边形的最小内角为30°.
14．矩形的对角线相交所成的角中，有一个角是60°，这个角所对的边长为1 cm，则
其对角线长为________，矩形的面积为________．
【答案】2 cm； cm2
1
15.如图,在矩形ABCD中,点E,F分别在边AB,BC上,且AE= AB.将矩形沿直线EF折叠,
3
点B恰好落在AD边上的点P处,连接BP交EF于点Q.对于下列结论:
①EF=2BE;②PF=2PE;③FQ=4EQ;④△PBF是等边三角形.其中正确结论的序号是
.
【答案】①④
1
【解析】 ∵AE= AB,∴BE=2AE,由折叠的性质得
3
1 1
PE=BE=2AE,∴∠APE=30°,∴∠AEP=90°-30°=60°,∴∠BEF= (180°-∠AEP)= ×(180°-
2 2
60°)=60°,∴∠EFB=90°-60°=30°,∴EF=2BE,故①正确;∵BE=PE,∴EF=2PE,∵EF>PF,∴2PE>PF,
故②错误;由折叠可知
EF⊥PB,∴∠EBQ=∠EFB=30°,∴BE=2EQ,∵EF=2BE,∴EF=4EQ,FQ=3EQ,故③错误;由折叠的
性质知BF=PF,∠EFB=∠EFP=30°,∴∠BFP=30°+30°=60°,∴△PBF是等边三角形,故④正确.
综上所述,正确结论的序号是①④.
16．如图，在正方形ABCD的外侧作等边三角形ADE，则∠BED＝________．
【答案】45°三、解答题(本大题共6小题,共72分)
17．(10分)如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE＝
AB，连接CE.
(1)求证：BD＝EC；
(2)若∠E＝50°，求∠BAO的大小．
(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，AB＝CD.
又∵E在AB的延长线上，且BE＝AB，
∴BE∥CD，BE＝CD.
∴四边形BECD是平行四边形．
∴BD＝EC.
(2)解：∵四边形BECD是平行四边形，
∴BD∥CE.∴∠ABO＝∠E＝50°.
又∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD.
∴∠BAO＝90°－∠ABO＝40°.
18.(10分)如图,在矩形ABCD中,M,N分别是边AD,BC的中点,E,F分别是线段BM,CM的
中点.
(1)求证:△ABM≌△DCM;
(2)判断四边形MENF是什么特殊四边形,并证明你的结论.
证明：(1)∵四边形ABCD是矩形,
∴∠A=∠D=90°,AB=DC.
∵M是AD的中点,∴AM=DM.
{
AB=DC,
在△ABM和△DCM中, ∠A=∠D,
AM=DM,
∴△ABM≌△DCM.
(2)四边形MENF是菱形.证明如下:
由(1)得△ABM≌△DCM,∴BM=CM.
∵E,F分别是线段BM,CM的中点,
1 1
∴ME=BE= BM,MF=CF= CM,∴ME=MF.
2 2∵N是BC的中点,∴EN,FN是△BCM的中位线,
1 1
∴EN= CM,FN= BM,
2 2
∴EN=FN=ME=MF,∴四边形MENF是菱形.
19．(12分)如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AH⊥BC于点H，点E是AH上一
点，延长AH至点F，使FH＝EH，连接BE，CE，BF，CF.
(1)求证：四边形EBFC是菱形；
(2)如果∠BAC＝∠ECF，求证：AC⊥CF.
证明：(1)∵AB＝AC，AH⊥BC，
∴BH＝CH.
∵FH＝EH，
∴四边形EBFC是平行四边形.
又∵EF⊥BC，
∴四边形EBFC是菱形．
(2)如图，∵四边形EBFC是菱形，
∴∠2＝∠3＝∠ECF.
∵AB＝AC，AH⊥BC，
∴∠4＝∠BAC.
∵∠BAC＝∠ECF，∴∠4＝∠3.
∵∠4＋∠1＋∠2＝90°，
∴∠3＋∠1＋∠2＝90°，即AC⊥CF.
20.(12分)如图1,将矩形ABCD沿DE折叠,使顶点A落在DC上的点A'处.然后将矩形展
平,沿EF折叠,使顶点A落在DE上的点G处,再将矩形ABCD沿CE折叠,此时顶点B恰好落
在DE上的点H处,如图2所示.
(1)求证:EG=CH;
(2)已知AF=√2,求AD和AB的长.证明： (1)由折叠及四边形ABCD是矩形知,四边形AEA'D是正方形,
AE=A'E=EG,BC=CH,∴AE=AD.
在矩形ABCD中,AD=BC,∴EG=CH.
(2)易知∠ADE=45°,∠FGE=∠A=90°,∴∠FGD=90°.
∵AF=√2,∴FG=DG=√2,DF=2,
∴AD=AF+DF=√2+2.
由折叠知∠AEF=∠GEF,∠BEC=∠HEC,
∴∠GEF+∠HEC=90°,∠AEF+∠BEC=90°,
∵∠AEF+∠AFE=90°,∴∠BEC=∠AFE.
{∠AFE=∠BEC,
在△AEF和△BCE中, ∠A=∠B,
AE=BC,
∴△AEF≌△BCE,∴BE=AF=√2,
∴AB=AE+BE=√2+2+√2=2√2+2.
21.(14分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,过点C的直线MN∥AB,D为AB边上一点,过点
D作DE⊥BC,交直线MN于点E,垂足为F,连接CD,BE.
(1)求证:CE=AD;
(2)当D为AB的中点时,四边形BECD是什么特殊四边形?请说明你的理由;
(3)若D为AB的中点,则当∠A的大小满足什么条件时,四边形BECD是正方形?请说明
你的理由.
证明： (1)∵DE⊥BC,∴∠DFB=90°,
∵∠ACB=90°,∴∠ACB=∠DFB,∴AC∥DE,
∵MN∥AB,即CE∥AD,
∴四边形ADEC是平行四边形,∴CE=AD.(2)四边形BECD是菱形.理由如下:
∵D为AB的中点,∴AD=BD,
∵CE=AD,∴BD=CE,
∵BD∥CE,∴四边形BECD是平行四边形.
又∵DE⊥BC,
∴四边形BECD是菱形.
(3)当∠A=45°时,四边形BECD是正方形,理由如下:
∵∠ACB=90°,∠A=45°,
∴∠ABC=∠A=45°,∴AC=BC,
又∵D为AB的中点,∴CD⊥AB,∴∠CDB=90°,
由(2)知四边形BECD是菱形,∴四边形BECD是正方形.
22．(14分)在正方形ABCD的边AB上任取一点E，作EF⊥AB交BD于点F，取FD的
中点G，连接EG，CG，如图①，易证EG＝CG且EG⊥CG.
(1)将△BEF绕点B逆时针旋转90°，如图②，则线段EG和CG有怎样的数量关系和位
置关系？请直接写出你的猜想；
(2)将△BEF绕点B逆时针旋转180°，如图③，则线段EG和CG又有怎样的数量关系
和位置关系？请写出你的猜想，并加以证明．
解：(1)EG＝CG，EG⊥CG.
(2)EG＝CG，EG⊥CG.证明如下：
延长FE交DC的延长线于点M，连接MG，如图所示．
(第25题)
∵∠AEM＝90°，∠EBC＝90°，
∠BCM＝90°，
∴四边形BEMC是矩形．∴BE＝CM，BC＝EM，∠EMC＝90°.
易知，∠ABD＝45°，∴∠EBF＝45°.
又∵∠BEF＝90°，
∴△BEF为等腰直角三角形．
∴BE＝EF，∠F＝45°.
∴EF＝CM.
∵∠EMC＝90°，FG＝DG，
∴MG＝FD＝FG.
∵BC＝EM，BC＝CD，
∴EM＝CD.
∵EF＝CM，∴FM＝DM.
又∵FG＝DG，
∴∠CMG＝∠EMC＝45°，
∴∠F＝∠CMG.
在△GFE和△GMC中，
FG＝MG
∠F＝∠GMC，
EF＝CM，
∴△GFE≌△GMC.
∴EG＝CG，∠FGE＝∠MGC.
∵MF＝MD，FG＝DG，
∴MG⊥FD，∴∠FGE＋∠EGM＝90°，
∴∠MGC＋∠EGM＝90°，
即∠EGC＝90°.
∴EG⊥CG.
