文档内容
九年级数学上册单元测试定心卷（北师大版）
第一章 特殊平行四边形（能力提升）
注意事项：
本试卷满分100分，考试时间90分钟，试题共25题。答卷前，考生务必用 0.5毫米黑色
签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置.
一、选择题（12小题，每小题3分，共36分）
1．在平行四边形ABCD中，添加下列条件能够判定平行四边形ABCD是菱形的是（ ）
A．AC⊥BD B．AB＝CD C．AB⊥BC D．AC＝BD
【答案】A
【分析】
根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形判定，即可求得答案．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形，
故选：A．
．
【点睛】
本题考查了菱形的判定．熟记判定定理是解此题的关键．
2．如图，在正方形 中，等边三角形 的顶点 ， 分别在边 和 上，则 （ ）
A．60° B．65° C．75° D．80°
【答案】C
【分析】
根据题意直接证明 ，进而得 ，可知 ，结合等边三角形的条件，即
可求得 ．【详解】
四边形 是正方形，
， ，
是等边三角形，
， ，
在 和 中
，
（HL），
，
，
，
又 ，
，
，
故选C．
【点睛】
本题考查了HL证明直角三角形全等，等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，正方形的性质，熟练
以上性质是解题的关键．
3．矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ）
A．对角线相等 B．对角线互相平分
C．对角线互相垂直 D．对角线互相垂直且相等
【答案】B
【分析】
矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，因而平行四边形的性质就是四个图形都具有的性质．
【详解】
平行四边形的对角线互相平分，而对角线相等、平分一组对角、互相垂直不一定成立．
故平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是：对角线互相平分．
故选B．
【点睛】
本题主要考查了正方形、矩形、菱形、平行四边形的性质，理解四个图形之间的关系是解题关键．4．如图，在Rt△ABC中，D是AB的中点，AB＝10，则CD等于（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】
根据直角三角形斜边上的中线得出CD＝ AB，再代入求出答案即可．
【详解】
解：∵∠ACB＝90°，D为AB的中点，
∴CD＝ AB，
∵AB＝10，
∴CD＝5，
故选：C．
【点睛】
此题主要考查直角三角形的性质，解题的关键是熟知直角三角形斜边上的中线等于斜边一半的性质．
5．如图，有一架梯子斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，在墙角（点O处）有一只猫紧紧盯住位
于梯子（AB）正中间（点P处）的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉，把梯子、猫和老鼠都理想化为同一
平面内的线或点，模型如图，若梯子A端沿墙下滑，且梯子B端沿地面向右滑行．在此滑动过程中，猫与
老鼠的距离（ ）
A．不变 B．变小 C．变大 D．无法判断
【答案】A
【分析】
根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，即可解答．
【详解】如图，连接OP，
由题意可知：点P为AB的中点，∠AOB= ，
在 中， ，
若梯子A端沿墙下滑，且梯子B端沿地面向右滑行．在此滑动过程中，OP始终等于AB的一半，故OP的
长不变，即猫与老鼠的距离不变．
故选：A
【点睛】
本题主要考查了直角三角形形斜边中线的性质，解题的关键是熟练掌握直角三角形形斜边中线的性质，并
会利用数学建模思想．
6．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，连接OE，若
OE⊥BC，OE＝1，则AC的长为（ ）
A．4 B．2 C． D．2
【答案】B
【分析】
由矩形的性质得出OB=OC，由等腰三角形的性质得出BE=CE，证出OE是△ABC的中位线，得出
AB=2OE=2，证出△ABE是等腰直角三角形，得出BE=AB=2，BC=2BE=4，再由勾股定理即可得出答案．
【详解】
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠BAD=90°，OA=OC，OB=OD，AC=BD，
∴OB=OC，
∵OE⊥BC，∴BE=CE，
∴OE是△ABC的中位线，
∴AB=2OE=2，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴BE=AB=2，
∴BC=2BE=4，
∴ ，
故选：B．
【点睛】
本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质、三角形中位线定理、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定
理等知识；熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．
7．如图，将矩形纸片 沿 折叠，使点 落在对角线 上的点 处．若 ，则 的
度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据折叠的性质以及矩形的性质，可知 ， ，结合已知根据直角三
角形两锐角互余，即可求得 ．
【详解】
四边形 是矩形，
,
,
,
折叠,， ，
．
故选D．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，折叠的性质，直角三角两锐角互余，掌握以上知识点是解题的关键．
8．如图，在正方形 中， 是 的平分线，若正方形的边长是1，则 的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由勾股定理求出 ，根据正方形的对角线性质可得∠ADB=∠CDB=∠ACD=45°，根据角平分线可得
∠BDE=∠CDE=22.5°，∠ADE=∠AED，所以AE=AD，即可求出答案．
【详解】
解：∵四边形ABCD为正方形，
∴ ，
∴
∵AC，BC是正方形的对角线
∴
∵ 是 的平分线，
∴
∴ ，
∴
∴∴
故选C
【点睛】
此题考查正方形的性质和等腰三角形的判定，计算出具体角度是解题的关键．
9．如图，正方形ABCD的边长为4，点E在AB上且BE＝1，F为对角线AC上一动点，则BF+EF的最小
值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】A
【分析】
连接ED交AC于一点F，连接BF，根据正方形的对称性得到此时BF+EF最小，利用勾股定理求出DE即
可得到答案．
【详解】
解：如图，连接ED交AC于一点F，连接BF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴点B与点D关于AC对称，
∴BF=DF，
∴BF+EF=DE，此时BF+EF最小，
∵正方形ABCD的边长为4，
∴AD=AB=4，∠DAB=90°，
∵点E在AB上且BE=1，
∴AE=3，∴DE= ＝5，
即BF+EF的最小值为5，
故选：A．
【点睛】
此题考查正方形的性质：四条边都相等，四个角都是直角以及正方形的对称性质，还考查了勾股定理的计
算．依据正方形的对称性，连接DE交AC于点F时BF+EF有最小值，这是解题的关键．
10．如图，将矩形 沿 折叠，使点 落在点 处，点 落在点 处， 为折痕 上的任意一点，
过点 作 ， ，垂足分别为 ， ，若 ， ，则 的值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．16
【答案】B
【分析】
过点E作EQ⊥BC于Q，连接BP，先由折叠判断出BE＝BF，进而利用等面积法得出PG+PH＝EQ，再求出
BF，最后利用折叠的性质，即可得出结论．
【详解】
解：如图，过点E作EQ⊥BC于Q，连接BP，
∵四边形ABCD是长方形，
∴AD BC，
∴∠DEF＝∠BFE，
由折叠可得，∠DEF＝∠BEF，
∴∠BFE＝∠BEF，
∴BE＝BF，
∵PG⊥BE、PH⊥BC，
∴S ＝S +S
△BEF △BEP △BFP
＝ BE•PG+ BF•PH＝ BF（PG+PH），
又∵S ＝ BF•EQ，
△BEF
∴ BF（PG+PH）＝ BF•EQ，
∴PG+PH＝EQ，
∵四边形ABCD是长方形，
∴AD＝BC，∠C＝∠ADC＝∠A＝∠ABC＝90°，AB＝DC，
∵AD＝16，CF＝6，
∴BF＝BC﹣CF＝AD﹣CF＝10．
∵折叠，
∴ F＝CF＝6，∠ ＝∠C＝90°，DC＝B ，
∴在Rt△B F中，B ＝ ，
∴AB＝DC＝B ＝8，
∵∠A＝∠ABC＝90°，EQ⊥BC，
∴四边形ABQE是长方形，
∴EQ＝AB＝8，
∴PG+PH＝EQ＝8．
故选：B．
【点睛】
主要考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，解本题的关键是利用等
面积法判断出PG+PH＝EQ．
11．将矩形纸片 按图所示的方法进行折叠，得到等腰 ，若 ，则 （ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据折叠的性质，勾股定理，矩形的性质，正方形的判定和性质求解即可．
【详解】
如图，根据折叠的性质，第一次折叠得到AD=AE=BC=1，
根据勾股定理，得DE= = ，
∵AD=AE，∠A=∠DEF=90°，
∴∠AED=∠FEB=∠EFB =45°，
∴EB= BF，
根据第二次折叠，得CD=DE= =AE+EB=AE+BF，
∴BF=AB-AE= ，
故选A．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，正方形的判定和性质，勾股定理，折叠的性质，熟练掌握折叠的性质，灵活运用
勾股定理是解题的关键．
12．如图，A ，B ，C ，D 分别是四边形ABCD各边的中点，且AC⊥BD，AC＝6，BD＝10．依次取
1 1 1 1
A B ，B C ，C D，DA 的中点A ，B ，C ，D，再依次取A B ，B C ，C D，DA 的中点A ，B ，C ，
1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3
D……以此类推取A B ，B C ，C D ，D A 的中点A ，B ，C ，D ，若四边形A B C D
3 n﹣1 n﹣1 n﹣1 n﹣1 n﹣1 n﹣1 n﹣1 n﹣1 n n n n n n n n的面积为 ，则n的值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【详解】
解：∵A，B，C ，D 分别是四边形ABCD各边的中点，
1 1 1 1
∴AB∥AC，C D∥AC，
1 1 1 1
∴AB∥C D，
1 1 1 1
同理可得，AD∥BC ，
1 1 1 1
∴四边形ABC D 是平行四边形
1 1 1 1
∵AB∥C D，AD∥BC ，AC⊥BD，
1 1 1 1 1 1 1 1
∴∠ABC ＝∠APC＝∠AHD＝90°，
1 1 1 1
∴四边形ABC D 是矩形；
1 1 1 1
∵A，B，C ，D 分别是四边形ABCD各边的中点，
1 1 1 1
∴AB＝ AC＝3，AD＝ BD＝5，
1 1 1 1
∴矩形ABC D 的面积＝3×5＝15，
1 1 1 1
同理，ABC D 是菱形；
2 2 2 2
则ABC D 的面积＝15× ，
2 2 2 2
ABC D 的面积＝15× ，
3 3 3 3
ABC D 的面积＝15× ，
4 4 4 4
ABC D 的面积＝15× ，
5 5 5 5ABC D 的面积为15× ，
n n n n
∵ABC D 的面积为 ，
n n n n
∴ ，即 ，解得， ；
故选：B
【点睛】
本题考查的是中点四边形的性质，掌握矩形的判定定理、菱形的判定定理、根据图形的变化找出规律是解
题的关键．
二、填空题（4小题，每小题3分，共12分）
13．如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．若∠AOB＝60°，BD＝8，则AB的长为 ___．
【答案】4
【分析】
根据矩形的对角线相等且互相平分，得到OA＝OB，又由∠AOB＝60°，得到△AOB是等边三角形，即可求
解．
【详解】
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝ AC，OB＝ BD＝4，AC＝BD，
∴OA＝OB，
∵∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝OB＝4；
故答案为：4．
【点睛】
本题主要考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的对角线相等且互相平分是解题的
关键．14．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，AC＝12，F是DE上一点，连接AF，CF，DF＝
1．若∠AFC＝90°，则BC的长度为__________．
【答案】14
【分析】
根据直角三角形斜边上的中线求出FE，根据三角形中位线定理计算即可．
【详解】
解：∵∠AFC＝90°，E是AC的中点，
∴FE＝ AC＝6，
∴DE＝DF＋EF＝7，
∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴BC＝2DE＝14，
故答案为：14．
【点睛】
本题考查的是三角形中位线定理和直角三角形斜边上的中线，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等
于第三边的一半是解题的关键．
15．如图，在 中， ， ， ， 为边 上一动点， 于 ， 于 ，
为 的中点，则 的最小值为________．
【答案】
【分析】根据勾股定理的逆定理可以证明∠BAC＝90°；根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，则AM＝
EF，要求AM的最小值，即求EF的最小值；根据三个角都是直角的四边形是矩形，得四边形AEPF是矩
形，根据矩形的对角线相等，得EF＝AP，则EF的最小值即为AP的最小值，根据垂线段最短，知：AP的
最小值即等于直角三角形ABC斜边上的高．
【详解】
解：如图，连接AP，
∵在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，
∴AB2＋AC2＝BC2，
即∠BAC＝90°．
设Rt△ABC的斜边BC上的高为h．
∴h＝ ，
又∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，
∴四边形AEPF是矩形，
∴EF＝AP．
∵M是EF的中点，
∴AM＝ EF＝ AP．
因为AP的最小值即为直角三角形ABC斜边上的高，即等于 ，
∴AM的最小值是 × = ．
故答案为： ．
【点睛】
本题综合运用了勾股定理的逆定理、矩形的判定及性质、直角三角形的性质．要能够把要求的线段的最小
值转换为便于分析其最小值的线段．16．如图，四边形ABCD为矩形，AB＝ ，AD＝ ，点P为边AB上一点．以DP为折痕将△DAP
翻折，点A的对应点为点A'．连结AA'，AA' 交PD于点M，点Q为线段BC上一点，连结AQ，MQ，则
AQ＋MQ的最小值是________
【答案】
【分析】
如图，作点A关于BC的对称点T，取AD的中点R，连接BT，QT，RT，RM．想办法求出RM，RT，求出
MT的最小值，再根据QA＋QM＝QM＋QT≥MT，可得结论．
【详解】
解：如图，作点A关于BC的对称点T，
取AD的中点R，连接BT，QT，RT，RM．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠RAT＝90°，
∵AR＝DR＝ ，AT＝2AB＝4 ，
∴RT＝ ，
∵A，A′关于DP对称，
∴AA′⊥DP，
∴∠AMD＝90°，
∵AR＝RD，∴RM＝ AD＝ ，
∵MT≥RT−RM，
∴MT≥4 ，
∴MT的最小值为4 ，
∵QA＋QM＝QT＋QM≥MT，
∴QA＋QM≥4 ，
∴QA＋QM的最小值为4 ．
故答案为：4 ．
【点睛】
本题考查翻折变换，矩形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是求出MT的最小值，属于中考常考
题型．
三、解答题（9小题，共52分）
17．利用矩形的性质，证明：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”．
已知：在 中， 是中线．
求证：___________．
证明：
【答案】求证： ；证明见解析
【分析】
延长CO至点E，使CO=OE，连接AE、BE，然后证明四边形AEBC是矩形，再根据矩形的性质可得
【详解】
求证： ；证明：延长 至 使得 ，连接 ，
为 的中点，
，
四边形 为平行四边形，
又 ，
平行四边形 为矩形，
，
即 ．
【点睛】
本题考查了矩形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、平行四边形的判定与性质等知识；熟练掌
握矩形的性质是解题的关键．
18．如果， 是 斜边上的中线，延长 到点 ，使 ，连接 、 ．四边形
是矩形吗？请说明理由．
【答案】四边形 是矩形，见解析
【分析】
四边形 是矩形，先利用直角三角形斜边上的中线定理可得出四边形的对角线相互平分，即可证明四
边形是平行四边形，再利用对角线相等即可证明结论．
【详解】
解：四边形 是矩形．
理由如下：
是 斜边上的中线∴四边形 是平行四边形，
又
∴四边形 是矩形．
【点睛】
本题考查的知识点是矩形的判定定理，熟记矩形的判定定理内容是解此题的关键．
19．如图，BD是△ABC的角平分线，过点D作DE∥BC交AB于点E，DF∥AB交BC于点F
（1）求证：四边形BEDF为菱形；
（2）如果∠A＝90°，∠C＝30°，BD＝12，求EF的长
【答案】（1）见解析；(2) EF＝ ．
【分析】
（1）根据平行四边形的和菱形的判定证明即可；
（2）根据含30°的直角三角形的性质和勾股定理解答即可．
【详解】
（1）证明：∵ ， ，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∵BD是 的角平分线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴平行四边形BFDE是菱形；
（2）如图连接EF，交BD于O，∵ ， ，
∴ ，
∵BD平分 ，
∴ ．
由（1）知，平行四边形BFDE是菱形，则 ， ，
∴ ，
由勾股定理得到： ，即 ，
解得： ，
∴ ．
【点睛】
本题主要考查了平行四边形以及菱形的判定，解题的关键能够熟练地掌握平行四边形以及特殊的平行四边
形的判定方法．
20．如图①，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝40°，连接BD、CE．将
△ADE绕点A旋转，BD、CE也随之运动．
（1）求证：BD＝CE；
（2）在△ADE绕点A旋转过程中，当AE∥BC时，求∠DAC的度数；
（3）如图②，当点D恰好是△ABC的外心时，连接DC，判断四边形ADCE的形状，并说明理由．
【答案】（1）见详解；（2） ；（3）四边形ADCE是菱形.
【分析】
（1）利用SAS证明 由全等三角形对应角相等的性质可得结论；
（2）由等腰三角形两底角相等及三角形内角和定理可知 的度数，由两直线平行，同旁内角互补可
知 的度数，易求∠DAC的度数；（3）利用利用SAS证明 可得 ，由点D是△ABC的外心可得 ，由四条边
都相等的四边形是菱形可判定四边形ADCE的形状.
【详解】
解：（1）
在 和 中
（2）
；
（3）
在 和 中
点D是△ABC的外心，即点D为三角形三边垂直平分线的交点所以四边形ADCE是菱形.
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、平行线的性质、三角形外
心的性质及菱形的判定定理，灵活利用全等三角形的判定与性质是解题的关键.
21．在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF，BF．
（1）求证：四边形EBFD是矩形．
（2）若AE＝3，DE＝4，DF＝5，求证：AF平分∠DAB．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）根据平行四边形的性质得出DC∥AB，即DF∥BE，根据平行四边形的判定得出四边形DEBF为平行四
边形，根据矩形的判定得出即可；
（2）根据矩形的性质求出∠DEB=90°，根据勾股定理求出AD，求出AD=DF，推出∠DAF=∠DFA，求出
∠DAF=∠BAF，即可得出答案．
【详解】
证明：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，
∴DC∥AB，即DF∥BE，
又∵DF=BE，
∴四边形DEBF为平行四边形，
又∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90°，
∴四边形DEBF为矩形；
（2）∵四边形DEBF为矩形，
∴∠DEB=90°，
∵AE=3，DE=4，DF=5，
∴AD= ，
∴AD=DF=5，
∴∠DAF=∠DFA，∵AB∥CD，
∴∠FAB=∠DFA，
∴∠FAB=∠DFA，
∴AF平分∠DAB．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形的性质和判定，勾股定理，平行线的性质，角平分线定义的应
用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键．
22．如图所示的矩形ABCD是某景区内一个人工湖的示意图，其中△ABE是形状为等腰直角三角形的小岛．
该景区计划在湖面上建一座连接小码头C与小岛的步行桥，并要求步行桥的长度最小．
（1）尺规作图：在图中的BE上作出符合题意的桥头选址点P；（要求：不写作法，保留作图痕迹）
（2）已知AB＝200m，AD＝300m，游客从小码头C步行到E处，是走步行桥更近还是绕湖岸走更近？请
说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）走步行桥更近，理由见解析．
【分析】
（1）过点C作CP⊥BE于P即可；
（2）根据矩形的性质求出CD+DE的长度，作出辅助线构造直角三角形，根据勾股定理求出CP+PE的值，
即可判断出是走步行桥更近还是绕湖岸走更近．
【详解】
解：（1）如图，线段CP即为所求．
（2）连接EC，∵AB＝AE＝200m，AD＝300m，
∴DE＝AD﹣AE＝100m，BE＝200 m，
∵S ＝ •BE•PC= •200 •PC=100 PC，
△EBC
S ＝ m2，
△EBC
∴100 PC=30000，
∴PC＝150 m，
∵∠D＝90°，CD＝AB＝200m．DE＝100m，
∴ m，
∴ m，
∵CD+DE＝200+100＝300m．CP+PE＝200 m，
300＞200 ，
∴走步行桥更近．
【点睛】
此题考查了矩形的性质，垂线段最短，勾股定理的实际应用，解题的关键是根据题意作出辅助线构造直角
三角形求解．
23．已知矩形 中，点 在 边上，四边形 是平行四边形，请仅用无刻度的直尺分别按下列
要求画图（保留画图痕迹，不写画法）．
（1）在图1中作出线段 的中点 ；（2）在图2中画出 的中线 ．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）连接BE，根据矩形 中，点 在 边上，四边形 是平行四边形，可得 ，
即可；
（2）图2中，延长EF交BC于点N，构造矩形DCNF，在矩形ABCD和矩形DCNF中，利用对角线互相
平分即可解题．
【详解】
解：（1）如图1，连接BE，点 即为所求；
∵四边形 是平行四边形，
∴CD=EF，EF∥CD，
在矩形 中，
∵AB=CD，AB∥CD，
∴AB=EF，AB∥EF，∴∠A=∠PFE，∠ABP=∠FEP，
∴ ，
∴AP=FP，即点P是AF的中点；
（2）如图2，连接AC交BD于点P，延长EF交BC于点N，过点P和CF与DN的交点作直线交CD于点
M，然后连接BM，则线段 即为所求．
【点睛】
本题主要考查了作图——作中点和三角形的中线，熟练掌握矩形的性质和平行四边形的性质是解题的关键．
24．如图，四边形ABCD是平行四边形，AD＝AC，AD⊥AC，E是AB的中点，F是AC延长线上一点．
（1）若ED⊥EF，求证：ED＝EF；
（2）在（1）的条件下，若DC的延长线与FB交于点P，试判定四边形ACPE是否为平行四边形？并证明
你的结论（请先补全图形，再解答）；
（3）若ED＝EF，求证：ED⊥EF．
【答案】（1）见解析；（2）四边形ACPE为平行四边形，理由见解析；（3）见解析
【分析】
（1）根据平行四边形的性质得到AD＝BC，AD BC，结合已知条件可得AC＝BC，AC⊥BC，连接CE，根
据E是AB的中点以及等腰三角形的三线合一，直角三角形的斜边中线等于斜边一半可得AE＝EC，
CE⊥AB，∠ACE＝∠BCE＝45°，进而根据全等三角形的判定和性质即可得到结论；（2）根据全等三角形的性质得到CF＝AD，等量代换得到AC＝CF，于是得到CP＝ AB＝AE，根据平行
四边形的判定定理即可得到四边形ACPE为平行四边形；
（3）过E作EM⊥DA交DA的延长线于M，过E作EN⊥FC交FC的延长线于N，证明
Rt△DME≌Rt△FNE，即可得出结论．
【详解】
（1）证明：如图，连接CE，
∵在 ABCD中，
▱
∴AD＝BC，AD BC，
∵AD＝AC，AD⊥AC，
∴AC＝BC，AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°，∠CAE＝∠CBE＝45°，
又∵E是AB的中点，
∴AE＝EC＝ AB，CE⊥AB，∠ACE＝∠BCE＝45°，
∴∠ECF＝∠EAD＝135°，
∵ED⊥EF，
∴∠CEF＝∠AED＝90°﹣∠CED，
在△CEF和△AED中，
，
∴△CEF≌△AED（ASA），
∴ED＝EF；
（2）解：补全图形如下图，四边形ACPE是平行四边形，理由如下：
由（1）知△CEF≌△AED，
∴CF＝AD，
∵AD＝AC＝BC，
∴AC＝CF＝BC，
∵DP AB，
∴∠FCP＝∠CAB＝45°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCP＝180°－∠ACB－∠FCP＝45°＝∠FCP，
∴CP平分∠BCF，
又∵CF＝BC，
∴FP＝PB，
∴CP＝ AB＝AE，
∴四边形ACPE为平行四边形；
（3）解：过E作EM⊥DA交DA的延长线于M，过E作EN⊥FC交FC的延长线于N，
∵∠NAE＝∠EAM＝45°，
∴EM＝EN，
在Rt△DME与Rt△FNE中，，
∴Rt△DME≌Rt△FNE，
∴∠ADE＝∠CFE，
∵∠AOD＝∠FOE，
∴∠DAF＝∠DEF，
∵∠DAF＝90°，
∴∠DEF＝90°，
∴ED⊥EF．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形的中位
线定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
25．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，将△COD沿CD所在直线折叠，得到△CED．
（1）求证：四边形OCED是菱形；
（2）若AB＝2，当四边形OCED是正方形时，求OC的长；
（3）若BD＝3，∠ACD＝30°，P是CD边上的动点，Q是CE边上的动点，求PE+PQ的最小值．
【答案】（1）见解析；（2） ；（3） ．
【分析】
（1）根据四边相等的四边形是菱形即可判断．
（2）矩形的性质和勾股定理求解．
（3）作OQ⊥CE于Q，交CD于P，此时PE+PQ的值最小，由折叠的性质得出∠DCE＝∠DCO，PE＝
PO，得出PE+PQ＝PO+PQ＝OQ，由直角三角形的性质得出CQ＝ ， 即可得到答案．
【详解】
解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AC与BD相等且互相平分，
∴OC＝OD，
∵△COD关于CD的对称图形为△CED，
∴OD＝ED，EC＝OC，
∴OD＝ED＝EC＝OC，
∴四边形OCED是菱形．
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝2．
∵四边形OCED是正方形，
∴∠COD＝90°．
在直角△COD中，由勾股定理得：
OC²+OD²＝2²，
∵OD＝OC，
∴OC＝ ；
（3）解：作OQ⊥CE于Q，交CD于P，如图所示：
此时PE+PQ的值最小为 ；理由如下：
∵△COD沿CD所在直线折叠，得到△CED，
∴∠DCE＝∠DCO，PE＝PO，
∴PE+PQ＝PO+PQ＝OQ，
∵AC＝BD＝3，
∴OC＝OD＝ ，
∴∠DCO＝∠ACD＝30°，
∴∠DCE＝30°，
∴∠OCQ＝60°，
∴∠COQ＝30°，
∴CQ＝ ，即PE+PQ的最小值为 ．
【点睛】
本题主要考查了翻折变换的性质，矩形的性质，菱形的性质与判定，正方形的判定，勾股定理以及垂线最
短等知识，熟练掌握翻折的性质和菱形的性质与判定是解题的关键.
