文档文本内容
第六章 重点突破训练：平行四边形类型题举例
典例体系 （本专题 3 5 题 2 7 页）
考点1：已知三点构造平行四边形
典例：（2020·江西上饶市·七年级期末）如图，点A、B、C的坐标分别是（0，2）、（2，2）、（0，-
1），那么以点A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标是：________．
【答案】（2，-1）或（-2，-1）或（2，5）
【详解】
解：①如下图：当以AB为边时，点D的坐标为（2，-1）；②如下图：当以AB为边时，点D的坐标也可以为（-2，-1）；
③如下图：当以AB为对角线时，点D的坐标为（2，5）；
方法或规律点拨
本题考查平行四边形的判定、坐标与图形的性质，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．
巩固练习
1．（2021·山东威海市·八年级期末）在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为 ， ，
，当四边形ABCD是平行四边形时，点D的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
解：①以AD为对角线时，可得AB∥CD，AB＝CD，
∴A点向左平移6个单位，再向下平移3个单位得B点，
∴C点向左平移6个单位，再向下平移3个单位得D (-4，-8)；
②以AC为对角线时，可得AD∥BC，AD=BC，
₁
∴B点向右平移6个单位，再向上平移3个单位得B点，
∴C点向右平移6个单位，再向上平移3个单位得D (8，-2)；
③以AB为对角线时，可得AD∥BC，AD=BC，
₂
∴C点向右平移3个单位，再向上平移5个单位得A，∴B点向右平移3个单位，再向上平移5个单位得D (2，2)；
综上可知，D点的坐标可能为：D (-4，-8)、D (8，-2)、D (2，2)，
₃
故选：A．
₁ ₂ ₃
2．（2020·万杰朝阳学校八年级月考）若以A(-0.5，0)，B(2，0)，C(0，1)三点为顶点要画平行四边形，则
第四个顶点不可能在( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【详解】解：根据题意画出图形，如图所示：
分三种情况考虑：①以CB为对角线作平行四边形ABD C，此时第四个顶点D 落在第一象限；
1 1
②以AC为对角线作平行四边形ABCD ，此时第四个顶点D 落在第二象限；
2 2
③以AB为对角线作平行四边形ACBD ，此时第四个顶点D 落在第四象限，
3 3
则第四个顶点不可能落在第三象限．
故选：C．
3．（2020·珠海市第八中学八年级期中）如图，在平面直角坐标系中．已知点A(3，0)，B(﹣1，0)，C(0，
2)，则以A，B，C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标为_____．
【答案】(4，2)或(﹣4，2)或(2，﹣2)
【详解】
解：①如图1，
以AB为边时，A（3，0）、B（﹣1，0）两点之间的距离为：3﹣（﹣1）＝4，∴第四个顶点的纵坐标为2，横坐标为0+4＝4，或0﹣4＝﹣4，即D（4，2）或D′（﹣4，2）；
②如图2，以AB为对角线时，∵从C（0，2）到B（﹣1，0），是横坐标减1，纵坐标减2，
∴第四个顶点D的横坐标为：3﹣1＝2，纵坐标为0﹣2＝﹣2，即D（2，﹣2）
综上所述，第四个顶点D的坐标为（4，2）或（﹣4，2）或（2，﹣2）．
故答案为：（4，2）或（﹣4，2）或（2，﹣2）．
4．（2020·湖州市第四中学教育集团八年级期中）在平面直角坐标系XOY中，有A(3 , 2) ,B (－1 ,－4 )，P
是X轴上的一点，Q是Y轴上的一点，若以点A,B,P,Q四个点为顶点的四边形是平行四边形，则Q点的坐
标是______．
【答案】（0，﹣6）或（0，﹣2）或（0，6）．
【详解】
解：如图所示，
当AB为边，①即当四边形ABQ P 是平行四边形，所以AB=PQ，AP =BQ ，
2 2 2 2 2 2
∴Q 点的坐标是：（0，﹣6），
2
②当四边形QPBA是平行四边形，所以AB=PQ，QA=PB，
∴Q点的坐标是：（0，6），
当AB为对角线，即当四边形PAQ B是平行四边形，所以AP =Q B，
1 1 1 1
AQ =BP ，
1 1
∴Q 点的坐标是：（0，﹣2）．
1
故答案为（0，﹣6）或（0，﹣2）或（0，6）．
5．（2020·浙江杭州市·八年级其他模拟）如图， 为一个平行四边形的三个顶点，且
三点的坐标分别为 ．（1）请直接写出这个平行四边形第四个顶点的坐标；
（2）在 中，求出 边上的高．
【答案】（1） 或 或 ；（2）
【详解】
解：（1） 为对角线时，第四个点坐标为 ；
为对角线时，第四个点为 ；
当 为对角线时，第四个点坐标为 ．
（2） ，
，
．
6．（2020·吉林长春市·八年级期末）在平面直角坐标系中， 的三个项点的位置如图所示，现将
沿 的方向平移，使得点 移至图中的点 的位置．
（1）在直角坐标系中，画出平移后所得 (其中 分别是 的对应点)．
（2）求 的面积．
（3）以 为顶点构造平行四边形，则 点坐标为__________．【答案】（1）画图见解析；（2）5.5；（3） (-1，-1)，(5，3)，(-3，5)．
【详解】
（1）如图，△A′B′C′为所作；
（2）△ABC的面积 ；
（3）分别以AB、AC、BC三边为对角线，平移另外两条边，
第一种情况：以AC为对角线，平移AB和BC，得到交点 (-1，-1)；
第二种情况：以BC为对角线，平移AB和AC，得到交点 (5，3)；
第三种情况：以AB为对角线，平移AC和BC，得到交点 (-3，5)；
因此，点 、 、 的坐标分别为：(-1，-1)，(5，3)，(-3，5)．
考点2：三角形中位线性质的应用
典例：（2021·湖北襄阳市·八年级期末）已知点 ，点 为 轴正半轴上一动点，连接 ，分别以
和 为边长作等边 和 ，连接 ．
（1）如图（a），当 点在 内部时，求证： ；（2）如图（b），当 点在 外部时，上述结论是否还成立？请说明理由．
（3）当 点恰好落在 的边上时，利用图（c）探究分析后，直接写出 的高的长度为______．
【答案】（1）证明见解析；（2）还成立，理由见解析；（3）3或9．
【详解】证明：（1）在等边 与等边 中，
， ，
，
∴ ，
即 ，
在 与 中，
，
∴ ，
∴ ；
（2）还成立．
理由：连接 ，
与（1）同理，， ，
，
∴ ，
即 ，
在 与 中，
，
∴ ，
∴ ；
（3）当D点恰好落在 的边BC上时，如图，
作DG⊥OC于G，
由（2）知 ，
∴∠EDC=∠BOC=90 ，
∵△EBC是等边三角形，
∴D点恰好是边BC的中点，
∵DG⊥OC，
∴DG是△BOC的中位线，
∴DG= BO=3；当D点恰好落在 的边BE上时，如图，
作DF⊥OC于F，
由（2）知 ，
∴∠EDC=∠BOC=90 ，∠ECD=∠BCO，
∵△EBC是等边三角形，
∴D点恰好是边BE的中点，
∴∠ECD=∠BCD=∠BCO=30 ，
∴BC=2BO=12，
∴OC= ，
∵△DOC是等边三角形，
∴DC=OC= ，FC=OF= ，
∴DF= ，
综上， 的高的长度为3或9．
故答案为：3或9．
方法或规律点拨
本题是三角形综合题，考查了坐标与图形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、直角三
角形30度角的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
巩固练习
1．（2021·山东烟台市·八年级期末）如图，已知△ABC中，点M是BC边上的中点，AN平分∠BAC，
BN⊥AN于点N，若AB＝8，MN＝2，则AC的长为（ ）
A．12 B．11 C．10 D．9
【答案】A
【详解】解：延长BN交AC于D，
在△ANB和△AND中，
，
∴△ANB≌△AND，
∴AD=AB=8，BN=ND，
∵M是△ABC的边BC的中点，
∴DC=2MN=4，
∴AC=AD+CD=12，
故选：A．
2．（2020·浙江杭州市·八年级其他模拟）在 中， ，点 是
上一动点，作 ，且 ，连结 分别是 的中点连结 ，则 长
为（ ）
A． B． C．6 D．6.5
【答案】A
【详解】解：∵∠ACB＝90°，AB＝13，AC＝5，
∴BC= =12，
取BD中点F，连接PF、QF，如图所示：
∵P、Q分别是BE、DC的中点，
∴PF是△BDE的中位线，FQ是△BCD的中位线，
∴PF∥ED，PF= DE＝1，FQ∥BC，FQ= BC＝6，∵DE∥AC，AC⊥BC，
∴PF⊥FQ，
∴PQ= ，
故选：A．
3．（2020·濮阳市油田第十二中学九年级期末）如图，在 中，点D在BC上，且 ，CF平
分 ，E是AB的中点， ， ，则EF的长是（ ）
A．1.5 B．2 C．3 D．6
【答案】A
【详解】∵ ，CF平分 ，
∴DF=AF，CD=4，
∵E是AB的中点，
∴EF是△ABD的中位线，
∴EF= BD= (BC-CD)=1.5，
故选：A．
4．（2021·浙江杭州市·八年级期末）在△ABC中， AD是BC边上的高线，CE 是AB边上的中线，
CD=AE，且CE<AC．若AD=6，AB=10，则CE=___________【答案】
【详解】解：∵AD是BC边上的高线，AD=6，AB=10，
∴∠D=90°， ，
∵CE 是AB边上的中线，CD=AE，
∴ ，
取BD的中点F,连接CF，
∴EF为△ABD的中位线，
∴ ,EF//AD，
∴∠EFB=∠D=90°，
在Rt BEF中，根据勾股定理，
△ ,
∴DF=BD-BF=8-4=4，
∴CF=CD-DF=5-4=1，
在Rt CEF中，根据勾股定理，
△ ,
故答案为： ．
5．（2020·四川遂宁市·射洪中学九年级月考）如图，△ABC中，AD是中线，AE是角平分线， CF⊥AE于
F，AB=13，AC=8，则DF的长为_________．【答案】2.5
【详解】
解：延长CF交AB于H，
∵AE平分∠BAC，
∴∠HAF=∠CAF,
在△AFH和△AFC中，
，
∴△AFH≌△AFC（ASA），
∴AH=AC，CF=FH，
∵AB=13，AC=8，
∴AH=AC=8，
∴HB=AB-AH=13-8=5，
∵CF=FH，CD=DB，
∴DF= HB=2.5，
故答案为：2.5．
考点3：多边形的镶嵌问题
典例：40．（2020·长春市第四十七中学初一期中）如图所示的图形中，能够用一个图形镶嵌整个平面的
有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C
【解析】
解：等腰三角形的内角和是180°，能被360°整除，放在同一顶点处能够用一种图形镶嵌整个平面；
四边形的内角和是360°，能被360°整除，放在同一顶点处能够用一种图形镶嵌整个平面；
正六边形的每个内角是120°，能被360°整除，能够用一种图形镶嵌整个平面；
正五边形的每个内角是108°，不能被360°整除，放在同一顶点处不能够用一种图形镶嵌整个平面；
圆不能够用一种图形镶嵌整个平面；
综上所述，能够用一种图形镶嵌整个平面的有3个．
故选：C．
方法或规律点拨
本题考查了平面镶嵌（密铺），掌握几何图形镶嵌成整个平面的关键是解题的钥匙．
巩固练习
1．（2020·偃师市实验中学初一月考）用下列边长相同的正多边形组合，能够铺满地面不留缝隙的是（）
A．正八边形和正三角形 B．正五边形和正八边形
C．正六边形和正三角形 D．正六边形和正五边形
【答案】C
【解析】A、正八边形的每个内角为：180°-360°÷8=135°，正三角形的每个内角60°．135m+60n=360°，
n=6- m，显然m取任何正整数时，n不能得正整数，故不能铺满；
B、正五边形每个内角是180°-360°÷5=108°，正八边形的每个内角为：180°-360°÷8=135°，
108m+135n=360°，m取任何正整数时，n不能得正整数，故不能铺满；
C、正六边形的每个内角是120°，正三角形的每个内角是60度．∵2×120°+2×60°=360°，或120°
+4×60°=360度，能铺满；
D、正六边形的每个内角是120°，正五边形每个内角是180°-360°÷5=108°，120m+108n=360°，m取任何正
整数时，n不能得正整数，故不能铺满．
故选C．
2．（2019·山西省初一月考）用若干个某种正多边形瓷砖可以铺满地面，这种正多边形瓷砖不可能是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
A.正三角形，其单个内角为60°，360° 60°=6，A选项满足条件；
B.正方形，其单个内角为90°，360° 90°=4，B选项满足条件；
C.正六边形，其单个内角为120°，360° 120°=3，C选项满足条件；D.正八边形，其单个内角为135°，360° 135° ，D选项不满足条件．
故选：D．
3．（2020·哈尔滨市中实学校初一期中）能够铺满地面的正多边形组合是（ ）
A．正六边形和正方形 B．正五边形和正八边形
C．正方形和正八边形 D．正三角形和正十边形
【答案】C
【解析】
A、正六边形的每个内角是120°，正方形的每个内角是90°，120m+90n=360°，显然n取任何正整数时，m
不能得正整数，故不能铺满；
B、正五边形每个内角是180°-360°÷5=108°，正八边形每个内角为135度，135m+108n=360°，显然n取任
何正整数时，m不能得正整数，故不能铺满；
C、正方形的每个内角为90°，正八边形的每个内角为135°，两个正八边形和一个正方形刚好能铺满地面；
D、正三角形每个内角为60度，正十边形每个内角为144度，60m+144n=360°，显然n取任何正整数时，
m不能得正整数，故不能铺满．
故选C．
4．（2020·四川省初二期末）只用下列图形不能进行平面镶嵌的是（ ）
A．正六角形 B．正五边形 C．正四边形 D．正三边形
【答案】B
【解析】
解：A、正六边形的每个内角是120°，能整除360°，能密铺；
B、正五边形每个内角是108°，不能整除360°，不能密铺；
C、正四边形的每个内角是90°，能整除360°，能密铺；
D、正三边形的每个内角是60°，能整除360°，能密铺．
故选：B．
5．（2019·雷州市第二中学初三一模）在下列四种边长均为 的正多边形中，能与边长为 的正三角形作
平面镶嵌的正多边形有（ ）
①正方形；②正五边形；③正六边形；④正八边形
A． 种 B． 种 C． 种 D． 种
【答案】C
【解析】
解：正三角形的一个内角度数为 ，
①正方形的一个内角度数为 ， ，那么3个正三角形和2个正方形可
作平面镶嵌；
②正五边形的一个内角度数为 ，任意若干个都不能和正三角形组成平面镶嵌；
③正六边形的一个内角度数为 ， 或 ，可作平面
镶嵌；④正八边形的一个内角度数为 ，任意若干个都不能和正三角形组成平面镶嵌；
能镶嵌的只有2种正多边形．故选 ．
考点4：多边形的去（多）角问题
典例：（2019·江苏省初一期中）小李同学在计算一个n边形的内角和时不小心多加了一个内角，得到的内
角之和是1380度，则这个多边形的边数n的值是_______．
【答案】9
【解析】
设多边形的边数为n，多加的内角度数为α，则
（n-2）•180°=1380°-α，
∵1380°=7×180°+120°，内角和应是180°的倍数，
∴n-2=7，n=9；
故答案为：9.
方法或规律点拨
本题考查了多边形的内角和公式，根据多边形的内角和公式判断出多边形的内角和公式是180°的倍数是解
题的关键．
巩固练习
1．（2020·全国初一）将一个四边形截去一个角后，它不可能是（ ）
A．六边形 B．五边形 C．四边形 D．三角形
【答案】A
【解析】
当截线为经过四边形对角2个顶点的直线时，剩余图形为三角形；
当截线为经过四边形一组对边的直线时，剩余图形是四边形；
当截线为只经过四边形一组邻边的一条直线时，剩余图形是五边形；
∴剩余图形不可能是六边形，
故选A.
2．（2019·云南省初三二模）小明在计算一个多边形的内角和时，漏掉了一个内角，结果算得800°，这个
多边形应该是（ ）
A．六边形 B．七边形 C．八边形 D．九边形
【答案】B
【解析】
解：设多边形的边数是n．
依题意有（n﹣2）•180°≥800°，
解得：n≥6 ，
则多边形的边数n＝7；
故选：B．
3．（2019·浙江省初二学业考试）一个四边形截去一个角后，形成新的多边形的内角和是（ ）A．180° B．360°或540° C．540° D．180°或360°或540°
【答案】D
【解析】
解：∵一个四边形截去一个角后得到的多边形可能是三角形，可能是四边形，也可能是五边形，
∴内角和可能是180°，或(4-2) ×180°=540°，或(5-2) ×180°=540°．
故选：D．
4．（2018·山西省初一期末） 若一个多边形除了一个内角外，其余各内角之和为2570°，则这个内角的度
数为( )
A．90° B．105° C．130° D．120°
【答案】C
【解析】
解：∵2570°÷180°=14…50°，
又130°+50°=180°
∴这个内角度数为130°
故选C
5．（2020·偃师市实验中学初一月考）多边形的所有内角与它的一个外角的和为600°，这个多边形的边数
是_____
【答案】5
【解析】
解：设边数为n，一个外角为α，
则（n－2）×180°＋α＝600°，
∴n＝ ＋2，
∵0°＜α＜180°，n为正整数，
∴当α＝60°时， 为正整数，
此时n＝5，内角和为（n－2）×180º＝540°．
故多边形的边数为5．
6．（2019·山西省初一月考）如图，有一张正方形桌面，它的4个内角的和为360°，现在锯掉它的一个角，
残余桌面所有的内角的和是_____________
【答案】540°
【解析】解：由题意得，残余桌面为五边形，
∴残余桌面所有的内角的和为（5-3）×180°=540°
故答案为：540°．
考点5：平行四边形的性质和判定
典例：（2020·大庆市万宝学校八年级期末）已知：如图所示，在平行四边形ABCD中，DE、BF分别是
∠ADC和∠ABC的角平分线，交AB、CD于点E、F，连接BD、EF．
（1）求证：BD、EF互相平分；
（2）若∠A＝60°，AE＝2EB，AD＝4，求线段BD的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，CD=AB，AD=BC，
∵DE、BF分别是∠ADC和∠ABC的角平分线，
∴∠ADE=∠CDE，∠CBF=∠ABF，
∵CD∥AB，
∴∠AED=∠CDE，∠CFB=∠ABF，
∴∠AED=∠ADE，∠CFB=∠CBF，
∴AE=AD，CF=CB，
∴AE=CF，
∴AB-AE=CD-CF，即BE=DF，
∵DF∥BE，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∴BD、EF互相平分；
（2）如图，过D点作DG⊥AB于点G，
∵∠A= ，AE=AD，∴△ADE是等边三角形，
∵AD=4，
∴DE=AE=4，
∵AE=2EB，
∴BE=2，
在Rt ADG中，AD=4，∠A= ，
△
∴ ，
∴DG= ，
∴ ．
方法或规律点拨
本题考查平行四边形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用
所学知识解决问题．
巩固练习
1．（2021·山东烟台市·八年级期末）在△ABC中，AB＝AC，点D在边BC所在的直线上，过点D作
DE∥AC交直线AB于点E，DF∥AB交直线AC于点F．
（1）当点D在边BC上时，如图①，求证：DE＋DF＝AC；
（2）当点D在边BC的延长线上时，如图②；当点D在边BC的反向延长线上时，如图③，请分别写出图
②、图③中DE、DF、AC之间的等量关系式（不需要证明）；
（3）若AC＝10，DE＝7，问：DF的长为多少？
【答案】（1）见解析；（2）图②中，DE﹣DF＝AC；图③中，DF﹣DE＝AC；（3）17或3
【详解】
解：（1）∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∴DE＝AF，∠FDC＝∠B，
又∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C∴∠FDC＝∠C，
∴DF＝FC，
∴DE＋DF＝AF＋FC＝AC；
（2）如图②，当点D在边BC的延长线上时，
∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∴DE＝AF，∠FDC＝∠B，
又∵ＺAB＝AC，
∴∠B＝∠ACB=∠DCF，
∴∠FDC＝∠DCF，
∴DF＝FC，
∴DE=AF=AC+CF＝AC＋DF；
即DE﹣DF＝AC；
当点D在边BC的反向延长线上时，在图③，
∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∴DE＝AF，∠FDC＝∠ABC，
又∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，
∴∠FDC＝∠C，
∴DF＝FC，
∴DF=FC=FA+AC=DE+AC；
∴DF﹣DE＝AC．
（3）当点D在边BC上时，
如图①所示，
DE＋DF＝AC，
∴DF＝AC﹣DE＝10﹣7＝3；
当点D在边BC的反向延长线上时，如图③所示，DF﹣DE＝AC．
∴DF＝AC＋DE＝10＋7＝17.
∴DF的长为17或3，
2．（2021·山东烟台市·八年级期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD于
点F，交BC的延长线于点E．
（1）求证：BE＝CD；
（2）若BF恰好平分∠ABE，连接AC、DE，求证：四边形ACED是平行四边形．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB＝CD，
∴∠DAE＝∠AEB，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴BE＝AB，∴BE=CD；
（2）∵BE＝AB，BF平分∠ABE，
∴AF＝EF，
在△ADF和△ECF中，
，
∴△ADF≌△ECF，
∴DF＝CF，
又∵AF＝EF，
∴四边形ACED是平行四边形．
3．（2020·深圳市龙岗区深圳中学龙岗初级中学八年级期末）如图，四边形ABCD中，BE⊥AC交AD于
点G，DF⊥AC于点F，已知AF=CE，AB=CD．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）如果∠GBC=∠BCD，AG=6，GE=2，求AB的长．
【答案】（1）见解析 （2）9
【详解】
解：（1）∵AF=CE，
∴AF-EF=CE-EF，
∴AE=CF，
∵BE⊥AC，DF⊥AC，，
∴∠AEB=∠CFD=90°，
∵AB=CD，
∴Rt ABE≌Rt CDF，
∴∠BAE=∠DCF，
△ △
∴AB∥CD，
∵AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠DAB=∠BCD，∴∠AGB=∠GBC，
∵∠GBC=∠BCD，
∴∠AGB=∠BAG，
∴AB=GB，
设AB=GB=x，则BE=x-2，
∵BG⊥AC，
∴ ，
∴ ，
解得x=9，
∴AB=9．
4．（2020·陕西榆林市·八年级期末）如图， 的对角线 相交于点
，点 从点 出发，沿 方向以每秒 的速度向终点 运动，
连接 ，并延长交 于点 ．设点 的运动时间为 秒．
（1）求 的长（用含 的代数式表示）；
（2）当四边形 是平行四边形时，求 的值；
（3）当 时，点 是否在线段 的垂直平分线上？请说明理由．
【答案】（1）10-t；（2）5秒；（3）见解析
【详解】
解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，AD∥BC，
∴∠PAO=∠QCO，
∵∠AOP=∠COQ，
∴△APO≌△CQO（ASA），
∴AP=CQ=t，
∵BC=10，
∴BQ=10-t；
（2）∵AP∥BQ，
当AP=BQ时，四边形ABQP是平行四边形，
即t=10-t，解得：t=5，∴当t为5秒时，四边形ABQP是平行四边形；
（3）过点O作直线EF⊥AP，垂足为E，与BC交于F，
在Rt ABC中，∵AB=6，BC=10，
∴AC△= ，
∴AO=CO= AC=4，
∵S ＝ = ，
ABC
△
∴AB•AC=BC•EF，
∴6×8=10×EF，
∴EF＝ ，
∴OE= ，
∴AE= = ，
当 时，AP= ，
∴2AE=AP，即点E是AP中点，
∴点O在线段AP的垂直平分线上．
5．（2021·山东淄博市·八年级期末）如图，在 中， ，中线 ， 相交于点 ，
点 ， 分别为 ， 的中点．
（1）求证： ， ；
（2）若 ， ，求四边形 的面积．【答案】（1）见解析；（2）2
【详解】
（1）证明：∵点 ， 分别是 ， 的中点，
∴ ， ．
∵点 ， 分别是 ， 的中点，
∴ ， ．
∴ ， ．
∴四边形 是平行四边形．
∴ ， ；
（2）解：∵ ，
∴ ．
又∵ ，
∴ ．
∵ ， ，
∵ ，
∵点 是 中点，
∴ ．
∴ ．
∴四边形 的面积 ．
6．（2020·浙江杭州市·八年级其他模拟）如图，平行四边形 中， 是它的一条对角线，过 、
两点作 ，垂足分别为 、 ，延长 、 分别交 、 于 、 ．（1）求证：四边形 是平行四边形；
（2）已知 ．求 的长．
【答案】（1）见解析；（2）5
【详解】
解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，
∵AM⊥BD，CN⊥BD，
∴AM∥CN，
∴CM∥AN，AM∥CN，
∴四边形AMCN是平行四边形．
（2）∵四边形AMCN是平行四边形，
∴CM＝AN，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB，CD∥AB，
∴DM＝BN，∠MDE＝∠NBF，
在△MDE和△NBF中，
，
∴△MDE≌△NBF（AAS），
∴ME＝NF＝3，
在Rt DME中，∵∠DEM＝90°，DE＝4，ME＝3，
∴DM△＝ ＝5，
∴BN＝DM＝5．
