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第六章 重点突破训练：平行四边形类型题举例
典例体系 （本专题 3 5 题 2 7 页）
考点1：已知三点构造平行四边形
典例：（2020·江西上饶市·七年级期末）如图，点A、B、C的坐标分别是（0，2）、（2，2）、（0，-
1），那么以点A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标是：________．
【答案】（2，-1）或（-2，-1）或（2，5）
【详解】
解：①如下图：当以AB为边时，点D的坐标为（2，-1）；②如下图：当以AB为边时，点D的坐标也可以为（-2，-1）；
③如下图：当以AB为对角线时，点D的坐标为（2，5）；
方法或规律点拨
本题考查平行四边形的判定、坐标与图形的性质，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．
巩固练习
1．（2021·山东威海市·八年级期末）在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为 ， ，
，当四边形ABCD是平行四边形时，点D的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
解：①以AD为对角线时，可得AB∥CD，AB＝CD，
∴A点向左平移6个单位，再向下平移3个单位得B点，
∴C点向左平移6个单位，再向下平移3个单位得D (-4，-8)；
②以AC为对角线时，可得AD∥BC，AD=BC，
₁
∴B点向右平移6个单位，再向上平移3个单位得B点，
∴C点向右平移6个单位，再向上平移3个单位得D (8，-2)；
③以AB为对角线时，可得AD∥BC，AD=BC，
₂
∴C点向右平移3个单位，再向上平移5个单位得A，∴B点向右平移3个单位，再向上平移5个单位得D (2，2)；
综上可知，D点的坐标可能为：D (-4，-8)、D (8，-2)、D (2，2)，
₃
故选：A．
₁ ₂ ₃
2．（2020·万杰朝阳学校八年级月考）若以A(-0.5，0)，B(2，0)，C(0，1)三点为顶点要画平行四边形，则
第四个顶点不可能在( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【详解】解：根据题意画出图形，如图所示：
分三种情况考虑：①以CB为对角线作平行四边形ABD C，此时第四个顶点D 落在第一象限；
1 1
②以AC为对角线作平行四边形ABCD ，此时第四个顶点D 落在第二象限；
2 2
③以AB为对角线作平行四边形ACBD ，此时第四个顶点D 落在第四象限，
3 3
则第四个顶点不可能落在第三象限．
故选：C．
3．（2020·珠海市第八中学八年级期中）如图，在平面直角坐标系中．已知点A(3，0)，B(﹣1，0)，C(0，
2)，则以A，B，C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标为_____．
【答案】(4，2)或(﹣4，2)或(2，﹣2)
【详解】
解：①如图1，
以AB为边时，A（3，0）、B（﹣1，0）两点之间的距离为：3﹣（﹣1）＝4，∴第四个顶点的纵坐标为2，横坐标为0+4＝4，或0﹣4＝﹣4，即D（4，2）或D′（﹣4，2）；
②如图2，以AB为对角线时，∵从C（0，2）到B（﹣1，0），是横坐标减1，纵坐标减2，
∴第四个顶点D的横坐标为：3﹣1＝2，纵坐标为0﹣2＝﹣2，即D（2，﹣2）
综上所述，第四个顶点D的坐标为（4，2）或（﹣4，2）或（2，﹣2）．
故答案为：（4，2）或（﹣4，2）或（2，﹣2）．
4．（2020·湖州市第四中学教育集团八年级期中）在平面直角坐标系XOY中，有A(3 , 2) ,B (－1 ,－4 )，P
是X轴上的一点，Q是Y轴上的一点，若以点A,B,P,Q四个点为顶点的四边形是平行四边形，则Q点的坐
标是______．
【答案】（0，﹣6）或（0，﹣2）或（0，6）．
【详解】
解：如图所示，
当AB为边，①即当四边形ABQ P 是平行四边形，所以AB=PQ，AP =BQ ，
2 2 2 2 2 2
∴Q 点的坐标是：（0，﹣6），
2
②当四边形QPBA是平行四边形，所以AB=PQ，QA=PB，
∴Q点的坐标是：（0，6），
当AB为对角线，即当四边形PAQ B是平行四边形，所以AP =Q B，
1 1 1 1
AQ =BP ，
1 1
∴Q 点的坐标是：（0，﹣2）．
1
故答案为（0，﹣6）或（0，﹣2）或（0，6）．
5．（2020·浙江杭州市·八年级其他模拟）如图， 为一个平行四边形的三个顶点，且
三点的坐标分别为 ．（1）请直接写出这个平行四边形第四个顶点的坐标；
（2）在 中，求出 边上的高．
【答案】（1） 或 或 ；（2）
【详解】
解：（1） 为对角线时，第四个点坐标为 ；
为对角线时，第四个点为 ；
当 为对角线时，第四个点坐标为 ．
（2） ，
，
．
6．（2020·吉林长春市·八年级期末）在平面直角坐标系中， 的三个项点的位置如图所示，现将
沿 的方向平移，使得点 移至图中的点 的位置．
（1）在直角坐标系中，画出平移后所得 (其中 分别是 的对应点)．
（2）求 的面积．
（3）以 为顶点构造平行四边形，则 点坐标为__________．【答案】（1）画图见解析；（2）5.5；（3） (-1，-1)，(5，3)，(-3，5)．
【详解】
（1）如图，△A′B′C′为所作；
（2）△ABC的面积 ；
（3）分别以AB、AC、BC三边为对角线，平移另外两条边，
第一种情况：以AC为对角线，平移AB和BC，得到交点 (-1，-1)；
第二种情况：以BC为对角线，平移AB和AC，得到交点 (5，3)；
第三种情况：以AB为对角线，平移AC和BC，得到交点 (-3，5)；
因此，点 、 、 的坐标分别为：(-1，-1)，(5，3)，(-3，5)．
考点2：三角形中位线性质的应用
典例：（2021·湖北襄阳市·八年级期末）已知点 ，点 为 轴正半轴上一动点，连接 ，分别以
和 为边长作等边 和 ，连接 ．
（1）如图（a），当 点在 内部时，求证： ；（2）如图（b），当 点在 外部时，上述结论是否还成立？请说明理由．
（3）当 点恰好落在 的边上时，利用图（c）探究分析后，直接写出 的高的长度为______．
【答案】（1）证明见解析；（2）还成立，理由见解析；（3）3或9．
【详解】证明：（1）在等边 与等边 中，
， ，
，
∴ ，
即 ，
在 与 中，
，
∴ ，
∴ ；
（2）还成立．
理由：连接 ，
与（1）同理，， ，
，
∴ ，
即 ，
在 与 中，
，
∴ ，
∴ ；
（3）当D点恰好落在 的边BC上时，如图，
作DG⊥OC于G，
由（2）知 ，
∴∠EDC=∠BOC=90 ，
∵△EBC是等边三角形，
∴D点恰好是边BC的中点，
∵DG⊥OC，
∴DG是△BOC的中位线，
∴DG= BO=3；当D点恰好落在 的边BE上时，如图，
作DF⊥OC于F，
由（2）知 ，
∴∠EDC=∠BOC=90 ，∠ECD=∠BCO，
∵△EBC是等边三角形，
∴D点恰好是边BE的中点，
∴∠ECD=∠BCD=∠BCO=30 ，
∴BC=2BO=12，
∴OC= ，
∵△DOC是等边三角形，
∴DC=OC= ，FC=OF= ，
∴DF= ，
综上， 的高的长度为3或9．
故答案为：3或9．
方法或规律点拨
本题是三角形综合题，考查了坐标与图形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、直角三
角形30度角的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
巩固练习
1．（2021·山东烟台市·八年级期末）如图，已知△ABC中，点M是BC边上的中点，AN平分∠BAC，
BN⊥AN于点N，若AB＝8，MN＝2，则AC的长为（ ）
A．12 B．11 C．10 D．9
【答案】A
【详解】解：延长BN交AC于D，
在△ANB和△AND中，
，
∴△ANB≌△AND，
∴AD=AB=8，BN=ND，
∵M是△ABC的边BC的中点，
∴DC=2MN=4，
∴AC=AD+CD=12，
故选：A．
2．（2020·浙江杭州市·八年级其他模拟）在 中， ，点 是
上一动点，作 ，且 ，连结 分别是 的中点连结 ，则 长
为（ ）
A． B． C．6 D．6.5
【答案】A
【详解】解：∵∠ACB＝90°，AB＝13，AC＝5，
∴BC= =12，
取BD中点F，连接PF、QF，如图所示：
∵P、Q分别是BE、DC的中点，
∴PF是△BDE的中位线，FQ是△BCD的中位线，
∴PF∥ED，PF= DE＝1，FQ∥BC，FQ= BC＝6，∵DE∥AC，AC⊥BC，
∴PF⊥FQ，
∴PQ= ，
故选：A．
3．（2020·濮阳市油田第十二中学九年级期末）如图，在 中，点D在BC上，且 ，CF平
分 ，E是AB的中点， ， ，则EF的长是（ ）
A．1.5 B．2 C．3 D．6
【答案】A
【详解】∵ ，CF平分 ，
∴DF=AF，CD=4，
∵E是AB的中点，
∴EF是△ABD的中位线，
∴EF= BD= (BC-CD)=1.5，
故选：A．
4．（2021·浙江杭州市·八年级期末）在△ABC中， AD是BC边上的高线，CE 是AB边上的中线，
CD=AE，且CE
